2020年安徽省江南十校联考理科数学试题及答案

2020年安徽省江南十校联考理科数学试题及答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March绝密★启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．效．。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z＝(1－a)＋(a2－1)i(i为虚数单位，a>1)，则z在复平面内的对应点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A＝{x|3x<x＋4}，B＝{x|x2－8x＋7<0}，则A∩B＝A.(－1，2)B.(2，7)C.(2，＋∞)D.(1，2)3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为厘米厘米厘米厘米4.函数f(x)＝cos22x xx x-+在[－2π，2π]上的图象大致为5.若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2，x3的系数之和为－10，则实数a的值为A.－3B.－2C.－16.已知a＝log2，b＝ln3，c＝2－，则a，b，c的大小关系为>c>a >b>c >a>b >b>a7.执行下面的程序框图，则输出S的值为A.112-B.2360C.1120D.43608.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。

2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}xU y y e =|=，集合(){}ln 10A x x =|-<，则UA =ð（ ）A ．(][)–,02,∞⋃+∞B ．[)2,+∞C ．(][)–,12,∞⋃+∞D ．(][)0,12,+∞U【答案】D【解析】分别求两个集合，再求U C A . 【详解】解得{}|0U y y =>，01112x x <-<⇒<<∴{}|12A x x =<<， ∴(][)0,12,U A =⋃+∞ð．故选：D 【点睛】本题考查指对函数表示集合，集合的补集，意在考查基本计算，属于基础题型. 2．函数136,0()2,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过(5,12)P -，则()cos f f α=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】首先根据三角函数的定义，先求cos α，再代入分段函数求值. 【详解】根据三角函数的定义可知13OP =, 所以5cos 13α=-， 故()55cos 13611313f f α⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()cos 12f f f α⎡⎤⎣==⎦．故选：B 【点睛】本题考查三角函数的定义，分段函数求值，属于基础题型.3．已知点(),P x y 满足不等式3205050x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，点(),Q x y 是函数2()1f x x =-的图像上任意一点，则两点P ，Q 之间距离的最小值为（ ） A ．5212- B ．131-C ．4D ．522【答案】A【解析】首先画出不等式表示的可行域和函数()f x 的图象，根据数形结合表示两点间距离的最小值. 【详解】如图所示，点P 在平面区域阴影内任一点P ，()222110y x y x y =-⇒=-≥ ，即()2210x y y +=≥点Q 在半圆221(01)x y y +=≤≤上，如图，过点O 作直线50x y +-=的垂线，垂足为P ，交半圆于Q ，此时PQ 取最小值，求得min 5=1252||12PQ =--.故选：A 【点睛】本题考查不等式表示的平面区域，函数图象的做法，意在考查数形结合解决问题的能力，属于中档题型. 4．已知1b >，04πα<<，log sin (cos )b x αα=，log cos (cos )b y αα=，log sin (sin )b z αα=则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．z x y >>C ．z y x >>D ．y z x >>【答案】B【解析】首先比较sin α与cos α的大小，再根据指对函数的单调性比较,x y 的大小，根据幂函数的单调性比较,x z 的大小. 【详解】解：()log b f t t =为增函数，0sin cos 1αα<<<为减函数得log sin log cos 0b b αα<<， ()(cos )t g t α=为减函数，则x y >．当0a <时，()ah t t =在第一象限单调递减，log sin b a α=且cos sin αα>，则x z <．故z x y >>． 故选：B 【点睛】本题考查根据指对幂函数的单调性比较大小，以及三角函数的大小，重点考查函数单调性的应用，属于中档题型.5．如果关于实数θ的方程22sin 10x x θ--=有解，那么实数x 的取值范围是（ ） A ．{|11}x x x ≤-≥或 B ．0{}1|x x x >=-或 C ．0{|}1x x x <=或 D ．{}1,1-【答案】D【解析】首先参变分离为1sin 22x xθ=+，利用基本不等式求sin θ的范围，再结合sin θ的值域，求sin θ的值，再解实数x 的值. 【详解】解：由题得0x =不是方程的解，∴1sin 22x xθ=+，由1122x x +≥或1122x x+≤-且1sin 1θ-≤≤得： sin 1θ=±，故1x =±．故选：D 【点睛】本题考查根据函数零点求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于中档题型.6．要得到函数y x =的图像，只需将函数sin 2cos2y x x =+的图像（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移38π个单位 D ．向右平移38π个单位 【答案】D【解析】首先将两个函数化简为同名三角函数，再判断图象平移过程. 【详解】解：sin 2cos2)2()48y x x x x ππ=+=+=+2)2()24y x x x ππ==-=-，故向右移38π个单位． 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换，和函数平移变换，本题的关键是两个函数一定要化为同名三角函数，熟练应用诱导公式和辅助角公式.7．在公差不为0的等差数列{}n a 中取三项248,,a a a ，这三个数恰好成等比数列，则此等比数列的公比为（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意2428a a a =⋅，解得22a d =，再代入求公比.【详解】解：422a a d =+，826a a d =+，因为2428a a a =⋅，且0d ≠，求得22a d =，所以公比422 a q a ==； 或解：84844242422a a a a d q a a a a d-=====-． 故选：C 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的基本量的计算，重点考查计算，属于基础题型. 8．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面．命题://p m n ，且ρ是命题q 的必要条件，则q 可以是（ ） A ．//,//,//m n αβαβ B ．,,//m n αβαβ⊂⊂ C ．,,//m n αβαβ⊥⊥ D ．,//,//m n αβαβ⊂【答案】C【解析】由题意可知，若p 是命题q 的必要条件，则q p ⇒，逐一分析选项，判断直线,m n 的位置关系. 【详解】由题意可知，若p 是命题q 的必要条件，则q p ⇒，A.若满足//,//,//m n αβαβ，则,m n 平行，相交，异面都有可能，所以不正确；B.若满足,,//m n αβαβ⊂⊂，则,m n 平行或异面，所以不正确；C.若满足,,//m n αβαβ⊥⊥，只能推出两直线平行，故正确；D.若满足,//,//m n αβαβ⊂，则,m n 平行，相交，异面都有可能，故不正确. 故选：C 【点睛】本题考查线线，线面，面面的位置关系，以及必要条件的判断，意在考查空间想象能力，定理的灵活应用，属于基础题型.9．设函数()(0)x x f x e e x a x -=++->，若存在(]0,1b ∈使得()f f b b =⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．1,e e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．[)2,+∞【答案】A【解析】首先利用导数可知函数()f x 单调递增，由题意可知()f b b =有解，参变分离后可得b b a e e -=+，(]0,1b ∈，再换元设b e t =，(]1,t e ∈，利用基本不等式求a 的取值范围. 【详解】 解：()10(0)xxf x e ex -'+>>-=，故()f x 在()0,∞+上单调递增．(]0,1b ∈时，()f f b b =⎡⎤⎣⎦成立，即()f b b =有解，则b b e e b a b -++-=． 故b b a e e -=+，(0,1]b ∈． 令b e t =，则(]1,t e ∈，112,b b e e t e t e -⎛⎤ ⎥⎝+=+∈⎦+，即12,a e e ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，最值，和参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，本题的关键是根据函数的单调性，确定()f b b =.10．长度为1的线段MN 的正视图，侧视图和俯视图的投影长分别为a 、b 、c ，则a b c ++的最大值为（ ）A ．2B ．CD ．3【答案】C【解析】由已知条件构造长方体，使MN 与1BD 重合，设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则2221x y z ++=，然后利用基本不等求()2a b c ++的最大值.【详解】解：构造长方体1111ABCD A B C D -，使MN 与1BD 重合． 设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则2221x y z ++=．由题知22x z a+=，22y z b +=，22x y c +=，2222a b c ++=，()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，2223()6a b c ≤++=，故6a b c ++≤．故选：C 【点睛】本题考查三视图，几何体的结构特征，考查空间想象能力，基本不等式的应用，本题的关键是构造几何体，将使MN 与几何体的体对角线重合.11．如图所示，点P 为椭圆22143x y +=上任一点，1F ，2F 为其左右两焦点，12PF F △的内心为I ，则1212IF F PF F S S =V V （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】首先连PI 延长x 轴于D ，连1IF ，2IF ，利用角平分线定理得到1212||||||DF DF ID IP PF PF ==，再利用和比定理和椭圆的性质，得到21|||22ID c e IP a ===，从而得到面积比值. 【详解】解：连PI 延长x 轴于D ，连1IF ，2IF ． 在1PF D V 中有11ID DF IP PF =，在2PF DV 中有22ID DF IP PF =， 故1212121221||||||22DF DF ID DF DF c e IP PF PF PF PF a +======+， 故1212||1||3IF F PF F S ID S PD ==V V ．故选：A 【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用.12．偶函数()y f x =满足()()22f x f x +=-，当[]2,0x =-时有()2xf x -=．若存在实数12,,,n x x x ⋯，满足120n x x x ≤<<L ，且()()()()()()12231...299n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n x 的最小值为（ ） A ．198 B ．199C ．2198log 3+D ．2199log 3-【答案】B【解析】首先由条件分析函数的周期为4，并且()()1413i i f x f x +-≤-=，所以要n x 取得最小值，需尽可能多的()()13i i f x f x +-=，根据函数的周期和解析式得到n x 的最小值. 【详解】解：()()22f x f x +=-，推得()()()4f x f x f x +=-=， 故()f x 最小正周期为4．()()1413i i f x f x +-≤-=，n x 取得最小值，则需尽可能多的i x 取到最高（低）点， 由29929933=以及22x =得：(min)9921199n x =⨯+=．故选：B 【点睛】本题考查函数的周期，最值，图象，解析式的综合应用，意在考查转化与化归的思想，函数性质的灵活应用，属于中高档题型.二、填空题13．已知()()sin 2cos παπα+=-，则2sin (2cos1)2αα-=____________．【答案】25【解析】由诱导公式变形求tan 2α=，再根据三角恒等变形化简求值. 【详解】解：()()sin 2cos παπα+=-可得tan 2α=2sin (2cos 1)sin cos αααα-=222sin cos tan 2sin cos tan 15αααααα===++故答案为：25【点睛】本题考查三角恒等变形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型. 14．已知三棱锥A BCD -所有顶点都在半径为2的球面上，AD ⊥面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，则三棱锥A BCD -的体积最大值为____________．【答案】2【解析】由条件可知三棱锥可补成长方体，并且求得23AE BC ==，底面22212AB AC BC +==，根据基本不等式可求得AB AC ⋅的最大值和体积的最值.【详解】因为,,AB AC AD 两两垂直，所以三棱锥可补成长方体，底面三角形ABC 可补成长方形ACEB ，连结AE ，DE ，则DE 是长方体的体对角线，也是球的直径，AE 是小圆的直径，如图，4DE =，22232AE DE DA r BC =-===222122AB AC BC AB AC +==≥⋅．则6AB AC ⋅≤，1112326V AB AC AD AB AC =⋅⋅⋅⋅=⨯⋅123AB AC =⨯⋅≤．故答案为：2 【点睛】本题考查三棱锥和球的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，基本不等式解决最值问题，属于中档题型，本题的关键是确定三棱锥可补成长方体，利用长方体的性质和基本不等式求底面的最大值.15．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()110xf x x f x -++<的解集为_________． 【答案】 1|2x x ⎧⎫⎨-⎩>⎬⎭【解析】设函数()()g x xf x =，由条件可知函数()g x 是偶函数，并且在(),0-∞单调递减，不等式等价于()()1g x g x <+，利用函数的性质解抽象不等式. 【详解】解：令()()g x xf x =，由112212()()0x f x x f x x x -<-，得()g x 在()–,0∞为减函数， 且()g x 为偶函数，故()g x 在()0,∞+上为增函数，()()1g x g x <+即(||)(|1|)g x g x <+故|||1|x x <+，解得12x >-， 所以不等式的解集是 1|2x x ⎧⎫⎨-⎩>⎬⎭. 故答案为： 1|2x x ⎧⎫⎨-⎩>⎬⎭【点睛】本题考查判断函数的性质，并且根据函数的奇偶性，单调性，解抽象不等式，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是构造函数()()g x xf x =，并判断函数的性质. 16．如图所示，12,F F 为椭圆的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于B ．D 两点且222BF F D =，E 为线段1BF 上靠近1F 的四等分点．若对于线段1BF 上的任意点P ，都有11PF PD EF ED ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r成立，则椭圆的离心率为________．3【解析】取1F D 的中点Q ，连EQ ．PQ ．根据向量的加法和减法转化1PF PD ⋅=u u u r u u u r 22114PQ DF -u u u ur u u u u r ，同理221114EF ED EQ DF ⋅=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，等价于||||PQ EQ ≥u u u r u u u r ，由点P 的任意性判断1EQ BF ⊥，得到1||DF DB =，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率. 【详解】解：取1F D 的中点Q ，连EQ ．PQ ．221111()()4PF PD PF PD PF PD ⎡⎤⋅=+-⎣-⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()22221111444PQ DF PQ DF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 同理221114EF ED EQ DF ⋅=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11PF PD EF ED ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立等价于||||PQ EQ ≥u u u r u u u r ， 因为点P 是线段1BF 上的任意一点，故1EQ BF ⊥，得到1||DF DB =， 设2DF x =，则22BF x =，12DF a x =-， 由23a x x -=，得2ax =，12BF BF a ==，132DF a =， 在12F BF V 中，22212224cos 122a c F BF e a-∠==-， 在1DF B V 中，又222133122cos 3322a a a F BD a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⋅所以21123e -=，解得33e =．3【点睛】本题考查求椭圆的离心率，平面向量和几何图形的应用，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中高档题型，本题的关键是把向量的数量积转化为边长关系，再根据点P 的任意性，进一步得到几何关系.三、解答题17．已知面数()2sin(2)f x x ϕ=+，22ππϕ-<<．（1）当3πϕ=时，求函数()()2sin2g x f x x =+的单调递增区间；（2）若函数()f x 满足()()66f x f x ππ-=+，求ϕ的值 【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）6π=ϕ【解析】（1）根据三角恒等变形为()326g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直接求函数的单调递增区间；（2）由题意可知函数()f x 关于6x π=对称，代入直接求ϕ的值.【详解】（1）()2sin(2)2sin 223sin(2)36g x x x x ππ=++=+， 当222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈时函数单调递增，即()g x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由()()66f x fx ππ-=+得()f x 图像关于6x π=对称故32k ππϕπ+=+．,6k k πϕπ=+∈Z ．又22ππϕ-<<得6π=ϕ． 【点睛】本题考查三角恒等变形，求函数的性质，以及根据函数的性质求参数，意在考查转化与化归的思想，基本能力，属于基础题型. 18．如图在ABC V 中，3BAC π∠=，满足3AD DB =u u u r u u u r．（1）若3B π∠=，求ACD ∠的余弦值；（2）点M 是线段CD 上一点，且满足12AM mAC AB =+u u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积为23求||AM u u u u r的最小值．【答案】（1）513cos 26ACD ∠=（2）min ||2AM =u u u u r 【解析】（1）设DB a =u u u r ，则||3AD a =uuu r，在ACD V 和BCD V 中利用余弦定理求CD ，再在ACD V 中利用余弦定理求cos ACD ∠；或是设ACD θ∠=，在ACD V 和BCD V 中利用正弦定理，建立等量关系求ACD ∠的余弦值；（2）利用C 、M 、D 三点共线，求得13m =，再根据三角形的面积求得||||8AB AC ⋅=u u u r u u u r ，根据向量数量积求221132AM AC AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u r u u u r ，展开后利用基本不等式求最小值.【详解】（1）由题意可设DB a =u u u r ，则||3AD a =uuu r ．在ACD V 中有：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠① 在BCD V 中有：2222cos BC DB GD DB CD BDC =+-⋅∠②3+⋅①②可得2213CD a =，在ACD V 中有：2322cos AD AC CD AD CD ACD =+-⋅∠，解得cos ACD ∠=或解：由题意可设ACD θ∠=， 在△ACD 中：sin sin60AD CDθ=︒① 在BCD V 中：sin(60)sin 60DB CDθ=︒-︒②由①，②可得()3sin 60sin θθ︒-=，解得tan 5θ=，故cos 26θ=． （2）1223AM mAC AB mAC AD =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，且C 、M 、D 三点共线，所以13m =，1||||22ABCS AB AC =⋅⋅=V u u u r u u u r ， 故||||8AB AC ⋅=u u u r u u u r．22221111132943AM AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224116||439||AC AC =++≥u u u r u u ur当且仅当||AC =uuu rmin ||2AM =u u u u r ．【点睛】本题考查解三角形，平面向量，基本不等式求最值的综合应用，主要考查了方程的思想，转化与化归的思想，计算能力，本题的难点是结合条件，分析图形，转化为数学问题.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，12a =且()*1(2)n n na n S n +=+∈N ．（1）求数列{}n S 的前n 项和n T ； （2）数列{}n b 的通项公式(1)2nn n S b n =+，证明1321121n b b b n -⋅<+L【答案】（1）1(1)22n n T n +=-⋅+ （2）证明见解析【解析】（1）首先条件变形为()1(2)n n n n S S n S +-=+，变形后可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，求2nn S n =⋅，并且利用错位相减法求和； （2）由（1）可知1n n b n =+，证法一，首先212n n -2121n n -+等式； 证法二，1n n +2nn +，再求乘积证明不等式； 【详解】（1）由*1(2),n n na n S n +=+∈N ， 可得()1(2)n n n n S S n S +-=+， 即*12,1n n S Sn n n+=∈+N ， 所以11221n n n S S n -=⋅=，故2n n S n =⋅ 1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ②①-②得：1231122222nn n T n +-=⨯++++-⋅L1(1)22n n T n +∴=-⋅+．（2）2(1)2(1)21n n n n n S n nb n n n ⋅===++⋅+ 证法一：222221(21)(21)212(2)(2)121n n n n n n n n --+-=<=-+Q 1321132113211242352121n n n b b b n n n ---∴⋅⇒⨯⨯⨯<⨯⨯=++L L L ． 证法二（参照给分）：1111122nn n n n nn n n n n n +=⋅<⋅=++++++Q，1321132113211242352121n n n b b b n n n ---∴⋅=⨯⨯⨯<⋅=++L L L ．【点睛】本题考查递推公式求通项公式，错位相减法求和，利用不等式放缩证明不等式，意在考查推理证明，转化与化归，第二问是本题的难点，放缩法是证明不等式的常用方法. 20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，侧面PAD 与底面ABCD所成的角为120︒，PAD △是等边三角形，点P 到平面ABCD 距离为32．（1）证明：AD PB ⊥；（2）求二面角A PB C --余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）27【解析】（1）要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，取AD 中点E ，即证明AD ⊥平面PBE ；（2）由几何体的关系，得到如图所示的空间直角坐标系，设PB 的中点为G ，由（1）可知,AG BC 都与交线垂直，GA u u u r 与BC uuu r的夹角θ为所求二面角的平面角.【详解】（1）取AD 中点E ，则由已知得BE AD AD PE AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PBE AD PB ⇒⊥（2）AD PBE AD ABCD ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面平面ABCD ⊥平面PBE ，又平面PBE ⋂平面ABCD BE =．过P 作PO BE ⊥交BE 的延长线于O ，则PO ⊥面ABCD ， 由题可得到60PEO ∠=︒建立如图所示直角坐标系，设PB 的中点为G ，则3(0,0,)2P ，33B ，PB 中点333)4G 连接AG ，32A ，33(2,2C -，33(1,)44GA =--u u u r ， 333(0,)22PB =-u u u r ，(2,0,0)BC =-u u u r于是0GA PB ⋅=u u u r u u u r ，0BC PB ⋅=u u u r u u u r，GA u u u r 与BC uuu r 的夹角θ为所求二面角的平面角，则27cos 7||||GA BC GA BC θ⋅==-u u u r u u u ru u u r u u u r ．【点睛】本题考查线线垂直的证明，二面角的求解，意在考查推理证明，空间直角坐标系解决空间角，属于中档题型，本题的第二问是用空间直角坐标的方法解决二面角，一般都是要求两个平面的法向量，但这个题不用，而是有和交线垂直的线，所以GA u u u r 与BC uuu r的夹角表示二面角.21．如图，已知椭圆E 的右焦点为()21,0F ，P ．Q 为椭圆上的两个动点，2PQF V 周长的最大值为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M ．N ，求1F MN △面积取最大值时的直线l 方程．【答案】（1）22143x y += （2）1x =【解析】首先表示2PQF V 的周长，并利用定义转化求周长的最值，求解方程； （2）可设直线:1l x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1F MN △的面积，并通过换元法和基本不等式求最值. 【详解】（1）取左焦点()–1,0F ，2PQF V 的周长为：2121||22||PF QF PQ a PF a QF PQ ++=-+-+()114||a PF QF PQ =-+-4a ≤（三点P ，Q ．1F 共线时取等号）， 由48a =，2a =，椭圆E 的方程：22143x y +=.（2）可设直线:1l x my =+221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=， 122634my y m -+=+，122934y y m -=+ ()12212121212112142MF Nm S F F y y y y y y +=-=+-=V令21(1)t m t =+≥，13y t t=+在[)1,+∞单调递增， 12313S t t=≤+，1MN F S V 最大值为3，此时0m =，所以直线的方程为1x =．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.22．已知函数()xf x e x a =--，对于(),0x f x ∀∈≥R 恒成立．（1）求实数a 的取值范围；（2）当实数a 取最大值时，函数211()()(1sin 2)22g x f x x x x =----．当实数12x x ≠，若()()122g x g x +=，求证：120x x +<．【答案】（1）1a ≤ （2）证明见解析【解析】（1）由不等式恒成立转化为参变分离x a e x ≤-恒成立，构造函数()x h x e x =-，利用导数求函数的最小值，求a 的取值范围；（2）由（1）可知211()sin 222x g x x x e =-+，通过构造函数()()()–Q x g x g x =+，利用导数证明()Q x 单调递增，且()02Q =，由()01g =及()g x 为单调递增函数，()()122g x g x +=，则12,x x 异号，再设20x >，则()()202Q x Q >=，逐步证明.【详解】（1）0x e x a --≥恒成立，x a e x ≤-恒成立，令()x h x e x =-，()1xh x e '=-， 0x >，()0h x '>，()h x 单调递增，0x <，()0h x '<，()h x 单调递减，min ()(0)1h x h ==，故1a ≤．（2）211()sin 222x g x x x e =-+， cos (2)1cos20x g x e x x x '=-+≥+≥，()g x 单调递增，且()01g =．令()()()–Q x g x g x =+， 则221111()sin 2sin 22222x x Q x x x e x x e -=-+--+ 2x x e e x -=+-令()e e 2()x x Q x x h x -'=--=，()e e 20x x h x -'=+-≥．()h x 单调递增，()00h =，故当0x >时，()0Q x '>，所以()Q x 单调递增，且()02Q =．由()01g =及()g x 为单调递增函数，()()122g x g x +=，则12,x x 异号，不妨设20x >，则()()202Q x Q >=，即()()222g x g x +->，()()2212()g x g x g x ->-=()g x 为单调递增函数，故12x x ->，210x x +<．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，恒成立的综合问题，重点考查了转化思想，构造函数思想，逻辑推理能力，属于难题，本题第二问的关键和难点是构造函数()()()=+，由函数的单调性和零点转化为自变量的大小关系.–Q x g x g x。

2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =1+ai i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−∞,0)2. 已知集合A ={x|3x −x 2>0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <3}B. {x|−1<x <0}C. {x|0<x <1}D. {x|1<x <3}3. 一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是，则该扇形的面积是( ) A.B.C.D. π4. 函数f(x)=sinx2+cosx (−π≤x ≤π)的图象大致为( )A.B.C.D.5. (x + y 2x)(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 206. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a7. 阅读如图所示的程序框图，输出的S 的值是( )A. 2 0132 015B. 2 0132 014C. 2 0122 013D. 2 0112 0128.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如10=7+3.在不超过30的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. 112B. 114C. 115D. 1189.在正项等比数列{a n}中，若a1=2，a3=8，{a n}的前n项和为S n.则S6=()A. 62B. 64C. 126D. 12810.双曲线x2−y23=1的两条渐近线夹角是()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°11.关于函数f(x)=4sin(2x+π3),(x∈R)有下列命题：其中正确的是()①由f(x1)=f(x2)=0可得x1−x2必是π的整数倍；②f(x)的表达式可改写为f(x)=4cos(2x−π6)；③f(x)的图象关于点(−π6,0)对称；④f(x)的图象关于直线x=π3对称；⑤f(x)在区间(−π3,π12)上是增函数．A. ②③⑤B. ①②③C. ②③④D. ①③⑤12.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N为线段AC上的点，若MN=2，则三棱锥P−MNB的体积为()A. 13B. √23C. √33D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f (x )=x 22+x −2lnx ，求函数f (x )在点(2,f (2))处的切线方程________．14. 若命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．15. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,3)，B(−2,k)，若向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数k = ______ ． 16. 已知A 是抛物线y 2=4x 上的一点，以点A 和点B(2,0)为直径的圆C 交直线x =1于M ，N 两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．(1)求线段MN 的长；(2)若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与|MN|相等，求直线l 的方程． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a,b,c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2asin (C +π3)=√3b ．(1)求角A 的值．(2)若b =3,c =4，点D 在BC 边上，AD =BD ，求AD 的长．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA=AB=√3，BC=2，AD=1．(1)若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD;(2)当SM=MB，DN=3NC时，求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．19.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．(1)设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)求恰好得到n(n∈N∗)分的概率．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点． (1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．21. 已知函数f(x)=x|x +a|−12lnx(Ⅰ)当a ≤−2时，求函数f(x)的极值点； (Ⅱ)若f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l 1与C 相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作l 1的垂线l 2交C 于P ，Q 两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ|的值．|MP|⋅|MQ|23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤x+3；(2)若不等式|m|·f(x)≥|m+2|−|3m−2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数的基本运算和复数的几何意义，属于基础题．解：由z=a−i，又∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，有a>0．∴实数a的取值范围为(0,+∞)故选A．2.答案：C解析：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：C．3.答案：C解析：本题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，属于基础题．由已知先求弧长，利用扇形的面积公式即可计算得解．解：因为扇形的弧长，则面积，故选C．4.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx =−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C ， 分母2+cosx >0，则当0<x <π时，sinx >0，则f(x)>0，排除D ， f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B 不满足条件．故选：A ．利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用f(π4)<f(π2)，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．5.答案：C解析：解：因为(x + y 2x)(x +y)5=(x 2+y 2)(x+y)5x；要求展开式中x 3y 3的系数即为求(x 2+y 2)(x +y)5展开式中x 4y 3的系数；展开式含x 4y 3的项为：x 2⋅C 52x 2⋅y 3+y 2⋅C 54x 4⋅y =15x 4y 3；故(x + y 2x)(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为15；故选：C ．先把条件整理转化为求(x 2+y 2)(x +y)5展开式中x 4y 3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：依题意，知：i=1,n=2,S=0+11×2，i=2,n=3,S=11×2+12×3，i=3, n=4, S=11×2+12×3+13×4，…i=2 013, n=2014, S=11×2+12×3+13×4+⋯+12 013×2 014=1−12 014=2 0132 014．i=2014，满足退出循环条件，故输出S值为：20132014．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.答案：C解析：本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．解：在不超过30的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有C102=45种，和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种，则对应的概率P=345=115，故选C．9.答案：C解析：解：在正项等比数列{a n}中，由a1=2，a3=8，得q2=a3a1=82=4，∴q=2．则S6=2(1−26)1−2=126．故选：C．由已知结合等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的前n项和求S6．本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是基础的计算题．10.答案：B解析：由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．解：双曲线x2−y23=1的两条渐近线的方程为：y=±√3x，所对应的直线的倾斜角分别为60°，120°，∴双曲线x2−y23=1的两条渐近线的夹角为60°，故选B．11.答案：A解析：解：①由f(x1)=f(x2)=0，得2x1+π3=kπ,2x2+π3=mπ，所以2x1−2x2=(k−m)π，即x1−x2=(k−m)π2,k,m∈Z，所以①错误．②f(x)=4cos(2x−π6)=4cos(π6−2x)=4sin[π2−(π6−2x)]=4sin(2x+π3)，所以②正确．③因为f(−π6)=4sin[2(−π6)+π3]=4sin0=0，所以f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，所以③正确．④因为f(π3)=4sin(2×π3+π3)=4sinπ=0不是函数的最大值，所以f(x)的图象关于直线x=π3不对称，所以④不正确．⑤由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，得−5π12+kπ≤x≤π6+kπ，当k=0时，得−5π12≤x≤π6，即函数的一个单调增区间为[−5π12,π6]，所以函数f(x)在区间(−π3,π12)上是增函数，所以⑤正确．故选A．利用三角函数的图象和性质分别判断．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质，综合性较强．12.答案：D解析：解：取AC的中点O，连结PO，BO．∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABC．∵AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，∴AC=2√2，BO=AO=12AC=√2，∴PO=√PA2−OA2=√2．∴V P−MNB=13S△BMN⋅PO=13×12×2×√2×√2=23．故选D．取AC的中点O，连结PO，BO，则利用面面垂直的性质可证PO⊥平面ABC，利用勾股定理计算BO，PO，于是V P−BMN=13S△BMN⋅PO．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．13.答案：2x−y−2ln2=0解析：本题考查导数的几何意义，基础题型．利用导数的几何意义求解即可．解：∵函数f(x)=x22+x−2lnx，∴f′(x)=x+1−2x，∴f′(2)=2+1−1=2，f(2)=2+2−2ln2=4−2ln2，∴函数f(x)在点(2,4−2ln2)处的切线方程为y−4+2ln2=2(x−2)，即2x−y−2ln2=0．故答案为2x−y−2ln2=0．14.答案：[14,+∞)解析：本题考查了特称命题与全称命题的概念，是基础题．命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”的否定为：“∀x ∈R ，x 2+x +m ≥0“，原命题为假，则其否定为真，由△=1−4m ≤0，可求出实数m 的范围．解：命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为：“∀x ∈R ，x 2+x +m ≥0“， 则△=1−4m ≤0， 解得：m ≥14，故实数m 的范围是[14,+∞)．15.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k)−(1,3)=(−3,k −3)，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)⋅(−3,k −3)=−3+3(k −3)=0，解得k =4． 故答案为：4．利用向量的坐标运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．16.答案：解：(1)设A(y 024,y 0)，圆C 方程为(x −2)(x −y 024)+y(y −y 0)=0， 令x =1，得y 2−y 0y +y 024−1=0，∴y M +y N =y 0，y M y N =y 024−1，|MN|=|y M −y N |=√(y M +y N)2−4y M y N =√y 02−4(y 024−1)=2．(2)设直线l 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则 由{x =my +n,y 2=4x消去x ，得y 2−4my −4n =0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，∵OP →⋅OQ →=−3，∴x 1x 2+y 1y 2=−3，则(y 1y 2)216+y 1y 2=−3，∴n 2−4n +3=0，解得n =1或n =3，当n=1或n=3时，点B(2,0)到直线l的距离为d=1√1+m2，∵圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴y028=1√1+m2，又m=y024−2y0，消去m得y02⋅y04+6416=64，求得y02=8，此时m=y024−2y0=0，直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．解析：(1)根据题意利用弦长公式求出即可得到MN的长；(2)设出直线l的方程为x=my+n，P，Q点的坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于n的式子，解出即可得到直线方程．17.答案：解：(1)2asin(C+π3)=√3b变形为因为sinC≠0，所以，tanA=√3，因为是在三角形内，故A．(2)由题意得，a2=b2+c2−2bccosA=13，∴a=√13，根据正弦定理得到：，所以cosB=2√13，因为AD=BD，所以sin∠ADB=sin2B=2sinBcosB=2×3√32√13×52√13=15√326在△ABD中，由正弦定理得：AD sinB =ABsin∠ADB，．解析：本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．(1)直接化简可求出tan A的值，即可解得答案；(2)利用余弦定理和正弦定理求解即可得答案．18.答案：(1)证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．在△SBC中，ME为中位线，∴ME//BC且ME=12BC，∵AD//BC且AD=12BC，∴ME//AD且ME=AD，∴四边形AMED为平行四边形．∴AM//DE.∵DE⊂平面SCD，AM⊄平面SCD，∴AM//平面SCD．(2)解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,√3,0),C(2,√3,0),D(1,0,0),S(0,0,√3)，于是AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32), AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+34(1，√3，0)=(74，3√34，0)．设平面AMN 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z),则{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0将坐标代入并取y =7，得n ⃗ =(−3√3,7,−7).另外易知平面SAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0,0) 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√1525解析：【试题解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题． (1)取线段SC 的中点E ，连结ME ，ED ，推导出四边形AMED 为平行四边形，从而AM//DE ，由此能证明AM//平面SCD ．(2)以A 为坐标原点，建立分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．19.答案：解：(1)所抛5次得分ξ的概率为P(ξ=i)=C 5i−5(12)5(i =5,6，7，8，9，10)， 其分布列如下：Eξ=∑i 10i=5⋅C 5i−5(12)5=152(分)．(2)令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n −1分以后再掷出一次反面． 因为“不出现n 分”的概率是1−p n ，“恰好得到n −1分”的概率是p n−1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1−p n =12p n−1， 即p n −23=−12(p n−1−23)．于是{p n −23}是以p 1−23=12−23=−16为首项，以−12为公比的等比数列． 所以p n −23=−16(−12)n−1，即p n =13[2+(−12)n ]． 答：恰好得到n 分的概率是13[2+(−12)n ]．解析：本题主要考查独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．(1)由题意分析的所抛5次得分ξ为独立重复试验，利用二项分布可以得此变量的分布列； (2)由题意分析出令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n −1分以后再掷出一次反面．“不出现n 分”的概率是1−p n ，“恰好得到n −1分”的概率是p n−1，利用题意分析出递推关系即可．20.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=23，则b 2a 2=59，①由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a 2+259b 2=1，② 解得：a 2=9，b 2=5， ∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1；(2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， {x =my5x 2+9y 2=5a 2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2， ∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a√5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ， 则{x =my −a 5x 2+9y 2=5a 2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0， 由y =0，或y 1=10am5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)， 则y 2=2y 1， 则√5a 2=2×10am5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35，则直线AB 的斜率1m=5√33； 方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)， B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1， 由B ，C 在椭圆上， ∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y22)2=5a 2，解得：x 2=a4，y 2=4√3 则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ； 方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ) 当a ≤−2时，f(x)={x 2+ax −12lnx,x ≥−a−x 2−ax −12lnx,0<x <−a ． ①当x ≥−a 时，f′(x)=2x +a −12x=4x 2+2ax−12x>0，所以f(x)在(−a,+∞)上单调递增，无极值点， ②当0<x <−a 时，f′(x)=2x −a −12x=−4x 2−2ax−12x．令f′(x)=0得，−4x 2−2ax −1=0，△=4a 2−16>0， 则x 1=−a−√a2−44，x 2=−a+√a2−44，且0<x 1<x 2<−a ，当x ∈(0,x 1)时，f′(x)<0；当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)>0； 当x ∈(x 2,a)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,x 1)上单调递减，在(x 1,x 2)上单调递增；在(x 2,a)上单调递减． 综上所述，当a <−2时，f(x)的极小值点为x =−a−√a2−44和x =−a ，极大值点为x =−a+√a2−44；(Ⅱ)函数f(x)的定义域为x ∈(0,+∞)，由f(x)>0可得|x +a|>lnx 2x…(∗)(ⅰ)当x ∈(0,1)时，lnx2x <0，|x +a|≥0，不等式(∗)恒成立； (ⅰ)当x =1时，lnx2x =0，即|1+a|>0，所以a ≠1； (ⅰ)当x >1时，不等式(∗)恒成立等价于a <−x −lnx2x恒成立或a >−x +lnx 2x恒成立．令g(x)=−x −lnx2x，则g′(x)=−1−1x⋅2x−2lnx 4x 2=−2x 2−1+lnx2x 2．令k(x)=−2x 2−1+lnx ，则k′(x)=−2x +1x=1−2x 2x<0，而k(1)=−1−1+ln1=−2<0，所以k(x)=−2x 2−1+lnx <0，即g′(x)=−2x 2−1+lnx2x 2<0，因此g(x)=−x −lnx2x在(1,+∞)上是减函数，所以g(x)在(1,+∞)上无最小值，所以a <−x −lnx 2x不可能恒成立． 令ℎ(x)=−x +lnx 2x，则ℎ′(x)=−1+1x⋅2x−2lnx 4x 2=−2x 2+1−lnx2x 2<0，因此ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数，所以ℎ(x)<ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.又因为a ≠−1，所以a >−1． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是(−1,+∞)．解析：(Ⅰ)由题意化简函数解析式，根据求导公式分别求出f′(x)，分别判断出f′(x)与0的关系，利用导数的正负求出函数ℎ(x)的单调区间、极值点；(Ⅱ)先求出函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞)，再化简不等式f(x)>0为|x+a|>lnx2x，对x与1的关系进行分类讨论，当x>1时转化为“a<−x−lnx2x 恒成立或a>−x+lnx2x恒成立”，再分别构造函数，求出导数、函数的单调区间和值域，即可求出a的取值范围．本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值等，恒成立问题的转化，以及转化思想、分类讨论思想、构造函数法等，考查化简、灵活变形能力，综合性强、难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点、难点．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)≤x+3，∴|x −1|+|x −2|≤x +3， ①当x ≥2时，，②当1<x <2时，，③当x ≤1时，，由①②③可得x ∈[0,6]；(2)①当m =0时，0≥0，∴x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立， |2m +1|−|2m −3|≤|(2m +1)−(2m −3)|=4， 当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号， ∴f(x)=|x −1|+|x −2|≥4， 由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．解析：(1)分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；(2)讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。

2020年安徽省江淮十校高考数学第三次联考试卷（理科）（5月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=ln(x−1)}，B={x|2x>1}，则A∩B=()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (0,1)2.复数z满足(−12+√32i)z=1，则z的共轭复数为()A. 12+√32i B. 12−√32i C. −12+√32i D. −12−√32i3.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.则其渐近线的方程为()A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. √2x±y=0D. x±y=04.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4).函数f(x)=x2，若在矩形ABCD内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 5125.等差数列{a n}的首项为5.公差不等于零．若a2，a4，a5成等比数列，则a2020=()A. 12B. √32C. −√32D. −20146.(x+1)4(1−2x)3展开式中x6的系数为()A. 20B. −20C. 44D. 407.某多面体的三视图如图所示，该多面体的各个面中有若干个是三角形，这些三角形的面积之和为()A. 16B. 12C. 8+4√2D. 8+4√68.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1+13+15+⋯+12019，则判断框内应填人的条件是()A. i>1008？B. i≤1008？C. i≤1010？D. i>1009？9.已知函数f(x)=cos2(x+π6)−2sin2(x+π6)+2.则关于它该函数性质的说法中，正确的是()A. 最小正周期为2πB. 将其图象向右平移π6个单位，所得图象关于y轴对称C. 对称中心为(π12+kπ2,0)(k∈Z)D. [0,π2]上单调递减10.为推进长三角一体化战略，长三角区域内5个大型企业举办了一次协作论坛．在这5个企业董事长A，B，C，D，E集体会晤之前，除B与E，D与E不单独会晤外，其他企业董事长两两之间都要单独会晤．现安排他们在正式会晤的前两天的上午、下午单独会晤(每人每个半天最多只进行一次会晤)，那么安排他们单独会晤的不同方法共有()A. 48种B. 36种C. 24种D. 8种11.已知函数f(x)的定义域为R.其图象关于原点成中心对称，且当x>0时f(x)=e x−x−1，则不等式|f(x−1)|≤ln e2的解集为()A. [−ln2+1,ln2+1]B. [−ln2−1,ln2−1]C. (−∞,−ln2)∪(ln2,+∞)D. (−∞,0)∪(e,+∞)12.侧棱长为2√3的正四棱锥V−ABCD内，有一半球，其大圆面落在正四棱锥底面上，且与正四棱锥的四个侧面相切，当正四棱锥的体积最大时，该半球的半径为()A. 1B. √2C. √22D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2√13，则a⃗，b⃗ 的夹角为______．14.设x，y满足约束条件{2x−y−1≥0x+y−3≤0x−3y−3≤0，则z=3x−2y的最大值为______．15.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2−2x−8=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是______．16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C、D，使得AC=DB=14AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依式类推，我们就得到了以下一系列图形；记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n，若对任意的正整数n，都有S n<9.则正数a的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图．在△ABC中，点P在边BC上，C=π3，AP=2，AC⋅PC=4．(1)求∠APB；(2)若△ABC的面积为5√32.求sin∠PAB．18.平面凸六边形MBB1NC1C的边长相等，其中BB1C1C为矩形，∠BMC=∠B1NC1=90°.将△BCM，△B1C1N分别沿BC，B1C1折至ABC，A1B1C1，且均在同侧与平面BB1C1C垂直，连接AA1，如图所示，E，G分别是BC，CC1的中点．(1)求证：多面体ABC−A1B1C1为直三棱柱；(2)求二面角A−EG−A1平面角的余弦值．19.2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶、接触等途径，为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，宣传居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送(配送费由政府补贴).快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”.这两家公司对“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成5元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员一日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲公司的“快递员”日工资为X(单位：元).求X的分布列和数学期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0).若A(0,−√3)，B(√3,√32)，P(−√3,−√32)，Q(−√3,1)四点中有且仅有三点在椭面C上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 分别与椭圆C 交于M ，N 两点，D(4,0)，求证：直线DM ，DN 关于x 轴对称．21. 已知函数f(x)=ax 2−2x+2e x ．(1)当a >0时，试讨论f(x)的单调性；(2)对任意a ∈(−∞,−2)时，都有ax 2−2x +2<ke x 成立，试求k 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2．(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2交于M ，N 两点，求C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−1|，a∈R．(1)当a=2时，求不等式f(x)≤4；+2总有解，求实数a的取值范围．(2)对任意m∈(0,3).关于x的不等式f(x)<m+1m答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|y=ln(x−1)}={x|x>1}，B={x|2x>1}={x|x>0}，∴A∩B={x|x>1}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵(−12+√32i)z=1，∴z=−12+√32i=−12−√32i(−12+√32i)(−12−√32i)=−12−√32i，则z的共轭复数为−12+√32i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2．可得：ca =2，即1+b2a=4，可得ba=√3，则双曲线C的渐近线方程为：x±√3y=0．故选：A．通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解析】解：由已知，矩形的面积为4×(2−1)=4，阴影部分的面积为∫(214−x2)dx=(4x−13x3)|12=53，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512；故选：D．分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．5.【答案】D【解析】解：等差数列{a n}的首项为5，公差d不等于零，若a2，a4，a5成等比数列，则a42=a2a5，即为(5+3d)2=(5+d)(5+4d)，解得d=−1，则a2020=5+2019×(−1)=−2014．故选：D．设公差为d，结合等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程求得d，再由等差数列的通项公式可得所求值．本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵(x+1)4中x的4次方，3次方的系数分别为：C44=1和C43=4；而(1−2x)3展开式中x的3次方，2次方的系数分别为：C33⋅(−2)3=−8和C32⋅(−2)2=12；∴(x+1)4(1−2x)3展开式中x6的系数为：4×(−8)+1×12=−20；故选：B．根据二项展开式的特点分别求出(x+1)4中x的4次方，3次方的系数以及(1−2x)3展开式中x的3次方，2次方的系数；进而求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．【解析】【分析】本题考查了根据几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．由几何体的三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，截去一个三棱锥；由图中数据计算两个三角形的面积和即可．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，截去一个三棱锥，如图所示：由图中数据，计算S△ABC=12×42=8，EF=EG=√42+22=2√5，GF=4√2，S△EFG=12×4√2×√(2√5)2−(2√2)2=4√6；所以两个三角形的面积之和为8+4√6．故选：D．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1=1，i=1+1=2判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1+13，i=2+1=3判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1+13+15，i=3+1=4…以此类推，令2019=2i−1，可得i=1010，当i=2010，判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1+13+15+⋯+12019，i=1011此时，不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是i≤1010？．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【解析】解：函数f(x)=cos2(x+π6)−2sin2(x+π6)+2=1+cos(2x+π3 )2−2×1−cos(2x+π3)2+2=32cos(2x+π3)+32，周期为：T=2π2=π，所以A不正确；将其图象向右平移π6个单位，所得函数y=f(x−π6)=32cos2x+32，则图象关于y轴对称，所以B正确；令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2(k∈Z)，对称中心为(π12+kπ2,32)(k∈Z)，所以C不正确；当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，函数先减后增，所以D不正确；故选：B．化简函数的解析式，求出函数的周期怕啥A；利用函数的平移变换求解函数的解析式判断B；利用函数的对称中心判断C，函数的单调性判断D；本题考查三角函数的图象变换，三角函数的化简求值，函数的单调性对称轴以及函数的周期的求法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，5个企业董事长A，B，C，D，E集体会晤之前，除B与E，D与E不单独会晤外，则单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行．因为能同时会晤的共有(AB,CD)，(AC,BD)，(AD,CE)，(AE,BC)和(AB,CE)、(AC,BD)，(AD,BC)，(AE、CD)两种情况，故不同的安排方法共有2×A44=48种；故选：A．根据题意，分析5人可以进行单独会晤的情况，进而分步进行分析，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：函数f(x)的定义域为R，其图象关于原点成中心对称，故f(x)为奇函数，且当x>0时f(x)=e x−x−1，f′(x)=e x−1>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在R上单调递增，且f(ln2)=ln e2．则不等式|f(x−1)|≤ln e2，即|f(x−1)|≤f(ln2)，即−f(ln2)≤f(x−1)≤f(ln2)，即f(−ln2)≤f(x−1)≤f(ln2)，∴−ln2≤x−1≤ln2，1−ln2≤x≤1+ln2，故选：A．先由f(x)在R上单调递增，且f(ln2)=ln e2，不等式即|f(x−1)|≤f(ln2)，可得−ln2≤x−1≤ln2，由此求得x的范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于加中档题．12.【答案】B【解析】解：设棱锥底面中心为O，E为AB的中点，作OF⊥VE于F，则半球的半径为OF．设AB=a，则OA=√22a，∴VO=√VA2−OA2=√12−a22，∴正四棱锥的体积V=13⋅a2⋅√12−a22，令√12−a22=t(t≥0)，则a2=24−2t2，∴V=8t−2t33，故V′(t)=8−2t2，令V′(t)=0可得t=2，∴当0<t<2时，V′(t)>0，当t>2时，V′(t)<0，∴当t=2时，V(t)取得最大值，即正四棱锥的体积最大，此时，a 2=16，a =4，VO =2，OE =AE =a2=2，VE =√VA 2−AE 2=2√2， ∴OF =OE⋅VO VE=2√2=√2．故选：B ．设底面边长为a ，得出棱锥体积关于a 的函数，求出函数最大值对应的a 即可得出半球的半径． 本题考查了棱锥与球的位置关系，考查棱锥的体积计算，函数最值的求法，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：设a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，∵|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13，∴4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=52，即4×9+4×3×2×cosθ+4=52，解得cosθ=12， ∵θ∈[0,π]， ∴θ=π3．故答案为：π3．设a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ∈[0,π]，将|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13两边平方后，代入数据进行运算即可得解．本题考查平面向量的数量积运算、模长问题，解决模长问题常见的方法是平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x −y −1≥0x +y −3≤0x −3y −3≤0，的可行域如图：z =3x −2y 经过可行域A 时，目标函数的纵截距最小，此时z 取得最大值，{x −3y −3=0x +y −3=0解得A(3,0)， 则z =3x −2y 的最大值为9． 故答案为：9．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】(6,8)【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x=−1；由抛物线的定义可得|AF|=x A+1；又圆x2+y2−2x−8=0可化为(x−1)2+y2=9，其圆心为F(1,0)，半径为r=3；所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=(x A+1)+(x B−x A)+3=4+x B；由抛物线y2=4x及圆x2+y2−2x−8=0，可得交点的横坐标为2，所以x B∈(2,4)；所以△FAB的周长取值范围是(6,8)．故答案为：(6,8)．根据抛物线的定义与圆的方程，结合三角形的周长公式，即可求出△FAB的周长取值范围．本题考查了抛物线的定义与圆的方程应用问题，也考查了三角形周长的计算问题，是中档题．16.【答案】95【解析】解：由题意，得图1中的线段为a，S1=a，图2中的正六边形边长为12a，S2=S1+12a×4=S1+2a=3a；图3中的最小正六边形的边长为14a，S3=S2+14a×4=S2+a=4a；图4中的最小正六边形的边长为18a，S4=S3+18a×4=S3+12a，由此类推，S n−S n−1=12n−3a，n≥2，故当n≥2时，S n=S1+(S2−S1)+(S3−S2)+⋯+(S n−S n−1)=a+2a+a+12a+⋯+12n−3a=a+4a(1−12n−1)，而n=1满足上式，从而S n<5a，即存在最大的正数a=95满足题意．故答案为：95．猜想归纳出其递推规律，再由数列恒等式和等比数列的求和公式，得到S n，再由不等式的性质求出范围．本题考查数列的通项公式，不等式恒成立，考查运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)在△APC中，因为C=π3，AP=2，AC⋅PC=4，设AC=x，则PC=4x ，由余弦定理可得：22=x2+(4x)2−2⋅x⋅4x⋅cosπ3，可得x=2，则AC=PC=AP，此时△APC为等边三角形，从而∠APB=2π3．(2)由S△ABC=12AC⋅BC⋅sinπ3=5√32，可得BC=5，则BP=3，作AD⊥BC交BC于D，由(1)可知，在等边△APC中，AD=√3，PD=1，在Tt△ABD中，AB=√AD2+BD2=√3+16=√19，在△ABP中，由正弦定理可得ABsin∠APB =PBsin∠PAB，所以sin∠PAB=3×√32√19=3√5738．【解析】(1)设AC=x，则PC=4x，由余弦定理可解得x=2，可求AC=PC=AP，此时△APC为等边三角形，从而可求∠APB=2π3．(2)由已知利用三角形的面积公式可求BC，BP的值，作AD⊥BC交BC于D，利用勾股定理求得AB的值，进而在△ABP中，由正弦定理可求sin∠PAB的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，勾股定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取B1C1的中点F，连接A1F，EF，∵F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1，又平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，且平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，∴A1F⊥平面BB1C1C.同理可证AE⊥平面BB1C1C，则A1F//AE，而AE=A1F，∴四边形A1FEA为平行四边形，则A1A//EF，A1A=EF．又B1B//EF，C1C//EF，B1B=EF，故B 1B//C1C//A1A，且B1B=A1A，因此四边形B1BAA1为平行四边形，则BA//B1A1，而BA⊂平面ABC，B1A1⊄平面ABC，故B 1A1//平面ABC．由题设，显然有B1C1//平面ABC，而B1A1∩B1C1=B1，故平面A1B1C1//平面ABC．又四边形B 1BAA 1，B 1BCC 1均为平行四边形，则AA 1//CC 1，从而四边形AA 1C 1C 为平行四边形， 而BB 1⊥平面ABC ，因此多面体ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱； (2)解：过F 作FD ⊥EG 交EG 于D ，连接A 1D ，由(1)知A 1F ⊥平面BB 1C 1C ，则A 1F ⊥EG ，而FD ⊥EG ，且A 1F ∩FD =F ， ∴EG ⊥平面A 1FD ，得EG ⊥A 1D .故∠A 1DF 为二面角A −EG −B 1的平面角．而AE ⊥平面BB 1C 1C ，AE ⊂平面AEG ，则平面AEG ⊥平面BB 1C 1C . 因此二面角A −EG −A 1的平面角为α=π2−∠A 1DF ． 设A 1B 1=t ，则EF =t ，A 1F =√22t ，CB =C 1B 1=√2t ．从而FD =EF ⋅sin∠GEF =EF ⋅sin∠EGC =t √22t (√22t)+(12t)=√63t ．故A 1D =(√22(√63=√426t ．则cosα=cos(π2−∠A 1DF)=sin∠A 1DF =A 1FA1D=√22t √426=√217． 故二面角A −EG −A 1平面角的余弦值为√217．【解析】(1)由已知证明多面体ABC −A 1B 1C 1的侧棱互相平行，再证明两个底面A 1B 1C 1//平面ABC ，且侧棱BB 1⊥平面ABC ，可得多面体ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱；(2)过F 作FD ⊥EG 交EG 于D ，连接A 1D ，证明∠A 1DF 为二面角A −EG −B 1的平面角，可得二面角A −EG −A 1的平面角为α=π2−∠A 1DF.设A 1B 1=t ，然后求解三角形得答案．本题考查棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题可知，当0≤n ≤83时，y =120元；当n >83时，y =120+(n −83)×5=5n −295，∴乙公司的快递员一日工资y(单位：元)与送件数n 的函数关系为：y ={120,0≤n ≤835n −295,n >83．(2)①X 的所有可能取值为152，154，156，158，160，将频率视为概率，由条形图可知，P(X =152)=0.1，P(X =154)=0.2，P(X =156)=0.1，P(X =158)=0.4，P(X =160)=0.2． ∴X 的分布列为数学期望E(X)=152×0.1+154×0.2+156×0.1+158×0.4+160×0.2=156.8(元)． ②设乙公司的日工资为Y 元，则E(Y)=120+0×0.1+5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.3=141.5(元)． 由于E(X)>E(Y)，所以小王应该到甲公司应聘“快递员”的工作．【解析】(1)根据题意，用含有n 的式子分段表示出y 即可；(2)①X 的所有可能取值为152，154，156，158，160，由条形图可知，每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；②设乙公司的日工资为Y 元，则E(Y)=120+0×0.1+5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.3=141.5元，然后比较E(X)和E(Y)的大小，取较大者即可．本题考查条形图、离散型随机变量的分布列与数学期望及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为B(√3,√32)，P(−√3,−√32)两点关于原点对称，故B ，P 均在椭圆上，而点Q(−√3,1)与点P(−√3,−√32)不关于x 轴对称，故Q 不在椭圆上，因此b =√3， 且(√3)2a2(√32)2(3)2=1，解得a =2，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；证明：(2)由(1)知c =1，则F(1,0)，当直线l 为x 轴时，显然直线DM ，DN 关于x 轴对称；当直线l 不与x 轴重合时，设l 的方程为：x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{x =my +1x 24+y 23=1，消去x 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，因此y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由于k DM⋅k DN=y1x1−4+y2x2−4=y1my1−3+y2my2−3=2my1y2−3(y1+y2)(my1−3)(my2−3)=−18m4+3m2−(−18m4+3m2)(my1−3)(my2−3)=0，则k DM=−k DN，即∠FDM=∠FDN，故直线DM，DN关于x轴对称，综上可知，直线DM，DN关于x轴对称．【解析】(1)由题意可得B，P，点Q不在椭圆上，所以b=√3，再把点B的坐标代入椭圆方程，求出a，c 的值，从而得到椭圆C的方程；(2)当直线l为x轴时，显然直线DM，DN关于x轴对称；当直线l不与x轴重合时，设l的方程为：x=my+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到k DM⋅k DN=0，所以直线DM，DN关于x轴对称．本题主要考查了椭圆的坐标方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了两直线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：f′(x)=−ax2+(2a+2)x−4e x =−a(x−2a)(x−2)e x．(1)由f′(x)=0，得x=2a或x=2，当0<a<1时，2a >2，若x∈(−∞,2)∪(2a,+∞)时，f′(x)<0；若x∈(2,2a)时，f′(x)>0；当a=1时，f′(x)=−(x−2)2e x≤0(当且仅当x=2时，f′(x)=0)；当a>1时，2a <2，若x∈(−∞,2a)∪(2,+∞)时，f′(x)<0；若x∈(2a,2)时，f′(x)>0；综上可得，当0<a<1时，函数f(x)在(−∞,2)和(2a ,+∞)上分别单调递减，在(2,2a)上单调递增；当a=1时，函数f(x)在R上单调递减；当a>1时，函数f(x)在(−∞,2a )，(2,+∞)上分别单调递减，在(2a,2)上单调递增．(2)由当a∈(−∞,−2)时，2a <0，可知，f(x)在(−∞,2a)，(2,+∞)上分别单调递增，在(2a,2)上单调递减，故f(x)极大值=f(2a)=2e−2a>0，f(x)极小值=f(2)=4a−2e2<0，且x>2时，f(x)=ax2−2x+2e x<0，因此f(x)max=f(x)极大值=2e−2a，不等式ax2−2x−2<ke x恒成立⇔ax2−2x+2e x<k恒成立⇔f(x)min<k，而对任意a∈(−∞,−2)，f(x)max=2e−2a<2e，故k 的取值范围为k ≥2e ．【解析】(1)对f(x)求导后，分0<a <1，a =1，a >1三种情况讨论f(x)的正负，进而得出f(x)的单调性； (2)不等式ax 2−2x −2<ke x 恒成立⇔ax 2−2x+2e x<k 恒成立⇔f(x)min <k ，因此利用f(x)研究出a ∈(−∞,−2)时f(x)的单调性，进而求出其最大值即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题．22.【答案】解：(1)由{x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，可得{x −1=3cosαy =3sinα，消去参数α，可得C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=9；展开ρcos(θ−π4)=√2，可得√22ρcosθ+√22ρsinθ=√2，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得C 2的直角坐标方程x +y −2=0． (2)由(1)可得C 1(1,0)，则C 1到直线C 2的距离为d =√12+12=√22， 进而|MN|=2√9−12=√34，故C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2×|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−17．【解析】(1)由同角的平方关系，化简可得C 1的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系式，以及两角的差角余弦公式，化简可得C 2直角坐标方程；(2)求得C 1的直角坐标，以及C 1到直线C 2的距离，可得|MN|，再由向量的数量积的定义，计算可得所求值． 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及圆内的弦长公式和向量的数量积的计算，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由已知，不等式f(x)≤4即为|x +2|+|x −1|≤4，则{x ≤−2,−(x +2)−(x −1)≤4,或{−2≤x ≤1,x +2−(x −1)≤4,或{x >1,x +2+x −1≤4, 解得−52≤x ≤−2或−2<x ≤1或1<x ≤32， 故不等式的解集为[−52,32].(2)对任意m ∈(0,3).关于x 的不等式f(x)<m +1m +2总有解⇔f(x)min <(m +1m +2)min ， 而y =m +1m+2≥2√m ⋅1m +2=4，当且仅当m =1m ，即m =1时取得最小值． 又f(x)≥)=|(x +a)−(x −1)|=|a −1|(当且仅当(x +a)(x −1)≤0时取等号)，故只需|a+1|<4，解得−5<a<3，即实数a的取值范围为(−5,3)．【解析】(1)去掉绝对值，原不等式即化为一次不等式组，分别解得它们，再求并集即可；(2)对任意m∈(0,3).关于x的不等式f(x)<m+1m +2总有解⇔f(x)min<(m+1m+2)min，分别求出最小值，解不等式可得a的取值范围．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。

绝密★启用前安徽省江南十校联盟2021届高三毕业班上学期第二次联合考试数学(理)试题2020年12月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2＜4，x ∈N }，B ＝{-1，1，2，3}，则A ∩B ＝ （ ）A ．{1}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{0，1，2，3}2．已知x ，y 满足240200x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝y -x 的最小值是 （ ）A ．4B ．-4C ．2D ．-23．函数2π()cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[0,π]的单调递增区间是 （ ） A ．2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 3-a 5+a 8＝6,则S 11＝ （ ）A ．55B ．66C ．110D ．1325．直线l ：kx -y -3k +1＝0与圆C ：(x -1)2+(y -2)2＝5的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．如图是某几何体的三视图,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为 （ ）A ．π84-B ．8-πC ．8π34-D ．8π3-7．曲线y ＝2x 2-4x -1的一条切线l 与直线x +4y -3＝0垂直,则切线l 的方程为 （ ）A ．4x -y -9＝0B ．x +4y -9＝0C ．4x -y -7＝0D ．x +4y -7＝0 8．已知函数2sin 4()41x x x f x =+,则函数y ＝f (x )的大致图象为 （ ） A ． B ．C ．D ．9．在△ABC 中,D 是BC 的中点,已知2AD =22AC =3cos 4B =,则△ABC 的面积为（ ）A 35 C 6710．已知椭圆22162x y +=的左、右焦点分别是F 1,F 2,点A ,B 分别是右顶点和上顶点,点M 是线段AB 上的动点,则12F M F M ⋅的取值范围是 （ ）A ．[-2,2]B ．5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,2]D ．3,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

江南十校2020届高三第二次联考
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
小值．
（1）证明：AD PB ⊥；
（2）求二面角A PB C --余弦值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆E 的右焦点为()21,0F ，P ．Q 为椭圆上的两个动点，2PQF V 周长的最大值为8． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M ．N ，求1F MN V 面积取最大值时
的直线l 方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数()x f x e x a =--，对于(),0x f x ∀∈≥R 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；
()()122g x g x +=，求证：120x x +<．
江南十校2020届高三第二次联考 数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案：D
解析：解得{}|0U y y =>，{}12|A x x =<<，
故()[)0,12,U A =⋃+∞ð．
10．答案：C
解析：构造长方体1111ABCD A B C D -，使MN 与1BD 重合．
设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则2
2
2
1x y z ++=．。

绝密★启用前江南十校2020届高三第二次联考数学(理科)试题参考答案一㊁选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.答案:D 解析:解得U =y y {}>0,A =x 1<x {}<2,故C U A =0,()1∪2,+[)¥㊂2.答案:B解析:解得cos α=-513,故f cos ()α=1,则f f cos ()[]α=f ()1=2㊂3.答案:A解析:如图所示,点P 在平面区域内任一点P ,点Q 在半圆x 2+y 2=10≤y ≤()1上,过点O 作直线x +y -5=0的垂线,垂足为P ,交半圆于Q ,此时PQ 取最小值,求得PQmin=522-1㊂4.答案:B解析:()f t =log b t 为增函数,0<sin α<cos α<1得log b sin α<log b cos α<0;()g t =cos ()αt 为减函数,则x >y ㊂当a <0时,()h t =t a 在第一象限单调递减,a =logb sin α且cos α>sin α,则x <z ㊂故z >x >y ㊂5.答案:D解析:由题得sin θ=x 2+12x ,由x 2+12x ≥1或x 2+12x≤-1且-1≤sin θ≤1得:sin θ=±1,故x =±1㊂6.答案:D解析:y =sin 2x +cos 2x =2sin 2x +πæèçöø÷4=2sin2x +πæèçöø÷8,y =-2cos 2x =2sin 2x -πæèçöø÷2=2sin 2x -πæèçöø÷4,故向右移3π8个单位㊂　7.答案:C解析:a 4=a 2+2d ,a 8=a 2+6d ,因为a 42=a 2㊃a 8且d ≠0,求得a 2=2d ,所以公比q =a 4a 2=2;或解:q =a 8a 4=a 4a 2=a 8-a 4a 4-a 2=4d 2d=2㊂8.答案:C解析:m ⊥αα‖}β⇒m ⊥β n ⊥üþýïïïïβ⇒m ‖n.9.答案:A解析:()f ′x =e x +e -x +1>0x ()>0,故()f x 在0,+()¥上单调递增㊂b ∈0,(]1时,()[]f f b =b 成立,即()f b =b 有解,　则e -b +e b +b -a =b ,故a =e -b +e b ,b ∈0,(]1㊂令e b =t ,则t ∈1,(]e ,e b +e -b =t +1t ∈2,e +1æèçùûúúe ,即a ∈2,e +1æèçùûúúe ㊂10.答案:C解析:构造长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,使MN 与BD 1重合㊂设长方体长㊁宽㊁高分别为x ,y ,z ,则x 2+y 2+z 2=1㊂由题知x 2+z 2=a ,y 2+z 2=b ,x 2+y 2=c ,a 2+b 2+c 2=2㊂a +b +()c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac≤3a 2+b 2+c ()2=6,故a +b +c ≤6㊂11.答案:A解析:连PI 延长x 轴于D ,连IF 1㊁IF 2㊂在△PF 1D 中有ID IP =DF 1PF 1,在△PF 2D 中有IDIP =DF 2PF 2,故ID IP =DF 1PF 1=DF 2PF 2=DF 1+DF 2PF 1+PF 2=2c 2a =e =12,故S △IF 1F 2S △PF 1F 2=ID PD =13㊂12.答案:B解析:f (x +2)=f (2-x ),推得f (x +4)=f (-x )=f (x ),故f (x )最小正周期为4.f (x i )-f (x i +1)≤4-1=3,x n 取得最小值,则需尽可能多的x i 取到最高(低)点,由2993=9923以及2x =2得:x n (min)=99×2+1=199㊂二㊁填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案:25解析:sin(π+α)=2cos(π-α)可得tan α=2sin α(2cos 2α2-1)=sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=2514.答案:2解析:如图,作小圆的直径AE ,连DE ,则DE =4,AE =DE 2-DA 2=23=2r =BC AB 2+AC 2=BC 2=12≥2AB ㊃AC ,则AB ㊃AC ≤6,V =13㊃12㊃AB ㊃AC ㊃AD =16×2AB ㊃AC =13×AB ㊃AC ≤215.答案:{x |x >-12}解析:令=g (x )=xf (x ),由x 1f (x 1)-x 2f (x 2)x 1-x 2<0,得g (x )在(-∞,0)为减函数,且g (x )为偶函数,故g (x )在(0,+∞)上为增函数,g (x )<g (x +1)即g (x )<g (x +1)故x <x +1,解得x >-12㊂16.答案:33解析:取F 1D 的中点Q ,连EQ ㊁PQ ㊂PF →1㊃→PD =14(PF →1+→PD )2(PF →1-→PD )[]2=14(4→PQ 2-DF →12)=→PQ 2-14DF →12,同理EF →1㊃→ED =→EQ 2-14DF →12,PF →1㊃→PD ≥EF →1㊃→ED 恒成立等价于→PQ ≥→EQ ,故EQ ⊥BF 1,得到DF 1=DB ,设DF 2=x ,则BF 2=2x ,DF 1=2a -x ,由2a -x =3x ,得x =a 2,BF 1=BF 2=a ,DF 1=32a ,在△F 1BF 2中,cos∠F 1BF 2=2a 2-4c 22a 2=1-2e 2,在△DF 1B 中,又cos∠F 1BD =a 2+(32a )2-32a )22a ㊃32a=13,所以1-2e 2=13,解得e =33.三㊁解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.17.(1)()g x =2sin 2x +πæèçöø÷3+2sin 2x =23sin 2x +πæèçöø÷6, 3分当-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π,k ∈Ζ时函数单调递增,即()g x 的单调递增区间为-π3+k π,π6+k éëêêùûúúπ,k ∈Ζ. 5分(2)由f (π6-x )=f (π6+x )得f (x )图像关于x =π6对称7分故π3+φ=k π+π2.　　φ=k π+π6,k ∈Ζ.又-π2<φ<π2得φ=π6. 10分18.(1)由题意可设→DB =a ,则→AD =3a .在△ACD 中有:AC 2=AD 2+CD 2-2AD ㊃CD cos∠ADC ①在△BCD 中有:BC 2=DB 2+CD 2-2DB ㊃CD cos∠BDC ②①+3㊃②可得CD 2=13a 2,在△ACD 中有:AD 2=AC 2+CD 2-2AC ㊃CD cos∠ACD ,解得cos∠ACD =513266分或解:由题意可设∠ACD =θ,在△ACD 中:AD sin θ=CDsin 60° ①在△BCD 中:DB sin(60°-θ)=CDsin 60°②由①㊁②可得3sin(60°-θ)=sin θ,解得tan θ=335,故cos θ=513266分(2)→AM =→m AC +12→AB =→m AC +23→AD ,且C ㊁M ㊁D 三点共线,所以m =137分S △ABC =12→AB ㊃→AC ㊃32=23,故→AB ㊃→AC =8 8分→AM 2=13→AC +12→æèçöø÷AB 2=19→AC 2+14→AB 2+13→AC ㊃→AB =43+19→AC 2+16→AC 2≥4 11分当且仅当→AC =23时;所以→AM min =2 12分19.(1)由na n +1=n ()+2S n ,n ∈N *可得n S n +1-S ()n =n ()+2S n ,即S n +1n +1=2S n n ,n ∈N *,所以S n n =S 11㊃2n -1=2n ,故S n =n ㊃2n2分T n =1×21+2×22+3×23+ +n ㊃2n ①2T n =1×22+2×23+3×24+ +n ㊃2n +1 ②①-②得:-T n =1×21+22+23+ +2n -n ㊃2n +1∴T n =n ()-1㊃2n +1+26分(2)b n =S n n ()+12n =n ㊃2n n ()+1㊃2n =n n +17分证法一:∵2n -12n =2n ()-122()n 2<2n ()-122()n 2-1=2n -12n +110分∴b 1㊃b 3 b 2n -1=12×34× ×2n -12n<13×35× 2n -12n +1=12n +112分证法二(参照给分):∵nn +1=n n +1㊃nn +1<n n +1㊃n +1n +2=n n +2,∴b 1㊃b 3 b 2n -1=12×34× ×2n -12n <13㊃35 2n -12n +1=12n +1.证法三(参照给分):数学归纳法略.20.(1)取AD 中点E ,则由已知得BE ⊥AD PE ⊥}AD⇒AD ⊥平面PBE ⇒AD ⊥PB 4分(2)AD ⊥平面PBE AD ⊂平面}ABCD⇒平面ABCD ⊥平面PBE ,又平面PBE ∩平面ABCD =BE.过P 作PO ⊥BE 交BE 的延长线于O ,则PO ⊥面ABCD ,由题可得到∠PEO =60° 6分建立如图所示直角坐标系,设PB 的中点为G ,则P (0,0,32),B (0,332,0),PB 中点G (0,334,34)连接AG ,A (1,32,0),C (-2,332,0),→GA =(1,-34,-34),→PB =(0,332,-32),→BC =(-2,0,0),于是→GA ㊃→PB =0,→BC ㊃→PB =010分→GA 与→BC 的夹角θ为所求二面角的平面角,则cos θ=→GA ㊃→BC →GA →BC =-277 12分21.(1)取左焦点F 1(-1,0),△PQF 2的周长为:PF 2+QF 2+PQ =2a -PF 1+2a -PF 2+PQ=4a -(PF 1+PF 2-PQ )≤4a (三点P ㊁Q ㊁F 1共线时取等号),由4a =8,a =2,椭圆E 的方程:x 24+y 23=15分(2)可设直线l :x =my +1x =my +1x 24+y 23ìîíïïï=1得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4 7分S △MF 1N =12F 1F 2y 1-y 2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12m 2+13m 2+49分令t =m 2+1(t ≥1),y =3t +1t在[1,+¥)单调递增,S =123t +1t≤3,S △F 1MN最大值为3,此时m =0,所以直线的方程为x =1. 12分22.(1)e x -x -a ≥0恒成立,a ≤e x -x 恒成立,令h (x )=e x -x ,h′(x )=e x -1,x >0,h′(x )>0,h(x )单调递增,x <0,h′(x )<0,h (x )单调递减,h (x )min =h (0)=1,故a ≤1 4分(2)g (x )=12sin 2x -12x 2+e x ,g′(x )=cos 2x -x +e x ≥1+cos 2x ≥0,g (x )单调递增,且g (0)=1 6分令Q (x )=g (x )+g (-x ),则Q (x )=12sin 2x -12x 2+e x -12sin 2x -12x 2+e -x =e x +e -x -x 2 8分令Q′(x )=e x -e -x -2x =h (x ),h′(x )=e x +e -x -2≥0.h (x )单调递增,h (0)=0,故当x >0时,Q′(x )>0,所以Q (x )单调递增,且Q (0)=2 10分由g (0)=1及g (x )为单调递增函数,g (x 1)+g (x 2)=2,则x 1㊁x 2异号,不妨设x 2>0,则Q (x 2)>Q (0)=2,即g (x 2)+g (-x 2)>2,g (-x 2)>2-g (x 2)=g (x 1),g (x )为单调递增函数,故-x 2>x 1,x 2+x 1<012分。