沪教版初中数学二次函数复习专题

二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。

axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。

ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。

当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。

（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。

当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。

3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。

（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。

（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。

y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。

教学内容—二次函数综合复习知识精要二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数。

定义域是一切实数。

二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 （0，0）a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=一、选择题典型例题1）有关二次函数图像与系数关系1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．2. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a第6题ABCDy O x y Ox yOxyOx2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数222y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）A ．3x -≥B ．31x -≤≤C ． 13x -≤≤D ．1x -≤或3x ≥4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下 ；B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．3）二次函数的平移问题1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．2. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是 （ ）.A. 沿y 轴向上平移1个单位；B. 沿y 轴向下平移1个单位；C. 沿x 轴向左平移1个单位；D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是__________．2．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 .3．如果二次函数()()21122+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数221x y =图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．二、 二次函数解答题典型例题例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.例2．如图，抛物线322++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．巩固练习1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =12，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.CyO A BxCxy oA 11-4B三、二次函数与相似结合题例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．自我测试1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(212+-=x y . 2．若A （113,4y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．A.123y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．4. 若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。

教师姓名 学生姓名 年级初三 上课时间学科 数学 课题名称中考总复习之二次函数待提升的知识点/题型考点提炼（一）二次函数的定义和性质形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. 1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①0)0(22++=⇒=x a y ax y ； ②k x a y k ax y ++=⇒+=22)0(；③()0)(22+-=⇒-=h x a y h x a y ；④()2y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠)2、抛物线()2y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠)的对称轴是过点( h ，0)且平行(或重合)于y 轴的直线，即直线x h =，顶点坐标是(h ，k),当0a >时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。

3、一般二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的形式 对称轴：直线，abx 2-= 顶点坐标：（- a b 2，a b ac 442-） ,当0a >时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。

4、求二次函数的解析式一般方法（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.向左平移m 个单位则)0()(2≠++-=a k m h x a y ， 向右平移m 个单位则)0()(2≠+--=a k m h x a y ； 向上平移n 个单位则)0()(2≠++-=a n k h x a y ， 向下平移n 个单位则)0()(2≠-+-=a n k h x a y9、二次函数图像的对称性与增减性：（1）同一个抛物线图像上所有的点（顶点除外）都有关于对称轴对称的点（2）同一个抛物线图像上点),(01y x A 与),(2o y x B 一定是对称点，并且可以由此求出对称轴为直线221x x x +=（3）如果抛物线的对称轴为直线m x =，那么到这条直线的距离相等的不同点是关于对称轴对称的。

沪教版（上海）九年级数学上册第26章二次函数单元同步重难点复习卷一、单选题1．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数 2．将抛物线2y x 按以下方法平移可以得到抛物线2(3)2y x =-+的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移3个单位B ．向左平移3个单位，向上平移2个单位C ．向右平移3个单位，向上平移2个单位D ．向右平移3个单位，向下平移2个单位3．设函数()()12y x x m =--，23y x =，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y <B ．当1x <时，12y y >C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >4．抛物线227y x x =--与x 轴的交点坐标为(,0)m ，则代数式2242019m m -++的值为（ ）A ．2033B ．2012C ．2026D ．20055．若二次函数y=﹣x 2+x+c 的图象与x 轴没有交点，则二次函数y=﹣x 2+x+c 的图象与反比例函数y=c x的图象的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（12-，y 1）和（2，y 2）都在抛物线上，那么y 1＜y 2；②b 2﹣4ac ＞0；③m （am ＋b ）＜a ＋b （m ≠1的实数）；④3c a=-；其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A ．14元B ．15元C ．16元D ．18元8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0-，对称轴为1x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0c <D ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根9．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，4），与x 轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③方程ax 2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x （ax+b ）≤a+b ，其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论 abc 0>①；b ac ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④D ．③④⑤11．抛物线y=ax ²＋bx ＋c(a>0)与直线y=bx ＋c 在同一坐标系中的大致图像可能为( )A ．B ．C ．D ．12．如图，抛物线223y x x =+-交坐标轴于A 、B 、C 三点，直线EN 为抛物线的对称轴，E 为对称轴与x 轴的交点，点D 为抛物线上一动点（D 点在x 轴下方），直线BD 交直线EN 于点M 、直线AD 交直线EN 于点N ，在点D 从点A 运动到点的过程中，线段EM EN +的变化趋势为（ ）A ．一直在增大B ．一直不变C ．先增大后减小D ．先减小后增大二、填空题 13．二次函数231y x =+ 和23(1)y x =-，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x ＞0时，它们的函数y 都是随x 的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有_______个．14．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，下列结论：①240b ac ->；②32b c <；③22()a c b +>；④2c b a ->；⑤420a b c ++>． 其中正确的结论有________（填上正确结论的序号）．15．二次函数y 2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA =120°，则点C 的坐标为______．16．（2017届河南省周口市西华县中招第二次模拟考试数学试卷）已知y ＝−14x 2−3x ＋4(−10≤x ≤0)的图象上有一动点P ，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则“好点”的个数为__________．17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为21231232h s s =-++，如图，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__________．三、解答题18．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．(1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；(3)求△OBC 的面积．19．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB =L ，称跨度，桥面最高点到AB 的距离CD =h 称拱高，当L 和h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L =32米，拱高h =8米.(1)如果设计成抛物线型,以AB 所在直线为x 轴, AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式;（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径;（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF 支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.20．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，3OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线上点D 的横坐标为2，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得BDP ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图：已知抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)经过A （3，0），B （4，4）两点.（1）求抛物线解析式.（2）将直线OB 向下平移m 个单位后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 值及交点D 的坐标.22．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B 的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．23．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．D4．D5．D6．A7．C8．D9．B10．B11．B12．B13．214．①②④ 15．1,22⎛- ⎝⎭ 16．14 17．54m <<18．（1）-2) （3）面积是19．（1）y=132-x 2+8（-16≤x ≤16）；（2）20；（3）①3.5米；②在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米; 圆弧型桥墩高4米.20．（1）211322y x x =-++；（2）存在，点15,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．(1) y ＝x 2－3x ;(2)m=4,D(2,-2).22．（1）y ＝x+3﹣10＝x ﹣7；（2）y ＝2x 2+3或y ＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=2. 23．(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．。

二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。

一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。

⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。

二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。

探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。

探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。

探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。

探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。

知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。

1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。

三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。

2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。

专题20⼆次函数的图像与性质（基础）-（沪教版）专题20 ⼆次函数y=ax^2+bx+c 的图像与性质（基础）【⽬标导向】1. 会⽤描点法画⼆次函数的图象；会⽤配⽅法将⼆次函数的解析式写成的形式；2.通过图象能熟练地掌握⼆次函数的性质；3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运⽤⼆次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【知识要点精讲梳理】要点⼀、⼆次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成⼀般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成⼀般式．2.⼀般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运⽤．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常⽤三种⽅法：配⽅法、公式法、代⼊法，这三种⽅法都有各⾃的优缺点，应根据实际灵活选择和运⽤．要点⼆、⼆次函数的图象的画法2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2y ax bx c =++2()y a x h k =-+2(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ??=++=++=++-+?? ? ? ?????22424b ac b a x a a -?=++2()y a x h k =-+2b h a =-244ac b k a-=2y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b aa ??-- 2y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b aa ??-- 2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠1.⼀般⽅法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直⾓坐标系中描出顶点M ，并⽤虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序⽤平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有⼀个交点或⽆交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出⼆次函数图象的草图；如果需要画出⽐较精确的图象，可再描出⼀对对称点A 、B ，然后顺次⽤平滑曲线连结五点，画出⼆次函数的图象，要点三、⼆次函数的图象与性质 1.⼆次函数图象与性质向上向下2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠0a >0a <2.⼆次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求⼆次函数的最⼤（⼩）值的⽅法如果⾃变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最⼤（或最⼩）值，即当时，．要点诠释：如果⾃变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么⾸先要看是否在⾃变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增⼤⽽增⼤，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增⼤⽽减⼩，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最⼤值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最⼩值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况．【精讲例题】类型⼀、⼆次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【答案与解析】20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=-244ac b y a-=最值2ba-2b x a =-244ac b y a-=最值222y ax bx c =++最⼤值211y ax bx c =++最⼩值2bx a=-2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =-+-解法1（配⽅法）：．∴顶点坐标为，对称轴为直线．解法2（公式法）：∵，，，∴ 11122()2b x a=-=-=?-，．∴顶点坐标为，对称轴为直线．解法3（代⼊法）：∵，，，∴．将代⼊解析式中得，．∴顶点坐标为，对称轴为直线．【总结升华】所给⼆次函数关系是⼀般式，求此类抛物线的顶点有三种⽅法：（1）利⽤配⽅法将⼀般式化成顶点式；（2）⽤顶点公式直接代⼊求解；（3）利⽤公式先求顶点的横坐标，然后代⼊解析式求出纵坐标．这三种⽅法都有各⾃的优缺点，应根据实际灵活选择和运⽤．举⼀反三：【变式】把⼀般式化为顶点式．（1）写出其开⼝⽅向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标.【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.4(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+--211(1)422x =--+-217(1)22x =---71,2??-1x =12a =-1b =4c =-2214(4)147214242ac b a -?-- ?-??==-??-71,2?-1x =12a =-1b =4c =-111222b x a=-=-=-1x =21711422y =-?+-=-71,2??-1x =24,24b ac b a a ??--2286y x x =-+-2．（泰安）⼆次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所⽰，那么⼀次函数y=ax +b 的图象⼤致是（）B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到⼀次函数y=ax +b 的图象经过⼀，⼆，四象限，即可得到结论．【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开⼝向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧，∴b ＞0，∴⼀次函数y=ax +b 的图象经过⼀，⼆，三象限．故选A ．【总结升华】本题考查了⼆次函数和⼀次函数的图象，解题的关键是明确⼆次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型⼆、⼆次函数的最值3．求⼆次函数的最⼩值. 【答案与解析】解法1(配⽅法)：∵2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+，∴当x ＝-3时，．解法2(公式法)：∵，b ＝3，∴当时，．解法3(判别式法)：∵，∴．∵ x 是实数，∴△＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4．∴ y 有最⼩值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求⼆次函数最值时，可以从配⽅法、公式法、判别式法三个⾓度考虑，根据个⼈熟练程度灵活去选择．举⼀反三：【变式】⽤总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形⾯积S 随矩形⼀边长L 的变化⽽变化．当L 是多少时，矩形场地的⾯积S 最⼤？【答案】（0（m ）时，场地的⾯积S 最⼤，为225m 2．类型三、⼆次函数性质的综合应⽤4．已知⼆次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc 的最⼤值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）．∴当时，bc 有最⼤值．最⼤值为2．21(3)42x =+-4y =-最⼩102a =>12c =331222b x a =-=-=-?22114341922414242ac b y a ??---====-?最⼩211322y x x =++26(12)0x x y ++-=2690x x ++=(30)S L L =-2(30)L L =--2(15)225L =--+15L ∴=2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =--21y x bx c =+++22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++1b =-【总结升华】（1）将点P(2，1)代⼊函数关系式，建⽴b 、c 的关系即可．（2）利⽤（1）中b 与c 的关系，⽤b 表⽰bc ，利⽤函数性质求解．举⼀反三：【变式】（咸宁）如图是⼆次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论：①⼆次三项式ax 2+bx+c 的最⼤值为4；②4a+2b+c＜0；③⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成⽴的x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提⽰：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴⼆次三项式ax 2+bx+c 的最⼤值为4，①正确；∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成⽴的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B ．【精练巩固】⼀、选择题1. 将⼆次函数化为的形式，结果为（）．A ．B ．C ．D ． 2．（益阳）关于抛物线y=x 2﹣2x +1，下列说法错误的是（） A ．开⼝向上 B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x=1D ．当x ＞1时，y 随x 的增⼤⽽减⼩3．若⼆次函数配⽅后为，则b 、k 的值分别为（）． A ．0，5 B ．0，1 C ．-4，5 D ．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为（）．A .b=2，c=2B . b=2，c=0C . b= -2，c= -1D . b= -3，c=25．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c 的值()223y x x =-+2()y x h k =-+2(1)4y x =++2(1)4y x =-+2(1)2y x =++2(1)2y x =-+25y x bx =++2(2)y x k =-+2y x bx c =++223y x x =--A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．（安徽）如图，⼀次函数y 1=x 与⼆次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则函数 y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的图象可能是（）A.B. C. D.⼆、填空题7．（怀化）⼆次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知⼆次函数，当x ＝-1时，函数y 的值为4，那么当x ＝3时，函数y 的值为________． 9．⼆次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．⼆次函数的图象与x 轴的交点如图所⽰．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图⼆次函数y=ax 2+bx+c 的图象开⼝向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．（⽞武区⼀模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x +8，y=x 2﹣6x +8，y=x 2﹣12x +35在同⼀平⾯直⾓坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x +8的图象的序号是．22y ax ax c =-+2y x bx c =++23y x mx =-+三、解答题13．（齐齐哈尔）如图，在平⾯直⾓坐标系中，正⽅形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的⾯积．14. 如图所⽰，抛物线与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计⼀种平移的⽅法，使平移后抛物线的顶点落在第⼆象限，并写出平移后抛物线的解析式．15.已知抛物线： (1)求抛物线的开⼝⽅向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增⼤⽽增⼤？x 取何值时，y 随x 的增⼤⽽减⼩？函数y 有最⼤值还是最⼩值？最值为多少？【答案与解析】254y ax ax a =-+215322y x x =---⼀、选择题 1.【答案】D ；【解析】根据配⽅法的⽅法及步骤，将化成含的完全平⽅式为，所以．2.【答案】D ．【解析】画出抛物线y=x 2﹣2x +1的图象，如图所⽰．A 、∵a=1，∴抛物线开⼝向上，A 正确；B 、∵令x 2﹣2x +1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该抛物线与x 轴有两个重合的交点，B 正确；C 、∵﹣=﹣=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C 正确；D 、∵抛物线开⼝向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，D 不正确．故选D ． 3.【答案】D ；【解析】因为，所以，，． 4.【答案】B ；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A ；【解析】因为抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代⼊解析式得a+b+c=0. 6.【答案】A ；【解析】∵⼀次函数y 1=x 与⼆次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，∴⽅程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有两个不相等的根，22x x -x 2(1)1x --2223(1)2y x x x =-+=-+22(2)44y x k x x k =-+=-++4b =-45k +=1k =2223(1)4y x x x =--=--2(1)4y x =--2(1)1y x =+-222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+2b =0c =∴函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 与x 轴有两个交点，∵⽅程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0，∴x 1+x 2=﹣＞0，∴﹣＞0，∴函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的对称轴x=﹣＞0，∵a ＞0，开⼝向上，∴A 符合条件，故选A ．⼆、填空题7．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1.【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴⼆次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】4；【解析】由对称轴，∴ x ＝3与x ＝-1关于x ＝1对称，∴ x ＝3时，y ＝4. 9．【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式. 10．【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代⼊，得，解得． 11．【答案】①④，②③④； 12.【答案】③【解析】y=x 2﹣1对称轴是x=0，图象中第⼆个， y=x 2+6x +8对称轴是x=﹣3，图象中第⼀个， y=x 2﹣6x +8对称轴是x=3，图象中第三个， y=x 2﹣12x +35对称轴是x=6，图象中第四个. 三、解答题13.【答案与解析】解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），把B 与C 坐标代⼊y=﹣x 2+bx+c 得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x 2+2x+4；（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．212ax a-==-2223(1)4y x x x =--=--1x =0y =23y x mx =-+130m -+=4m =14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代⼊抛物线得，，解得．∴该⼆次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯⼀，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到⼆次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b ＝-3，∴，把x ＝-3代⼊解析式得，．∴抛物线的开⼝向下，对称轴是直线x ＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x ＝-3．抛物线与x 轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y 轴的交点为，取D 关于对称轴的对称点，⽤平滑曲线顺次连结，便得到⼆次函数的图象，如图所⽰．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x ＜-3时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；在对称轴右侧，即当x ＞-3时，y 随x 的增⼤⽽减⼩．因为抛物线的开⼝向下，顶点A 是抛物线的最⾼点，所以函数有最⼤值，当x ＝-3时，．254y ax ax a =-+252544a a a -+=1a =254y x x =-+22595424y x x x ?=-+=--59,24P -225917342424y x x =-+-+=++ ?22y x x =++102a =-<331222b x a -=-=-=--215(3)3(3)222y =-?--?--=50,2D ??- 56,2E ?--215322y x x =---2y =最⼤。

专题01二次函数的定义重难点专练（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2019·上海普陀区·）下列函数中，是二次函数的为（ ） A ．21y x =+B ．22(2)y x x =--C ．22y x =D ．()21y x x =+2．（2020·上海九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．21y x =- B ．22y x =C ．21y x =+D ．22(1)y x x =--3．（2021·上海九年级专题练习）下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝22xB ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．yD ．y ＝x （x ﹣1）4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数，则m 的值是（ ） A ．2B ．-1或3C ．-1D ．35．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）函数2y ax bx c =++ (a ，b ，c 为常数)是二次函数的条件是（ ）． A ．0a ≠或0c ≠B ．0a ≠C ．0b ≠且0c ≠D ．0a b c ++≠6．（2021·上海九年级一模）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A ．2y ax bx c =++ B ．211y x =+ C ．(1)y x x =+D ．22(2)y x x =+-7．（2021·上海九年级一模）下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．2(1)3y k x =-+ B ．211y x =+ C ．2(1)(2)y x x x =+--D ．227y x x =-8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）下列问题中的两个变量成反比例关系的是（ ）A ．汽车以80千米/时的速度行驶s 千米，用时t 时B ．正方形的周长C 与它的面积SC ．有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q （立方米）与灌满水池所需要的时间t （小时）D ．圆的面积S 与它的半径r9．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列函数中是二次函数的是（ ） A ．12y x =+B ．21y x x =- C ．22(1)y x x =-- D ．23(1)y x =-10．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m等于( ) A ．±2B ．2C ．-2D ．不能确定11．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．216y x ππ=-+ B ．24y x π=-C ．2(2)y x π=-D ．2(4)y x =-+12．（2018·上海中考模拟）下列函数中，属于二次函数的是 A ．y=x–3B ．y=x 2–（x+1）2C ．y=x （x–1）–1D ．21y x=13．（2021·上海九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =- B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =--14．（2021·上海九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+D ．2y ax bx c =++15．（2021·上海）若函数()2211m m y m x --=+是关于x 的二次函数，则m 的值是（ ）A ．2B ．1-或3C ．3D ．1-16．（2021·上海）下列函数是二次函数的是（ ） A ．2(2)1s t t =-+ B ．2y ax bx c =++ C ．31y x =-D ．212y x x=+17．（2019·上海九年级期末）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝2x +1 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝1﹣x 2 D ．y ＝21x二、填空题18．（2021·上海松江区·九年级一模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为____．19．（2019·上海九年级一模）如果y ＝（k ﹣3）x 2+k （x ﹣3）是二次函数，那么k 需满足的条件是____．20．（2020·上海虹口区·九年级一模）如果函数2(1)+2m my m x -=+是二次函数，那么m＝_____．21．（2020·上海九年级月考）如果函数232(3)72k k y k x x -+=-++是关于x 的二次函数，则k =__________．22．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x的二次函数，则k=________．23．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知2()352f x x x =-+那么()2f =____________．24．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．25．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系式为________________．26．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）半径为5的圆，如果半径增加x 时，面积增加y ，那么y 与x 的函数关系式是_____________________．27．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线2(3)1y x n x n =+-++经过坐标原点O ，则这条抛物线的解析式为_______________________． 28．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）函数2k ky kx -=，当k__________时，它的图像是开口向下的抛物线．29．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知二次函数2y ax =，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y=_____．30．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数277y ax x =--的图象与x 轴有交点，则a 的取值范围是________．31．（2021·上海市实验学校九年级二模）已知()21f x x =+，则()1f -=___________32．（2019·上海九年级一模）如果函数y ＝(m ﹣1)x 2+x(m 是常数)是二次函数，那么m 的取值范围是_____．33．（2020·上海九年级专题练习）已知抛物线221y x bx =+-的对称轴是直线1x =，那么b 的值等于________．34．（2020·上海九年级专题练习）已知二次函数f(x)=x 2-3x+1，那么f(2)=_________．35．（2020·上海）如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于________．36．（2019·上海九年级二模）如果二次函数22m y mx -=（m 为常数）的图像有最高点，那么m 的值为_________．37．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数22m y mx -=有最低点，则m=__________38．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果周长为20的长方形一边为x ，那么它的面积y 关于x 的函数解析式是__________三、解答题39．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．40．（2018·上海八年级期末）如图，在△ABC 中，△ACB=90°，△A=30°，AB=4，点P 是AB 边上一个动点，过点P 作AB 的垂线交AC 边与点D ，以PD 为边作△DPE=60°，PE 交BC 边与点E.（1）当点D 为AC 边的中点时，求BE 的长； （2）当PD=PE 时，求AP 的长；（3）设AP 的长为x ，四边形CDPE 的面积为y ，请直接写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围.。