2018年甘肃省普通高中招生考试数学模拟卷含答案

2018届高三下学期数学（理）第一次模拟试题（甘肃省武
威二中含答案）
5 武威二中4坐标系与参数方程
已知曲线 (t为参数)， ( 为参数)．
（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求．
23（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．
武威二中-5cBBAc， 6—10DBDAB,,11A 12B
二填空题 13 3；14 -3；15 5∏；16
三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤）
17 解(1); , (1) (2)
(1)-(2),得, , ，。

6分
(2) , 。

12分
18解（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为，由直方图可知，第五组人数为人，又为差，所以第一组人数为45人，第二组人数为 75人，第三组人数为90人
-------------------4分
19(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）证明因为，，
在△ 中，由余弦定理可得，
所以．又因为，。

2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＞0}，，则A∪∁U B＝（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）2．（5分）已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，若，则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题5．（5分）如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝﹣12，则输出的S 的值为（）A．4B．5C．8D．96．（5分）某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60B．90C．150D．1207．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sin x的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．9．（5分）已知函数的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．（5分）直线y＝2b与双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC＝∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝sin x，若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．a sin B cos C+c sin B cos A＝且a＞b，则∠B＝．14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2＝50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．16．（5分）设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求得成立的n的最小值．18．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60，70）的学生人数X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC＝2，CE＝1，平面ABC ⊥平面ACEF．（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知f（x）＝xlnx+mx，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2﹣6x﹣8y＝0，直线，直线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲线C分别交于O，A两点，直线l2与曲线C分别交于O，B 两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝2﹣x2，g（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）+g（x）≥3；（2）若不等式f（x）＞g（x）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＞0}，，则A∪∁U B＝（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x≥1}；∴∁U B＝{x|x＜1}；∴A∪∁U B＝{x|x＜1，或x＞2}＝（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴，故选：B．3．（5分）已知向量，若，则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【解答】解：，∴（2λ+3）×（﹣1）﹣3＝0，∴λ＝﹣3．故选：B．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x ≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件．因为x＝﹣1⇒x2﹣5x ﹣6＝0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．5．（5分）如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝﹣12，则输出的S 的值为（）A．4B．5C．8D．9【解答】解：由程序框图知：第一次循环S＝﹣12+2＝﹣10，n＝2；第二次循环S＝﹣10+4＝﹣6，n＝3；第三次循环S＝﹣6+6＝0，n＝4；第四次循环S＝0+8＝8，n＝5．不满足条件S≤n，跳出循环，输出S＝8．故选：C．6．（5分）某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60B．90C．150D．120【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有＝15种，再分配给3名教师，共有15A33＝90种，故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此，故选：A．8．（5分）若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sin x的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．【解答】解：由题意知，令x＝1，得到3n＝81，解得n＝4，∴0≤x≤π，0≤y ≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S＝π×1＝π，满足y≥sin x的点构成区域的面积为：S＝sin xdx＝﹣cos x|＝﹣cosπ+cos0＝2，则满足y＞sin x的概率为．故选：B．9．（5分）已知函数的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度【解答】解已知函数＝sin （），∵△EFG是正三角形，∴sin×GF＝．即GF＝2．∴周期T＝4．那么ω＝＝．∴f（x）＝sin（）＝sin（x）得到＝sin（x）＝sin（x）的图象，∴只需x向左平移1个单位长度即可．故选：C．10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5＝20π，故选：C．11．（5分）直线y＝2b与双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC＝∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线y＝2b与y轴交于D点，由对称性可知∠BOD＝∠COD，又∠AOC＝∠BOC，∴∠AOC＝2∠COD，又∠AOC+∠COD＝90°，∴∠AOC＝60°，把y＝2b代入可得x＝±a，即C（a，2b），∴＝tan60°＝，即b2＝，∴e＝＝．故选：D．12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝sin x，若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y＝log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y＝log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．a sin B cos C+c sin B cos A＝且a＞b，则∠B＝30°．【解答】解：利用正弦定理化简得：sin A sin B cos C+sin C sin B cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴sin A cos C+cos A sin C＝sin（A+C）＝sin B＝，∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B＝30°．故答案为：30°14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．15．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2＝50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，5）．由图可知，可行域内的点中，A1到原点的距离最大，为，∴|AB|的最小值为2．故答案为：．16．（5分）设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）＝g'（x0），即，解出x0＝a（舍去），又y0＝f（x0）＝g（x0），所以有，故，所以有，对b求导有b'＝﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求得成立的n的最小值．【解答】解：（1）由已知S n＝2a n﹣a1，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n＝2a n﹣1（n＞1）．从而a2＝2a1，a3＝4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3＝2（a2+1）．∴a1+4a1＝2（2a1+1），解得a1＝2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（2）由（1）得．∴．由，得，即2n＞1000．∵29＝512＜1000＜1024＝210，∴n≥10．于是，使成立的n的最小值为10．18．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60，70）的学生人数X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×＝750人．…..（5分）（Ⅱ）体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中各有学生人数为2人和3人，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，由题意X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：E（X）＝＝．…．（12分）19．（12分）如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC＝2，CE＝1，平面ABC ⊥平面ACEF．（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．【解答】解：（1）M为线段EF的中点，理由如下：分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，在等边三角形ABC中，AC⊥BO，又OM为矩形ACEF的中位线，AC⊥OM，而OM∩OB＝O，∴AC⊥面BOM，∴BM⊥AC．（2）由（1）知OA，OB，OM两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，AC＝2，CE＝1，三角形ABC为等边三角形，．∴，设面BCE的法向量，∴，得，则面BCE的一个法向量，又M是线段EF的中点，则M的坐标为M（0，0，1），∴，且，又设面ABM的法向量，由，得，取，则，面ABM的一个法向量＝（），∴cosθ＝＝＝，平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，则有a＝2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4，则有2ab＝4，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝，c＝1，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．将直线AM的方程y＝（x+2）代入椭圆方程+＝1，得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0，由x A•x P＝，x A＝﹣2得x P＝﹣，则y P＝．再将直线BM的方程y＝（x﹣2）代入椭圆方程+＝1得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12＝0，由x B•x Q＝，x B＝2得x Q＝，则y Q＝．故四边形APBQ的面积为S＝|AB||y P﹣y Q|＝2|y P﹣y Q|＝2（+）＝＝＝．由于λ＝≥6，且λ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，从而，有S＝≤6．当且仅当λ＝6，即t＝3，也就是点M的坐标为（4，3）时，四边形APBQ的面积取最大值6．21．（12分）已知f（x）＝xlnx+mx，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，已知λ＞0，若不等式e 1+λ＜x 1•x 2λ恒成立，求λ的范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝1+lnx +m ，由题意知，f ′（1）＝1，即：m +1＝1，解得 m ＝0； （2）∵e 1+λ＜x 1•x 2λ等价于1+λ＜lnx 1+λlnx 2．g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣x +a ＝xlnx ﹣x 2﹣x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g ′（x ）＝0，即：lnx ﹣ax ＝0的两个根， 即lnx 1＝ax 1，lnx 2＝ax 2．∴原式等价于1+λ＜ax 1+λax 2＝a （x 1+λx 2）， ∵λ＞0，0＜x 1＜x 2，∴原式等价于．又由lnx 1＝ax 1，lnx 2＝ax 2．作差得，，即．∴原式等价于，∵0＜x 1＜x 2，原式恒成立，即恒成立．令，t ∈（0，1），则不等式在t ∈（0，1）上恒成立． 令，又h ′（t ）＝，当λ2≥1时，可得t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0， ∴h （t ）在t ∈（0，1）上单调增，又h （1）＝0， h （t ）＜0在t ∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可得t ∈（0，λ2）时，h ′（t ）＞0，t ∈（λ2，1）时，h ′（t ）＜0， ∴h （t ）在t ∈（0，λ2）时单调增，在t ∈（λ2，1）时单调减，又h （1）＝0， ∴h （t ）在t ∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2﹣6x﹣8y＝0，直线，直线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲线C分别交于O，A两点，直线l2与曲线C分别交于O，B 两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）依题意，曲线C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，∴曲线C的参数方程是（α为参数），∵直线，直线，∴l1，l2的极坐标方程为；（2）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得，∴，把代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝2﹣x2，g（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）+g（x）≥3；（2）若不等式f（x）＞g（x）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a＝1，则不等式f（x）+g（x）≥3化为2﹣x2+|x﹣1|≥3，当x≥1时，2﹣x2+x﹣1≥3，即x2﹣x+2≤0，（x﹣）2+≤0不成立；当x＜1时，2﹣x2﹣x+1≥3，即x2+x≤0，解得﹣1≤x≤0．综上，不等式f（x）+g（x）≥3的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（5分）（2）作出y＝f（x）的图象如图所示：，当a＜0时，g（x）的图象如折线①所示：由，得x2+x﹣a﹣2＝0，若相切，则△＝1+4（a+2）＝0，得a＝﹣，数形结合知，当a≤﹣时，不等式无负数解，则﹣＜a＜0．当a＝0时，满足f（x）＞g（x）至少有一个负数解．当a＞0时，g（x）的图象如折线②所示：此时当a＝2时恰好无负数解，数形结合知，当a≥2时，不等式无负数解，则0＜a＜2．综上所述，若不等式f（x）＞g（x）至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（﹣，2）．（10分）。

甘肃省兰州市2018届高三第一次模拟数学（文）附答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，集合，则()UM N =ð（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数的实部为B ．复数的虚部为C ．复数的共轭复数为D ．复数的模为3．已知数列为等比数列，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．若双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点．若的面积为，则的值为（ ） A ．BC ．D ．5．已知圆：，直线：，则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A ．B ．C ．D ．7．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（ ）4π3π2π43π2214x y -=()220x py p =>A B OOAB △1p 14C 2216x y +=l y x =C A l 2342312133430x y ++=6140x my +-=281751710A ．B ．C ．D ．8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设：实数，满足，：实数，满足，则是的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10．若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为（ ）p x y ()()22111x y -+-≤q x y 111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩p q {}n a n ()*2n n S a b n =⋅+∈N a b a b +A ．B ．C ．D ．11．抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若，则．14．已知样本数据，，的方差是，如果有，那么数据，，的均方差为 ．15．设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则．16．若向量，，且，则的最小值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为，求的值．321024y x =F ()11,A x y ()22,B x y )122AB x x =++AFB ∠23π56π34π3π()y f x =R 0x >()()0f x x f x '+⋅<()0.20.233a f =()()log 2log 2b f ππ=2211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b c a c b >>c a b >>c b a >>b a c >>(),1m n =-a ()(),10,0n m n =>>b ⊥a b 14n m+18．（12分）如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面．（1）求证：平面；C BGF（2）求三棱锥的体积．19．（12分）交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：（1）分别求出，，，的值；（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人，则第，，组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．1565n a b x y 2346234622220．（12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）．①设，证明：；②求四边形的面积的最小值．21．（12分）已知函数． （1）若图象上处的切线的斜率为，求的极大值；（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值．()()321,3f x x ax bx a b =+-∈R ()y f x =111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭4-()y f x =()y f x =[]1,2-a b +请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．（1）求圆心的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，恒有，求的取值范围．2018届甘肃省兰州市高三第一次模拟考试卷数学（文）答案一、选择题．1-5：CDCBB 6-10：AABCD 11、12：AC二、填空题．13．14．15．16．9三、解答题．π517．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知：，∴的最小正周期为．（2）由（1）知：，当时，．∴当时，的最小值为．又∵的最小值为，∴，即．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵面，∴，又，∴．∵面，∴． 又，∴面，即平面．（2）∵，∴，， 又∵为中点，∴．∵面，∴面．∴．19．【答案】（1），，，；（2）2，3，1；（3）．【解析】（1）第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴．（2）第，，组回答正确的人的比为， ∴第，，组每组应各依次抽取人，人，人．（3）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是：，，，，，，，，，，，，，，．132AE EB BC ===EC =BF CF G AC 1GF =AE ⊥BCE GF ⊥BCE 1111323C BGF G BCF V V --==⨯⨯180.990.235150.510÷=100.1100n =÷=21000.220⨯=200.918a =⨯=31000.330⨯=27300.9x =÷=41000.2525⨯=250.369b =⨯=51000.1515⨯=3150.2y =÷=23418:27:92:3:1=234231621a 2a 31b 2b 3b 4c 6215()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()1,a c ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()2,a c ()12,b b ()13,b b ()1,b c ()23,b b ()2,b c ()3,b c其中第组至少有人的情况有种，他们是：，，，，，，，，．故所求概率为． 20．【答案】（1）；（2）①见解析；②． 【解析】（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，则，， ，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，的方程为．（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有， 又因，，，为不同的四个点，． ②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为． 若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，解方程组，得，则，同理得，∴，当且仅当，即时等号成立．综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为．219()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()1,a c ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()2,a c 93155=21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，由题意得且，即，解之得，．∴，， 令得，， 列表可得∴当时，取极大值． （2）∵在上是减函数，∴在上恒成立，∴，即，作出不等式组表示的平面区域如图当直线经过点时，取最小值．5332()3213f x x ax bx =+-()2'2f x x ax b =+-()'14f =-()1113f =-12411133a b a b +-=-⎧⎪⎨+-=-⎪⎩1a =-3b =()32133f x x x x =--()()()'13f x x x =+-()'0f x =11x =-23x =1x =-()f x 53()y f x =[]1,2-()2'20f x x ax b =+-≤[]1,2-()()'10120440'20f a b a b f -≤⎧--≤⎧⎪⇒⎨⎨+-≤≤⎩⎪⎩210440a b a b +-≥⎧⎨-+≤⎩z a b =+1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭z a b =+3222．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴圆的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．方法2：直线的普通方程为，∴圆心到直线距离是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，∴，∴或，解集为．（2），∵，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，∴．。

2018年高考真题模拟卷（含答案）理科数学 2018年高三甘肃省第三次模拟考试理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）若，则中元素个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 3若，其中，则＝（）．A. ＋iB.C.D.我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中男、女都有的概率为（）．A.B.C.D.在等差数列中，=,则数列的前11项和=（）．A. 24B. 48C. 66D. 132设,则是的（）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件函数的最小正周期为（）．A.B.C.D.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是（）．A. 192B. 32C. 96D. -192已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积为（）．A.B.C.D.9．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A.B.C.D.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）．A.B.C.D.若圆C关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 4C. 3D. 6已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A.B.C.D.填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）在中，角、、的对边分别是、、，若，，，则角的大小为____.下列结论中正确命题的序号是 ____（写出所有正确命题的序号）.①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则________.在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是____.简答题（综合题）（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

2018年甘肃省高考理科数学第二次模拟试题及答案（ 满分150分，时长120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C ∪（M ∪N ）=A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4} 2. 复数(32)z i i =-(i 为虚数单位)的共轭复数z 等于A ．2＋3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．－2－3i3. 已知,x y 满足约束条件30260102x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-+≥⎨⎪⎪-≤⎩，则z x y =-的最小值为 A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 4. 已知正四面体ABCDA ．3πB ．43π CD．3 5．已知函数f(x ）定义域为R ，命题：p:f(x)为奇函数，q ：，则p 是q 的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为A. 252种B. 484种C. 472种D. 232种7．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A ．12-B ．12C ．1-D ．5- 8. 已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为9. 某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A ．8 B ．203C. 4 D ．2 210. 已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时，点P 的横坐标为A B C D ．9811. 已知函数x x f πsin )(=和函数x x g πcos )(=在区间[]2,0上的图象交于A,B 两点,则OAB ∆面积是( )A.B.C.D.12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(21x x f --=，则函数21)(-=x f y 在（0,6）内的零点之和为 A. 16 B. 8 C.12 D. 10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分。

兰州市2018年高三实战考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|40}A x x =-<，则R C A =（ ）A ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x ≤-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x -≤≤ 2. 已知在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z - ，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．12i +3. 等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，满足2124283,16S a a a =+=，则4S = （ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．304. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线C 的方程为210(0,0)x y x y +-=>>，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78545. 已知非零单位,a b r r向量满足a b a b +=-r r r r ，则a r 与b a -r r 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．4πD ．34π6. 已知点(1,0),(1,0)A B -为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120 ，则该双曲线的方程为（ ）A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．2213y x -= D ．2212y x -= 7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足，若直线AF 的斜率3k =-PF 的长为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．78. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入a 的的值为2,2,5，则输出的x = （ ） A ．7 B ．12 C ．17 D ．349. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．23 B ．43 C ．233 D ．43310. 设n N +∈ ，则{22111222nn-=L L 123（ ） A ．333nL 123 B ．21333n -L 123 C ．21333n -L 123 D ．2333nL 123 11.已知函数()sin 2cos xf x x=+，如果0x >时，函数()f x 的图象恒过在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是 （ ） A ．13[,]3 B ．1[,)3+∞ C ．3[,)+∞ D ．33[,]- 12. 已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x '>有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．()01f =B ．()01f <C ．()62f e < D ．()62f e >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量,x y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m = ． 14.若变量,x y 满足约束条件22343x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数2z y x =-的最大值是 ．15.261()x x-的展开式中，常数项的值为 ．（用数字作答） 16.已知数列{}n a 满足1211,3a a ==，若111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=≥∈，则数列{}n a 的通项n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必做题17. 已知向量(sin ,3cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==-r r ，函数()3f x a b =⋅+r r .（1）求函数()y f x =的图象对称轴的方程； （2）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值.18. 如图所示，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，060,BAD EB ∠=⊥平面,ABCD FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（1）求证：EF AC ⊥（2）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19.某智能共享单车备有,A B 两种车型，采用分段计费的方式营用A 型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B 型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过30分钟还车的概率分别为321,,432，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲乙均租用A 型单车，丙租用B 型单车. （1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.20. 已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点，点3(1,)2P 在椭圆上，且124PF PF +=.（1）求椭圆E 的方程；（2）过1F 的直线12,l l 分别交椭圆E 于,A C 和,B D ，且12l l ⊥，问是否存在常数λ，使得11,,AC BDλ等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 21.已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）（1）求()f x 的解析式及单调递减区间； （2）若存在[,)x e ∈+∞，使函数()()21ln ln 22a e g x ae x x x f x a +=+-⋅≤成立，求实数a 的取值范围. 22.已知直线l 的极坐标方程是sin()03πρθ-=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）.（1）求直线l 被曲线C 截得的弦长；（2）从极点作曲线C 的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程. 23.设函数()21f x x x a =-++.（1）当1a =时，求()y f x =的图象与直线3y =围成的区域的面积； （2）若()f x 的最小值为1，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: ADBDD 6-10: BCCAA 11、B 12：C二、填空题13. 3.1 14. 14 15. 15 16.121n - 三、解答题17.解：（1）由已知()23133sin cos 3sin 2cos 2)2222f x x x x x x =+=-++ 13sin 22sin(2)23x x x π==-， 对称轴的方程为232x k πππ-=+，即5,212k x k Z ππ=+∈. （2）因为[0,]2x π∈，则22[,]333x πππ-∈-，所以3sin(2)[3x π-∈， 所以()()max min 31,2f x f x ==-. 18.（1）证明：连接BD ，交AC 于M ，由菱形性质，有AC BD ⊥， 又EB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以AC EB ⊥； 所以AC ⊥平面BDFE ，而EF ⊂平面BDFE ，所以AC EF ⊥.（2）以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 且垂直于平面ABCD ，方向向上的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系， 则333(,0),(0,,0),((0,3),(0,)222a a a a a a A B a C E a F -，333(,,0),(,,)22222a a a a a AB AF =-=--u u u r u u u r ，则(,,)n x y z =r ，则310022031302ax ay n AB n AF ax ay az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩r u u u rr u u u r ，令1x =的平面ABF 的一个法向量(1,3,2)n =r ， 设直线CE 与平面ABF 所成的角为θ，因为3(,,3)2a aCE a =u u u r ，所以36sin cos ,n CE n CE n CEθ⋅===⋅r u u u rr u u u r r u u u r . 19.解：（1）由题意，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为111,,432， 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件A , 则3211117()43243224P A =⋅⋅+⋅⋅=； （2）随机变量ξ所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4， 则32113111215(2),( 2.5)432443243224P P ξξ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯=， 32111173111215(3),( 3.5)4324322443243224P P ξξ==⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯=， 1111(4)43224P ξ==⨯⨯=所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为所以15751672 2.53 3.5442424242424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20.解：（1）因为124PF PF +=，所以242a a =⇒=，椭圆的方程为22214x y b +=， 将3(1,)2P 代入可得23b =，所以椭圆的方程为22214x y b +=； （2）若AC 的斜率为零或不存在，易知111173412AC BD +=+=, 存在满足条件的724λ=，使11,,AC BD λ成等差数列； 若AC 的斜率为(0)k k ≠，设AC 的方程为(1)y k x =+，代入方程22214x y b+=， 化简得2222(34)84120k x k x k +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++， 于是2222121212212(1)1(1)[()434k AC k x k x x x x k+=+-=++-=+， 同理，由于直线BD 的斜率为1k -，2212(1)43k BD k +=+， 同理，由于直线BD 的斜率为1k-，2212(1)43k BD k +=+， 所以2222113443712(1)12(1)12k k AC BD k k +++=+=++， 总之，存在满足条件712λ=，使得11,,AC BD λ成等差数列. 21.解：（1）因为ln 0,0x x ≠>，所以()2(ln 1)(0,1)(1,),(ln )m x x f x x -'∈+∞=U ， 所以()21242m f e m '==⇒=，所以()2ln xf x x=，此时()22(ln 1)(ln )x f x x -'=， 由()0f x '<得01x <<或1x e <<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1和()1,e ； （2）()()2211ln ln ln ()222a e g x ae x x x f x ae x x a e x +=+-⇒=+-+， 若存在[,)x e ∈+∞，使函数()21ln ()2g a x ae x x a e x ≤=+-+成立，只需[,)x e ∈+∞时，()min g x a ≤， 因为()2()()()()ae x a e x ae x a x e g x x a e x x x-++--'=+-+==， 若a e ≤，则()0g x '≥在[,)x e ∈+∞时恒成立，所以()g x 在[,)e +∞上单调递增，()()22min1()22e g x g e ae e e a e ==+-+=-，所以22e a ≥-，又a e ≤，则()g x 在[,)e a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在[,)e +∞上的最小值为()()min g x g a =，又()()22e g a g e <=-，而a e >，所以一定满足条件，综上，实数a 的取值范围是2[,)2e -+∞.22.解：（1）由题意可知，直线l 的直角坐标方程是3y x =， 曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=，其圆心到直线l 的距离是131d ==+，所求的弦长是222123-=. （2）从极点作曲线C 的弦，弦的中点的轨迹C '的参数方程为cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）且33[0,)(,2)22ππαπ∈U ，其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠， 极坐标方程22sin 0ρρθ-=，化简得2sin (0)ρθρ=≠. 23.解：（1）当1a =时()3,112112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()y f x =的图象与直线3y =围成区域的面积为133[1(1)](3)222---=；（2）当12a ->，即12a <-时， ()()min 131,21111,()1122231,x a x f x x a x a f x f a x a x a ⎧--+<⎪⎪⎪=--≤<-⇒==--=⎨⎪+-≥-⎪⎪⎩，所以32a =-，当12a -≤，即12a ≥-时， ()()min 31,1111,()311222131,2x a x a f x x a a x f x f a x a x ⎧⎪--+<-⎪⎪=---≤<⇒==⨯+-=⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，所以12a =，所以32a =-或12a =.。

密 封 线 内 不 要 答 题 第9题图· 甘肃省2018年初中毕业与高中阶段招生考试数 学 试 卷考生注意：本试卷满分150分，时间120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，将此选项的字母填涂在答题卡上.1．﹣2018的倒数是（ ）A ．2018B ．﹣C ．D ．﹣20182．下列计算正确的是（ ）A ．a 8÷a 3=a 4B ．3a 3•2a 2=6a 6C ．m 6÷m 6=mD ．m 3•m 2=m 53．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ） A ．3.84×104千米 B ．3.84×105千米 C ．3.84×106千米 D ．38.4×104千米 5．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个 顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果 ∠1=30°，那么∠2的度数为（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．60° 6．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．用配方法解一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0，此方程可化为的正确形式是（ ） A ．（x ﹣4）2=17 B ．（x ﹣4）2=15 C ．（x +4）2=15D ．（x +4）2=17 8．某服装加工厂加工校服960套的订单，原计划每天做48套．正好按时完成．后因学校要求提前5天交货，为按时完成订单，设每天就多做x 套，则x 应满足的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图，正方形ABCD 中，AB=4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s）的函数关系可用图象表示为（ ）第6题第5题A ．B ．C ．D ．二、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.将答案写在答题卡中的横线上.11．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．12．计算（﹣2a ）3•3a 2的结果为 ．13．已知点P （2a +b ，b ）与P 1（8，﹣2）关于y 轴对称，则a +b= ．14．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 的度数是 ．15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使△AEF ≌△CEB ．添加的条件是： ．（写出一个即可）16．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O 为圆心，2为半径画弧交图中网格线与点A ，B ，则弧AB 的长是 ．17．如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在点Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则tan ∠EGB 等于 ．18．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19．（6分）计算：﹣（3.14﹣π）0﹣3tan30°+（﹣）﹣2﹣|﹣2|． 20．（7分）先化简：，然后求当x=时代数式的值．21．（7分）如图，在△ABC 中，∠A ＞∠B ．（1）作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE ，若∠B=50°，求∠AEC 的度数．第10题第17题第18题第14题图第15题第16题第22题图 第23题图第21题图密 封 线 内 不 要 答 题22．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB 与支架CD 所在直线相交于点O ，且OB=OD ，支架CD 与水平线AE 垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm ，AC=165cm ．（1）求支架CD 的长；（2）求真空热水管AB 的长．（结果保留根号）23．（10分）如图，直线y=2x ﹣6与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A （4，2），与x 轴交于点B ．（1）求k 的值及点B 的坐标；（2）过点B 作BD ⊥x 轴交反比例函数的图象于点D ，求点D 的坐标和△ABD 的面积；（3）观察图象，写出不等式＞2x ﹣6的解集．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度； （4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．25．（10分）小明一家人春节期间参与了“支付宝集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给其中一个，爸爸设计了一个游戏，获胜者得到“敬业福”．规则如下，小明和姐姐分别同时转动转盘甲、乙，转盘停止后，指针所指区域内数字之和小于10，小明获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小明获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）用树状图或列表法求玩一轮上述游戏，小明获胜的概率；（2）该游戏规则对小明和小姐姐双方公平吗？为什么？第25题图 第24题第26题图26．（10分）四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分线段BD ，∠ABC=90°，AC 交BD 于O ，（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AE ⊥BD 于E ，AE=4，DE=2，求BD 的长．27．（10分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 、F 是⊙O 上两点，连接AE 、CF 、DF ，满足EA=CA ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，tan ∠CFD=，求AD 的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积． 第27题第28题。

2018年甘肃省兰州市中考数学全真模拟突破试卷（一）一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）1．（4分）若x===，则x等于（）A．﹣1或B．﹣1 C．D．不能确定2．（4分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A．24m B．22m C．20m D．18m4．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）A．4 B．6 C．8 D．125．（4分）根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）2A．2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24 C．2.24＜x＜2.25 D．2.24＜x≤2.25 6．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④7．（4分）下列说法不正确的是（）A．频数与总数的比值叫做频率B．频率与频数成正比C．在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率D．用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确8．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q 分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减小9．（4分）抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）A．向左平移1个单位B．向左平移2个单位C．向右平移1个单位D．向右平移2个单位10．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=103511．（4分）方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜312．（4分）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为（）cm2．（结果保留π）A．B．C．D．13．（4分）如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm214．（4分）如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个15．（4分）如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，四边形DEFG为矩形，，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C 与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）16．（4分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是．17．（4分）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为，若五边形ABCDE的面积为18cm2，周长为21cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2，周长为cm．18．（4分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为．19．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2），动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与四边形ABCO的边OA所在直线相切时，P点的坐标为．三．解答题（共8小题，满分58分）21．（10分）计算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．22．（6分）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，请用尺规作⊙P，使圆心P在AC 上，且与AB、BC两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）23．（7分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．24．（7分）如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC=5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y=图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．25．（8分）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME 与楼顶所在的直线AC 是平行的，CD 的厚度为0.5m ，求出汽车通过坡道口的限高DF 的长（结果精确到0.1m ，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．26．（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90°，AD=CD=2，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），∠CEB=45°，EB 与对角线AC 相交于点F ，设DE=x ．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把△CAE 的周长记作C △CAE ，△BAF 的周长记作C △BAF ，设=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE 的正切值是时，求AB 的长．27．（10分）设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形．以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ． 求证：（1）AD 是⊙B 的切线； （2）AD=AQ ； （3）BC 2=CF•EG ．28．在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D 的坐标．2018年甘肃省兰州市中考数学全真模拟突破试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）1．【解答】解：∵x===，∴当a+b+c≠0时，x==；当a+b+c=0时，x===﹣1，故选：A．2．【解答】解：从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层有2个正方形．故选：A．3．【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：．（2分）∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分）∴GF=BD=CD=6m．（1分）又∵．（2分）∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分）∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）答：铁塔的高度为24m．故选：A．4．【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8．故选：C．5．【解答】解：∵对于函数y=ax2+bx+c，当x=2.23时y＜0，当x=2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选：B．6．【解答】解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0 （1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0 （2）把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a +c=0，故正确；③方程ax 2+c=0有两个不相等的实数根，则它的△=﹣4ac ＞0，∴b 2﹣4ac ＞0而方程ax 2+bx +c=0的△=b 2﹣4ac ＞0， ∴必有两个不相等的实数根．故正确；④若b=2a +c 则△=b 2﹣4ac=（2a +c ）2﹣4ac=4a 2+c 2，∵a ≠0，∴4a 2+c 2＞0故正确．②③④都正确，故选C ．7．【解答】解：A 、是频率的概念，正确；B 、是频率的性质，正确；C 、在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频数，错误；D 、用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确，正确．故选：C ．8．【解答】解：连接BD ，则BD 过点O ，∵O 是AC 的中点，∴S △AOB =S △BOC =S △AOD =S △COD =S 矩形ABCD ，开始时，如图1，S 阴影=S △AOB +S △COD =S 矩形ABCD ，点P 到达AB 的中点，点Q 到达BC 的中点时，如图2，S 阴影=S 矩形ABCD ，结束时，如图3，S 阴影=S △BOC +S △AOD=S 矩形ABCD ，∴在这个运动过程中，图中的阴影部分面积大小变化情况是：先减小后增大． 故选C ．9．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1），∴是抛物线y=x2+1向左平移2个单位得到，故选：B．10．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．故选：C．11．【解答】解：方程x2+2x﹣1=0的实数根可以看作函数y=x+2和y=的交点．函数大体图象如图所示：A．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于﹣2，故﹣1＜x0＜0错误；B．当x=1时，y1=1+2=3，y2==1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0＜x0＜1正确；C．当x=1时，y1=1+2=3，y2==1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1＜x0＜2错误；D．当x=2时，y1=2+2=4，y2=，而4＞，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故2＜x0＜3错误．故选：B．12．【解答】解：如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△O BC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OA∥BC，∴△OBC的面积=△ABC的面积，∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=．故选：C．13．【解答】解：如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴===，∴=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×=a，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（a）2+（8a）2=（10+6）2，解得a2=，红、蓝两张纸片的面积之和=×a×8a﹣（5a）2，=a2﹣25a2，=a2，=×，=30cm2．故选：D．14．【解答】解：根据长方形的性质，对角线互相平分且相等，所以对角线的交点是长方形的对称中心；故长方形ABFE的对称中心是其对角线的交点，即CD的中点；进而可得：可以作为旋转中心的点只有CD的中点．故选：A．15．【解答】解：已知∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，∴AB=4，由勾股定理得：AC=2，∵四边形DEFG为矩形，∠C=90，∴DE=GF=2，∠C=∠DEF=90°，∴AC∥DE，此题有三种情况：（1）当0＜x＜2时，AB交DE于H，如图∵DE∥AC，∴=，即=，解得：EH=x，所以y=•x•x=x2，∵x y之间是二次函数，所以所选答案C错误，答案D错误，∵a=＞0，开口向上；（2）当2≤x≤6时，如图，此时y=×2×2=2，（3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1，△FNB 的面积是s 2，BF=x ﹣6，与（1）类同，同法可求FN=X ﹣6， ∴y=s 1﹣s 2，=×2×2﹣×（x ﹣6）×（X ﹣6），=﹣x 2+6x ﹣16，∵﹣＜0，∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误，故选：A ．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）16．【解答】解：设点B 的坐标是（m ，n ），因为点B 在函数y=的图象上，则mn=2，则BD=n ，OD=m ，则AC=2m ，OC=2n ，设过点A 的双曲线解析式是y=，A 点的坐标是（﹣2n ，2m ），把它代入得到：2m=，则k=﹣4mn=﹣8，则图中过点A 的双曲线解析式是y=﹣．故答案为：y=﹣．17．【解答】解：五边形A′B′C′D′E′的面积=18×=8cm2；五边形A′B′C′D′E′的周长=21×=14cm．18．【解答】解：∵y=﹣2x2+6x﹣1=﹣2（x﹣）2+∴顶点的坐标是（）故填空答案：（）．19．【解答】解：条件为∠ABC=90°或AC=BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°或AC=BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．20．【解答】解：∵C（﹣3，2），∴直线OC的解析式为y=﹣x，∵直线OP的解析式为y=x，∵﹣×=﹣1，∴OP⊥OC，①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上，∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，∴P（0，0）．②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）．③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得x，解得x=3+或3﹣，∵x=3+＞OA，∴⊙P不会与OA相切，∴x=3+不合题意，∴P（3﹣，）．④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，∵OP⊥AB，∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，∴此种情形，不存在P．综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3﹣，）．故答案为：（0，0）或（，1）或（3﹣，）．三．解答题（共8小题，满分58分）21．【解答】解：原式=+1﹣2×+=．22．【解答】解：如图，⊙O即为所求．23．【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是=．24．【解答】解：（1）把A（2，m），B（n，﹣2）代入y=得：k2=2m=﹣2n，即m=﹣n，则A（2，﹣n），过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，∵A（2，﹣n），B（n，﹣2），∴BD=2﹣n，AD=﹣n+2，BC=|﹣2|=2，=•BC•BD∵S△ABC∴×2×（2﹣n）=5，解得：n=﹣3，即A（2，3），B（﹣3，﹣2），把A（2，3）代入y=得：k2=6，即反比例函数的解析式是y=；把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y=k1x+b得：，解得：k1=1，b=1，即一次函数的解析式是y=x+1；（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P≤﹣2，当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P＞0，即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．25．【解答】解：∵AC∥ME，∴∠CAB=∠AEM，在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，∴∠BDF=∠CAB=28°，∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），答：坡道口的限高DF的长是3.8m．26．【解答】解：（1）∵AD=CD．∴∠DAC=∠ACD=45°，∵∠CEB=45°，∴∠DAC=∠CEB，∵∠ECA=∠ECA，∴△CEF∽△CAE，∴，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=，∵CA=2，∴，∴CF=；（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，∴∠ECA=∠ABF，∵∠CAE=∠ABF=45°，∴△CEA∽△BFA，∴y====（0＜x＜2），（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，∴，∴，∴AB=x+2，∵∠ABE的正切值是，∴tan∠ABE===，∴x=，∴AB=x+2=．27．【解答】证明：（1）连接BD，∵四边形BCDE是正方形，∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，∵C为AB的中点，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，∵BD为半径，∴AD是⊙B的切线；（2）∵BD=BG，∴∠BDG=∠G，∵CD∥BE，∴∠CDG=∠G，∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，∴∠ADQ=∠AQD，∴AD=AQ；（3）连接DF，在△BDF中，BD=BF，∴∠BFD=∠BDF，又∵∠DBF=45°，∴∠BFD=∠BDF=67.5°，∵∠GDB=22.5°，在Rt△DEF与Rt△GCD中，∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，∴Rt△DCF∽Rt△GED，∴，又∵CD=DE=BC，∴BC2=CF•EG．28．【解答】解：（1）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0）；当x=0时，y=x+2=2，则C（0，2），把A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣﹣x+2；（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，当y=0时，﹣﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，则B（1，0）设E（x，x+2），=•（1+4）•2=5，∵S△ABC而△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，=4，∴S△AEB∴•（1+4）•（x+2）=4，解得x=﹣，∴E（﹣，），∴BH=1+=，在Rt△BHE中，cot∠EBH===，即∠DBA的余切值为；（3）∠AOC=∠DFC=90°，若∠DCF=∠ACO时，△DCF∽△ACO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ=∠AOC，∴∠DCF+∠ACQ=90°，即∠ACO+∠ACQ=90°，而∠ACO+∠CAO=90°，∴∠ACQ=∠CAO，∴QA=QC，设Q（m，0），则m+4=，解得m=﹣，∴Q（﹣，0），∵∠QCO+∠DCG=90°，∠QCO+∠CQO=90°，∴∠DCG=∠CQO，∴Rt△DCG∽Rt△CQO，∴=，即===，设DG=4t，CG=3t，则D（﹣4t，3t+2），把D（﹣4t，3t+2）代入y=﹣﹣x+2得﹣8t2+6t+2=3t+2，整理得8t2﹣3t=0，解得t1=0（舍去），t2=，∴D（﹣，）；当∠DCF=∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，∴点D的纵坐标为2，把y=2代入y=﹣﹣x+2得﹣﹣x+2=2，解得x1=﹣3，x2=0（舍去），∴D（﹣3，2），综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．。

2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1. 设全集U=R，A={x|x2−2x>0}，B={x|y=√x−1}，则A∪∁U B=()A.(2, +∞)B.(−∞, 0)∪(2, +∞)C.(−∞, 1)∪(2, +∞)D.(−∞, 0)【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出A={x|x<0, 或x>2}，B={x|x≥1}，然后进行并集、补集的运算即可．【解答】A={x|x<0, 或x>2}，B={x|x≥1}；∴∁U B={x|x<1}；∴A∪∁UB={x|x<1, 或x>2}=(−∞, 1)∪(2, +∞)．2. 已知复数z=31−2i（i是虚数单位），则z=()A.3 5+65i B.35−65i C.15−25i D.15+25i【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案案．【解答】∵z=31−2i =3(1+2i)(1−2i)(1+2i)=35+65i，∴z=35−65i，3. 已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−1【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．4. 下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B.“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x>0，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x>0,均有x2+x+1≥0”D.命题“若x>y，则sinx>siny”的逆否命题为真命题【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题主要考查命题的否定以及必要条件、充要条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点.【解答】解：对于A：因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=−1⇒x2−5x−6=0，应为充分条件，故错误．对于D：因为逆否命题为若sinx≤siny，则x≤y,故错误．由排除法得到C正确．故选C．5. 如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝−12，则输出的S的值为（）A.4B.5C.8D.9【答案】C【考点】程序框图【解析】关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件S≤n，跳出循环，确定输出S的值【解答】由程序框图知：第一次循环S＝−12+2＝−10，n＝2；第二次循环S＝−10+4＝−6，n＝3；第三次循环S＝−6+6＝0，n＝4；第四次循环S＝0+8＝8，n＝5．不满足条件S≤n，跳出循环，输出S＝8．6. 某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A.60B.90C.150D.120【答案】B【考点】计数原理的应用【解析】先分组5个尖子生分为(2, 2, 1)，再分配即可．【解答】5个尖子生分为(2, 2, 1)，故其分组的方法有C52C32C11A22=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.163π B.112π C.173π D.356π【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】判断三视图对应的解得组合体的形状，利用三视图数据求解几何体的体积即可．【解答】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此V=23πr3=16π3，8. 若(x+1x +1)n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x，y，满足y>sinx的概率为（）A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.12【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】由题意知，令x=1，得到3n=81，解得n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S=π×1=π，满足y≥sinx的点构成区域的面积为：S=∫πsinxdx=−cosx|0π=−cosπ+cos0=2，则满足y>sinx的概率为P=1−2π．故选：B．9. 已知函数f(x)=2√3sin(ωx2−π8)cos(ωx2−π8)(ω>0)的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到g(x)=√3sin(ωx+π4)的图象，只需将f(x)的图象（）A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=2√3sin(ωx2−π8)cos(ωx2−π8)=√3sin(ωx−π4)，由△EFG是正三角形可知|FG|=T2=2，即T=4，得ω=π2．所以f(x)=√3sin(π2x−π4)=√3sin[π2(x−1)+π4]．又g(x)=√3sin(π2x+π4)，故只需将f(x)的图象向左平移1个单位长度，即可得到g(x)的图象．故选C．10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P−ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.8πB.12πC.20πD.24π【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】由题意，PC为球O的直径，PC=√4+16=2√5，∴球O的半径为√5，∴球O的表面积为4π⋅5=20π，11. 直线y=2b与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A.√53B.√52C.√193D.√192【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】根据图形对称性即可求出∠AOC=60∘，求出C点坐标即可得出a，b的关系，从而得出双曲线的离心率．【解答】设直线y=2b与y轴交于D点，由对称性可知∠BOD=∠COD，又∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=2∠COD，又∠AOC+∠COD=90∘，∴∠AOC=60∘，把y=2b代入x2a2−y2b2=1可得x=±√5a，即C(√5a, 2b)，∴√5a =tan60∘=√3，即b2=15a24，∴e=√a2+b2a =√192．12. 已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=f(x)，当−1≤x<1时，f(x)=sinπ2x，若函数g(x)=f(x)−log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A.(0, 15]∪(5, +∞) B.(0, 15)∪[5, +∞) C.(17, 15]∪(5, 7) D.(17, 15)∪[5, 7)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理 【解析】分a >1与0<a <1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可． 【解答】当a >1时，作函数f(x)与函数y =log a |x|的图象如下，，结合图象可知， {log a |−5|<1log a |5|<1， 故a >5；当0<a <1时，作函数f(x)与函数y =log a |x|的图象如下，，结合图象可知， {log a |−5|≥−1log a |5|≥−1 ， 故0<a ≤15．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．asinBcosC +csinBcosA =12b 且a >b ，则∠B =________． 【答案】 30∘【考点】两角和与差的三角函数 正弦定理 【解析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB 的值，由a 大于b 得到A 大于B ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 【解答】利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC +sinCsinBcosA =12sinB ， ∵ sinB ≠0，∴ sinAcosC +cosAsinC =sin(A +C)=sinB =12，∵ a >b ，∴ ∠A >∠B ， ∴ ∠B =30∘．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________． 【答案】 甲【考点】进行简单的合情推理 【解析】利用反证法，即可得出结论． 【解答】假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；已知点P(x, y)满足{x +y ≤7y ≥x x ≥2 ，过点P 的直线与圆x 2+y 2=50相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________． 【答案】 2√21 【考点】 简单线性规划直线与圆的位置关系 【解析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案． 【解答】由约束条件{x +y ≤7y ≥xx ≥2 作出可行域如图，联立{x =2x +y =7，解得A(2, 5)． 由图可知，可行域内的点中，A 1 到原点的距离最大，为√29， ∴ |AB|的最小值为2√50−29=2√21．设函数f(x)=32x 2−2ax(a >0)与g(x)=a 2lnx +b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为________． 【答案】12e 2【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设公共点坐标为(x 0, y 0)，求出两个函数的导数，利用f ′(x 0)=g ′(x 0)，推出b =32x 02−2ax 0−a 2lnx 0，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可．【解答】设公共点坐标为(x 0, y 0)，则f ′(x)=3x −2a,g ′(x)=a 2x，所以有f ′(x 0)=g ′(x 0)，即3x 0−2a =a 2x 0，解出x 0=a （x 0=−a3舍去），又y 0=f(x 0)=g(x 0)，所以有32x 02−2ax 0=a 2lnx 0+b ， 故b =32x 02−2ax 0−a 2lnx 0， 所以有b =−12a 2−a 2lna ，对b 求导有b ′=−2a(1+lna)， 故b 关于a 的函数在(0,1e )为增函数，在(1e ,+∞)为减函数， 所以当a =1e 时b 有最大值12e 2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{1a n}的前n 项和T n ，求得|T n −1|<11000成立的n 的最小值．【答案】由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，即a n=2a n−1(n>1)．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)．∴a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n；由（1）得1a n =12n．∴T n=12+122+123+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−12n．由|T n−1|<11000，得|1−12n−1|<11000，即2n>1000．∵29=512<1000<1024=210，∴n≥10．于是，使|T n−1|<11000成立的n的最小值为10．【考点】数列的求和【解析】（1）由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，得到a n=2a n−1(n>1)．结合a1，a2+1，a3成等差数列列式求得a1=2．再由等比数列的通项公式求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）得1a n =12n．利用等比数列的前n项和求得T n，代入|T n−1|<11000，去绝对值后求解指数不等式得答案．【解答】由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，即a n=2a n−1(n>1)．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)．∴a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n；由（1）得1a n =12n．∴T n=12+122+123+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−12n．由|T n−1|<11000，得|1−12n−1|<11000，即2n>1000．∵29=512<1000<1024=210，∴n≥10．于是，使|T n−1|<11000成立的n的最小值为10．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．(Ⅰ)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；(Ⅱ)现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60, 70)的学生人数X的分布列及数学期望．【答案】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×3040=750人．….. (Ⅱ)体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中各有学生人数为2人和3人，现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人，由题意X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C22C52=110，X的分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．…．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．(Ⅱ)由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×3040=750人．…..(Ⅱ)体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中各有学生人数为2人和3人， 现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人， 由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 32C 52=310，P(X =1)=C 21C31C 52=35，P(X =2)=C 22C 52=110，X 的分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．…．如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中，AC =2，CE =1，平面ABC ⊥平面ACEF ． (1)在EF 上找一点M ，使BM ⊥AC ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角余弦值．【答案】解：(1)M 为线段EF 的中点，理由如下： 分别取AC ，EF 的中点O ，M ，连接OM ， 在等边三角形ABC 中，AC ⊥BO ，又OM 为矩形ACEF 的中位线，AC ⊥OM ， 而OM ∩OB =O ， ∴ AC ⊥平面BOM ， ∴ BM ⊥AC ；(2)由(1)知OA ，OB ，OM 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系O −xyz ，AC =2，CE =1，三角形ABC 为等边三角形，O(0,0,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),E(−1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． ∴ CB →=(1,√3,0),CE →=(0,0,1)， 设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {n →⋅CB →=0,n →⋅CE →=0,得{x +√3y =0,z =0,则平面BCE 的一个法向量n →=(√3,−1,0)， 又M 是线段EF 的中点， 则M 的坐标为M(0, 0, 1)，∴ AM →=(−1,0,1)，且AB →=(−1,√3,0)， 设平面ABM 的法向量m →=(a,b,c)， 由{m →⋅AB →=0,m →⋅AM →=0, 得{−a +c =0,−a +√3b =0,取a =√3，则b =1,c =√3，∴ 平面ABM 的一个法向量m →=(√3,1,√3)， ∴ cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√7=√77， ∴ 平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角的余弦值为√77．【考点】用空间向量求平面间的夹角 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的判定 【解析】（1）分别取AC 、EF 的中点O 、M ，连接OM ，推导出AC ⊥BO ，AC ⊥OM ，从而AC ⊥面BOM ，由此能证明BM ⊥AC ．（2）由OA ，OB ，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，由此能求出平面MAB 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】解：(1)M 为线段EF 的中点，理由如下： 分别取AC ，EF 的中点O ，M ，连接OM ， 在等边三角形ABC 中，AC ⊥BO ，又OM 为矩形ACEF 的中位线，AC ⊥OM ， 而OM ∩OB =O ， ∴ AC ⊥平面BOM ， ∴ BM ⊥AC ；(2)由(1)知OA ，OB ，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，AC =2，CE =1，三角形ABC 为等边三角形，O(0,0,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),E(−1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． ∴ CB →=(1,√3,0),CE →=(0,0,1)， 设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {n →⋅CB →=0,n →⋅CE →=0,得{x +√3y =0,z =0,则平面BCE 的一个法向量n →=(√3,−1,0)， 又M 是线段EF 的中点， 则M 的坐标为M(0, 0, 1)，∴ AM →=(−1,0,1)，且AB →=(−1,√3,0)， 设平面ABM 的法向量m →=(a,b,c)， 由{m →⋅AB →=0,m →⋅AM →=0, 得{−a +c =0,−a +√3b =0,取a =√3，则b =1,c =√3，∴ 平面ABM 的一个法向量m →=(√3,1,√3)， ∴ cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√7=√77， ∴ 平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角的余弦值为√77．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【答案】（1）根据题意，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，则有a ＝2c ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3，则有2ab ＝4√3， 又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于对称性，可令点M(4, t)，其中t >0． 将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0， 由x A ⋅x P =4t 2−10827+t 2，x A ＝−2得x P =−2t 2−5427+t2，则y P =18t27+t 2． 再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0， 由x B ⋅x Q =4t 2−123+t 2，x B ＝2得x Q =2t 2−63+t2，则y Q =−6t3+t 2． 故四边形APBQ 的面积为S =12|AB||y P −y Q |＝2|y P −y Q |＝2(18t27+t 2+6t3+t 2)=48t(9+t 2)(27+t 2)(3+t 2)=48t(9+t 2)(9+t 2)2+12t 2=489+t 2t+12t 9+t 2．由于λ=9+t2t≥6，且λ+12λ在[6, +∞)上单调递增，故λ+12λ≥8，从而，有S =48λ+12λ≤6．当且仅当λ＝6，即t ＝3，也就是点M 的坐标为(4, 3)时，四边形APBQ 的面积取最大值6．【考点】 椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)根据题意，分析可得a ＝2c 且2ab ＝4√3，解可得a 、b 的值，将其代入椭圆的方程，即可得答案；(Ⅱ)令点M(4, t)，其中t >0，将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0，由根与系数的关系可以用t 表示x P 、y P ．再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0，同理可以用t 表示x Q 、y Q ．进而可以用t 表示四边形APBQ 的面积为S ，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，则有a ＝2c ， 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3，则有2ab ＝4√3，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于对称性，可令点M(4, t)，其中t >0． 将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0， 由x A ⋅x P =4t 2−10827+t 2，x A ＝−2得x P =−2t 2−5427+t2，则y P =18t27+t 2． 再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0， 由x B ⋅x Q =4t 2−123+t 2，x B ＝2得x Q =2t 2−63+t2，则y Q =−6t3+t 2． 故四边形APBQ 的面积为S =12|AB||y P −y Q |＝2|y P −y Q |＝2(18t27+t 2+6t3+t 2)=48t(9+t 2)(27+t )(3+t )=48t(9+t 2)(9+t )+12t =489+t 2t+12t9+t 2．由于λ=9+t2t≥6，且λ+12λ在[6, +∞)上单调递增，故λ+12λ≥8，从而，有S =48λ+12λ≤6．当且仅当λ＝6，即t ＝3，也就是点M 的坐标为(4, 3)时，四边形APBQ 的面积取最大值6．已知f(x)=xlnx +mx ，且曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线斜率为1． （1）求实数m 的值；（2）设g(x)=f(x)−a2x 2−x +a(a ∈R)在其定义域内有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，已知λ>0，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ恒成立，求λ的范围． 【答案】f′(x)=1+lnx +m ，由题意知，f′(1)=1，即：m +1=1，解得 m =0；∵ e 1+λ<x 1⋅x 2λ 等价于1+λ<lnx 1+λlnx 2． g(x)=f(x)−a 2x 2−x +a =xlnx −a2x 2−x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g′(x)=0，即：lnx −ax =0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．∴ 原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a(x 1+λx 2)， ∵ λ>0，0<x 1<x 2，∴ 原式等价于a >1+λx 1+λx 2．又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．作差得，ln x 1x 2=a(x 1−x 2)，即a =lnx 1x 2x 1−x 2．∴ 原式等价于lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx 1+λx 2，∵ 0<x 1<x 2，原式恒成立，即ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)， 则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立． 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2，当λ2≥1时，可得t ∈(0, 1)时，ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上单调增，又ℎ(1)=0， ℎ(t)<0在t ∈(0, 1)恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t ∈(0, λ2)时，ℎ′(t)>0，t ∈(λ2, 1)时，ℎ′(t)<0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, λ2)时单调增，在t ∈(λ2, 1)时单调减，又ℎ(1)=0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ 恒成立，只须λ2≥1， 又λ>0，∴ λ≥1． 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f′(1)，由f′(1)=1求得m 值；（2）求出g(x)，求其导函数，可得lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ恒成立，转化为lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx 1+λx 2恒成立，进一步转化为ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)，则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立．令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，求导可得满足条件的λ的范围． 【解答】f′(x)=1+lnx +m ，由题意知，f′(1)=1，即：m +1=1，解得 m =0；∵ e 1+λ<x 1⋅x 2λ 等价于1+λ<lnx 1+λlnx 2． g(x)=f(x)−a 2x 2−x +a =xlnx −a2x 2−x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g′(x)=0，即：lnx −ax =0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．∴ 原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a(x 1+λx 2)， ∵ λ>0，0<x 1<x 2，∴ 原式等价于a >1+λx 1+λx 2．又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2． 作差得，ln x 1x 2=a(x 1−x 2)，即a =lnx 1x 2x 1−x 2．∴ 原式等价于lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx1+λx 2，∵ 0<x 1<x 2，原式恒成立，即ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)， 则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立． 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2，当λ2≥1时，可得t ∈(0, 1)时，ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上单调增，又ℎ(1)=0， ℎ(t)<0在t ∈(0, 1)恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t ∈(0, λ2)时，ℎ′(t)>0，t ∈(λ2, 1)时，ℎ′(t)<0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, λ2)时单调增，在t ∈(λ2, 1)时单调减，又ℎ(1)=0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ 恒成立，只须λ2≥1， 又λ>0，∴ λ≥1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知平面直角坐标系中，曲线C:x 2+y 2−6x −8y ＝0，直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3x −y =0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的参数方程以及直线l 1，l 2的极坐标方程；（2）若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积． 【答案】依题意，曲线C ：(x −3)2+(y −4)2＝25，∴ 曲线C 的参数方程是{x =3+5cosαy =4+5sinα （α为参数），∵ 直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3−y =0，∴ l 1，l 2的极坐标方程为l 1:θ=π6(ρ∈R),l 2:θ=π3(ρ∈R)； ∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ1=4+3√3，∴ A(4+3√3,π6)， 把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ2=3+4√3，∴ B(3+4√3,π3)， ∴ S △AOB =12ρ1ρ2sin∠AOB =12(4+3√3)(3+4√3)sin(π3−π6)=12+25√34． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）推导出曲线C ：(x −3)2+(y −4)2＝25，从而能求出曲线C 的参数方程，由直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3−y =0，能求出l 1，l 2的极坐标方程．（2）曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得A(4+3√3,π6)，把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得B(3+4√3,π3)，由此能求出△AOB的面积．【解答】依题意，曲线C：(x−3)2+(y−4)2＝25，∴曲线C的参数方程是{x=3+5cosαy=4+5sinα（α为参数），∵直线l1:x−√3y=0，直线l2:√3−y=0，∴l1，l2的极坐标方程为l1:θ=π6(ρ∈R),l2:θ=π3(ρ∈R)；∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ1=4+3√3，∴A(4+3√3,π6)，把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ2=3+4√3，∴B(3+4√3,π3)，∴S△AOB =12ρ1ρ2sin∠AOB=12(4+3√3)(3+4√3)sin(π3−π6)=12+25√34．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)=2−x2，g(x)=|x−a|．（1）若a=1，解不等式f(x)+g(x)≥3；（2）若不等式f(x)>g(x)至少有一个负数解，求实数a的取值范围．【答案】=0，得a=−94，数形结合知，当a≤−94时，不等式无负数解，则−94<a<0．当a=0时，满足f(x)>g(x)至少有一个负数解．当a>0时，g(x)的图象如折线②所示：此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知，当a≥2时，不等式无负数解，则0<a<2．综上所述，若不等式f(x)>g(x)至少有一个负数解，则实数a的取值范围是(−94，．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式，解出即可； （2）结合函数的图象以及二次函数的性质求出a 的范围即可． 【解答】若a =1，则不等式f(x)+g(x)≥3化为2−x 2+|x −1|≥3，当x ≥1时，2−x 2+x −1≥3，即x 2−x +2≤0，(x −12)2+74≤0不成立； 当x <1时，2−x 2−x +1≥3，即x 2+x ≤0，解得−1≤x ≤0． 综上，不等式f(x)+g(x)≥3的解集为{x|−1≤x ≤0}． 作出y =f(x)的图象。

2018年甘肃省兰州市中考数学全真模拟突破试卷（二）一．选择题（共15小题，满分56分）1．已知=，那么下列等式中一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=2．（4分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm4．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对5．（4分）下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．﹣2＜x＜﹣2.14 B．﹣2.14＜x＜2.13C．﹣2.13＜x＜﹣2.12 D．﹣2.12＜x＜﹣2.116．（4分）下列方程中，没有实数根的是（）A．3x+2=0 B．2x+3y=5 C．x2+x﹣1=0 D．x2+x+1=07．（4分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．14个C．20个D．30个8．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，O为对角线AC的中点，点P，Q 分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B，C，连接PO，QO并延长分别与CD，DA交于点M，N，在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减小9．（4分）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位10．（4分）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=2550 B．x（x﹣1）=2550 C．2x（x+1）=2550 D．x（x﹣1）=2550×211．（4分）如图，函数y=（x＜0）的图象与直线y=x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且x P=﹣，x A﹣x B=﹣3，则k的值是（）A．﹣5 B．C．﹣2 D．﹣112．（4分）如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．13．（4分）1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米，此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是（）A．80米B．85米C．120米D．125米14．（4分）如图，ABCD和DCGH是两块全等的正方形铁皮，要使它们重合，则存在的旋转中心有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C 的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）16．（4分）如图，点P在反比例函数（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得图象为点P′．则经过点P'的反比例函数图象的解析式是．17．（4分）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是，．18．（4分）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．19．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．20．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，且点为B，则PB的最小值是．三．解答题（共8小题，满分70分）21．（10分）计算：（π+）0+﹣2sin60°﹣（）﹣2．22．（6分）在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（2）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）23．（7分）正四面体各面分别标有数字1、2、3、4，正六面体各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时掷这两个正多面体，并将它们朝下面上的数字相加．（1）请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果；（2）求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率．24．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P 的横坐标的取值范围，（不必写过程）25．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）26．（10分）已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．27．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD 于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．28．（12分）在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D 的坐标．2018年甘肃省兰州市中考数学全真模拟突破试卷（二）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分56分）1．【解答】解：A、3x•2=9y，则2x=3y，所以A选项正确；B、5（x+3）=6（y+3），则5x﹣6y=3，所以B选项错误；C、2y（x﹣3）=3x（y﹣2），则xy﹣6x+6y=0，所以C选项错误；D、2（x+y）=5x，则3x=2y，所以D选项错误．故选：A．2．【解答】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意；B、左视图与俯视图不同，不符合题意；C、左视图与俯视图相同，符合题意；D左视图与俯视图不同，不符合题意，故选：C．3．【解答】解：∵tan15°=．∴木桩上升了6tan15°cm．故选：C．4．【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．5．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选：C．6．【解答】解；A、3x+2=0，解得x=﹣，B、2x+3y=5是不定方程，有无穷组解，C、∵△=b2﹣4ac=5＞0∴方程x2+x﹣1=0有实数根，D、∵△=b2﹣4ac=12﹣4×1×1=﹣3＜0∴方程x2+x+1=0没有实数根．故选：D．7．【解答】解：由题意可得：=0.3，解得：x=14，故选：B．8．【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵矩形ABCD中，AB=8，BC=4，O为对角线AC的中点，∴OE=BC=2，OF=AB=4，设BQ=x，则由点P的速度是点Q的速度2倍，可得AP=2x，BP=8﹣2x，CQ=4﹣x，∵△POQ的面积=Rt△ABC的面积﹣△AOP的面积﹣△COQ的面积﹣△BPQ的面积=×4×8﹣×2x×2﹣×（4﹣x）×4﹣x（8﹣2x）=x2﹣4x+8，∴阴影部分面积y=2x2﹣8x+16（0≤x≤4），∴当x=2时，阴影部分面积y有最小值，根据二次函数的性质，可得阴影部分面积先减小后增大，故选：C．9．【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．故选：C．10．【解答】解：∵全班有x名学生，∴每名学生应该送的相片为（x﹣1）张，∴x（x﹣1）=2550．故选：B．11．【解答】解：由题意可得：x A、x B是方程=x+m即x2+2mx﹣2k=0的两根，∴x A+x B=﹣2m，x A•x B=﹣2k．∵点A、B在反比例函数y=的图象上，∴x A•y A=x B•y B=k．∵S△PAE=S△PBF，∴y A（x P﹣x A）=（﹣x B）（y B﹣y P），整理得x P•y A=x B•y P，∴﹣=xB•y P，∴﹣k=x A•x B•y P=﹣2ky P，．∵k≠0，∴y P=，∴×（﹣）+m=，∴m=．∵x A﹣x B=﹣3，∴（x A﹣x B）2=（x A+x B）2﹣4x A•x B=（﹣2×）2+8k=9，∴k=﹣2．故选：C．12．【解答】解：连接CO、DO，∴S阴影部分=6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）=6（﹣）=4π﹣6．故选：A．13．【解答】解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：，解得：x=125米．故选：D．14．【解答】解：根据旋转的性质，可得要使正方形ABCD和DCGH重合，有3种方法，可以分别绕D、C或CD的中点旋转，即旋转中心有3个．故选C．15．【解答】解：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=BC=4（0≤x≤3）．（2）如图1，当点P在BC上移动时，，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵∠PAB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠PAB=∠ADE，在△PAB和△ADE中，∴△PAB∽△ADE，∴，∴，∴y=（3＜x≤5）．综上，可得y关于x的函数大致图象是：．故选：D．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）16．【解答】解：由于P的横坐标为2，则点P的纵坐标为y=，则P点坐标为（2，）；将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得图象为点P'（4，）．设经过点P'的反比例函数图象的解析式是y=，把点P'（4，）代入y=，得：k=4×=6．则反比例函数图象的解析式是y=．故答案为：y=．17．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），∴E（﹣1，0）、G（0，﹣1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），（1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得．∴此函数的解析式为y=x﹣1，与EC的交点坐标是（1，0）；（2）当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点，设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），，解得，故此一次函数的解析式为y=x+…①，同理，设CG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），，解得，故此直线的解析式为y=x﹣1…②联立①②得解得，故AE与CG的交点坐标是（﹣5，﹣2）．故答案为：（1，0）、（﹣5，﹣2）．18．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b ②，∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，∴顶点坐标为（=±， =），即（±，）．故答案为：（±，）．19． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AB ⊥AD ，∴四边形ABCD 是正方形，①正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BD ，AB ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD 是平行四边形，OB=OC ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，又OB ⊥OC ，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD 是正方形，③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴平行四边形ABCD 是正方形，④正确；故答案为：①③④．20．【解答】解：如图，作AP ⊥直线y=x +3，垂足为P ，作⊙A 的切线PB ，切点为B ，此时切线长PB 最小，∵A的坐标为（1，0），设直线与x轴，y轴分别交于D，C，∴D（0，3），C（﹣4，0），∴OD=3，AC=5，∴DC==5，∴AC=DC，在△APC与△DOC中，，∴△APC≌△DOC，∴AP=OD=3，∴PB=．故答案为：2三．解答题（共8小题，满分70分）21．【解答】解：原式=1+2﹣2×﹣4=﹣3．22．【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）如图．23．【解答】解：（1）（2）共有24种情况，和为3的倍数的情况是8种，所以．24．【解答】解：（1）∵B（4，1），C（4，3），∴BC∥y轴，BC=2，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），∴D（1，2），∴由反比例函数y=的图象经过点D，可得k=1×2=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵在一次函数y=mx+3﹣4m中，当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，∴一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3）；（3）点P的横坐标的取值范围：＜x＜4．如图所示，过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，当y=3时，3=，即x=，∴点E的横坐标为；由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4；∵一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．25．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，∴CD=80×cos30°=80×=40（cm）．（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，∴OC=AC×tan30°=165×=55（cm），∴OD=OC﹣CD=55﹣40=15（cm），∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15=95（cm）．26．【解答】解：（1）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵EP⊥BC，∴AB∥EP．∴∠AME=∠PEM．∴∠AEM=∠AME．∴AM=A E，∵ABCD是矩形，∴AB∥DC．∴．∴CN=CE，设CN=CE=x．∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5．∴PE=AE=5﹣x．∵EP⊥BC，∴=sin∠ACB=．∴，∴x=，即CN=（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．∴AE=PE，AM=PM．∵EP⊥AC，∴．∴．∵AC=5，∴AE=，CE=．∴PE=，∵EP⊥AC，∴PC==．∴PB=PC﹣BC=，在Rt△PMB中，∵PM2=PB2+MB2，AM=PM．∴AM2=（）2+（4﹣AM）2．∴AM=；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，由折叠知，AE=PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，∴0≤CP≤5，如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，∴BP=2，由折叠知，PM=AM，在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2=BP2，∴（4﹣BM）2﹣BM2=4，∴BM=，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN==．当CP最大时MN=，27．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°，∵CH⊥AB，∴CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，∴=，∴AE•FD=AF•EC．（2）证明：连接OC，BC，∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，∴=，=，∴==，∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°，∵BF=DF，∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CF=BF．（3）解：连接OF，∵FE=FB=2，∴FC=FE=2，∴∠FEC=∠FCE，∵∠FCE+∠G=∠FEC+∠FAB=90°，∴∠FAB=∠G，∴FA=FG，∴AB=BG，∵AO=OB，∴OF∥AC，∴==3，∴FG=3FC=6，∴由勾股定理得：BG=4，∴OA=OB=AB=BG=2，即⊙O的半径r的长为2．28．【解答】解：（1）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0）；当x=0时，y=x+2=2，则C（0，2），把A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣﹣x+2；（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，当y=0时，﹣﹣x +2=0，解得x 1=﹣4，x 2=1，则B （1，0）设E （x ， x +2），∵S △ABC =•（1+4）•2=5，而△ABE 的面积与△ABC 的面积之比为4：5，∴S △AEB =4，∴•（1+4）•（x +2）=4，解得x=﹣，∴E （﹣，），∴BH=1+=，在Rt △BHE 中，cot ∠EBH===，即∠DBA 的余切值为；（3）∠AOC=∠DFC=90°，若∠DCF=∠ACO 时，△DCF ∽△ACO ，如图2，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，过点C 作CQ ⊥DC 交x 轴于点Q ， ∵∠DCQ=∠AOC ，∴∠DCF +∠ACQ=90°，即∠ACO +∠ACQ=90°，而∠ACO +∠CAO=90°，∴∠ACQ=∠CAO ，∴QA=QC ，设Q （m ，0），则m +4=，解得m=﹣，∴Q （﹣，0），∵∠QCO +∠DCG=90°，∠QCO +∠CQO=90°，∴∠DCG=∠CQO ，∴Rt △DCG ∽Rt △CQO ，∴=，即===，设DG=4t，CG=3t，则D（﹣4t，3t+2），把D（﹣4t，3t+2）代入y=﹣﹣x+2得﹣8t2+6t+2=3t+2，整理得8t2﹣3t=0，解得t1=0（舍去），t2=，∴D（﹣，）；当∠DCF=∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，∴点D的纵坐标为2，把y=2代入y=﹣﹣x+2得﹣﹣x+2=2，解得x1=﹣3，x2=0（舍去），∴D（﹣3，2），综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．。