高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书理苏教版

第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 理 苏教版1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2.各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( √ )1.(2015·福建改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为 .答案 －512解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.2.(教材改编)已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为 .答案 －43解析 因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0， sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.3.(2016·连云港模拟)计算：sin 116π＋cos 103π＝ .答案 －1解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－12，cos 103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－12，∴sin 116π＋cos 103π＝－1.4.(教材改编)已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝ .答案 12解析 原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.5.(教材改编)化简：tan 3π－αsin π－α sin 3π2－α＋sin 2π－α cos α－7π2sin 3π2＋α cos 2π＋α＝ .答案 1解析 因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin(3π2－α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(α－7π2)＝cos(α＋π2)＝－sin α，sin(3π2＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝－tan αsin α －cos α ＋－sin α －sin α－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α ＝cos 2αcos 2α＝1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为 .(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝ . 答案 (1)32 (2)－3125解析 (1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .答案 －1解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例 2 (1)(2016·宿迁模拟)已知f (x )＝sin 2π－x ·cos 32π＋xcos 3π－x ·sin 112π－x，则f (－21π4)＝ .(2)已知A ＝sin k π＋α sin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 .答案 (1)－1 (2){2，－2}解析 (1)f (x )＝－sin x ·sin x －cos x · －cos x＝－tan 2x ，f (－21π4)＝－tan 2(－21π4)＝－tan 234π＝－1. (2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(1)化简：tan π＋α cos 2π＋α sin α－3π2cos －α－3π sin －3π－α＝ .(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 cos π2＋α ·sin －π－αcos 11π2－α ·sin 9π2＋α的值为 .答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan αcos αsin[－2π＋ α＋π2]cos 3π＋α [－sin 3π＋α ]＝tan αcos αsin π2＋α－cos α sin α＝tan αcos αcos α－cos α sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)原式＝ －sin α sin α－sin α cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 . 答案31010解析 2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由－π<x <0，知sin x <0， 又sin x ＋cos x >0，∴cos x >0，sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin xcos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本题(2)中，若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值. 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，又(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin α＋3π2 sin 3π2－α tan 22π－α tan π－αcos π2－α cos π2＋α的值.解 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α －cos α ·tan 2α －tan αsin α· －sin α＝tan α＝±34.7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝ . (2)已知k ∈Z ，化简：sin k π－α cos[ k －1 π－α]sin[ k ＋1 π＋α]cos k π＋α＝ .思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论. 解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin αcos αsin αsin αcos α①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－α cos[ 2n －1 π－α]sin[ 2n ＋1 π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α ·cos －π－αsin π＋α ·cos α＝－sin α －cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[ 2n ＋1 π－α]·cos[ 2n ＋1－1 π－α]sin[ 2n ＋1＋1 π＋α]·cos[ 2n ＋1 π＋α]＝sin π－α ·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α －cos α＝－1.综上，原式＝－1. 答案 (1)52或－52(2)－11.(2016·盐城模拟)已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值为 .答案 34解析 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝ 1－cos 2α＝1－ 45 2＝35，cos α42.已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则cos －α－π sin 2π＋α tan 2π－αsin 3π2－α cos π2＋α＝ .答案 －2 2解析 原式＝ －cos α ·sin α· －tan α－cos α · －sin α ＝tan α，∵cos α＝13，－π2<α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.3.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 .答案 －3解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4.若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α的值为 .答案 －25解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sinα·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 5.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 . 答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.*6.(2016·扬州模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 . 答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7.已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ .答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74， 所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 8.(2016·江苏如东高级中学期中)若sin α＝2cos α，则sin 2α＋2cos 2α的值为 .答案 65解析 由sin α＝2cos α，得tan α＝2，因此sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan α＋1＝4＋24＋1＝65. 9.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin 3π2＋θ ＋cos π－θ sin π2－θ －sin π－θ ＝ . 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 10.(2016·无锡模拟)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α ＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11.已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α. 解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12.已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.解 (1)∵(sin A ＋cos A )2＝125， ∴1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)∵sin A cos A <0，又0<A <π，∴cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形.(3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 又sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35， 故tan A ＝－43. *13.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π).求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34，知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。