湘教版2020九年级数学上册第四章锐角三角函数自主学习优生提升测试卷B卷(附答案详解)

九年级上册数学第4章锐角三角函数测试（湘教版带答案）第4章锐角三角函数检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.计算：A.B.C.D.2.在△中，∠＝90°，如果，，那么sin的值是().A.B.C.D.3.在△中，∠＝90 ，，，则sin()A.B.C.D.4.下列说法中，正确的是（）A.B.若为锐角，则C.对于锐角，必有D.5.在△中，∠=90°，，则sin的值是（）A.B.C.1D.6.已知在中，，则的值为（）A.B.C.D.7.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为()A.B.2mC.4mD.m8.如图，在菱形中，，，，则tan∠的值是()A．B．2C．D．9.在△中，，，，则等于()A.B.1C.2D.310.如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是()A.B.C.D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.在中，，，，则______.12.若∠是锐角，cos＝，则∠＝_________.13.小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为_________m.（小兰身高忽略不计，）.14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为．16.△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则_．17.如图，在四边形中，，，，，则__________.18.如图，在△中，已知，，，则________．三、解答题（共46分）19.（8分）计算下列各题：(1)；（2）.20.（6分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点，测得由点看大树顶端的仰角为35°；(2)在点和大树之间选择一点（、、在同一条直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为45°；(3)量出、两点间的距离为4.5.请你根据以上数据求出大树的高度.(结果保留3个有效数字)21.（6分）已知：如图，在山脚的处测得山顶的仰角为，沿着坡角为的斜坡前进米到达处（即∠，米），测得的仰角为，求山的高度．22.（6分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（≈1.732，结果精确到1m）23.（6分）如图，在梯形中，∥，，．（1）求sin∠的值；（2）若长度为，求梯形的面积．24.（6分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上升，20min后升到处，这时热气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求热气球的升空点与着火点的距离（结果保留根号）.25.（8分）如图，小明家住在m高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．（1）如果两楼相距20m，那么楼落在楼上的影子有多长？（2）如果楼的影子刚好不落在楼上，那么两楼的距离应是多少？（结果保留根号）第4章锐角三角函数检测题参考答案1.C解析：.2.A解析：如图，3.D解析：由勾股定理知，又所以所以sin4.B解析:因为，所以，故错；因为，所以，故B正确；当时，，所以，故C错；因为，所以，故D错.5.B解析：因为∠=90°，，所以.6.A解析：如图，设则由勾股定理知，所以7.B解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以29.B解析：∵在△中，，，，∴，∴．故选B．10.B解析：在锐角三角函数中仅当45°时，，所以选项错误；因为45°＜A＜90°，所以B＜45°，即A＞B，所以BC＞AC，所以＞，即，所以选项正确，选项错误＞1，＜1，所以选项错误.11.解析：如图，12.30°解析：因为，所以∠13.43.3解析：因为，所以所以所以).14.15°或75°解析：如图，.在图①中，，所以∠∠；在图②中，，所以∠∠.15.解析：设两个坡角分别为，，则tan，tan，得，两个坡角的和为．16.解析：利用网格,从点向所在直线作垂线,设网格中小正方形的边长为1，则利用勾股定理得,所以.17.解析：如图，延长、交于点，∵∠，∴．∵，∴，则．∵，∴．18.6解析：如图，过作于点．∵，∠，∴．∴．19.解：（1）（2）20.解：∵∠90°,∠45°，∴∵，∴则m，∵∠35°，∴tan∠tan35°.整理，得≈10.5.故大树的高约为10.521．解:如图，作⊥于，⊥于，在Rt△中，∠，米，所以，.在Rt△中，∠，设，则.在矩形中，米，，在Rt△中，∠，∴，即，∴，∴，∴米．22解：设，则由题意可知，m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝. ∴，即3x(x＋100)，解得x50＋50≈136.6.经检验50＋50是原方程的解．∴CDCEED136.61.5138.1≈故该建筑物的高度约为23.解：(1)∵，∴∠∠.∵∥，∴∠∠∠.在梯形中，∵，∴∠∠∠∠∵，∴3∠，∴∠30º，∴（2）过作于点.在Rt△中，•∠，•∠，∴在Rt△中，，∴24.解：过作于，则.因为∠，300m，所以300(－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(－1) 25.解：（1）如图，过作于，∵，，∴．故．∴楼落在楼上的影子有12m长.（2）若楼的影子刚好不落在楼上，，∴两楼的距离应是m.。

湘教版2020九年级数学上册第四章锐角三角函数自主学习能力达标测试卷B 卷（附答案详解）1．在下列情况下，可解的直角三角形是( ) A ．已知b=3，∠C=90° B ．已知∠C=90°,∠B=46° C ．已知a=3,b=6,∠C=90° D ．已知∠B=15°,∠A=65°2．已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．某舰艇以28海里/小时向东航行.在A 处测得灯塔M 在北偏东60方向，半小时后到B 处.又测得灯塔M 在北偏东45方向，此时灯塔与舰艇的距离MB 是（ ）海里．A ．()731+B ．142C ．()726+D ．144．在Rt ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和正切值（ ） A ．都缩小12B ．都扩大2倍C ．都没有变化D ．不能确定5．如图所示，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠α的余弦值是( )A ．12B 3C 2D ．16．在Rt△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B＝α，则AD 等于( ) A ．asin 2αB ．acos 2αC ．asin αcos αD ．asin αtan α7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=l ，AC=2，那么cosB 的值是（ ） A ．2B ．12C 5D 2558．如图，已知锐角三角形ABC ，以点A 为圆心，AC 为半径画弧与BC 交于点E ，分别以点E 、C 为圆心，以大于1EC 2的长为半径画弧相交于点P ，作射线AP ，交BC 于点D.若BC 5=，AD 4=，3tan BAD 4∠=，则AC 的长为( )A．3B．5C．5D．259．在Rt ABC中，90C∠=，若2sin A=，则cos B的值等于（）A．12B．22C．23D．110．计算（2017﹣π）0﹣（﹣13）﹣1+3tan30°的结果是（）A．5 B．﹣2 C．2 D．﹣111．在一次数学实验活动中，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度.如图，某同学在河东岸点A处观测河对岸水边有点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，则这条河的宽度______米.(参考数据：31 tan31,sin3152︒=︒≈)12．（1）若sinα=0.5138，则锐角α=________（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=________（3）若tanA=37.50，则∠A=________（结果精确到1〞）13．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EB，设EBAα∠=，则tanα=________．14．如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是边AD 上一动点（点M 与点A 、D不重合），N 是CD 的中点，且∠CBM=∠NMB ，则tan ∠ABM （___________）15．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=45，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________．16．已知平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y=23上，则△OAB的边长是_____．17．小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60 m处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD ＝1.5 m，则古塔BE的高为______m．18．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（结果精确到0.1m）19．如图，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30，底部点B的俯角为45，小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60．若CD为9.6m，则雕塑AB 的高度为________m．（结果精确到0.1m3 1.73≈）．20．有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是53米，则原树高是_________ m.21．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732．）22．如图，钟鼓楼AN上悬挂一条幅AB，谢高在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向钟鼓楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时谢高距钟鼓楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：3（即tan∠DEM=1：3），且M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）23．近年来交通事故发生率逐年上升，交通问题成为重大民生问题，鄱阳二中数学兴趣小组为检测汽车的速度设计了如下实验：如图，在公路MN（近似看作直线）旁选取一点C，测得C到公路的距离为30米，再在MN上选取A、B两点，测得∠CAN=30°，∠CBN=60°．（1）求AB的长；（精确到0.1米，2=1.413=1.73）（2）若本路段汽车限定速度为40千米/小时，某车从A到B用时3秒，该车是否超速？24．(1)计算：；(2)解方程：3x2﹣2x﹣5=0（用配方法）.25．农八师石河子市某中学初三（1）班的学生，在一次数学活动课中，来到市游憩广场，测量坐落在广场中心的王震将军的铜像高度，已知铜像底座的高为3.5m．某小组的实习报告如下．请你计算出铜像的高（结果精确到0.1m）实习报告2003年9月25日题目1测量底部可以到达的铜像高测得数据测量项目第一次第二次平均值BD的长12.3m 11.7m测倾器CD的高 1.32m 1.28m倾斜角α=30°56'α=31°4'计算结果26．峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸PQ 平行于MN ，河岸PQ 上有一排间隔为50米的彩灯柱C 、D 、E 、…，小华在河岸MN 的A 处测得21DAN ∠=，然后沿河岸走了175米到达B 处，测得45CBN ∠=，求这条河的宽度（参考数据：9sin2125≈，3tan218≈）．27．计算：201821311()cos301223--+-+-- 28．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED 的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进60 m 到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，求塔ED 的高度．(结果保留根号)参考答案1．C【解析】【分析】要解直角三角形，必须求出直角三角形的三个内角和三边长.【详解】A项中，缺少∠A或∠B的值，故不能解直角三角形；B项中，知道角的关系，但是没有边的大小，故不能解直角三角形；C项中，利用勾股定理求出c的值，然后利用锐角三角函数的定义求出∠A和∠B.D项中，∠C=100°，不是直角三角形.故选C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质.2．B【解析】【分析】根据30°、60°角的余切值进行判断即可.【详解】∵cot30°=，cot60°=，∴cot60°cotβ< cot30°∵锐角正切值随β的增大而减小，∴30°<β60°故选B.【点睛】本题考查锐角的余切函数性质，锐角的余切值随的增大而减小，熟练掌握锐角的余切函数性质及特殊角的三角函数值是解题关键.3．C【解析】解：作MC⊥AB，垂足为C．∵∠MBC=45°，∴∠BMC=45°，设BC=CM=a，在Rt△ACM中，MCAC=tan30°，则314aa=+，解得，a=737+，则MB=2a=7(26)+．故选C．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．4．C【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可直接得到答案.【详解】解：根据锐角三角函数的概念可知，若各边长都扩大2倍，锐角A的大小不变，则sinA，tanA 的值不变.故选C.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，正确理解锐角三角函数的概念是解决问题的关键. 5．A【解析】由图可知：∠D=60°，∵CD∥AB，∴∠α=∠D=60°，∴cosα=cos60°=1 2 .6．C 【解析】【分析】根据题意画出图形，再由锐角三角函数的定义及三角形的面积公式即可得出结论．【详解】如图所示，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，CB=a，∠B=α，∴AC=asinα，AB=acosα，∵AD⊥BC，∴BC•AD=AC•AB，即AD=·AC ABBC=sin?cosa aaαα=asinαcosα，故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．7．C【解析】【分析】根据勾股定理, 可得AB的长, 根据余弦的定义可得答案.【详解】解：如图在Rt△ABC中,由勾股定理,得2221225BC AC++,cosB=555BCAB==,故选:C.【点睛】本题主要考查余弦的定义，为邻边比斜边.8．D 【解析】 【分析】先判断出AD BC ⊥，进而用锐角三角函数求出BD ，即可得出CD ，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】由作图知，AD BC ⊥于D ，在Rt ABD 中，AD 4=，BD BD 3tan BAD AD 44∠===， BD 3∴=， BC 5=，CD BC BD 2∴=-=，在Rt ADC 中，AC == 故选D ． 【点睛】此题主要考查了基本作图，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出AD BC ⊥． 9．C 【解析】 【分析】根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵cosB=cos （90°-A ）=sinA=3， 故选：C ． 【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）是解题的关键． 10．A 【解析】试题分析：原式=1－(－=1+3+1=5，故选A ． 11．30【解析】：过点C 作CD ⊥AB 于D ， 由题意∠DAC =31°，∠DBC =45°，设CD=BD =x 米，则AD=AB+BD =（20+x ）米，在Rt △ACD 中，tan ∠DAC =CD AD ，则20x x +=35，解得x =30（米） 12．30.92° 67.77° 88°28′12″【解析】试题解析：(1)若sin α=0.5138，则锐角30.92α=；(2)若2cos β=0.7568，则锐角67.77β=；(3)若tan A =37.50，则88.47882812.A ∠=='"故答案为30.9267.77882812.'"；；13．12【解析】【分析】因为正方形的四条边都相等，设一条边为a ，表示出AE 的长，进一步利用锐角三角函数的定义求出即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=a ，∠A=90°， ∵点E 为AD 的中点，∴AE=12AD=12a ， tanα=AE AB =12a a =12． 故答案为12【点睛】 考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义：一个角的正切值=角的对边角的临边，由此求出两条直角边，直接得出结果即可．14．13【解析】【分析】延长MN 交BC 延长线于点E. 设MD=x.证DMN ≌△△CEN (AAS)，得MD=CE ，MN=EN.得BE=EM=a+x ，MN=2a x + ，在Rt △MDN 中,由MD 2+ND 2=MN 2，得x 2+22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2a x +)2,解得x=23a ，得AM=AD−MD=a -23a =13a ，所以,tan ∠ABM=AM 1AB 3=. 【详解】如图，延长MN 交BC 延长线于点E. 设MD=x.∵∠MBC=∠BMN ，∴EB=EM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴∠DMN=∠E ，在△DMN 和△ECN 中,DMN E DNM CNE DN CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DMN ≌△△CEN (AAS)∴MD=CE ，MN=EN.∴BE=EM=a+x ，∴MN=2a x + 在Rt △MDN 中,∵MD 2+ND 2=MN 2，∴x 2+22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2a x +)2,解得x=23a ∴AM=AD−MD=a -23a =13a 在Rt △ABM 中,tan ∠ABM=AM 1AB 3=. 【点睛】本题考核知识点：等腰三角形，全等三角形，勾股定理，三角函数. 解题关键点：构造等腰三角形和全等三角形.15．4.8【解析】设菱形ABCD 的边长为x ，则AB =BC =x ，又EC =2，所以BE =x -2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中，cosB =2x x -，又cosB =45 于是2x x-＝45， 解得x =10，即AB =10．所以易求BE =8，AE =6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值． 故由三角形面积公式有：12AB •PE =12BE •AE ，求得PE 的最小值为4.8． 点睛：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键16．22【解析】分析：如下图，过点B作BC⊥OA于点C，设△OAB的边长为a，则易得OC= a•cos60°，BC= a•sin60°，从而可得点B的坐标为（a•cos60°，a•sin60°），将该坐标代入反比例函数23yx=中求得a的值即可.详解：如下图，过点B作BC⊥OA于点C，设△OAB的边长是a，则OC= a•cos60°，BC= a•sin60°，∴点B的坐标为（a•cos60°，a•sin60°），又∵点B在双曲线y=23上，∴a•sin60°=23cos60a⋅，解得，a=22，故答案为：22．点睛：“画出符合题意的图形，作出如图所示的辅助线，设△OAB的边长为a，利用锐角三角函数把OC和BC用含a的式子表达出来，从而得到用含a的式子表达的点B的坐标”是正确解答本题的关键.17．3+1.5【解析】 过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则AF=DE=60，EF=AD=1.5，∠BAF=30°，因为tan ∠BAF=BF AF ，所以60BF =3，所以BF=203，则BE=BF+EF=203+1.5，故答案为（203+1.5）.18．2.3【解析】【分析】AB 是Rt △ABC 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB 的长．【详解】在Rt △ABC 中,90,30,2m,C A AC ∠=∠==cos ,AC A AB∠=∴2cos30,AB= ∴()2 2.3m .cos30AB =≈ 即斜坡AB 的长为2.3m.故答案为2.3.【点睛】考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．6.6【解析】【分析】过C 作CE ⊥AB ，垂足是E ，根据题意可知△DAC 是直角三角形，在Rt △DAC 中利用三角函数求得AC 的长，在Rt △ACE 中利用三角函数求得AE 的长和CE 的长，△CNB ，根据∠ECB=45°可知CE=BE，根据AB=AE+BE即可求解．【详解】解：如图：过C作CE⊥AB，垂足是E，∵∠ACE=30°，∴∠ACD=60°，∵∠ADC=30°，∴△ACD是直角三角形，∴AC=9.612⨯=4.8m，∴AE=4.812⨯=2.4m，CE=4.8⨯cos30°=2.43m，∵∠ECB=45°，∴CE=BE，∴AB=AE+BE=2.4+2.43≈ 6.6m，故答案为6.6【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助仰角和俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．20．15【解析】【分析】根据题意得知，树枝折断后与底面构成直角三角形，然后设折断部分为2x，因为夹角为30°，所以折断后的树高为x，根据勾股定理可列出关于x的方程，最终解出x值.【详解】树枝折断后与底面构成直角三角形．设折断部分为2x 米，则折断后的树高x 米．x ²＋(53)²＝(2x )²75＝3x ²x ²＝25x ＝5 那么2x ＝10米原树高为x ＋2x ＝15米，即答案为15. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的基本性质，解此题的关键是在于把一个实际问题转换成数学问题来进行解决.21．这条河的宽度约为19m ．【解析】【分析】利用锐角三角函数关系设AD=x ，则BD=30-x ，可得x 330x=-，进而求出即可 【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设AD xm =，在Rt ACD 中，ACD 45∠=，DC AD x ∴==，BD 30x =-．在Rt ABD 中，AD tan ABD tan603BD ∠=== 即x 330x=-解得()303x 19m 31=≈+． 答：这条河的宽度约为19m ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用锐角三角函数关系得出是解题关键． 22．17米【解析】分析：过点D 作DH ⊥AN 于H ，过点E 作FE ⊥于DH 于F ，首先求出DF 的长，进而可求出DH 的长，在直角三角形ADH 中，可求出AH 的长，进而可求出AN 的长，在直角三角形CNB 中可求出BN 的长，利用AB =AH ﹣BN 计算即可．详解：过点D 作DH ⊥AN 于H ，过点E 作FE ⊥于DH 于F ．∵坡面DE =20米，山坡的坡度i =1：3，∴EF =10米，DF =103米．∵DH =DF +EC +CN =（103+30）米，∠ADH =30°，∴AH =3×DH =（10+103）米，∴AN =AH +EF =（20+103）米． ∵∠BCN =45°，∴CN =BN =20米，∴AB =AN ﹣BN =103≈17米．答：条幅的长度是17米．点睛：本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．23．（1）34.6米；（2）超速．【解析】试题分析：（1）先利用三角函数求出BC 的长， 再证明BC=AB.(2)单位换算，千米/小时换算米/秒，除以3.6,比较大小.试题解析：解：（1）作CD⊥MN于D，如图所示：则CD=30米，在Rt△CBD中，BC=CDsin CBN∠=3060sin︒=203≈34.6又∵∠CBN=60°，∠CAN=30°，∴∠ACB=60°﹣30°=30°=∠CAN，∴AB=BC=34.6米；（2）∵40千米/小时≈11.1米/秒，34.6÷3≈11.53（米/秒），11.1＜11.53，∴该车是超速．24．(1)-2；(2)x1=﹣1，x2=．【解析】【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值，再相加即可求解；（2）利用配方法：首先移项，再把二次项系数化为1，然后配方求解即可求得答案．【详解】(1)=﹣2；(2)3x2﹣2x﹣5=0，3x2﹣2x=5，解得【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．25．5.0m．【解析】【分析】根据表中所给数据分别计算出BD、CD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出AE的长．【详解】∵两次测得BD的长分别是：12.3m，11.7m，∴其平均值为：12.311.72+=12m；∵两次测得CD的高为：1.32m，1.28m，∴其平均值为：1.32 1.282+=1.30m；∵两次测得其倾斜角分别是：30°56′，31°4′，∴其平均值为：3056'314'2︒+︒=31°，设AE=xm，由测量知∠ACE=31°，CE=BD=12m．在Rt△AEC中，tan∠ACE=AEEC，∴x=12•tan31°=12×0.6=7.2m，∴AF=AE﹣EF=7.2﹣（3.5﹣1.3）=5.0m，故铜像的高为：5.0m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．26．峨眉河的宽度约为75米．【解析】【分析】设河的宽度为d 米，过D 作DF ⊥MN 于F ，过C 作CH ⊥MN 于G ，构建直角三角形：Rt △ADF 、Rt △BCG ．通过解这两个直角三角形分别求得AF 的值，依次列出关于d 的方程，通过解方程来求d 的值即可．【详解】设河的宽度为d 米，过D 作DF ⊥MN 于F ，过C 作CH ⊥MN 于G ．在Rt △ADF 中，21DF d tan AF AF ︒==，∴21d AF tan =︒．在Rt △BCG 中，45CG d tan BG BG︒==，即BG =d ． 又∵AB =175，3218tan ︒≈，两树的间隔为50米，∴AF =AG ﹣50=AB +BG ﹣50，∴83d =175+d ﹣50，解得：d =75．答：峨眉河的宽度约为75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．当题中给出一定的度数时，要充分利用这些度数构造相应的直角三角形，利用锐角三角函数知识求解．27．23．【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】原式．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．28．塔高约为(60＋203)m.【解析】试题分析：先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=x，则BE=2x，DE=2x，DC=3x，BC=x，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．试题解析：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE．设EC=x，则DE=BE=2EC=2x，DC=EC+DE=x+2x=3x，BC===x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∴x+60=3x，解得：x=，∴DE=2x=．答：塔高约为m．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．。

湘教版2020九年级数学上册第四章锐角三角函数自主学习基础过关测试卷B卷（附答案详解）1．利用投影仪把Rt△ABC各边的长度都扩大5倍，则锐角A的各三角函数值( ) A．都扩大5倍B．都缩小5倍C．没有变化D．不能确定2．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（）A．2233B．16+πC．18 D．193．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）A．200B．250C．300D．5404．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（）A．15 m B．3m C．103m D．123m 5．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为（ ）A ．200米B ．2003米C ．400米D ．200（3+1）米 6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =8，则tan B 的值是( )A ．34B ．43C ．45D ．357．如图所示，P 是∠α的边OA 上的一点，且点P 的坐标为(6,8)，则sin α等于( )A ．35B ．45C ．34D ．438．在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=5，cosB=45，则AC 等于（ ） A ．125 B ．3 C ．4D ．5 9．已知，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB= 5 ，AC=1，那么∠A 的正切tanA 等于（ ） A ．12 B ．2 C ．5 D ．25 10．如图，小明为测量学校旗杆的高度AB ，在操场上选了一点P ，测得点P 到旗杆底端B 的水平距离为10米，APB α∠=度，则旗杆的高度为（ ）A ．10tan α米B ．10sin α米C ．10cos α米D ．10tan α米 11．在Rt ABC 中，90C ∠=，13AB =，12AC =，则cos B =________，tan B =________．12．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l 1的两棵古树A 、B 之间的距离，他们在河这边沿着与AB 平行的直线l 2上取C 、D 两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l 1、l 2之间的距离为50m ，则古树A 、B 之间的距离为_____m ．13．如图，ABC 的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则()tan αβ+________tan tan αβ+．（填“>”“=”“<”）14．某人从A 处出发沿北偏东30方向走了00l 米到达B 处，再沿北偏西60方向走了100米到达C 处，则他从C 处回到A 处至少要走________米．15．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．16．在地面上一点A 测得一电视塔的塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100米，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高为____米．17．如图，已知扇形OAB 的半径为6，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM ⊥OA ，垂足为M ，CN ⊥OB ，垂足为N ，连接MN ，若∠AOB=45°，则tan ∠AOB=_____，MN=_____．18．若5sin cos 3αα+=，α∠为锐角，则sin cos αα⋅的值是________． 19．如图，将△ABC 沿着CE 翻折，使点A 落在点D 处，CD 与AB 交于点F ，恰好有CE=CF ，若DF=6，AF=14，则tan ∠CEF=__．20．如图，已知两点A （2，0），B （0，4），且∠1=∠2，则tan ∠OCA=________．21．如图，建筑物的高CD 为17.32米，在其楼顶C ，测得旗杆底部B 的俯角α为60°，旗杆顶部A 的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，3≈1.732，结果精确到0.1米）22．如图，MN 表示杭州市在背街小巷改建中某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30，在M 的南偏东60方向上有一点A ，在A 周围500m 的范围内为居民区，沿MN 向前走400m 到B 处，测得ABN ∠为45，请通过计算说明如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区（参考数据：3 1.7≈）23．如图，⊙O 中，点A 为弧BC 中点，BD 为直径，过A 作AP ∥BC 交DB 的延长线于点P ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若BC=25，AB=22，求sin ∠ABD 的值．24．计算：1018()4cos45(3)2π-+---．25．已知：如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE⊥AC 于E ，PF⊥BD 于F ，AC ＝15，BC ＝8，求PE ＋PF ．26．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数k y x =的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(),2m ，点B 坐标为()4,n -，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13．()1求一次函数与反比例函数的解析式；()2求CBD 的面积．27．计算：2tan45°﹣|2﹣3|+（12）﹣2﹣（4﹣π）0． 28．两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，如图所示，从A 点测得太阳落山时，太阳光线AC 照射到AB 后的影子恰好在CD 的墙角时的角度∠ACB=60°，又过一会儿，当AB 的影子正好到达CD 的楼顶D 时的角度∠ADE=30°，DE ⊥AB 于E ，则建筑物CD的高是多少米？（3≈1.732，结果保留两位有效数字）参考答案1．C【解析】【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【详解】∵各边的长度都扩大五倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．【点睛】考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．2．D【解析】分析：根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm得出AD=10，进而得出A′C=16，从而得出A′A″=3，得出答案即可．详解：连接A″A′，∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．∴AD=10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，∴A′C=16，∴AO=A″O=6，则钟面显示3点50分时，∠A″OA′=30°，∴A′A″=3，∴A点距桌面的高度为16+3=19cm．点睛：本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，难度不是很大．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．3．B【解析】【分析】根据坡度的概念和俯角的概念解答即可．【详解】解：由题意得，∠EAC ＝45°，EC ＝100米， ∴AC ＝EC ＝100米，∵BE 的坡度为1：3，∴BC ＝3EC ＝300米，∴AB ＝300＋100＝400米，设DF ＝x 米，∵BE 的坡度为1：3，∴BD ＝3DF ＝3x 米，∵∠DAF ＝12°，tan12°≈0.2， ∴AD ＝5DF ＝5x 米，则8x ＝400，解得x ＝50，∴AD ＝250米．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形、熟记锐角三角函数的定义、根据题意列出方程是解题的关键． 4．A【解析】过C 作CE ⊥AB ，Rt △ACE 中，∵∠CAD=60°，AC=15m ，∴∠ACE=30°，AE=12AC=12×15=7.5m ，2， ∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，∴∠BCE=60°，∴BE=CE•tan60°=153×3=22.5m ， ∴AB=BE ﹣AE=22.5﹣7.5=15m ，故选A ．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案． 5．D 【解析】试题解析：过A 作AB ⊥MN 于B ,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM ∴∠=， 3AB ∴=，在Rt △ABN 中,90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200， 2003200200(31)MN ∴==米.故选D.6．A【解析】试题解析：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=8， ∴AC=6，∴63=84AC tanB BC ==． 故选A.7．B【解析】【分析】根据正弦函数的定义求解．【详解】∵点P的坐标为（6，8），10=，∴sina=84 105=.故选B.【点睛】考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机的和图形结合起来求解，并熟练运用三角函数求解．8．B【解析】【详解】先运用锐角三角函数的定义求出BC的长度，再根据勾股定理求AC．∵在△ABC中，∠C=90°， AB=5，∴cosBBCAB==45，∴BC=4，由勾股定理得，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握这两个概念是解题的关键．9．B【解析】试题分析：根据勾股定理可得：BC=2，则tanA=221BCAC==，故选B．10．D 【解析】【分析】在RT △ABP 中，用PB 的长和∠APB 的正切值求出AB 的长，即为旗杆的高度．【详解】∵PB=10米，∠APB=α度，∴在Rt △ABP 中，AB=10tanα米，答：旗杆AB 的高度为10tanα米．故选D ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，要根据所求和已知的条件正确的选用合适的三角形函数进行求解，难度一般．11．513 125【解析】【分析】先根据勾股定理求出BC 的长，再运用三角函数定义解答．【详解】如图：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13， ∴22AB AC -， ∴cosB=513BC AB =， tanB=125AC BC =． 故答案为513；125． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．（50﹣503）． 【解析】【分析】 过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ．则AM ＝BN ．通过解直角△ACM 和△BCN 分别求得CM 、CN 的长度，则易得MN ＝AB ．【详解】解：如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ，则AB ＝MN ，AM ＝BN ．在直角△ACM ，∵∠ACM ＝45°，AM ＝50m ， ∴CM ＝AM ＝50m ． ∵在直角△BCN 中，∠BCN ＝∠ACB ＋∠ACD ＝60°，BN ＝50m ， ∴CN ＝60BN tan ︒35033（m ）， ∴MN ＝CM−CN ＝503（m ）． 则AB ＝MN ＝（503）m ． 故答案是：（503）． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．13．>【解析】【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α＋β），比较即可．【详解】由正方形网格图可知，tanα＝13，tanβ＝12，则tanα＋tanβ＝13＋12＝56，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴α＋β＝45°，∴tan（α＋β）＝1，∴tan（α＋β）＞tanα＋tanβ，故答案为＞．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．14．1002【解析】【分析】先根据题意画出图形，再利用平行线的性质及平角的定义得出∠ABC=90°，再根据勾股定理即可求解．【详解】如图,由题意得∠DAB=30°,∠FBC=60°，AB=BC=l00米.∵AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB=30°，∵∠CBF=60°， ∴∠ABC=180°−∠ABE−∠CBF=180°−30°−60°=90°，在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC=22AB BC + =1002米，即他从C 处回到A 处至少要走1002米. 故答案为1002.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的应用. 15．125【解析】解：∵△ABC中，∠C =90°，AB =13，AC =5，∴BC =22AB AC -=22135-=12，∴tan A =125BC AC =．故答案为125． 16．50（3+3）【解析】【分析】构建直角三角形，可以用两次正切值分别表示出两个三角形中AD 和BD 的长，然后根据二者之间的关系，列方程解答．【详解】如图AB=100米，电视塔为CD ；根据题意有：AD=45CD tan ︒=CD ；BD=603CD tan =︒3， 解可得：CD=50（3．故答案为：50（3．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．17．1 3．【解析】【分析】作辅助线，构建三角形相似，先证明△DMC∽△DNO，得，由夹角是公共角得：△DM∽△DCO，得，根据∠AOB=45°及特殊的三角函数值，代入比例式可得结论．【详解】解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC=6，∵CM⊥OA，CN⊥OB，∴∠DMC=∠DNO=90°，∵∠D=∠D，∴△DMC∽△DNO，∴，即,∵∠D=∠D，∴△DMN∽△DCO，∴，∵CN⊥OB，∠AOB=45°，∴sin∠AOB==,tan∠AOB=1，∴=,∵OC=6，∴,∴MN=,故答案为：1；.【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定，特殊的三角函数值及三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．8 9【解析】【分析】利用同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1进行适当的变形转换来求解．【详解】∵sinA+cosA=53，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=259，即1+2sinAcosA=259，∴sinAcosA=8 9 .故答案为8 9【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识是考查．19．2【解析】【分析】如图，作CH⊥AB于H．设CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，设FH=EH=y，想办法构建方程组即可解决问题；【详解】解：如图，作CH⊥AB于H．设CF=EC=x．∵CF=CE，CH⊥EF，∴FH=EH，设FH=EH=y，则有x2﹣y2=（x+6）2﹣（14﹣y）2，整理得：3x+7y=40 ①．∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，∴∠FED=∠ECA，∴△EFD∽△CEA，∴DFAE=EFEC，∴6142y-=2yx，整理得：3x=14y﹣2y2②，由①②可得：x=152，y=52，∴CH22x y-2∴tan∠CEF=CHEH2故答案为2【点睛】本题考查了翻折变换、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．20．2【解析】试题解析: ∵∠1=∠2，根据等角的余角相等,可得:∴∠BAO=∠ACO，∵A(2,0),B(0,4)，∴4tan tan 2.2OBOCA BAOOA∠=∠===故答案为：2.21．21.0m【解析】【分析】在Rt△BCE中，由正切的定义可求出CE的长；在Rt△ACE中，由正切的定义可求出AE的长，由AB=AE+BE即可得出结论．【详解】根据题意，在Rt △BCE 中，∠BEC =90°，tanα=BE CE ，∴CE =tan 60BE =3≈10m ．根据题意，在Rt △ACE 中，∠AEC =90°，tanβ=AE CE，∴AE =CE ·tan20°≈10×0.364=3.64m ， ∴AB =AE +BE =17.32+3.64=20.96≈21.0m ．答：旗杆的高约为21.0m ．22．不会穿过居民区,理由详见解析.【解析】【分析】问输水线路是否会穿过居民区，其实就是求A 到MN 的距离是否大于圆形居民区的半径，如果大于则不会穿过，反之则会． 【详解】解：不会穿过居民区．理由是：过A 作AH MN ⊥于H ，作//BE MQ ，∵30EBN QMB FMN ∠=∠=∠=，∴30NMA ∠=，设AH x =，则BH x =，∴33MH AH x ==，∵400MH BM BH x =+=+，3400x x =+，∴2003200546.4500x =≈>∴不会穿过居民区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共的直角边时，利用这条公共边来求解是解决此类题目的基本出发点．23．（1）见解析；（2）10【解析】试题分析：（1）根据垂径定理得出AO⊥BC，进而根据平行线的性质得出AP⊥AO，即可证得结论；（2）根据垂径定理得出BE=5，在RT△ABE中，利用锐角三角函数关系得出sin∠BAO=104，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠BAO，即可求得求sin∠ABD=sin∠BAO=10．（1）证明：连结AO，交BC于点E．∵点A是的中点∴AO⊥BC，又∵AP∥BC，∴AP⊥AO，∴AP是⊙O的切线；（2）解：∵AO⊥BC，BC=2，∴BE=，又∵AB=6∴sin∠BAE==，∵OA=OB∴∠ABD=∠BAO，∴sin∠ABD=sin∠BAE=．点睛：此题主要考查了切线的判定，垂径定理的应用，等腰三角形的性质以及锐角三角函数关系，正确转化角度得出sin∠ABD=sin∠BAO=104是解题关键．24．1 【解析】分析：代入45°角的余弦函数值，结合“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”计算即可.详解：原式2412=+-⨯-，21=-，1=．故答案为1．点睛：熟记“45°角的余弦函数值”、“零指数幂的意义：01?(0)a a =≠”及“负整数指数幂的意义：1p p a a-=（0a p ≠，为正整数）”是正确解答本题的关键.25．15⋅ 【解析】【分析】由四边形ABCD 为矩形，得到对边相等，对角线互相平分且相等，由OD=OC ，利用等边对等角设∠BDC=∠DCA=α，在直角三角形PCE 中，利用正弦函数的定义表示出PE ，在直角三角形PDF 中，利用正弦函数的定义表示出PF ，代入PE+PF 中提取公因式，且由PD+PC=CD 化简，在直角三角形BCD 中，由BD 与BC 的长，利用勾股定理求出CD 的长，在直角三角形BCD 中，利用正弦函数定义，及BD 于BC 的长，求出sinα的值，由DC 与sinα的值即可求出PE+PF 的值．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=15，OD=OC ，∴设∠BDC=∠DCA=α，在Rt △PCE 中，sin ∠DCA=sinα=PE PC ， ∴PE=PCsinα，在Rt △PDF 中，sin ∠BDC=sinα=PF DP，∴PF=PDsinα，∴PE+PF=PCsinα+PDsinα=CDsinα，∵在Rt △BCD 中，BD=15，BC=8，∴sinα=815，，∴×815 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，涉及了勾股定理，锐角三角函数定义，矩形的性质等，熟练掌握各相关定理及性质是解本题的关键．26．()1 12y x =， 112y x =-；()218． 【解析】【分析】（1）根据正切值，可得OE 的长，可得A 点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据点的坐标满足函数解析式，可得B 点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式；（2）根据面积的和，可得答案．【详解】 ()1如图：∵21tan 3AE AOE OEOE ∠===，2AE =， ∴6OE =，∴()6,2A ， ∵k y x=的图象过()6,2A ， ∴26k =，解得12k =， ∴反比例函数的解析式为12y x=， ()4,B n -在12y x =的图象上， 解得1234n ==--， ∴()4,3B --，一次函数y ax b =+过A 、B 点，∴6243a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，一次函数解析式为112y x =-；()2当0x =时，1y =-，∴()0,1C -，当1y =-时，121x -=，12x =-， ∴()12,1D --， 111211226121822OCBD ODC BDC S SS =+=⨯-⨯-+⨯-⨯-=+=． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式的关键，利用面积的和差求解四边形的面积．27．2【解析】【分析】按顺序代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负指数幂、0指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】原式=2×1﹣（32）+4﹣1 =2﹣2+4﹣12．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负指数幂、0指数幂的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．28．35m米【解析】试题分析：通过投影的知识结合题意构造直角三角形，△ABC与△AED，在这两个直角三角形中，分别求出AB、AE的长；根据CD＝AB－AE计算可得建筑物CD的高．试题解析：解：根据题意可得：在△ABC中有：AB＝BC×tan60°BC＝在△AED中有：∠ADE＝30°，ED＝30，所以AE＝ED×tan30°＝所以CD＝EB＝AB－AE＝≈35（米）．故建筑物CD的高是35米．点睛：本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识结合图形解直角三角形．。

第4章 单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)1．计算：sin 60°·tan 30°＝( B )A ．1B ．12C ．32D ．2 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝4，BC ＝3，那么∠A 的正切值为( A )A ．34B ．43C ．35D ．453．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，cos A ＝23 ，那么AB 的长是( B ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．94．如图，为测量河两岸相对两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点16 m 的C 处(AC ⊥AB)，测得∠ACB ＝52°，则A ，B 之间的距离应为( C )A ．16sin 52° mB ．16cos 52° mC ．16tan 52° mD ．16tan 52°m第4题图 第5题图 第6题图第7题图5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝45，则sin B ＝( A ) A ．45 B ．54 C ．53 D ．356．如图所示，△ABC 在正方形网格中的位置如图示(A ，B ，C 均在格点上)，AD ⊥BC 于点D.下列四个选项中正确的是( C )A ．sin α＝cos αB ．sin α＝tan αC ．sin β＝cos βD ．sin β＝tan β7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( A )A ．2ndF sin 0 · 2 5 ＝B ．sin 2ndF 0 · 2 5 ＝C ．sin 0 · 2 5 ＝D ．2ndF cos 0 · 2 5 ＝8．若锐角三角函数tan 55°＝a ，则a 的范围是( B )A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜2C ．2＜a ＜3D ．3＜a ＜49．如果sin 2α＋cos 230°＝1，那么锐角α的度数是(A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．(2019·杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB ＝a ，AD ＝b ，∠BCO ＝x ，则点A 到OC 的距离等于( D )A ．a sin x ＋b sin xB ．a cos x ＋b cos xC ．a sin x ＋b cos xD ．a cos x ＋b sin x第10题图 第11题图 第12题图11．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的垂直平分线与CD 交于点E ，与BC 交于点F.若CF ＝x ，tan A ＝y ，则x 与y 之间满足( A )A ．4y 2 ＋4＝x 2B ．4y 2 －4＝x 2C ．8y 2 －8＝x 2D ．8y2 ＋8＝x 2 12．(2019·长沙)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD ＋55BD 的最小值是( B ) A ．25 B ．45 C ．53 D ．10二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．计算：4cos 60°＝__2__．14．(2019·怀化)已知∠α为锐角，且sin α＝12，则∠α＝__30°__． 15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是__255__．第15题图 第16题图 第17题图第18题图16．(2019·醴陵期末)如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡AB 的坡度为1∶2，则此斜坡AB 长为__30 5 _m __．17．如图，△ABC 中，cos B ＝22 ，sin C ＝35 ，BC ＝7，则△ABC 的面积是__212__． 18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠CAB 交BC 于点E.若∠BDA ＝90°，E 是AD 中点，DE ＝2，AB ＝5，则AC 的长为__53__． 三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)19．计算：2cos 60°＋4sin 60°·tan 30°－6cos 245°.解：原式＝2×12 ＋4×32 ×33 －6×(22)2＝1＋2－3＝020．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝ 5 ，b ＝15 ，解这个直角三角形．解：在Rt △ABC 中，∵a 2＋b 2＝c 2，a ＝ 5 ，b ＝15 ，∴c ＝（5）2＋（15）2 ＝2 5 ，∵tan A ＝a b ＝515＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°21．在一个Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A ＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12 ，是一个固定值；当∠A ＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值，这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′＝a ，那么BC AB 与B′C′A′B′有什么关系，你能解释一下吗？解：BC AB ＝B′C′A′B′，理由：∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′＝a ，∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∴BC AB ＝B′C′A′B′22．(2019·西藏)由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B 处时，测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行20海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，小岛A 周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意可知∠ABC ＝30°，∠ACD ＝60°，∵∠ACD ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝30°＝∠ABC ，∴CB ＝CA ＝20，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，sin ∠ACD ＝AD AC ，∴sin 60°＝AD 20 ，∴AD ＝20×sin 60°＝20×32＝10 3 ＞10，∴航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险23．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，BC ＝1，AC ＝ 5 .(1)求sin A 的值．(2)你能通过sin A 的值求sin ∠CBD 的值吗？若能，请求出sin ∠CBD 的值，若不能，请说明理由．解：(1)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AC ＝15＝55 (2)能．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∵∠CBD ＋∠C ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝∠CBD ，∴sin ∠CBD ＝sin A ＝5524．(2019·天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处(PB 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3 .(参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶ 3 ，∴tan α＝13＝33 ，∴α＝30° (2)该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米，∵新坡面的坡度为1∶ 3 ，∴tan ∠CAD ＝CD AD ＝6AD ＝13 ，解得AD ＝6 3 米，∵坡面BC 的坡度为1∶1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD －BD ＝(6 3 －6)米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB －AB ＝8－(6 3 －6)＝14－6 3 ≈14－6×1.732＝3.6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除25．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12.(1)如图1，分别过A ，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M ，N ，若点B 恰好是线段MN 的中点，求tan ∠BAM 的值；(2)如图2，P 是边BC 延长线上一点，∠APB ＝∠BAC ，求tan ∠PAC 的值．解：(1)∵AM ⊥MN ，CN ⊥MN ，∴∠M ＝∠N ＝90°，∴∠MAB ＋∠ABM ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠NBC ＋∠ABM ＝90°，∴∠MAB ＝∠NBC ，∴△AMB ∽△BNC ，∴BN AM＝BC AB ＝tan ∠BAC ＝12.∵点B 是线段MN 的中点，∴BM ＝BN ，∴在Rt △AMB 中，tan ∠BAM ＝BM AM ＝12(2)如图2，过点C 作CD ⊥AC 交AP 于点D ，过点D 作DE ⊥BP 于点E.∵tan ∠BAC ＝12 ，∠APB ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝BC AB ＝12 ，tan ∠APB ＝AB BP ＝12.设BC ＝x ，则AB ＝2x ，BP ＝4x ，则CP ＝BP －BC ＝4x －x ＝3x.同理(1)中，可得∠BAC ＝∠ECD ，∴∠APB＝∠ECD.∵DE ⊥BP ，∴CE ＝EP ＝12 CP ＝32 x.同理(1)中，可得△ABC ∽△CED ，∴CD AC＝CE AB ＝32x 2x ＝34 ，∴在Rt △ACD 中，tan ∠PAC ＝CD AC ＝3426．(2019·江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B －A －O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量：AO ＝6.8 cm ，CD ＝8 cm ，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm .(结果精确到0.1)(1)如图2，∠ABC ＝70°，BC ∥OE.①填空：∠BAO ＝________°；②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离；(2)如图3，将(1)中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6 cm 时，求∠ABC 的大小．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)解：(1)①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG ∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°＋70°＝160°，故答案为：160②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB·sin∠ABF＝30sin70°≈28.2(cm)，∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF＋OA－CD＝28.2＋6.8－8＝27(cm)(2)过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A 作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2 cm，DH＝6 cm，BC＝35 cm，CD＝8 cm，∴CM＝AF＋AO－DH－CD＝28.2＋6.8－6－8＝21(cm)，∴sin∠MBC＝CMBC＝2135＝0.6，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM－∠MBC＝33.2°1、在最软入的时候，你会想起谁。

湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数测试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．已知在R t △ABC 中，∠C = 90°，∠A =α，AB = 2，那么BC 的长等于 A ．2sin αB ．2cos αC ．2sin αD ．2cos α2．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =3, AC =4，则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．453．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,3，那么sin α的值是（ ）A ．34B ．43C ．45D ．354．△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，那么sinA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1255．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A B C D．2 37．小明沿着坡比为1600m，则他升高了（）A．B．C．300 m D．200m8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cosA=35，BE=2，则tan∠DBE的值是（）A．2 B．12C D9．在△ABC中，若|sinA﹣12|+tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知α是锐角，且点A（12，a），B（sinα＋cosα，b），C（－m2＋2m－2，c）都在二次函数y＝－x2＋x＋3的图象上，那么a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜ b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 二、填空题11．ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC的长_____．12．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．13．某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米．14．已知α、β是锐角，且cotα＜cotβ，则α、β中较小的角是________．15．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34， 则sinA=________ ．16．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A 处测得点D 的俯角α为30°，测得点C 的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC 为30米，则图书大厦CD 的高度为________米．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 落在点A′处，当A′E ⊥AC 时，A′B ＝____．18．如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM=13AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC=2，△AMH 的面积是112，则1tan ACH ∠的值是_______．三、解答题19．计算：0112sin 45()2π--︒++．20．如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A ，再在河的这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC 的长为40m ，求河的宽度（结果保留根号）．21．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）22．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan∠B=cos∠DAC，（1）求证：AC=BD；（2）若sinC=1213，BC=36，求AD的长．23．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？24．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B 处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考≈1.41≈2.45）25．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：512，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．26．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．27．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除．（参考≈1.414）参考答案1．A【分析】根据正弦的定义解答即可.【详解】∵在R t △ABC中，∠C = 90°，∴AB为斜边，BC为∠A所对直角边，∵∠A=α，∴sinα =BC AB，∴BC=AB sinα =2sinα，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比；余弦是锐角的邻边与斜边的比；正切是锐角的对边与邻边的比；余切是锐角的邻边与对边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键.2．C【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA=BCAB求解即可.【详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴5 AB=∴3 sin5BCAAB==故选C.【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.3．D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，∴AB3 sin==OA5α故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．4．B【分析】根据正弦的定义：正弦=对边/斜边即可解答.【详解】由题意得sinA=BCAB=1213，故选B.【点睛】掌握正弦公式是解答本题的关键.5．C【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．6．A在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sin B．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB==3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠BAC==．AB故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．7．C【详解】试题分析：首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为600m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1∴tan∠∴∠A=30°，=1000m，∴BE=1AB=300（m）．2∴他升高了300m．故选C考点：解直角三角形的应用点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应8．A在直角三角形ADE 中，cosA=35=AE AB BEAD AD -= ,可以求得AB ，再利用勾股定理求得DE ，即可求得tan DEDBE BE∠= . 【详解】解：设菱形的边长为t2BE =2AE t ∴=-352AE AB BE t AD D tco A sA --==== 5t ∴=4DE ∴=4tan 22DE DBE BE ∴∠=== 故选A 【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 9．D 【详解】试题解析：∵|sinA-12|+）2=0，∴|sinA-12|=0，-tanB ）2=0，∴sinA-12=0-tanB=0，sinA=12，∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=120°． 故选D ．考点：1.特殊角的三角函数值；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：偶次方． 10．D 【分析】先计算对称轴为直线x=12，抛物线开口向下，可知A点为顶点（最高点)，a最大；再根据B、C两点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】抛物线y=-x2+x+3的对称轴是直线x=12，开口向下，点A（12，a)为顶点，即最高点，所以，a最大，A、B错误；又1＜sinα+cosα＜2，-m2+2m-2=-（m-1)2-1≤-1，可知，B点离对称轴近，C点离对称轴远，由于抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，c＜b，C错误；故选D．【点睛】比较抛物线上点的纵坐标大小，需要结合对称轴，开口方向，点与对称轴的远近，来比较大小.11．【详解】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，，∴3AC AB cosA864=⋅=⨯=．∴BC=故答案为12．1 3【详解】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBF=13，即∠EBC=13．故答案为13．13．【详解】【分析】根据坡度等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了xm，则水平距离为3xm，再根据勾股定理求得答案．【详解】设升高了xm，根据坡比为1：3，则可得水平距离为3xm，∴由勾股定理得x2+（3x）2=2002，解得故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于坡角的正切是解题的关键.14．β【分析】锐角三角函数值都是正值，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．【详解】∵α、β是锐角，且cotα＜cotβ，∴α＞β，故α、β中较小的角是β．故答案为β．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性．①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；④余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．15．4 5 .【详解】试题分析：根据正切函数可设tanA=43=BCAC=43aa，根据勾股定理，可得AB=5a，再根据正弦函数可得sinA=BCAB=45aa=45.故答案为4 5 .考点：同角三角函数的关系．16．【分析】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可．【详解】作DH⊥AB于H，则DH=BC=30，在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ，在Rt △ABC 中，AB=BC tan30︒ =30 ，则CD=AB ﹣AH=20（米），故答案为20． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17【分析】分两种情况:①如图1, 作辅助线, 构建矩形, 先由勾股定理求斜边AB=10, 由中点的定义求出AD 和BD 的长, 证明四边形HFGB 是矩形, 根据同角的三角函数列式可以求DG 和DF 的长,并由翻折的性质得: ∠DA' E=∠A,A' D=AD=5, 由矩形性质和勾股定理可以得出结论②如图2, 作辅助线, 构建矩形A' MNF,同理可以求出A' B 的长.【详解】解：分两种情况:如图1,过D 作DG ⊥BC 与G, 交A' E 与F, 过B 作BH ⊥A' E 与H,D 为AB 的中点,∴BD=12AB=AD,∠C=90o ,AC=8,BC=6,∴AB=10,∴BD=AD=5, sin ∠ABC=DG AC BD AB =,8510DG ∴= ∴DG=4, 由翻折得: ∠DA' E=∠A, A' D=AD=5,∴sin ∠DA' E=sin ∠A=BC DF AB A D='.∴6105DFA=∴DF=3,∴FG=4-3=1,A'E⊥AC,BC⊥AC,∴A'E//BC,∴∠HFG+∠DGB=180o,∠DGB=90o,∴∠HFG=90o,∴∠EHB=90o,∴四边形HFGB是矩形,∴BH=FG=1,同理得: A' E=AE=8 -1=7,∴A'H=A'E-EH=7-6=1,在Rt△AHB中, 由勾股定理得如图2,过D作MN//AC, 交BC与于N,过A' 作A' F//AC, 交BC的延长线于F,延长A' E交直线DN 于M, A'E⊥AC,∴A' M⊥MN, A' E⊥A'F,∴∠M=∠MA'F=90o,∠ACB=90o,∴∠F=∠ACB=90o,∴四边形MA' FN県矩形,∴MN=A'F,FN=A'M,由翻折得: A' D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,∴FN=A'M=4,Rt△BDN中,BD=5,∴DN=4, BN=3,A' F=MN=DM+DN=3+4=7,BF=BN+FN=3+4=7,Rt△ABF中, 由勾股定理得=综上所述,A'B故答案为或【点睛】本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.18．．【详解】试题分析：过点H作HG⊥AC于点G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，∴AC=CF=2，∵AM=AF，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH=1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n，∴=，∵△AMH的面积为：，∴=AH•m∴m=，∴n=，设△AHC的面积为S，∴=3，∴S=3S△AHM=，∴AC•HG=，∴HG=，∴由勾股定理可知：AG=，∴CG=AC﹣AG=2﹣，∴==.故答案为．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形；综合题．19．3．【详解】试题分析：根据二次根式、绝对值意义、特殊角的三角函数值、零指数幂法则、负整数指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：原式=212-+=3．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．20．20)m ．【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD =x m ，通过锐角三角函数可知：BD ＝x m ，DC m ；根据BC 的长为40m 即可建立方程，解之即可求出河宽.【详解】解：作AD ⊥BC,垂足为D .设AD = x m ，∵∠ABC =45°，∴BD ＝AD = x m ，∵∠ACB =30°，∴DC ＝tan 30AD︒m ，∵AD+DC=BC ,且BC ＝40m ，∴40x =，解得，20x =，答：则河的宽度为20)m.【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用. 通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 21．AB=2.88千米．【详解】试题分析：作OC ⊥AB ．在在Rt △AOC 中，求出AC 、OC 的长，从而求出BC 的长，于是将AC 、BC 相加即可．试题解析：作OC ⊥AB ．∵AB ∥OF ，∴∠A=72°，∠B=40°，∴在Rt△AOC中，AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62（千米），OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9（千米），在Rt△BOC中，=tan40°，即≈0.84，BC≈=2.26（千米），∴AB=0.62+2.26=2.88（千米）．点睛：本题考查了方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．22．（1）证明见解析（2）8【分析】（1）由于tan B=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B=ADBD，cos∠DAC=ADAC，tan B=cos∠DAC，∴ADBD=ADAC，∴AC=BD．（2）在Rt△ADC中，sin C=1213，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD k，∵BC=BD+CD，AC=BD，∴BC=13k+5k=18k．由已知BC=12，∴18k=12，∴k=23，∴AD=12k=12×23=8．点睛：此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．23．如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区【分析】问输水线路是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径，如果大于则不会穿过，反之则会．【详解】作AC⊥MN于点C，∵∠AMC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－30°＝45°，∴设AC为xm，则AC＝BC＝x，在Rt△ACM中，MC＝400＋x，∴tan∠AMC＝，即＝，解得x ＝200＋200＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共的直角边时，利用这条公共边来求解是解决此类题目的基本出发点．24．小岛A与小岛B之间的距离是100km．【分析】先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．【详解】解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h ，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴∵∠CAP=60°，∴tan60°=CP AP∴，∴（km ）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．25．（1）改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；（2）BF 至少是8米【详解】整体分析：（1）Rt △ABE 中，根据斜坡AB 的坡比为i=1：512，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，用∠FAG 的余切求出AG 即可.解：（1）在Rt △ABE 中，AB=26，i=BE AE =125， 设BE=12k ，AE=5k ，则AB=13k=26，k=2，∴AE=10（米），BE=24（米）；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，在Rt △AFG 中，cot53°=24AG =0.75， ∴AG=18， ∴BF=GE=AG ﹣AE=8米，答：改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；BF 至少是8米．26．拦截点D 处到公路的距离是(500＋)米．【详解】试题分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．解Rt △BCE ，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt △CDF ，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．试题解析：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．在Rt △BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt △CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D 处到公路的距离是（500+500）米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．27．需要拆除．【分析】由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可．【详解】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，=∴AD=BD﹣AB=（10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题．。

第4章过关自测卷(90分钟 100分)一.选择题（每题3分，共30分）1.图1，P 是角α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12,5），则tanα等于（ ） A.135 B.1312 C.125 D.512图1 图2 图32.在直角三角形ABC 中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值.余弦值和正切值（ ）A.都扩大为原来的2倍B.都缩小为原来的21C.都不变D.无法确定3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =BC ，点D 在AC 上，∠CBD =30°，则DC AD 的值为（ ） A.3 B.22 C. 3－1 D.不能确定 4.1，则菱形的四个角分别为（ ）A.30°.150°.30°.150°B.45°.135°.45°.135°C.60°.120°.60°.120°D.不能确定5.如图2，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m .如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A.5 mB.6 mC.7 mD.8 m6.已知∠A ，∠B 是Rt △ABC 的两个锐角，则方程tanA ·x ²－2x +tanB =0( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法确定7.如图3，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile 到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶20 n mile 到达C 地，则A ，C 两地相距（ ）A.30 n mileB.40 n mileC.203 n mileD.103 n mile8.如图4，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡度i =1BC＝50 m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ） A.100 m B.1003 m C.150 m D.503m图4 图5 图69.如图5所示，学校的保管室里，有一架5 m 长的梯子OC 斜靠在墙上，此时梯子OC 与地面所成的角为45°，如果梯子底端O 固定不动，顶端C 靠到对面墙上的C ′点，此时梯子OC ′与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB 为（ ） A.25（2+1）m B.25（3+2）mC.32mD.25（3+1）m 10.（2013,广州）如图6所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tanB 等于（ ） A.23 B.22 C.411 D.55 二.填空题（每题3分，共24分）11.计算：cos 245°+tan 30°·sin 60°=________.12.在△ABC 中，∠A ,∠B 都是锐角，且(cosA －21)²+|1－tanB |=0,则∠C =__________.13.若tanα=5,则ααααcos 3sin 2cos -sin +=__________. 14.如图7，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），AB =80 m ，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是________m .图7 图8 图9 图1015.如图8，△ABC 中，∠B =30°，∠A =15°，若BC 边上的高为2，则BC =__________.16.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA =21,tanB =3,AB =10,则△ABC 的面积为___________.17.全市动员修海堤抗台风，某海堤的横断面是梯形，如图9所示，迎水坡BC 的坡角为30°，背水坡AD 的坡度i =1∶1.2，堤顶宽DC为3 m，堤高DF为10 m，则堤底宽AB约为________m.（精确到0.1 m)18.如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=53，则DE=________. 三.解答题（19题4分，20题6分，24题8分，其余每题7分，共46分）19.（1）计算：121-⎪⎭⎫⎝⎛+8+|1－2|0－2sin60°·tan60°；(2)计算：sin²30°+cos²45°+2sin60°·tan45°.20.小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图11所示）.小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200 m到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1 m）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）图1121.小明将一副三角尺如图12所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD=2，求AC的长.图1222.在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度，如图13，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.（人的身高忽略不计）（1）求AC的距离；（结果保留根号）（2）求塔高AE.（参考数据：tan50°≈1.2，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，3≈1.73，2≈1.41，结果保留整数）图13 23.如图14，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10 n mile到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离.（2≈1.4, 3≈1.7,结果保留整数）图1424.某过街天桥的截面图为梯形，如图15所示，其中天桥斜面CD 的坡度i =1∶3，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABG =︒45.（1）求过街天桥斜面AB 的坡度；（2）求DE 的长；（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB .（结果精确到0.01 m ）图1525.阅读下列材料，并解决后面的问题.如图16所示，在锐角三角形ABC 中，设∠BAC ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b ,c .过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则sinB =c AD ,sinC =bAD ，即AD =c ·sinB ,AD =b ·sinC .于是c ·sinB =b ·sinC ,即C c B b sin sin =,同理有,sin sin sin sin B b BAC a BAC a C c =∠∠=，所以C c B b BAC a sin sin sin ==∠. 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.图16（1）在锐角三角形中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知三个元素，a ，b ，∠A ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B ，∠C .请你按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由a ，b ，∠A −−−→−用关系式__________求出∠B ； 第二步：由∠A ，∠B −−−→−用关系式__________求出∠C ； 第三步：由__________−−−→−用关系式__________求出c ； （2）一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮北偏西30°方向上，随后货轮以28.4 n mile /h 的速度按北偏东45°的方向航行，0.5 h 后到达B 处， 此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°方向上（如图17所示），利用上面的结论求此时货轮到灯塔A 的距离AB .（结果精确到0.1 n mile ，参考数据：sin 40°≈0.643,sin 65°≈0.906,sin 70°≈0.940,sin 75°≈0.966)图17参考答案及点拨一.1.C 2.C 3.C4.C 点拨：设较大内角为α，则tan 2α =3,所以2α=60°,所以α=120°.5.A6.B 点拨：因为b 2－4ac =（－2）2－4·tanA ·tanB =4－4×1=0，故方程有两个相等的实数根.7.C 8.A 9.A10.B 点拨：过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，如答图1，易知四边形ABFD 是平行四边形，∴BF =AD =6，DF =AB =4，∵AB ⊥AC ,DF ∥AB ，∴DF ⊥AC ，又∵CA 是∠BCD 的平分线，∴CD =CF ，∠DCA =∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ，∴∠DAC =∠DCA .∴DC =DA =6，∴CF =6，∴BC =BF +CF =12.易求得AC =82,∴tanB =AB AC =428=22. 答图1二.11.1 点拨：cos 245°+tan 30°·sin 60°=222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33×23=21+21=1. 12.75° 13.83 点拨：原式=3cos sin 2cos sin +-αααα=3tan 2tan +-αα=3525＋－=83.14.40 15.32－2 点拨：设BC 边上的高为AD ，由题意知，AD =2，∠ACD =∠B +∠BAC =45°，∴tan 45°=CD AD =CD 2=1,∴CD =2, ∴tan B =BD AD =22－BC =33，解得BC =23－2. 16.2325 点拨：在该题中，并没有直接指明△ABC 是直角三角形，所以需先判断其为直角三角形，然后才能利用解直角三角形的知识解题.17.32.3 18.415 点拨：由题易证△AED ∽△ABC ，在△ABC 中，BC =6,sin A =53，可求得AB =10，AC =8.利用相似三角形的性质可求得DE 的长. 三.19.解：（1）原式=2+22+1－2×23×3=2+22+1－3=22. （2）原式=221⎪⎭⎫ ⎝⎛+222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2×23×1=41+21+26=43+26. 20.解：过P 作PC ⊥AB 于C ，如答图2，在Rt △APC 中，AP =200 m ，∠ACP =︒90，∠PAC =60°.∴PC =200×sin 60°=200×23=1003（m ）.∵在Rt △PBC 中，sin ︒37=PB PC ,∴PB =︒37sin PC ≈6.073.1100⨯≈288（m ）.答：这时小亮与妈妈相距约288 m .答图221.解：在Rt △BCD 中，∠BCD =45°，CD =2，cos ∠BCD =BC CD ,∴BC = BCD CD ∠cos =︒45cos 2=22.在Rt △ABC 中，∠BAC =60°，sin ∠BAC =AC BC ,∴AC =BAC BC ∠sin =︒60sin 22=2322=364.∴AC 的长为364. 点拨：△ABC 和△BCD 都是有特殊锐角的直角三角形，所以利用特殊角的三角函数值便可求得AC 的长.22.解：（1）在Rt △ABC 中，AB =4 m ，∠BCA =30°，由tan ∠BCA =ACAB ,得AC =BCA AB ∠tan =︒30tan 4=334=43（m ）. ∴AC 的距离为43 m .（2）设AE=x m ，在Rt △AED 中，由tan 50°=ADx ，得AD =︒tan50x ≈1.2x （m ），∵CD =AD －AC =5，∴1.2x －43≈5,解得x ≈14， ∴塔高AE 约为14m .23.解：由题意知：∠BAC =53°－23°=30°，∠C =23°+22°=45°.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ,则CD =BD .∵BC =10 n mile ，∴CD =BD =BC ·cos 45°=10×22=52 (n mile )，∴AD =325332530tan ⨯==︒BD ≈5×1.4×1.7=11.9(nmile ).∴AC =AD +CD ≈11.9+25≈11.9+7.0=18.9≈19（n mile ）. 答：此时小船与码头之间的距离约为19 n mile .24.解：（1）在Rt △AGB 中,∠ABG =45°,所以AG =BG .所以AB 的坡度为AG ∶BG =1∶1.（2）在Rt △DEC 中,tanC =33=EC DE ,所以∠C =30°.又因为CD =10 m , 所以DE =CD ·sin 30°=5 m .（3）由（1）（2）知,AG =BG =DE =5 m ,在Rt △AFG 中,∠AFG =30°,tan ∠AFG =FGAG ,即5533-=FB .所以FB =35－5≈3.66 （m ）. 答：此改建需占路面的宽度FB 约为3.66 m .25.解：（1）Bb A a sin sin =;∠A +∠B +∠C =180°；a ,∠A ，∠C ；Cc A a sin sin = （2）根据题意，得∠ABC =180°－45°－70°=65°，∠A =180°－（30°+45°+65°）=40°，BC =0.5×28.4=14.2（n mile ）.因为︒=︒40sin 2.1475sin AB ，所以AB ≈643.0966.02.14⨯≈21.3（n mile ），所以此时货轮到灯塔A 的距离AB 约为21.3。

湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（）．A. B. C. D.2、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A.2B.C.2D.43、如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，则树的高度AB为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A.20mB.15mC.12mD.16m4、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（）A. B. C. D.5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于（）A.2B.C.D.246、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（）A. B. C. D.7、在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosA=，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.58、如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A. 米2B. 米2C. 米2 D. 米29、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为（）A. B. C. D.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（）A. B. C. D.11、在中，，，若，则的长为（）．A. B. C. D.12、如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越小，梯子越陡B.cosA的值越小，梯子越陡C.tanA 的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关13、在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线1上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B.C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形.例如，图中的矩形ABCD为直线1的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（）A.12B.3C.4D.314、如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A.tan55°＝B.tan55°＝C.s in55°＝D.cos55°＝15、如图⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是________．17、一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里（结果保留根号）．18、我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为________．19、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的张方形，每个小正方形的顶点叫各点△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=________.20、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为AD的中点，OE=3,∠ABC=60°，则BD=________．21、一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时．22、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan （α+β）________ tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）23、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4，则cosA=________．24、已知均为锐角，且满足I sina- I+ =0，则=________．25、如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，E为⊙O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知tanA＝，AB＝2 ，DE＝5，则tan∠ACE＝________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：÷ +8×2﹣1﹣（+1）0+2•sin60°.27、第十一届全国少数民族传统体育运动会于9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行.如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚.小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度.（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）28、已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）设CD=x，tan BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．29、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,（1）求证：CB//PD；（2）若AB=5,sin∠P=,求BC的长．30、如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3．若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角（A点处）6米的一棵树是否需要移栽？（参考数据：≈1.414，≈1.732）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A4、A5、A6、C7、A8、C9、B10、B11、A12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、。

湘教版九年级数学上册第4章 锐角三角函数测试题一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分)1．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，假定将各边长度都扩展为原来的2倍，那么∠A 的正弦值( )A ．扩展为原来的2倍B ．增加为原来的12C ．扩展为原来的4倍D ．不变2．如图4－Z －1，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么cos A 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.45图4－Z －1图4－Z －23．如图4－Z －2，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，那么∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.2 55 C.55 D.124．a ＝sin60°，b ＝cos45°，c ＝tan30°，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．b <c <a5．在△ABC 中，假定tan A ＝1，sin B ＝22，你以为以下最确切的判别是( ) A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是普通锐角三角形6．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，那么tan B 的值为( ) A.1213 B.512 C.1312 D.1257．如图4－Z －3，为测量一棵与空中垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，那么树OA 的高度为( )A.30tan α米 B ．30sin α米 C ．30tan α米 D ．30cos α米图4－Z －3图4－Z －48．如图4－Z －4，为了测量某修建物MN 的高度，在平地上A 处测得修建物顶端M 的仰角为30°，向点N 方向行进16 m 抵达B 处，在B 处测得修建物顶端M 的仰角为45°，那么修建物MN 的高度为( )A ．8(3＋1)mB ．8(3－1)mC ．16(3＋1)mD ．16(3－1)m二、填空题(本大题共6小题，每题4分，共24分)9．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，那么sin A 2＝________． 10．锐角α满足2sin(α－15°)＝3，那么α＝________°.11．如图4－Z －5，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，那么DE ＝________． 12．小明沿着坡度为i ＝1∶ 3的山坡向上走了80 m ，这时他离水平面的高度为________m.图4－Z －5图4－Z －613．如图4－Z －6，一名滑雪运发动沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，AB ＝500米，那么这名滑雪运发动竖直下降了________米．(结果保管整数，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)图4－Z －714．如图4－Z －7所示，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E .设∠A ＝α，且tan α＝13，那么tan2α＝________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(8分)计算：sin 230°＋cos 245°＋2sin60°－tan45°.16．(10分)如图4－Z －8，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，BE ⊥CD 交CD 的延伸线于点E .BC ＝20，sin A ＝45.(1)求线段CD 的长；(2)求cos∠BDE 的值．图4－Z －817．(12分)位于张家界中心景区的贺龙铜像是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD 两局部组成．如图4－Z －9，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝70.5°，在Rt△DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米，求像体AD 的高度．(结果准确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824)图4－Z －918．(14分)如图4－Z －10①，经研讨发现，迷信运用电脑时，望向荧光屏幕画面的〝视野角〞α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部构成的〝手肘角〞β约为100°.图②是其正面简化表示图，其中视野AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)假定屏幕上下宽BC ＝20 cm ，迷信运用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)假定肩膀到水平空中的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到空中的距离FH ＝72 cm.请判别此时β能否契合迷信要求的100°.(参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，一切结果均准确到个位)图4－Z －101．D [解析] ∠A 的大小没有改动，其正弦值不变．2．D [解析] ∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝4，∴cos A ＝AC AB ＝45.应选D. 3．D [解析] 如图，衔接AC ，由勾股定理，得AC ＝2，AB ＝2 2，BC ＝10，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°，∴tan∠ABC ＝AC AB ＝12. 4．A5．B [解析] ∵tan A ＝1，sin B ＝22， ∴∠A ＝45°，∠B ＝45°.又∵三角形的内角和为180°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．应选B.6．D [解析] ∵∠C ＝90°，sin A ＝513， ∴设BC ＝5x ，AB ＝13x (x ＞0)，那么AC ＝AB 2－BC 2＝12x ，故tan B ＝AC BC ＝125.应选D. 7．C [解析] 在Rt△ABO 中，tan α＝AO BO，∴AO ＝BO ·tan α＝30tan α米．应选C.8． A [解析] 设BN ＝x m ，那么AN ＝(16＋x )m.在Rt△BMN 中，∠MBN ＝45°，MN ＝x ·tan45°＝x (m)．在Rt△AMN 中，∠MAN ＝30°，AN ＝3MN ＝3x m ，∴16＋x ＝3x ，解得x ＝8(3＋1)，∴修建物MN 的高度为8(3＋1)m.应选A.9.12 [解析] ∵sin A ＝BC AB ＝32， ∴∠A ＝60°，∴sin A 2＝sin30°＝12. 10．75 [解析] α－15°＝60°，解得α＝75°.11.154 [解析] 由于在Rt△ABC 中，sin A ＝BC AB ，所以AB ＝BC sin A ＝6÷35＝10， 依据勾股定理，得AC ＝8.由于D 是AB 的中点，所以AD ＝5.由于tan A ＝BC AC ＝68＝DE AD， 所以DE ＝154. 12．4013．280 [解析] 在Rt△ABC 中，AC ＝AB ·sin34°≈500×0.56＝280(m)，∴这名滑雪运发动竖直下降了约280 m.14.34[解析] 衔接BE .∵D 是AB 的中点，ED ⊥AB ，∠A ＝α， ∴ED 是AB 的垂直平分线，∴EB ＝EA ，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a (a ＞0)， ∴AD ＝3a ，AE ＝10a ，∴AB ＝6a .∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AE AB ＝DE BC，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5， ∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5， ∴tan2α＝BC CE ＝3 10a54 10a 5＝34. 15．解：原式＝(12)2＋(22)2＋2×32－1＝62－14. 16．解：(1)在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝20，sin A ＝45， ∴AB ＝25.∵D 是边AB 的中点，∴CD ＝252. (2)过点C 作CF ⊥AB 于点F .在Rt△ABC 中，依据勾股定理，得AC ＝15.∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CF ， ∴CF ＝AC ·BC ÷AB ＝12.在Rt△CDF 中，DF ＝〔252〕2－122＝72， ∴cos∠BDE ＝cos∠CDF ＝DF CD ＝725. 17．解：∵在Rt△DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米， ∴BC ＝2.3米．∵在Rt△ABC 中，∠ABC ＝70.5°，∴tan70.5°＝AC BC ＝AD ＋2.32.3≈2.824， 解得AD ≈4.2(米)．答：像体AD 的高度约为4.2米．18．解：(1)∵在Rt△ABC 中，tan A ＝BCAB，∴AB＝BCtan A＝BCtan20°≈20411＝55(cm)．(2)延伸FE交DG于点I，那么DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE ＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β≈180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不是契合迷信要求的100°.。

湘教版2020年九年级上册第4章《锐角三角函数》检测卷满分120分姓名：___________班级：___________学号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）A．B．C．D．2．已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tan A＝（）A．B．C．D．4．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（）A．10tan36°B．10cos36°C．10sin36°D．5．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝5：13，则下列等式正确的是（）A．tan A＝B．sin A＝C．cos A＝D．tan A＝7．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°8．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2 D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．tan A＝tan B D．sin A＝cos B 10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x11．若角α，β都是锐角，以下结论：①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④12．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C 地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）A．12千米B．（3+4）千米C．（3+5）千米D．（12﹣4）千米二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．已知tan（α+15°）＝，则锐角α的度数为°．14．比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cos A＝，则BC的长为．16．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．17．小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20m，达到坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度为m．（计算结果精确到1m，参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝．）18．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝．三．解答题（共7小题，满分60分）19．（12分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°20．（6分）如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tan B 的值．21．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．22．（8分）2019年4月18日，台湾省花莲县发生里氏6.7级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距6米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）23．（9分）嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．24．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）25．（10分）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD 上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB＝＝13，∴sin B＝＝．故选：D．2．解：∵已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．3．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∴tan A＝＝＝．故选：C．4．解：在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin B＝10sin36°，故选：C．5．解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，6．解：设BC＝5x，则AB＝13x，由勾股定理得，AC＝＝12x，则tan A＝＝，A、D错误；sin A＝＝，B错误；cos A＝＝，C正确；故选：C．7．解：sin58°＝cos32°．∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．故选：C．8．解：如图所示：连接BD，BD＝＝，AD＝＝2，AB＝＝，∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，∴△ADB为直角三角形，∴∠ADB＝90°，则tan A＝＝＝．故选：A．9．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．10．解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，则点D到OB的距离等于OE的长．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∴∠CDE＝∠BCO＝x，∴OC＝BC•cos x＝b cos x，CE＝CD•sin x＝a sin x，∴OE＝OC+CE＝b cos x+a sin x．则点D到OB的距离等于b cos x+a sin x．故选：C．11．解：①∵sinα随α的增大而增大，∴若α＜β，则sinα＜sinβ，此结论正确；②∵cosα随α的增大而减小，∴若α＜β，则cosα＞cosβ，此结论错误；③∵tanα随α的增大而增大，∴若α＜β，则tanα＜tanβ，此结论正确；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ，此结论正确；综上，正确的结论为①③④，故选：C．12．解：如图，作BD⊥AC于点D，根据题意可知：在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6，∴AD＝3，BD＝3，在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，∴CD＝BD•tan53°≈3×1.32≈3×≈4，∴AC＝AD+CD＝3+4．则A，C两地的距离为（3+4）千米．故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．解：∵tan30°＝，∴α+15°＝30°，∴α＝15°，故答案为：15．14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜1＜tan47°，∴sin81°＜tan47°．故答案为＜．15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，∴cos A＝＝＝，∴AB＝10，∴BC＝＝＝＝8．故答案为：8．16．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．17．解：作DH⊥AB于H，∵∠DBC＝15°，BD＝20m，∴BC＝BD•cos∠DBC＝20×＝19.2（m），CD＝BD•sin∠DBC＝20×＝5（m），由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，∴EF＝BC＝19.2m，BH＝CD＝5m，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝19.2m，∴AB＝AF+FH+HB＝19.2+1.6+5＝25.8≈26（m），答：楼房AB的高度约为26m．故答案是：26．18．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴＝＝，∴EC2＝EG•EB＝5×（5+4）＝45，∵EC＞0，∴EC＝3，在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，∴BT＝，∴ET＝＝＝，∴CT＝ET+CE＝，∴BC＝＝＝6，∴CG＝＝10，∵∠ECG＝∠FBG，∴E，F，B，C四点共圆，∴∠EFG＝∠CBG，∵∠FGE＝∠BGC，∴△EGF∽△CGB，∴＝，∴＝，∴EF＝3，∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，∴△EAF∽△BAC，∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴＝，∴＝，∴BF＝，∵AE•AC＝AF•AB，∴x（x+3）＝（2x﹣）•2x，解得x＝，∴AE＝ET＝，∴点A与点T重合，∴AB＝2AE＝，∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．故答案为．三．解答题（共7小题，满分60分）19．解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝+3＝．20．解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC＝27，∴，∴AH＝6，∵AB＝10，∴BH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝．21．解：如图，∵a＝2，sin，∴c＝＝＝6，则b＝＝＝4．22．解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，∴AD＝＝CD，在Rt△ACD中，∠CBD＝60°，tan∠CBD＝，∴BD＝＝CD，由题意得，AD﹣BD＝AB＝6，∴CD﹣CD＝6，解得，CD＝3≈5.2（米），答：生命所在点C的深度约为5.2米．23．解：（1）当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（）2+（）2＝+＝1；（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝（）2+（）2＝＝＝1．24．解：（1）∵AB垂直于桥面，∴∠AMC＝∠BMC＝90°，在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，tan∠ACM＝，∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，tan∠BCM＝，∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．25．（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝。

第4章锐角三角函数数学九年级上册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、把Rt△ABC的各边都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角A和A′的余弦值的关系是（）A.cosA=cosA′B.cosA=3cosA′C.3cosA=cosA′D.不能确定2、在△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则sinA的值为（）A. B.3 C. D.3、如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB= ，BD=5，则AH的长为（）A. B. C. D.4、如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）A.6B.3C.6D.35、如图，以G(0，2)为圆心，半径为4的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，且点E在第一象限，CF⊥AE于点F，当点E在⊙G的圆周上运动的过程中，线段BF的长度的最小值为( )．A.3B.2 -2C.6-2D.4-6、在△ABC中，，则△ABC为（）A.直角三角形B.等边三角形C.含60°的任意三角形D.是顶角为钝角的等腰三角形7、西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。

如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。

已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（）A. B. C. D.8、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A. B. C. D.9、如图所示，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠BAC=90°，∠ACB=40°，则AB等于（）A.asin40°米B.acos40°米C.atan40°米D. 米10、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A. B. C. D.11、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（）A.45°B.75°C.105°D.120°12、如果∠A为锐角，cosA=，那么∠A所在的范围是（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°13、如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=60米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（）A. B.90 C. D.14、若tan（a+10°）=1，则锐角a的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.50°15、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=4，则AC的值为（）A.8B.2C.4D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，中，，，，是的中线，是上一动点，将沿折叠，点落在点处，与线段交于点，若是直角三角形，则________．17、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠DCA=30°，AB=3，则阴影部分的面积为________．18、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为________．19、如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是________米.20、如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为________cm．21、计算：________．22、某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度．如图，无人机在距离地面168米的A处，测得该塔底端点B的俯角为40°，然后向古塔方向沿水平面飞行50秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为60°．已知无人机的飞行速度为3米/秒，则这座古塔的高度约为________米（参考计算：sin40°≈064．cos40°≈077．tan40°≈0.84. ≈1.41. 1.73．结果精确到0.1米）23、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是（﹣1，0），且＝，点C在第一象限且恰好在反比例函数y＝上，则k的值为________．24、如图，已知是等边三角形，点是BC上任意一点，OE,OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为________.25、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在边AB，BC上，EF与BD交于G，且∠DEF=60°，若AD=3，AE=2，则sin∠BEF=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．27、某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好，, ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到．参考数据：.）28、如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为 60° ,求建筑物CD的高度(结果保留根号).29、如图，内接于⊙.若⊙的半径为6，，求的长．30、某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据：，，，)参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、B4、A5、C6、A7、D8、A9、C10、C11、C12、C13、C14、A15、A二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。