史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结材料

初三数学二次函数知识点总结归纳初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴.当a 0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a 0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c 0时，向上平行移动，当c 0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

九年级二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式二次函数一般写为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

其中a决定了抛物线开口的方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

二、二次函数的图像1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。

3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：抛物线没有焦点。

5. 抛物线的焦距：抛物线没有焦距。

三、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点即为其实根，求零点的方法可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。

2. 正负性：当a>0时，抛物线上方为正区间，下方为负区间；当a<0时，抛物线上方为负区间，下方为正区间。

3. 单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。

4. 极值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。

四、二次函数的相关应用1. 最值问题：通过求解二次函数的极值来解决相关的最值问题，如求解最大值、最小值等。

2. 零点问题：通过求解二次函数的零点来解决相关的方程问题，如求解方程ax^2+bx+c=0的解。

3. 切线问题：通过求解二次函数的导数来得到其切线的斜率，从而解决相关的切线问题。

4. 抛物线运动问题：通过二次函数的图像特点，解决相关的抛物线运动问题，如抛体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等。

五、二次函数的解题方法1. 求解零点：通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到函数的零点。

2. 求解极值：通过求解函数的导数来得到函数的极值点，并求解其极值。

初中二次函数最全知识点总结二次函数是一种常见的数学函数，其关键特点是含有二次项（x²）的多项式函数。

以下是关于二次函数的最全知识点总结。

一、基本定义与性质：1. 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数，且a≠0。

2.二次函数的图像是一个平滑的开口向上或向下的抛物线。

3.抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。

4.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。

5. 若D=b²-4ac>0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；若D=0，则抛物线与x轴有一个不同的交点；若D<0，则抛物线与x轴没有交点。

6.轴对称线的方程为x=-b/2a。

7.当a>0时，二次函数的值域为[f(-b/2a),+∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞,f(-b/2a)]。

二、顶点相关问题：1. 顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0得到。

即f'(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，带入二次函数得到顶点坐标。

2.顶点为函数的最值点，当开口向上时，顶点为最小值点；当开口向下时，顶点为最大值点。

3.当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

4.顶点在数轴上的位置对应了函数的增减性质。

三、对称性与坐标轴交点：1.二次函数是轴对称的，其轴对称线为x=-b/2a。

2.函数与轴对称线的交点为（0，c）。

3.函数与y轴的交点为（0，c），其中c为常数项。

4.函数与x轴的交点取决于D的值，若D>0，则存在两个不同的交点；若D=0，则存在一个交点；若D<0，则不存在交点。

四、图像的变换与性质：1.若在二次函数的一般形式中，a改变为-k（k为常数，k≠0），则图像沿x轴翻转，开口方向不变。

2.若在二次函数的一般形式中，c改变为+k（k为常数），则图像上下平移，平移量为+k。

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。

学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。

下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。

一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。

2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。

当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。

3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。

4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。

5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。

当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。

二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。

求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。

2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。

当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。

三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。

九年级数学二次函数知识点归纳九年级数学二次函数知识点1一、基本概念1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2.分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc（c≠0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。

2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题一概述⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系1.行程问题（匀速运动）基本关系：=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2.配料问题：溶质=溶液某浓度溶液=溶质+溶剂3.增长率问题：4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率某工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

九年级二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中的一种重要的函数形式，它的形式为f(x)=ax^2+bx+c。

在九年级，学生需要掌握二次函数的基本概念、图像、性质以及与实际问题的应用。

下面将对九年级二次函数的知识点进行汇总和总结。

1. 二次函数的基本概念二次函数是一个以x为自变量、以ax^2+bx+c为因变量的函数。

其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

a决定了二次函数的开口方向和图像的形态。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其形状和位置与a、b、c的取值有关。

当a>0时，图像在y轴上方有一个最低点，称为顶点；当a<0时，图像在y轴下方有一个最高点，也称为顶点。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3. 二次函数的性质(1) 零点：二次函数与x轴相交的点称为零点。

根据二次函数的图像性质，当抛物线与x轴相切时，有且只有一个零点；当抛物线与x轴有两个交点时，有两个零点；当抛物线与x轴没有交点时，没有零点。

(2) 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x=-b/2a。

(3) 最值：对于开口向上的二次函数，最小值等于顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值等于顶点的纵坐标。

(4) 单调性：由于二次函数的图像呈现抛物线的形状，所以二次函数在对称轴两侧的增减性是不同的。

即在对称轴的左侧，二次函数单调递减；在对称轴的右侧，二次函数单调递增。

4. 二次函数的变形九年级数学中，我们还学习了二次函数的变形，包括平移、伸缩和翻折等操作。

这些操作可以通过对a、b、c的取值进行调整来实现。

(1) 平移：当二次函数的形式为f(x)=a(x-h)^2+k时，其中(h,k)为平移的向量，分别表示横坐标和纵坐标的平移量。

平移后的二次函数的图像相对于原图像在平面上左右或上下移动了h个单位和k个单位。

《二次函数》单元知识梳理与总结一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2、注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0），对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x=22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).二、二次函数的图象1、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 3、二次函数c bx ax y ++=2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.1、增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少； 2、最大或最小值：当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2- ， y 最小 ＝a b ac 442-当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2- ， y 最大 ＝a b ac 442-四、.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 2 的性质（1）抛物线y =ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 2 的图像与a 的符号关系.①当a > 0 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a < 0 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠ 0）.3.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a(x -h)2 +k 的形式，其中h =- b，k =2a4ac -b 2.4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax 2 ；② y =ax 2 +k ；③ y =a(x -h)2 ；④ y =a(x -h)2 +k ；⑤ y =ax 2+bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法⎛ b ⎫24ac -b 2 b 4ac -b 2（1）公式法：y =ax 2 +bx +c =a +x ⎪+，∴顶点是（-，），⎝2a ⎭4a 2a 4a对称轴是直线x =-b .2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a(x -h)2 +k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴是直线x = - b2a，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b > 0 （即a 、b 同号）时，a 对称轴在 y 轴左侧；③ b< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b< 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.（2） 顶点式： y = a (x - h )2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ). 12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,ah 2 + bh + c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对 应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔ ∆ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ∆ = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切；③没有交点⇔ ∆ < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相离.（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n(k ≠ 0)的图像l 与二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0)的图像y =kx +nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两y =ax 2 +bx +c组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴两交点为A(x ，0)，B(x ，0)，由于x 、x是方程ax 2 +bx +c = 0 的两个根，故1 2 1 2第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2 的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３题图第4 题图３.二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高 ，D 为 BC 上一点， ，交AB 于点 E ，交AC 于点 F （EF 不过 A 、B ），设 E 到 BC 的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ Ｄ ）５.抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，则 AB 的长为 4 ．6. 已知二次函数 y ＝kx 2＋(2k －1)x －1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x 1＜x 2 ），则对于下列结论：①当 x ＝－2 时，y ＝1；②当 x ＞x 2 时，y ＞0；③方程kx 2＋(2k －1)x -1＝0 有两个不相等的实数根 x 、 x ；④ x ＜- 1， x ＞－1 ；⑤1212x －x，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．21k7. 已知直线 y = -2x + b (b ≠ 0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；一抛物线的解析式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若该抛物线过点 B ，且它的顶点 P 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点 B 作直线 BC⊥AB 交x 轴交于点 C ，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y = -2x + b 的解析式. 解：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6将（0， b ) 代入，得c = b .顶点坐标为(b +10, - b 2 +16b +100 ) ，由题意得2 4-2 ⨯ b +10 + b = - b 2 +16b +100 ，解得b= -10, b = -6 . 2 41 2⎩ ⎩ ⎨ ⎨ ⎨b （2） y = -2x - 28. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 ．（1） 求此二次函数的解析式；（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,⎧a (-2) 2 + b (-2) + c = 5⎧c = -3 ⎧a = 1则 a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = -3 ,即⎪2a - b = 4 ,解得⎪= -2 ⎪a + b + c = -4 ⎪a + b = -1 ⎪c = -3⎩故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 ．9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中 发现：骆驼的体温会随外部环境 温度 的变化而变化，而且在这四天中 每昼 夜的体温变化情况相同．他们将一头 骆驼前两昼夜的体温变化情况绘下图．请根据图象回答：第 9 题制成1⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃⑶ y = - x 2 + 2x + 24(10 ≤ x ≤ 22)1610. 已知抛物线 y = ax 2 + ( 4+ 3a )x + 4 与 x 轴交于3A 、B 两点，与 y 轴交于点C ．是否存在实数 a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）．BO 2 + OC 2 | - 4 |2 +423a设点 A 、B 的坐标分别为（ x 1 ，0），（ x 2 ，0），由ax 2 + (4 + 3a )x + 4 = 0 ，解得 x = -3 ， x = - 4．3 1 23a∴ 点 A 、B 的坐标分别为（-3，0），（ - 4 3a，0）．∴ AB =| - 4+ 3 |， AC = 3a= 5 ，BC = =．∴ AB 2 =| - 4+ 3 |2 = 16- 2 ⨯ 3⨯ 4 + 9 = 16 - 8 + 9 ，3a 9a 2 3a9a 2 aAC 2 = 25 ， BC 2 = 169a 2+16 ．〈ⅰ〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，∠ACB＝90°．由 AB 2 = AC 2 + BC 2 ， 得16 - 8 + 9 = 25 + ( 16+16) ． 9a 2解得a a = - 1． 49a 2∴ 当a = - 1 时，点 B 的坐标为（ 16 ，0）， AB 2 =625 ， AC 2 = 25 ，439BC 2 =400 ．9于 是 AB 2 = AC 2 + BC 2 ．∴ 当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．4〈ⅱ〉当 AC 2 = AB 2 + BC 2 时，∠ABC＝90°． 由 AC 2 = AB 2 + BC 2 ，得25 = (16 - 8 + 9) + ( 16+ 16) ． 9a 2 a 9a 2AO 2 + OC 25 5解 得 a = 49 当a = 4时， - 49 3a=44 3⨯9= -3 ，点 B （-3，0）与点 A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当BC 2 = AC 2 + AB 2 时，∠BAC＝90°．由BC 2 = AC 2 + AB 2，得 169a 2解得 a = 4．不合题意．9+16 = 25 + ( 16 9a 2 - 8 + 9) ． a 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．411. 已知抛物线 y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、B 分别在原点的两侧，并且 AB ＝ ，试求 m 的值；（2） 设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x 1 ，x 2 是方程 x 2－mx ＋m －2＝0 的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即 m ＜2 ;又 AB ＝∣x 1 — x 2∣＝ （+ ）x 2 - 4x x =,121 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .．2 - m 2 -m 2 - m （2）M(a ，b)，则 N(－a ，－b) .∵M、N 是抛物线上的两点,∴ ⎨⎪-a 2 + ma - m + 2 = b , ①-a 2 - ma - m + 2 = -b . ②⎪①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N.∴ a = .这时 M 、N 到 y又点 C 坐标为（0，2－m ）,而 S △M N C= 27 ,1∴2× ×（2－m =27 .2∴解得 m=－7 .12. 已知：抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1，0）．（1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2） 中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．0 0解法一：（1） 依题意，抛物线的对称轴为 x ＝－2．∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A （－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2） ∵ 抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1， 0），∴ a (－1)2＋4a (－1)＋t ＝0．∴ t＝3a ．∴ y ＝ax 2＋4ax ＋3a ．∴D （0，3a ）．∴ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋3a 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形 ABCD 的面积为 9，∴1 ( AB + CD ) ⋅OD ＝9 ．∴ 21 (2＋4) 3a ＝9 ． 2∴ a±1．∴所求抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x ＋3 或．（3） 设点 E 坐标为（ x 0 ， y 0 ）.依题意， x 0＜0 ，y ＝- x 2 - 4ax -y 0＜0，且 y ＝ 5 ．∴ y ＝－ 5x ．x 22 0⎨ ①设点 E 在抛物线 y ＝x 2＋4x ＋3 上，∴ y ＝x 2＋4x ＋3 ．⎧5 ⎧x '＝- 1⎪ y 0＝－ x 0 , ⎨⎧x ＝- 6，⎨0 2解方程组⎪⎨y ＝x 2＋2 4x ＋3得 ⎩0 y 0＝15；⎪ y '＝5． ⎩ 0 0 0⎪ 0 4∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x ＝－2 的同侧，∴ 点 E 坐标为（ - 125 ， ）．4设在抛物线的对称轴 x ＝－2 上存在一点 P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须 PA ＋PE 最小．∴ 点 A 关于对称轴 x ＝－2 的对称点是 B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x ＝－2 的交点． 设过点 E 、B 的直线的解析式为 y ＝mx ＋n ，⎧ 15 ⎧m ＝1 , ⎪- m ＋n ＝ ,∴ 解得 2⎨ 24 ⎩－3m ＋n ＝0.⎪n ＝ 3 . ⎩ 2点 P 坐标为（－2， ）．②设点 E 在抛物线 y ＝- x 2 - 4x - 3 上，∴ y ＝- x 2 - 4x - 3 ．⎧y ＝－ 5 x , 解方程组⎪ 02 0消去 y3 ，得x 2 + x 0＋3＝0 ．⎪⎨ y ＝- x 2 - 4x - 3. ⎩ 0 0 02∴ 直线 BE 的解析式为 y ＝ 1 x ＋ 3 ．∴ 把 x ＝－2 代入上式，得 y ＝ 1．222∴ 1 2∴△＜0 . ∴此方程无实数根．1综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，），使△APE 的周长最小．2解法二：（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t 与x 轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴．y＝ax2＋4ax＋3a令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0 ．解得x ＝－1，x ＝－3 ．1 2∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2）由y＝ax2＋4ax＋3a ，得 D（0，3a）．∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a 上，∴ C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴1( AB＋CD) OD＝9 ．解得 OD＝3．2∴ 3a＝3 ．∴ a±1．∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 或y＝－x2－4x－3 ．（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x＝－2 的交点．∴如图，过点E 作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x 轴的交点为 F．由PF∥EQ，可得BF＝PF．∴1＝PF ．∴PF＝1 BQ EQ．1点P 坐标为（－2，）．2 以下同解法一．5 5 2 2 413.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标．（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需∴- ， P 要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式 y = a (x + 1)(x - 2) ， ∴ - 2 = a ⨯1⨯ (-2) ．∴a = 1 ．∴ y = x 2 - x -2 ． 其顶点 M 的坐标是⎛ 1 ，- 9 ⎫ ．⎪ ⎝ 2 4 ⎭（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 N 的坐标为 N （t ，h ），∴ ⎨ ⎧0 = 2k + b ，3 ⎪ 9= 1k + b . ．解得k = 2 ，b = -3 ． ⎪ 4 2∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = 3x - 3 ．2∴ h = 3 t - 3 ，其中 1 < t < 2 ．∴ s = 1 ⨯1⨯ 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1t +1．222 2342∴s 与t 间的函数关系式是S = 3t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是42 1< t < 2 ． 2（3） 存在符合条件的点 P ，且坐标是P⎛ 5 7⎫ ， ⎪ ⎛ 3 ，- 5 ⎫ ．1 2⎝ 4 ⎭2 ⎝ 2 4 ⎭⎪设点 P 的坐标为 P (m ，n ) ，则n = m 2 - m - 2 ．PA 2 = (m +1)2 + n 2 ， PC 2 = m 2 + (n + 2)2，AC 2 = 5 ． 分以下几种情况讨论：i ） 若∠PAC＝90°，则PC 2 = PA 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩m 2 + (n + 2)2 = (m + 1)2 +n 2 + 5. 解得： m = 5 ， m = -1（舍去）． ∴ 点P ⎛ 5 7 ⎫．1 221 ， ⎪ ⎝2 4 ⎭ii ） 若∠PCA＝90°，则PA 2 = PC 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩(m +1)2 + n 2 = m 2 + (n + 2)2 + 5.解得： m = 3 ，m = 0 （舍去）．∴ 点P ⎛ 3 ，－ 5⎫ ．3242 ⎝4 ⎪⎭iii ） 由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， PA > AC ，所以边 AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4） 以点 O ，点 A （或点 O ，点 C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA （或边 OC ）的对边上，如图 a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点 A ，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b ，此时未知顶点坐标是 E ⎛- 12 ⎫ ，F ⎛ 4 ， ⎪ 8 ⎫ ．⎪ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 55 ⎭图 a图 b14. 已知二次函数 y ＝ax 2－2 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得 a －2＝－1.2，-2∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 y ＝x 2- 2 ．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点．15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB ＝5 cm ，拱高 OC ＝0.9 cm ，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈ 1.4 ，计算结果精确到 1 米）．解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y ＝ax 2＋ 9 ．10因为点 A （ - 5 ，0）（或 B （ 5 ，0） 在抛物线上， 所以0＝a ⋅(- 5 )2＋ 9，2 2 得a ＝－ 18．1252 10因此所求函数解析式为 y ＝－18x 2＋ 9 (- 5 ≤ x ≤ 5) ．（2） 因为点 D 、E 的纵坐．所以点 D 的坐标为（ 125 10 2 2标为 9 ， 所 以 9 =－ 18 x 2＋ 9 ，得 x ＝ 20 ， 9 ）， 20 125 点 E 的坐标为（10 ， 9 ）． 20 203 2 c所以DE ＝ 5 2－(-52) 5 2 ． ＝ 44 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2⨯11000 ⨯ 0.01＝275 ≈ 385 （米）． 216. 已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点A 、B ，与 y 轴相交于点C ．（1） a 、c 的符号之间有何关系?（2） 如果线段 OC 的长度是线段 OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3） 在（2）的条件下，如果 b ＝－4， AB ＝4 ，求 a 、c 的值． 解:（1） a 、c 同号． 或当 a ＞0 时，c ＞0；当 a ＜0 时，c ＜0．（2） 证明：设点 A 的坐标为（ x 1 ，0），点 B 的坐标为（ x 2 ，0），则0＜x 1＜x 2 ．∴ OA = x 1 ， OB = x 2 ， OC = c ．据题意， x 1 、 x 2 是方程ax 2＋bx ＋c = 0(a ≠ 0) 的两个根． ∴ x 1 ⋅ x 2 = ．a由题意，得OA ⋅OB ＝OC 2 ，即 c＝c 2＝c 2 ．a所以当线段 OC 长是线段 OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．(x 1＋x 2)2 - 4x 1x 22 3 33 3 （3）当b = -4 时，由（2）知， x ＋xb 40 ，∴ a ＞0．12＝－ a ＝ a ＞解法一：AB ＝OB －OA ＝ x －x ＝，21∴ AB =∵ AB = 4=， ∴ 2 = ． a 3 ＝4 ．得a = 1．∴ c ＝2. a 2 解法二：由求根公式， x 2 ± 3 ， a ∴ x ＝ x ＝ 2 + 3 ．12∴ AB ＝OB －OA ＝x －x ＝2 +3 ．21a∵ AB ＝4 ，∴2 3 ＝4 ，得a ＝ 1．∴ c＝2． a 217. 如图，直线 y = -A 、B 两点． 3 x + 3分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，⊙E 经过原点 O 及（1）C 是⊙E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠COD＝∠CBO，求点 A 、B 、C的坐标；（2） 求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3） 若延长 BC 到P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．16 - 4ac a 2 ( 4 )2－4( c ) a a 3 33 3 3 解：（1）连结 EC 交x 轴于点 N （如图）．∵ A 、B 是直线 y = - 3 x +3分别与 x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C 是的中点． ∴ EC⊥OA．∴ ON = 1 OA = 3 , EN = OB = ．22 2 23,- 2 连结 OE ．∴ ）． 2 EC = OE = ． ∴ NC = EC - EN = 3．∴ C 点的坐标为（2 （2）设经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为 y = ax (x - 3)．∵ C（ 3 ,- 2 ）． ∴ - 3 = a ⋅ 3 ( 3 - 3) ．∴ a =2 3 ． 2 2 2 2 9∴ y = 2 3 x 2 - 9 2 3 x 为所求． 8（3）∵ tan ∠BAO = 3 ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ∠OBD = 1 ∠ABO - 1 ⨯ 60︒ = 30︒ ．2 2∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°． 即PA⊥AB． 即直线 PA 是⊙E 的切线．(0, 3) ．3 33“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

二次函数知识点九年级
二次函数是初中数学中的重要内容之一，以下是九年级二次函数知识点的总结：
1. 二次函数的定义：形如f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)的函数称为二次函数。

其中a、b、c为常数，且a≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状由
a、b、c的值决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的性质：二次函数具有以下性质：对称轴为x=-frac{b}{2a};顶点坐标为(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a});最大值或最小值为f(\frac{b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

4. 二次函数的应用：二次函数在实际生活中有很多应用，例如计算物体的最大高度、最远距离等。

此外，二次函数还可以用于解决一些实际问题，例如求最大利润、最小成本等。

二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的一个重要内容，它在中考中也是一个常见的考点。

下面是一个最全的中考二次函数知识点总结。

1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，a的符号决定了抛物线的开口方向。

3. 二次函数的顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。

4.二次函数的对称轴：对称轴为x=-b/2a。

5. 二次函数的判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，可以用来判断二次函数的性质。

6.二次函数的零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x)=0的解。

7.二次函数的单调性：当a>0时，二次函数是开口朝上的，是递增函数；当a<0时，二次函数是开口朝下的，是递减函数。

8. 定比分点：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，若存在一点(x1,y1)，使得x1 = -b/2a + t 且 y1 = f(x1)，其中t为常数，则称(x1,y1)为定比分点。

9.定比分点与顶点的关系：二次函数的定比分点与顶点的横坐标之差等于m倍的a的倒数，即x1-(-b/2a)=m/a。

10. 二次函数的平移变换：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a 不等于1时，二次函数的平移变换可以通过替换x变量来实现，平移后的函数为y = a(x-h)^2 + k。

11.二次函数与一次函数的关系：当a=0时，二次函数退化为一次函数。

12.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

13.二次函数与根的关系：如果二次函数有两个不相等的根，那么函数图像必定与x轴有两个交点；如果二次函数有两个相等的根，那么函数图像必定与x轴有一个相切的交点；如果二次函数没有实数根，那么函数图像与x轴没有交点。

二次函数知识点总结九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理等领域都有广泛的应用。

在九年级数学学习中，我们学习了许多与二次函数相关的知识点，本文将对这些知识进行总结。

一、二次函数的定义与性质二次函数是指一元二次方程所对应的函数。

一元二次方程的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

其主要性质包括：1. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为该点的纵坐标。

3. 抛物线与x轴交点数目由判别式Δ=b^2-4ac的正负决定。

若Δ>0，则抛物线与x轴有两个交点；若Δ=0，则抛物线与x轴有一个交点，此时抛物线是切线；若Δ<0，则抛物线与x轴没有交点。

二、二次函数的图像和性质1. 抛物线的对称轴与顶点坐标有关。

对称轴的方程为x=-b/2a。

2. 抛物线的平移：对于一般形式y=a(x-h)^2+k，抛物线的顶点坐标为(h, k)，表示抛物线向左平移h个单位，向上或向下平移k个单位。

3. 抛物线的特殊情况：当b=0时，抛物线的对称轴与y轴重合，此时抛物线为关于y轴对称的。

当c=0时，抛物线过原点。

三、二次函数的函数值与因式分解1. 函数值：给定一元二次方程y=ax^2+bx+c，我们可以通过将x的值代入方程，计算出对应的函数值y。

这些值构成了二次函数的图像。

2. 因式分解：对于一元二次方程y=ax^2+bx+c，可以使用因式分解的方法将其写成两个一次因子的乘积形式。

这种形式可以更方便地求解方程的根。

四、解二次方程与判别式1. 解二次方程：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式来计算出方程的根。

求根公式为x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b^2-4ac称为判别式。

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二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的一个重要内容，下面是关于二次函数的最全的中考知识点总结：1. 定义：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中a、b、c是实数，并且a不等于0。

2.图像特征：a)抛物线的开口方向与a的正负有关，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

b)顶点是抛物线的最高点或最低点，横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

c)轴对称性：抛物线关于顶点对称。

d)零点是使f(x)=0的x值，可以通过解一元二次方程来求得。

3. 判别式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 D =b^2 - 4ac 是一个重要的指标，它可以告诉我们方程的解的情况。

a)当D>0时，方程有两个不相等的实数解。

b)当D=0时，方程有两个相等的实数解。

c)当D<0时，方程无实数解。

4.数轴上的二次函数图像和解的关系：a)当a>0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。

b)当a<0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。

c)当抛物线与x轴相切时，对应方程有一个重根。

d)当抛物线与x轴没有交点时，对应方程无实数解。

5.平移：a) 左移和右移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将x的值替换成 x-h 时（h>0），抛物线将向右移动h个单位；当将x的值替换成 x+h 时，抛物线将向左移动h个单位。

b) 上移和下移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将f(x)的值替换成 f(x)+k 时（k>0），抛物线将向上移动k个单位；当将f(x)的值替换成 f(x)-k 时，抛物线将向下移动k个单位。

6.直线与抛物线的交点：a)当直线与抛物线相交时，方程的解就是交点的横坐标。

b)如果直线与抛物线有两个交点，则方程有两个实数解。

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。

下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。

2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。

3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。

4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。

3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。

a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。

b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。

4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。

5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。

6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。

三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。

2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。

3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。

4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。

初三数学二次函数知识点总结归纳二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线，如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

下面是小编为大家整理的关于初三数学二次函数知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y 最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y 最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

初中数学二次函数最全知识点总结（含典型例题）
二次函数概念:
1・：次曲效的慨念：•心地•形如严.宀2心・h.常数・"()》的慚珈.叫做•:次函取
叽需妥强调:和元：次方程类似.二次烦系数a*0.而氛c可以为冷.二次函救的定义坡;.
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2.・次说放y三亦斗加y的九哪J待征匕
⑴弄号左边是函熬，冇边足淡HT变肛•的二决式，x的J5髙次数足2・
⑵X h.c臨加a&Z次换系数.b艮•次顶系妆.cl^；M.
二、二次函数的基本形式
I.：坎廁以AE公形儿卜一川的血几
3桅对值越大.拢物线的开口越小。

2. y = ax"十c的性庚:
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3.厂0(・丫-/”•的Ft质:
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