高考数学复习 3.1.2(一)

高考数学3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．1．两角和与差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝__________________.C (α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.2．两角和与差的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.S (α－β)：sin(α－β)＝____________________________.3．两角互余或互补(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余． (2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．一、选择题1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.322．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12 C.12 D.323．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725 B.35 C.725 D.154．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±15．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．1＋ 3 D ．2＋ 36．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 8．函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为________．9．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是__________． 10．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．三、解答题11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．证明：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.能力提升13．已知sin α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 14．求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值．1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝sin 3π2cos α－cos 3π2sin α＝－cos α. 2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)答案知识梳理1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β2．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β3．(1)π2 π4＋α π3－α (2)π 34π－α α＋π3作业设计1．A2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.] 3．C [∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35， ∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝45×45－35×35＝725.] 4．D [cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.]5．B [f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2， ∴π6≤x ＋π6<2π3. ∴f (x )max ＝2.]6．C [∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .]7．cos α解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 8. 2解析 f (x )＝sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π4－cos x sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. 9.137解析 ⎩⎨⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 10. 3解析 原式＝sin (60°＋8°)－cos 60°sin 8°cos (60°＋8°)＋sin 60°sin 8°＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°－cos 60°sin 8°cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°＋sin 60°sin 8°＝sin 60°cos 8°cos 60°cos 8°＝tan 60°＝ 3. 11．解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4， π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．证明 sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β) ＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α ＝sin βsin α. 13．－45 解析 sin α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝sin α＋cos αcos π6＋sin αsin π6＝32sin α＋32cos α ＝3⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝3⎝⎛⎭⎫sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435.∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 14．解 设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]， ∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x即g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]． 当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1.此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z . 当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12. 此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1. 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z . 综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取最小值且f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12.。