乘法公式的拓展和常见题型

学科教师辅导讲义【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 231312； （2）()()a b b a 3232++- ； （3）()()2323-+-m m .【借题发挥】1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（ ）A. ()2222a b a ab b +=++；B. ()2222a b a ab b -=-+；C. ()()22a b a b a b -+=-；D.()()2222a b a b a ab b +-=+-.2．下列计算中可以用平方差公式的是（ ）A.()()22--+a a ；B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121； C.()()y x y x -+-； D.()()22y x y x +-.3.如图，在边长为a 的正方形内减去边长为b 的正方形后，剩下的形状可以分割成两个大小相等的直角梯形，请你用,a b 表示梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。

4.如图，边长为,a b 的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形，请你用,a b 表示出梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。

题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+- ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+3121312122x x .【例4】类型2：()()22a b a b b a -=-+ （1）（2xy+1）（1-2xy ）； （2）（3x-4a ）（4a+3x ）.4、计算：200620052006200565654343212122222222+-+++-++-++- 。

第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。

乘法公式的拓展及常见题型整理一.公式拓展:拓展一：a 2 b 2 =(a b)2_2aba 2 1 = (a —)2- 2a a拓展二：(a b)2一(a _b)2=4ab(a b)2 = (a -b)24ab2 2 2a b =(a -b) 2ab a 2 4 = (a _丄)2 2 a a2 2 2 2 a b ］亠［a 「b 2a2b(a -b)2 = (a b)2 -4ab拓展三：a 2• b 2c 2=(a b c)2_2ab _2ac _2bc 拓展四：杨辉三角形(a b)‘ 二 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 (a b)4 二 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4拓展五： 立方和与立方差(一) 公式倍比(1) ________________________________________________________ 如果 a - b=3, a - c = 1，那么 a - b i 亠 lb - c i 亠 i.c - a 的值是 __________________ — 1⑵ x y =1，则一 x 2 xy y 2=2 22 + 2⑶已知口 X(X_1) _(x 2_y) = -2,贝y -L _xy= __________2(二) 公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3, 求值：(1)a 2+b 2(2)ab例题：已知a b =4,求ab 。

a 3b 3 = (a b)(a 2 _ab b 2) a 3 _b 3 二(a _b)(a 2 ab b 2).常见题型:⑴若(a —b)2=7, (a+b)2 =13,则a 2+b 2= ___________________ , ab = ________⑵设(5a + 3b ) 2= (5a — 3b ) 2+ A ，贝U A= __________ ⑶若(x _ y)2= (x • y)2a ，贝H a 为 __________⑷如果(x-y)2• M ^(x y)2，那么M 等于 ________________⑸已知(a+b) 2=m (a — b) 2=n ,贝U ab 等于 ________2 2⑹若(2a-3b) =(2a3b) N，则N 的代数式是 _________________⑺已知(a ，b)2=7,(a-b)2 =3,求 a 2 b 2 ab 的值为 _______________ 。

专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................4;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................5;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................7;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................8;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值....................................10;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................11;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值......................................12;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘.........................................14;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题.....................................15;【题型11】多项式相乘中的几何问题...........................................16;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式.................................................18;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算.................................................19;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考.........................................................21;【题型15】拓展延伸.........................................................22.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【答案】523y y -【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．解：()()23432253339xyx x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣()2832233539279x y x x y x y x y =⋅-⋅÷()5855539279x y x y x y ÷=-523y y =-．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】本题考查了逆用同底数幂除法法则和幂的乘方的运算法则，先逆用同底数幂除法法则、然后再运用幂的乘方的运算法则将32m n a -化成含有m a 和n a 的形式，然后代入即可解答．解：()()32323232481m n m n m n a a a a a -=÷=÷=÷=，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【答案】100【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，先根据题意得到232x y -=，再根据幂的乘方计算和同底数幂除法计算法则得到()()2323101010x y x y -÷=，据此求解即可．解：∵2320x y --=，∴232x y -=∴()()231010x y ÷231010x y =÷2310x y -=210=100=，故答案为：100．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【答案】(1)0；(2)820x y-【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式是解题的关键．（1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可．（2）根据积的乘方，单项式乘以单项式解答即可．解：（1）()2243623a a a a ⋅+-66623a a a =+-0=．（2）()()23225x x y -⋅-()6245x x y=⋅-820x y =-．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【答案】D【分析】本题考查整混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则、单项式乘以单项式法则是解题的关键．先计算乘方，再计算运用单项式乘以单项式法则计算即可．解：()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭()224139x y x y =-⋅4513x y =-，故选：D ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【答案】0【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，合并同类项，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可．解：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅3642788972a b a b a b =-⋅+78787272a b a b =-+0=，故答案为：0．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【答案】7533944x y x y -，16325【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则．解：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33423394416x y x y x y +-⋅=7533944x y x y =-当20.45x ==，52.52y =-=-时，原式753349252545252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3757592525445252⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭9425=-+16325=．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【答案】A【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项24xy 与313x y -的积，再根据单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，即可求得答案．解：∵234314433xy x y x y ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，∴43m =-，4n =，故选：A ．【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【答案】143/243【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到1212253m n n n a b a b ++-++=，据此可得25323m n n +=⎧⎨+=⎩，解之即可得到答案．解：∵()()1221253m n n nababa b++-⋅=，∴1212253m n n n a b a b ++-++=，∴25323m n n +=⎧⎨+=⎩，∴13313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴143m n +=，故答案为：143．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【答案】2209a a -+，29-【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先根据单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，即可化简，然后把1a =-代入化简式计算即可．解：()()223243234a a a a a -+-+，3232612968a a a a a =-+--，2209a a =-+．当1a =-时，原式()()22019129=-⨯-+⨯-=-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【答案】C【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：132xy x y ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭22332x y xy =-+．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【答案】2024-【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据220240a a +-=，可得22024a a -=-，把22024a a -=-代入()()220241a a -+，然后把22024a a +=代入化简后的算式计算即可．解：∵220240a a +-=，∴22024a a -=-，∴()()220241a a -+()1a a =-+()2a a =-+．∵220240a a +-=，∴22024a a +=，∴原式()2a a =-+2024=-．故答案为：2024-．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【答案】(1)8522325a a b +（平方分米）；(2)360元【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）把a 与b 的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可．解：（1）根据题意得：2325424155452a b a a ⎛⎫⎛⎫+⋅-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭85282425a a b a =+-8522325a a b =+（平方分米）∴盒子的外表面积为()8522325a a b +平方分米；（2）当1a =，0.2b =时，85285223252312510.224a a b +=⨯+⨯⨯=（平方分米）则喷漆的费用为1524360⨯=（元）．答：喷漆共需要360元．【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【答案】A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【答案】2022【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将2210x x --=变形为221x x =+，利用降次的思想求352020x x -+即可．解：∵2210x x --=，∴221x x =+，∴352020x x -+252020x x x =⋅-+()2152020x x x =+-+2252020x x x =+-+()22142020x x =+-+2022=故答案为：2022．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【答案】-7【分析】把x （x ﹣m ）+n （x +m ）去括号、合并同类项，然后根据与2x +5x -6对应项的系数相同，即可求得m 、n 的值，然后代入求值即可．解：x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x ﹣mx +nx +mn ＝2x +（n ﹣m ）x +mn ，∴56n m mn -=⎧⎨=-⎩，则m （n ﹣1）+n （m +1）＝n ﹣m +2mn ＝5﹣12＝﹣7．【点拨】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出()4x x +的结果即可得到答案．解：∵()24x ax x x +=+，∴224x ax x x +=+，∴4a =，故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【答案】2【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x 的四次项，可得20a -=，即可求解．解：()32412xxax x -+++45432x x a x x --+=-()4352x x a x =-+--，∵()32412xxax x -+++中不含有x 的四次项，∴20a -=，∴2a =．故答案为：2【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【答案】(1)312x -；(2)421x x ++；(3)4244x x x ---.【分析】本题考查了多项式的乘法：（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．解：（1）()()()222323x x x x +---+222436226x x x x x =+---+-312x =-．（2）22(1)(1)x x x x ++-+4323221x x x x x x x x =-++-++-+421x x =++．（3）2(1)(2)(2)x x x x +-++22(2)(2)x x x x =--++43232222224x x x x x x x x =++------4244x x x =---．【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【答案】D【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．解：A 、()()324248ab ab a b =-⋅-，原式计算错误，不符合题意；B 、()()22233266m m m m m m m +-=-+-=--，原式计算错误，不符合题意；C 、()()2245452020y y y y y y y +-==-+---，原式计算错误，不符合题意；D 、()()22144454x x x x x x x ++=+++=++，原式计算正确，符合题意；故选：D ．【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【答案】1【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后解一元一次方程即可．解：()()()()3291x x x x ---+-22236(99)x x x x x x =--+--+-1315x =-+∴13152x -+=，解得1x =，故答案为：1．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【答案】2-a a ，12【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：()()()222112a a a a a a +--+-()3232222222a a a a a a a =+--+--3232222222a a a a a a a=+---++2a a =-，当3a =-时，原式()()2339312=---=+=．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】D【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得()()()2235m n m n n m n +---+=，从而得到235m n -=，再代入，即可求解．解：根据题意得：()()()2235m n m n n m n +---+=，∴22222235m mn mn n mn n n +---+-=，即235m n -=，∴()22232610m n m n -=-=，∴22611019m n --=-=．故选：D【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【答案】5【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．解：∵235a ab +=，∴22222()(2)222235a b a b b a ab ab b b a ab ++-=+++-=+=．故答案为：5．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【答案】1361x -，35-【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则，是解题的关键．先根据平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则展开，合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可．解：()()()()()23333442x x x x x +-++---()()2229312444x x x x x =-+----+2229333641616x x x x x =-+---+-1361x =-，当2x =时，原式1326135=⨯-=-．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【答案】C【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到3,315n m n +==-，求出m 、n 的值，即可得到答案.解：∵()()()2333x x n x n x n ++=+++，()()2315x x n x mx ++=+-，∴3,315n m n +==-，解得2,5m n =-=-∴()()2510mn =-⨯-=，故选：C【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【答案】8【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，进而求出,m n 的值，进一步求出代数式的值即可．解：()()()222228x m x x m x m x nx +-=+--=+-，∴2,28m n m -==，∴4,2m n ==，∴24228m n +=+⨯=；故答案为：8．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【答案】0m =，16n =【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，运用多项式乘多项式的运算法则进行求解即可．解：()()22232mx x x nx +++4323232264mx mnx mx x nx x=+++++()()43232264mx mn x m n x x =+++++，由题意得，0m =，261m n +=，解得0m =，16n =．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得()()()()23221212x a x x x a x a x a -+-=+--++，然后根据“乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4”，据此得到()()2124a a --+=，解此方程即可求出a ．解：()()221x a x x -+-32222x x x ax ax a=+---+()()32212x a x a x a =+--++，乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，∴()()2124a a --+=，∴1a =-，故答案为：A ．【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【答案】39【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()23x m x x n +-+的结果，再根据乘积中不含2x x 、项，即含2x x 、项的系数为0进行求解即可．解：()()23x m x x n +-+32233x x nx mx mx mn =-++-+()()3233x m x n m x mn =+-+-+，∵()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，∴3030m n m -=-=，，∴39m n ==，，故答案为：3；9．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【答案】绿化区面积大于雕塑区面积．【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积，先分别列式计算绿化区面积，雕塑区面积，再作差比较大小即可．解：绿化区面积为()()()4231233m m m m ----221246266m m m m m =--+-+2642m m =-+．雕塑区面积为()223366m m m m -=-．因为()()226426622m m m m m -+--=+，由m 为正数，所以得220m +>，即2264266m m m m -+>-，所以，绿化区面积大于雕塑区面积．【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x +D ．(4)12x x ++【答案】C【分析】本题主要考查整式与图形，根据题意，结合图形，分别判断得到答案即可．解：A ．图中阴影部分面积用整个长方形的面积-空白部分的面积，即(4)(3)3x x x ++-，故该选项不符合题意；B ．图中阴影部分面积用右边阴影部分长方形的面积+左边阴影部分正方形的面积，即24(3)x x ++，故该选项不符合题意；C ．24x x +只有左边阴影部分正方形的面积+右边上面阴影部分长方形的面积，缺少右边下面长方形的面积，故该选项符合题意；D ．图中阴影部分面积用上面阴影长方形的面积+右边下面长方形的面积，即(4)12x x ++故该选项不符合题意；故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【答案】7【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积以及A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片的面积，即可得出答案．解：长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积为()()22222326432672a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，A 类卡片的面积为：2a ，B 类卡片的面积为：2b ，C 类卡片的面积为：ab ，∴要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，需要6块A 类卡片，2块B 类卡片，7块C 类卡片，故答案为：7．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【答案】(1)621x y -+;(2)4.【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式：（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果即可得到答案；（2）把2132x y ==，代入（1）所求结果中计算求解即可．解：（1）2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭621x y =-+，∴所捂的多项式为621x y -+；（2）当2132x y ==，时，21621621411432x y -+=⨯-⨯=-+=．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y -B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【答案】B【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．解：∵22233241216m x y x y x y ⨯=-，∴()233222121643443m x y x y x y y x x y =-÷=-=-+，故选：B ．【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【答案】25x y-【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．解：()226153A x y xy xy-÷=2263153x y xy xy xy=÷-÷25x y =-．故答案为：25x y -．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【答案】(1)2243x y +；16;(2)5-.【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．（1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可；（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可．解：（1）()()()()22224x y x y x y x x y-+-+--222224444x xy y x y x xy =-++--+2243x y =+，当1x =-，2y =时，原式()224132=⨯-+⨯412=+16=．（2）()()()()21433x x x x x ++++-+2222149x x x x x =+++++-2368x x =+-，∵2210x x +-=，∴221x x +=，∴原式()2328x x =+-318=⨯-38=-=5-．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【答案】C【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解．解：由原式，得()()32432224366322322428(2)y xyz x y z y x y z x y z x y z x y z ⎡⎤=⋅-⋅=⋅⋅==⎣⎦∴括号中式子应为222x y z ．故选C ．【点拨】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键．【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．【答案】2【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据11x x -=-得出21x x +=，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．解：∵11x x-=-，∴21x x +=，()()22131x x x +-+2244133x x x x=++--21x x =++11=+2=．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．解：A 、23a a a +=，该选项错误，不合题意；B 、523a a a ÷=，该选项正确，符合题意；C 、235()a a a -⋅=，该选项错误，不合题意；D 、()23624a a =，该选项错误，不合题意；故选：B ．【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．解：根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1，系数和：515101051322+++++==，()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，系数和：61615201561642++++++==，()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，系数和：71721353521711282+++++++==，故答案为：128．【点拨】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【答案】A 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，利用规律，当2x =-，2022n =时，代入其中即可求解．本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．解：由2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…观察发现：()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，当2x =-，2022n =时，得202220212020201943220232122222222121()()()---+-+-+-+=-- ，∴2023202320232022202120202019432212121222222221333()----+-+-+-+-+===-- ，∴202320232022202120202019432212222222222133+--+-+-+-=-= ．故选：A ．【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．【答案】8-【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出即从第2次开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，是解题的关键．总结规律后结合202436742÷=⋅⋅⋅，即可得到答案．解：第1次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第2次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第3次输出的结果为：8232-+=-；第4次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第5次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第6次输出的结果为：8232-+=-…，则从第1次输出开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，∵202436742÷=⋅⋅⋅，∴第2024次输出的结果为8-．故答案为：8-．。

第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例1：计算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）变式训练：（1）（x+3）（x+4）-x（x+2）-5 （2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例2：解方程（3x-2）（2x-3）=（6x+5）（x-1）变式训练：解方程2x（x-1）-（x+1）（2x-5）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例3：解不等式（3x+4）（3x-4）＞9（x-2）（x+3）变式训练：解不等式（2x-1）÷（2x-1）＞（2x+5）（2x-5）-2题型四：整式的化简求值例4：先化简，再求值（-2a4x2+4a3x3 -a2x4）÷（-a2x3）,其中a=，x=-4.。

变式训练：已知2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值。

题型五：整式乘法的实际应用例5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm，宽为 a cm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。

在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为b cm的小正方形（2b＜a），然后沿虚线折起即可，如图14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：①直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2［（a-2b）b+（a-2b）b］+（a-2b）（a-2b）；②间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=a·a-4b2 。

请你就是一下这两种方法的结果是否一样。

变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要C类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则例6：已知2x=m，2y=n，2z=mn，求证x+y=z变式训练：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。

第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例1：计算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）变式训练：（1）（x+3）（x+4）-x（x+2）-5 （2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例2：解方程（3x-2）（2x-3）=（6x+5）（x-1）变式训练：解方程2x（x-1）-（x+1）（2x-5）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例3：解不等式（3x+4）（3x-4）＞9（x-2）（x+3）变式训练：解不等式（2x-1）÷（2x-1）＞（2x+5）（2x-5）-2题型四：整式的化简求值例4：先化简，再求值（-2a4x2+4a3x3 -a2x4）÷（-a2x3）,其中a=，x=-4.。

变式训练：已知2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值。

题型五：整式乘法的实际应用例5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm，宽为a cm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。

在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为b cm的小正方形（2b＜a），然后沿虚线折起即可，如图14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：①直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2［（a-2b）b+（a-2b）b］+（a-2b）（a-2b）；②间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=a·a-4b2 。

请你就是一下这两种方法的结果是否一样。

变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要C类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则例6：已知2x=m，2y=n，2z=mn，求证x+y=z变式训练：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。

乘积与加和题型在历年的中公教师招聘考试中，乘积与加和是非常重要的一个部分，其在数学考试中占有一定比例。

虽然整体难度不大，但是也需要花费较多的时间来学习和理解运算法则。

其包含四种运算法则：积数定律、加法定律、乘法公式和减法式子，另外还会涉及一些特殊的运算：加数公式和除数公式以及乘积与加和结合题。

下面我们就以一道典型题为例来讲解乘积与加和相关知识。

一、题型概述在考试中，乘积与加和往往是考点。

此题考查了乘积与加和的知识及其运算法则，通过分析可以发现此题虽然有规律，但是却没有具体的解法，是一种典型的填空题。

对于这类题目，我们可以先从常见的运算法则入手进行了解并总结规律：乘积公式(1);(2)乘法公式(3);除数公式(4)。

1、乘积公式乘积公式是将0和1相乘进行乘积求解的运算公式。

在进行乘积公式学习时，我们可根据题干要求对乘积公式进行理解，并对其进行理解。

由于数列中的0通常有0和1或1与 n (1)的关系，这就有“1+1”与“2+1”的关系。

此外，“乘”与“和”也有一定相似之处：即只要存在二位的和就可以进行乘积。

因此结合以上两种计算方法即可得出结果。

因此对此题我们要做到：“先易后难”。

2、除数公式除数公式: y= a x+2 b x+3 b x+2 x+3-3+2 x+3 x+3 x+2 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x。

从上面这些文字中我们可以看出乘积与加和有明显的规律和解题方法。

对于一般情况、小范围题目我们可以采用化简策略解为:1+1>2,或2>3。

如果我们能找出2*3或者2×2大于3则可以直接求出除数公式；或者3=4……，等等。

乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ????xy ?2??z ?m ?2?x 2y 2??z ?m ??z ?m ??x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2??x 2y 2?z 2?2zm ?m 2⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ???x ?y ?2?z 2??x ?y ??x ?y ??z 2?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2?x 2?2xy ?y 2?z 2⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2???x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ???2x ??2y ?2z ???4xy ?4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。