2008年秋季奥数题

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ） （C ） （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-=　2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．54171（第3题）E【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2 （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5（第4题）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．（第9题答案）D 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp∆===（第8题答案）（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x-=，423y y +=，则444y x +的值为（ ）。

A 、7 B 、1132+ C 、7132+ D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得212444311344x ++⨯⨯+==，2114311322y -++⨯-+==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+=2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。

A 、512B 、49C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

2008年奥数试题解析1.77.777×222.22×+22.222×333.33—3.3333×4444.4=2.14.5×9.9+5.5×10.1=3.6.1+6.3+6.5….+9.9—6.2—6.4—6.6—….—9.8=4.被3除余2，被4除余3，被5除余4最小的数是多少？5. 甲乙两个工程队，甲队人数是乙队人数的2倍。

甲队调出9人，乙队调入18人后，因而提前3天完成任务，这条路全长多少千米？5.商店购进甲乙两种不同的糖果，购进甲种糖所用的钱是购进乙种糖的2倍，已知甲种糖每千克60元，乙种糖每千克20元，如果把这两种糖混在一起作为什锦糖出售，那么这种糖每千克的成本是多少元？6.图是由竖直线和水平线组成的图形，过点B画一条直线把这个图形分成面积相等的两部分，这条直线和边界相交于点P从点B沿着边界走到点P，较近的路程是多少米？7.如图，平行四边形的面积是1080平方米，则平行四边形的周长是多少米？8.图中的每个拐弯处的角都是直角。

且它的八条边的边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米，这个图形的面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？9.由一段路程如图，A到C是上坡，C到B是下坡，某人由A经C到达B后立即沿原路还回A地，共用4小时，已知他上坡时每小时行3千米。

下坡时每小时行5千米，AC间路长是CB间路长的2倍，那么从A点经C点到达B点的路程是多少千米？10.由一个大口袋，里面装着许多球，每个球上都写着一个数字，其中写0的有10个，写1的有11个，写2的有12个，………写9的有19个，如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球？，才能保证取出的球中必有4个球，这4个球上面所写的数字恰好组成2007.11.一排中有100个座位，至少有几个座位有人，才有可能使之后入座的人必须坐在其中某个人的旁边。

12.图中有5个小正方形，请你在图中画一条直线，将这5个小正方形平均分成两部分，每部分所包含的图形两两相同，且面积相等，并请简要说明作图步骤？13.用8根火柴可以搭出一个长方形或正方形，如图，你能不能用8根火柴搭出一个面积比这两个图形更大的几何图形来？请你把搭出的图形画出来？14.对于大于零的分数，有如下4个结论：1.两个真分数的和是真分数；2.两个真分数的积是真分数；3.一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；4.一个真分数与一个假分数的积是一个假分数；其中正确结论的编号是（）15.算式111×111×……×111+2007得到的结果能否写成两个相邻自然数的积？请你写明理由？16．图中有三角形多少个。

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6． 已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为 （ ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥，所以a =a =， 于是方程组（3）的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==a b ==二．（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ （1）求a ，b 的值.解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =0a ≥，所以a =或4a =. 于是方程组（3）的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

2008年四年级下学期奥数期末考试题（考试时间：60分钟）学号：姓名：原就读学校：小学成绩：请你把正确的答案填在横线上。

每题10分，共120分。

1、右图中共有个三角形。

2、学校有一块长方形小操场，它的周长是50米，现在它的长边上划去5米，操场正好是一个正方形，原来长方形的面积是平方米。

3、一只乒乓球装在A、B、C三个盒子里，盒盖上分别标有一句话：A盒：乒乓球在此盒；B盒：乒乓球不在此盒；C盒：乒乓球不在A盒。

这三张标签有一张是正确的，乒乓球在盒内。

4、甲、乙两人从1轮流按次序报出自然数，每人每次可以报出1个至10个自然数，谁报到100，谁就获胜。

试分析甲先报获胜的策略。

答：甲要获胜必须先报个数。

5、四年级一班有50人选班长，有甲、乙、丙三个候选人，每人只能选他们之中的一个人，不能弃权。

前40票中，甲得到20票，乙得到13票，丙得到7票，规定谁的票最多谁当选。

若甲要当选，最少还需要张票。

6、一本书85页，那么共需要个数码编页码。

7、找规律填数：1、5、4、10、9、15、16、、。

8、母亲现在的年龄是儿子的4倍，母亲27岁时生这个儿子，母亲现在的年龄是岁，儿子现在的年龄是岁。

9、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共30个，其中红球6个、黄球9个、蓝球15个。

问：一次最少取出个，才能保证至少有8个小球颜色相同。

10、一位工人平均每天做零件48个，每做一个正品，可为国家创造财富12元，但做一个次品就要损失98元，他平均每天创造财富466元，这个工人平均每天做正品个。

11、一盒糖果，哥哥取走其中的一半又1粒，弟弟再取走剩下的一半又2粒，妹妹又取走剩下的一半又3粒，最后剩下4粒，这盒糖果原来有粒。

12、小明因为晚起床，如果以每分钟50米的速度回校，则迟到10分钟；如果以每分钟60米的速度回校，则仍迟到5分钟。

如果想不迟到，小明至少每分钟走米。

2008年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A. 5. B.7. C .9. D.11.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A.185. B.4. C.215. D.245.3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）A.15. B.310. C.25. D.12. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A.BM CN >.B.BM CN =.C.BM CN <.D.BM 和CN 的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ） A.39()8. B.49()8. C.59()8. D.98.6． 已知实数,x y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A.2008-.B.2008.C.1-.D.1. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．设a =，则5432322a a a a a a a +---+=-.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 .第二试（A ）一、（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 恒成立.当乘积ab取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =. （1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.三、（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.第二试（B ）一、（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值. 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同. 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ ,求()a b c +的值.2008年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题:（本题满分42分，每小题7分）1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D（解析：1. 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35A F E F A C B C ==，即3c o s 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=.在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D .3．能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4．∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =.又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴18018012(B N C A B C B C N A C B A C N ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13=︒-︒+︒ 12ABC =︒=∠， ∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤.要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅，2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n i a a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B .6．∵(2008x y =，∴x y ==y x ==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x -=，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .）二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．2- 2．523．124．1（解析：1.∵2213()122a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅-33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，AO OB ==2MO ===, ∴MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=︒，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而1AD DN BA MB =⋅==根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△.3．根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤.∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m nb +≤=≤.22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得；22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得.所以14p =，14q =-，于是12p q +=.4．21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：整理不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥（1）并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥. 易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =又因为0a ≥，所以4a =或4a =，于是方程组（3）的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b的值有两组，分别为44a b ==44a b ==二、（本题满分25分）解：（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠. 因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC =，即2r a l y =，故2al r y =. 所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r三、（本题满分25分）解：29(2)509(4511)a b a b +=+ （1） （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a bm n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2）故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数. 不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况： ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =. 此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）.把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：220ay xy bx -+≥ （1）由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =或2a =，又因为0a ≥，所以a =或a =.于是方程组（3）的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==,44a b ==二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同. 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）解： 29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2)（1）式即266341022511()509509a b c a b c+-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则5096509423511m a n ab c ---==（3）故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-.代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.谢谢谢谢 谢谢谢谢谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢 谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足42424233y y xx-=+=，，则444yx+的值为（ ）．（A ）7 （B ） 12+（C ）72+（D ）5【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x++==， 21122y -+-+==，所以444y x+=22233yx++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3yy xx-+=--⨯=- 故444yx+＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y xx-+-⨯-⨯=--⨯-=　2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x m x n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（第3题）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知A B 是半径为1的圆O 的一条弦，且1A B a =<．以A B 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且D B AB a ==，D C 的延长线交圆O 于点E，则A E的长为（ ）． （A ）2 （B ）1 （C 2（D ）a【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则120EC A EAC α∠=︒-=∠． 又因为()1160180222A B O A B D α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以A C E △≌A B O △，于是1A E O A ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上， 由11603022F ED A C BA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②（第8题）（第9题答案）由①，②可得 x s 4=，所以4=xs ．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//M F AD ，所以 F M N B A D D A C M F N ∠=∠=∠=∠， 所以 12F N M N A B==．因此 1122F C F N N C A B A C =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E B A D D A C A C E ∠=∠=∠=∠所以11A E A C ==. 又//F N C E ，所以四边形C E N F 是等腰梯形， 即11(711)922C F E N B E ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a A B C ah S abc r==++△，所以ar a h a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a ah r D E h BC-=，所以 (1)(1)a aah r r aD E a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++，故 879168793D E ⨯+==++（）．（第8题答案）另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==28ABCa S h a===△由△ADE ∽△ABC ，得23a ah r D E BCh -===，即21633D E B C ===10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ． 【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c dc d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2008年美国数学邀请赛(1)1.参加学校舞会的学生中有60%是女孩,有40%的学生喜欢跳舞.后来,有20名男生也来参加舞会,他们都喜欢跳舞.现在,舞会上女孩占58%,现在舞会上有多少人喜欢跳舞?2.正方形AIME的边长是10,底边为EM的等腰∆GEM与正方形AIEM的公共部分的面积是80,求∆GEM边EM上的高的长度.3.埃迪和休匀速骑自行车并且速度相同,同样地,她们以相同的速度匀速步行,以相同的速度匀速游泳.埃迪在74公里的行程中骑自行车2小时,步行3小时,游泳4小时,休在91公里的行程中步行2小时,游泳3小时,骑自行车4小时,她们骑车,步行和游泳每小时的公里数都是整数,求埃迪骑车,步行,游泳速度的平方和.4.正整数x,y满足x2+84x+2008=y2,求x+y.5.一个圆锥的底面半径是r,高是h.它被放在一个水平的桌面上,当圆锥在桌面上滚动时,圆锥的底面与桌面的公共点的轨迹是一个圆,其圆心是圆锥h的顶点与桌面的接触点.当圆锥滚动17周以后,它第一次回到原始位置.r 值可以写成m n的形式,这里m和n是正整数,并且n不能被任何质数的平方整除,求m+n.6.一个三角形数阵的第一行由奇数1,3,5,7,⋯,99以递增的顺序构成,从第一行开始,下面的每一行比上面一行少一个数,最底下的一行只有一个数.从第二行开始,每一行中的每一个数等于其斜上方的两个数之和.在此数阵中,有多少个数是67的倍数?7. 集合S i 由所有满足100i ≤n<100(i+1)的整数n 构成.例如:S 4={400,401,402, ⋯,499}.在集合S 0,S 1,S 2,⋯,S 999中,有多少个集合其中不包含完全平方数?8. 求正整数n,使得arctan 31+arctan 41+arctan 51+arctan n 1=4π. 9. 现有10个完全相同,尺寸为3英尺⨯4英尺⨯6英尺的长方体箱子,将第一个箱子平放在地面上,剩余的9个箱子中的每一个被平放在前面的箱子上,可以旋转箱子,使得箱子放置的方向是随机选择的,n m 是箱子堆的高度为41英尺的概率,这里m 和n 是互质的正整数,求m.10. 等腰梯形ABCD 较长的底边AD 上的底角为3π,对角线长为1021,点E 到顶点A 和D 的距离分别是107和307,过C 作AD 边上的高,垂足是F,EF 的长度可以写成mn 的形式,这里m,n 都是正整数且n 不能任何质数的平方整除,求m+n. 11. 考察全部由A 和B 构成的数列,它具有这样的性质:每段连续的A 其长度是偶数,每段连续的B 其长度是奇数.例如:数列AAB 和AABAA 是这样的数列,而数列BBAB 则不是.有多少个长度为14的这样的数列?12. 在一条笔直延伸的单向单车道高速公路上,所有行驶的汽车速度相同并且都服从安全规则:为每一个每小时15公里(包括不足15公里的情形)的车速,一辆汽车要与它前面的一辆汽车有一个车身长的距离(这样,当前一辆车以每小时52公里的速度行驶时,它后面的一辆车应离开它4个车身的长度).路边的一个电子眼会记下每小时通过的汽车的数量.假设每辆汽车车身长4米并可以任何速度行驶.若M 为电子眼记下的每小时通过的汽车数量的最大值,求M 被10除的商.13. 记P(x,y)=a 0+a 1x+a 2y+a 3x 2+a 4xy+a 5y 2+a 6x 3+a 7x 2y+a 8xy 2+a 9y 3.设p(0,0)=p(1,0)=p(-1,0)=p(0,1)=p(0,-1)=p(1,1)=p(1,-1)=p(2,2)=0.对所有这样的多项式,存在一点 (c a ,c b )使得p(c a ,c b)=0,这里a,b 和c 是正整数,a 与c 互质,并且c>1,求a+b+c.14. AB 是圆ω的一条直径,延长AB 到C(从B 经过A 到C),点T 在圆ω上,直线CT 与圆ω相切,过A 作直线CT 的垂线,垂足是P.设AB=18,m 是线段BP 长度的最大值,求m 2.15. 一张正方形纸片其边长是100.用以下方式分割得到楔形的各个角:对于正方形的每个角,从离开顶点距离为17处开始割出楔形的两边,它们相交在对角线上,形成一个60︒的角(见下图).将纸片沿着连接相邻割线交点的直线折起,当楔形的两边重合并粘在一起便形成一个纸盘(底面的边不是原来正方形的直角边),盘子的高是指底面与楔形向上形成的平面之间的距离,它能够写成n m 的形式,这里m 和n 是正整数,m<1000,且m 不能被任何质数的n 次幂整除,求m+n.答案252 025 314 080 014017 708 047 190 032172 375 040 432 871。

2008—2009学年度下学期光后中心小学五年级数学知识竞赛（B 卷）一、选择，把正确答案的字母填在括号里。

（每小题4分，共16分）1、小明今年a 岁，小燕今年（a －2）岁，再过X 年后，他俩相差（ ）岁。

A 、a －2B 、2C 、X2、1路车、2路车早上6时同时从起始站发车，1路车每隔5分钟发一辆车，2路车每隔8分钟发一辆车，这两路车第二次同时发车的时间是（ ）。

A 、6：40B 、6：30C 、6：24D 、无法确定3、把7克糖溶于100克水中，糖占糖水的（ ）。

A 、1007B 、1077C 、107100 4、一根绳子连续对折四次，每段是全长的（ ）。

A 、14B 、18C 、161二、填空（每小题4分，共64分）1、小刚买了1枝圆珠笔和5块橡皮，小强买了8块同样的橡皮，两人用去的钱同样多，一枝圆珠笔的价钱等于（ ）块橡皮的价钱。

2、小强骑摩托车26分行了15千米，平均每分行（ ）（ ）千米，行1千米平均要用（ ）（ ）分。

3、有两根彩带，一根长45厘米，另一根长30厘米，要把它们剪成长度一样的短彩带，且没有剩余，每根短彩带最长是（ ）厘米，一共可以分成（ ）段。

4、电影院里一排有30个座位，小亮和小强两位好朋友想坐在一起，并且小亮在小强的右边，则在同一排有（ ）种不同的坐法。

5、某校为每一位学生编了学籍号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生，如060401291表示2006年入学的四年级1班的29号男生，那么今年（2009年）四年级4班的20号女生的学籍号是（ ）。

6、不计算出结果，通过观察算式进行判断，在括号里填上相应算式前的字1 234 56 7 母。

A ．1＋0.1＋0.1＋0.1＋0.1B ．1－0.1－0.1－0.1－0.1C ．1×0.1×0.1×0.1×0.1D ．1÷0.1÷0.1÷0.1÷0.1（ ）<（ ）<（ ）<（ ）7、有一个数加上6，乘以6 ，再减去6，最后除以6，结果还是6。