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概率论与数理统计笔记第一章概率论的基本概念1 随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间，记为{}S e =，称S 中的元素e 为基本事件或样本点.3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2.样本空间、随机事件1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本空间的元素，即E 的每个结果称为样本点.2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件，则每次试验S 总是发生，故又称S 为必然事件。
为方便起见，记φ为不可能事件，φ不包含任何样本点.3.若A B ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件的发生。
若A B ?且B A ?，即A B =，则称事件A 与事件B 相等.4.和事件{}AB x x A x A A B =∈∈或：与至少有一发生.5.当AB φ=时，称事件A 与B 不相容的，或互斥的.这指事件A 与事件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的. ,{,{,,AA S AA S A A AB AA AB ===?=?的逆事件记为若则称互逆，互斥.6.,A B A B AB AB 当且仅当同时发生时，事件发生.也记作.,A B AB AB AB 当且仅当同时发生时，事件发生,也记作.7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件“A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件. 事件间的运算规律：,,, A B C 设为事件则有,A B B A AB BA ==（１）交换律：()(),A B C A B C =（２）结合律：()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C ACBC ==（３）分配律：,de Morgan AB AB AB AB ==（４）律：3.频率和概率1.记()An n f A n=()A n A f A A n --其中n 发生的次数（频数）；n 总试验次数.称为在这次试验中发生的频率.频率反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质：10()12()1n n kkf A f S ≤≤=。
数学函数知识点大总结一、函数的概念函数是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它是将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的一种规则。
函数的概念来源于实际生活中对变化规律的研究，是描述数量之间关系的一种数学工具。
函数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里德。
1.1 函数的定义在数学中，函数通常表示为y=f(x)，其中f表示函数的名称，x称为自变量，y称为因变量。
函数f将自变量x的取值映射为因变量y的取值。
函数可看作是输入和输出之间的一种映射关系，即对每个自变量x，都有且只有一个对应的因变量y。
1.2 函数的符号表示在数学中，函数可以用多种符号来表示。
通常使用的有以下几种表示方法：y=f(x)：表示函数f将自变量x映射为因变量y。
f:x→y：表示函数f将自变量x映射为因变量y。
f(x)：表示函数f对自变量x的取值。
1.3 函数的分类函数是多种多样的，按照不同的性质可以进行分类。
主要的函数分类有以下几种：1.3.1 反函数如果一个函数f将自变量x的值映射为因变量y的值，那么存在一个反函数f^(-1)，将因变量y的值映射为自变量x的值。
1.3.2 单调函数如果一个函数f的自变量增大时，因变量也随之增大（或者随之减小），则称该函数为单调函数。
1.3.3 周期函数如果一个函数f对于某一个正数T有f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f为周期函数，其中T 称为函数的周期。
1.3.4 奇偶函数如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f为奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立，则称函数f为偶函数。
1.3.5 反比例函数如果一个函数f的表达式为f(x)=k/x，其中k是一个非零常数，则称函数f为反比例函数。
二、初等函数初等函数是指由常数、自变量及各种基本初等函数通过有限次的代数运算（加、减、乘、除）和函数复合（函数与函数的运算）得到的函数。
所有初等函数都可以由基本初等函数（多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）通过有限次的代数运算和函数复合得到。
随机查找数字函数公式随机函数就是产生数的函数，是EXCEL中很重要的函数。
在Excel中有2个随机数生成的函数，具体如下：第一个RAND函数，说明：RAND函数可以生成0到1之间的随机函数（包含小数位数）。
使用方法：1、在单元格内输入【=RAND()】即可生成随机数。
按F9可以刷新。
2、（扩大100倍）如果觉得0到1之间这个数值小了，我们也让他放大使用公式【=RAND()*100】，加上*100也就扩大100倍。
3、指定数值范围，如果要给这个随机函数指定一个范围，那我们应该使用【=RAND()*(B-A)+A】。
比如：我现在指定范围是随机生成10到30之间的数值，那么应该输入【=RAND()*(30-10)+10】。
4、指定保留小数位数，如果觉得小数位数太多，我们也可以进行指定的。
比如：我只希望随机数保留一位小数位数【=ROUND(RAND(),1)】，保留两位那就是【=ROUND(RAND(),2)】，可以根据需要自行修改。
（提示：我们也可以直接使用“设置单元格格格式”中的“数值”来定义小数位数）。
5、综合使用，指定生成范围加指定保留小数位数。
比如：我希望生成数值在10到30之间，且整数不带小数位数。
我们可以使用公式【=RAND()*(30-10)+10】，然后鼠标右键设置单元格格式，选择数值，点击小数位数设为“0”即可。
第二个，RANDBETWEEN函数，说明，RANDBETWEEN函数可以随机生成指定范围的随机整数。
使用方法：比如：我需要随机生成10到20之间的随机数，可以使用函数公式【=RANDBETWEEN(10,20)】，按F9可以随机刷新变化。
ΩB A 概率论基础知识第一章 随机事件及其概率 一 随机事件§1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E 。
例如：E 1：掷一骰子，观察出现的总数；E 2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E 3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A ，B ，C …… 例如，在E 1中，A 表示“掷出2点”，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为φ。
例如，在E 1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在E 1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E 1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.例如，在E 1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E 1中的基本事件。
在E 2中，用H 表示正面，T 表示反面，此试验的样本点有(H ，H )，(H ，T )，(T ，H )，(T ，T )，其基本事件便是{(H ，H )，(H ，T )，(T ，H )，(T ，T )}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如， 在E 1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
Excel是工作中最常用的电脑办公工具之一，做试验的免不了要做资料算结果。
搞清楚它的一些使用小技巧，工作效率那是往上嗖嗖的蹭啊。
下面这些绝对不能错过公式大全让你轻松起来！零、随机数1、随机数函数：=RAND()首先介绍一下如何用RAND()函数来生成随机数（同时返回多个值时是不重复的）。
RAND()函数返回的随机数字的范围是大于0小于1。
因此，也可以用它做基础来生成给定范围内的随机数字。
生成制定范围的随机数方法是这样的，假设给定数字范围最小是A，最大是B，公式是：=A+RAND()*(B-A)。
举例来说，要生成大于60小于100的随机数字，因为(100-60)*RAND()返回结果是0到40之间，加上范围的下限60就返回了60到100之间的数字，即=60+(100-60)*RAND()。
2、随机整数=RANDBETWEEN（整数，整数）如：=RANDBETWEEN（2,50），即随机生成2~50之间的任意一个整数。
上面RAND()函数返回的0到1之间的随机小数，如果要生成随机整数的话就需要用RANDBETWEEN()函数了，如下图该函数生成大于等于1小于等于100的随机整数。
这个函数的语法是这样的：=RANDBETWEEN(范围下限整数，范围上限整数)，结果返回包含上下限在内的整数。
注意：上限和下限也可以不是整数，并且可以是负数。
一、数字处理1、取绝对值=ABS(数字)2、取整=INT(数字)3、四舍五入=ROUND(数字,小数位数)二、判断公式1、把公式产生的错误值显示为空公式：C2=IFERROR(A2/B2,"")说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。
2、IF多条件判断返回值公式：C2=IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","")说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。
excel常用公式笔记
SUM函数：用于求和，可以将多个数值相加。
VLOOKUP函数：用于垂直查找，可以在一个表格中查找与指定值匹配的数据。
HLOOKUP函数：用于水平查找，可以在一个表格中查找与指定值匹配的数据。
CONCATENATE函数：用于拼接字符串，可以将多个字符串连接起来。
LEFT函数：用于提取左侧的字符，可以从一个字符串中获取指定长度的左侧字符。
RIGHT函数：用于提取右侧的字符，可以从一个字符串中获取指定长度的右侧字符。
AVERAGE函数：用于求平均值，可以计算一组数据的平均数。
MAX函数：用于求最大值，可以找出一组数据中的最大值。
MIN函数：用于求最小值，可以找出一组数据中的最小值。
COUNT函数：用于计数，可以统计一组数据中非空单元格的数量。
COUNTA函数：用于计数非空单元格，可以统计一组数据中非空单元格的数量。
IF函数：用于条件判断，可以根据给定的条件返回不同的结果。
LEN函数：用于计算字符串长度，可以统计一个字符串的字符数。
UPPER函数：用于将字符串转换为大写，可以将一个字符串中的字符转换为大写字母。
LOWER函数：用于将字符串转换为小写，可以将一个字符串中的字符转换为小写字母。
数学所有函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种特殊的关系，其中每个自变量的值都对应一个唯一的因变量的值。
通俗来讲，函数就是一个“黑匣子”，输入一个自变量，通过某种规律运算之后，得到一个因变量的值。
函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
二、函数的表示1. 显式表示法：y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示因变量和自变量的关系。
2. 参数方程表示法：x=f(t), y=g(t)，其中t是参数。
3. 值域法：f: X → Y，表示自变量X的取值范围与因变量Y的取值范围之间的对应关系。
4. 函数图形表示法：通过画出函数的图形来表示函数的性质和特点。
三、函数的分类1. 按定义域和值域的关系分类：一元函数、多元函数。
2. 按函数的解析表达式的形式分类：代数函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数、双曲函数、常数函数、分段函数等。
3. 按导数的存在性分类：可导函数、不可导函数。
四、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 奇偶性：奇函数和偶函数。
3. 单调性：增函数和减函数。
4. 周期性：周期函数。
5. 对称性：轴对称函数和中心对称函数。
五、函数的运算1. 四则运算：加法、减法、乘法、除法。
2. 复合运算：f(g(x))，表示g(x)的结果再作为自变量输入到f(x)中进行运算。
3. 反函数运算：如果f(x)是函数，且f(x)在其定义域内是一一对应的，那么可以定义一个函数g(x)，使得g(f(x)) = x，这个函数称为f(x)的反函数。
六、函数的极限1. 函数极限的概念：当自变量趋于某个值时，因变量的值趋于一个确定的值。
2. 极限的性质：有界性、保号性、夹逼性、局部有界性、局部保号性、局部夹逼性。
3. 函数极限的计算方法：利用极限的性质和函数的性质进行计算。
七、函数的导数1. 导数的概念：定义导数为函数在某一点的切线的斜率，也可以表示为函数的变化率。
计算机函数公式
计算机函数公式是计算机科学中的重要一环，扮演着对各种数据进行操作和处理的角色。
它们可以被视为计算机语言的基础核心，运用在各类程序设计和软件开发中。
以下是几个在计算机科学中常见的函数公式以及其应用。
一、随机数函数
计算机程序中经常需要产生随机数，可以用来实现很多不确定性的效果。
其一般形式为：
rand() % N，
其中，N是所需要的随机数的最大上界。
这样会得到[0，N)区间内的一个随机数。
二、绝对值函数
在计算机编程中，经常会用到绝对值函数，用以返回一个数的绝对值。
这在进行数值分析，寻找最大最小值等一系列运算中非常实用。
绝对值函数的一般形式为：
abs(x),
其中，x为输入值。
三、幂函数
幂函数是计算机科学中的另一种常见函数，主要用于进行幂运算。
若我们需要求出a 的 b 次幂，即 a^b，可以采用 pow(a, b) 的方式来进行计算。
以上所述即为计算机科学领域中常用的部分函数公式，它们在实际应用中，起着至关重要的作用。
在各类程序设计，软件开发，甚至人工智能领域都能发现其踪迹。
概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时，掌握各种公式是至关重要的。
这些公式不仅是解决问题的工具，更是理解概率统计概念的关键。
本文将为您梳理概率统计中的重点公式，帮助您更好地复习和掌握这部分知识。
一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n，事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω，事件 A 对应的区域为ω，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ω 的测度／Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)4、乘法公式P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 或 P(AB) ＝ P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，则有：P(A) ＝∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)（i从 1 到 n）6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，在事件 A 已经发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为：P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) （i从 1 到 n，k 从 1 到 n）二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,， xₙ，对应的概率为p₁, p₂,， pₙ，则概率分布为：P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2,， n），且∑pᵢ＝ 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （k ＝ 0, 1, 2,， n）3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X ～P(λ)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （k ＝ 0, 1, 2,）4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则分布函数为：F(x)＝∫∞， x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布，记为 X ～N(μ, σ²)，则概率密度函数为：f(x) ＝（1 ／（σ√（2π)）） e^（（x μ)² ／（2σ²)）三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∑ xᵢ pᵢ（i 从 1 到 n）连续型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∫∞，＋∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∑ （xᵢ E(X)）² pᵢ（i 从 1 到n）连续型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∫∞，＋∞ （x E(X)）² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为：σ(X) ＝√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y，其协方差为：Cov(X, Y) ＝ E(（X E(X)）（Y E(Y)））5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为：ρ(X, Y) ＝ Cov(X, Y) ／（σ(X)σ(Y)）四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时，样本均值X依概率收敛于总体均值μ，即：P(｜Xμ| ＞ε) → 0 （n → ∞）2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,， Xₙ 相互独立，且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。
