(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略第三篇建模板看细则突破高考拿高分文

【新步步高】（全国甲卷）2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第三篇 建模板看细则突破高考拿高分 文【模板·细则概述】“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化．评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.模板1 三角函数的图象与性质典例1 (14分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π2)，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．审题路线图 (1)f x ＝m·n ――→数量积运算辅助角公式得fx――→对称性周期性求出ω――――→fα2 ＝－34和差公式cos α (2)y ＝f x――→图象变换y ＝g x――→整体思想gx 的递增区间规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 f (x )＝m·n ＝cos ωx sin ωx ＋3cos(ωx ＋π)cos ωx ＝cos ωx sin ωx －3cos ωx cos ωx ＝sin 2ωx 2－3cos 2ωx＋12＝sin(2ωx －π3)－32.4分 ∵f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(2x －π3)－32.6分第一步 化简：利用辅助角将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．第二步 求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值．第三步 整体代换：将“ωx ＋φ”看作一个评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给2分；如果只有最后结果没有过程，则给2分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π3)时没有考虑范围扣1分；3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.典例2 (14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12acsin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12absin C评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，C ＝2B . (1)求cos B 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，b sin B ＝csin C，因为b ＝4，c ＝6，C ＝2B ，所以4sin B ＝6sin 2B ，即4sin B ＝62sin Bcos B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝34. (2)由(1)知cos B ＝34，从而sin B ＝74，因此sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝378，cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝18.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝74×18＋34×378＝5716. 所以△ABC 的面积为12×4×6×5716＝1574.模板3 数列的通项与求和问题典例3 (14分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n… … … … …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn；n 4a 和1n a 求(1) .n S 项和n 的前}n b {求数列，)*N ∈n (1n a ·n1)－(＋a4na4n －2a4n －1＝n b 设(2) ―――――→选定求和方法分析bn 的特征――→化简bn 确定an1和a4n →―数表中项的规律审题路线图分组法及裂项法、公式法求和规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d ，设每一行依次组成的等比数列的公比为q .依题意a 31＋a 61＝(1＋2d )＋(1＋5d )＝9，∴d ＝1，∴a n 1＝a 11＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .3分 又∵a 31＝a 11＋2d ＝3，∴a 35＝a 31·q 4＝3q 4＝48， 又∵q >0，∴q ＝2，又∵a 41＝4，第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系．第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数∴a 4n ＝a 41qn －1＝4×2n －1＝2n ＋1.6分(2)∵b n ＝错误!＋(－1)n·a n 1＝错误!＋(－1)n·n . ＝错误!＋(－1)n·n ＝错误!－错误!＋(－1)n·n .9分 ∴S n ＝(1－13)＋(13－17)＋(17－115)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n·n ]，10分 当n 为偶数时，S n ＝1－12n ＋1－1＋n2；12分当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋b n ＝1－12n －1＋n －12＋(12n －1－12n ＋1－1)－n＝1－12n ＋1－1－n ＋12＝1－n 2－12n ＋1－1.14分列的通项公式． 第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)． 第四步 写步骤． 第五步 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.评分细则 1.求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； 2．b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； 3．缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； 4．当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．跟踪演练3 在等差数列{a n }中，首项a 1＝－1，数列{b n }满足且b 1b 2b 3＝164.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝(－1)n6n －5anan ＋1，求数列{c n }的前n 项的和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＝－3＋3×22d ＝3d －3.∵数列{b n }满足且b 1b 2b 3＝164，∴＝(12)3d －3＝(12)6， ∴3d －3＝6，解得d ＝3. ∴a n ＝－1＋3(n －1)＝3n －4. (2)∵c n ＝(－1)n6n －5anan ＋1＝(－1)n(13n －4＋13n －1)，∴当n 为偶数时，数列{c n }的前n 项的和T n ＝－(－1＋12)＋(12＋15)－…－(13n －7＋13n －4)＋(13n －4＋13n －1)＝1＋13n －1＝3n 3n －1. 当n 为奇数时，数列{c n }的前n 项的和T n ＝T n －1－(13n －4＋13n －1) ＝3n －13n －1－1－(13n －4＋13n －1)＝3n －23n －1.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 3n －1，n 为偶数，3n －23n －1，n 为奇数.模板4 空间中的平行与垂直关系典例4 (14分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用中位线定理取PD 中点M ――→考虑平行关系长度关系平行四边形AEFM ―→AM∥EF ――→线面平行的判定定理EF∥平面PAD (2)平面PAD⊥平面ABCD PA⊥AD――→面面垂直的性质PA⊥平面ABCD ―→PA⊥DE ――――――→正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点DE⊥AH ――――――→线面垂直的判定定理DE⊥平面PAH ―――――→面面垂直的判定定理平面PAH⊥平面DEF规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板证明 (1)取PD 中点M ，连结FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点，∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．第二步 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ，则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF ，6分 ∵EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .7分(2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥PA . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt△ABH ≌Rt△DAE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，则DE ⊥AH ，12分∵PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面PAH ，∵DE ⊂平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF .14分 第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行． 第四步 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则 1.第(1)问证出AE 綊FM 给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面PAD 同样给分；2．第(2)问证明PA ⊥底面ABCD 时缺少条件扣1分；证明DE ⊥AH 时只要指明E ，H 分别为正方形边AB ，BC 中点得DE ⊥AH 不扣分；证明DE ⊥平面PAH 时只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥PA ，缺少条件不扣分．跟踪演练4 (2015·北京)如图，在三棱锥VABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB.所以三棱锥CVAB的体积等于13·OC·S△VAB＝33，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为33.典例5 (14分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．审题路线图利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解评分细则 1.各层抽样数量每个算对给1分；2．没有列举基本事件只求对基本事件个数给2分；3．求对样本事件个数而没有列出的给2分；4．最后没下结论的扣1分．跟踪演练5 近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格：(单位：万元/平方米)：(1)求a ，b 的值；(2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．解 (1)a ＝1.1×9－0.98－0.99－1.06－1.17－1.10－1.21－1.09－1.14＝1.16，b ＝1.2×9－1.08－1.11－1.12－1.26－1.27－1.26－1.25－1.28＝1.17. (2)A 户型小于100万的有2套，设为A 1，A 2； B 户型小于100万的有4套，设为B 1，B 2，B 3，B 4， 买两套售价小于100万的房子所含基本事件为：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，B 4}，{B 2，B 3}，{B 2，B 4}，{B 3，B 4}，共有15个． 令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”，则A 中所含基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个．∴P (A )＝915＝35，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为35.典例6 (16分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x24a2＋y24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求OQOP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→求出a ―――――――――→已知离心率e ＝ 3 2a2＝b2＋c2基本量法求得椭圆C 方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q共线设坐标代入方程―→求出OQ QP ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→用m ，k 表示S△OAB ―→求S△OAB的最值――――――→利用①得S△ABQ和S△OAB关系得S△ABQ的最大值评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣2分；2．第(2)问中，求OQOP 时，给出P ，Q 坐标关系给2分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣2分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后再给2分；求最值时，不指明最值取得的条件扣2分．跟踪演练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．，>0)b >a 1(＝y2b2＋x2a2由题意可设椭圆方程为(1) 解 ，1＝12b2＋2a2，且>0)c ，2b －2a ＝2c 其中(32＝c a 则 故a ＝2，b ＝1.1.＝2y ＋x24为所以椭圆的方程 (2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，，)2y ，2x (Q ，)1y ，1x (P 设 {y ＝kx ＋m ，x2＋4y2＝4，由 ，0＝1)－2m 4(＋kmx 8＋2x )2k 4＋(1，得y 消去 ，1)>0＋2m －2k 16(4＝1)－2m )(2k 4＋16(1－2m 2k 64＝Δ则 ，4m2－11＋4k2＝2x 1x ，8km 1＋4k2＝－2x ＋1x 且，2m ＋)2x ＋1x (km ＋2x 1x 2k ＝)m ＋2kx )(m ＋1kx (＝2y 1y 故 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ，2k ＝k2x1x2＋km x1＋x2＋m2x1x2＝y2x2·y1x1所以 .2k ＝m2－4k24m2－1即.12±＝k ，即14＝2k ，所以≠0m 又 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，，≠12m ，且<22m 0<得 ，|2m|5＝d 的距离，则l 到直线O 为点d 设 ，52－m2＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝PQ m22－m2＝d ·PQ ·12＝S 所以 ，≠1)2m 1(＝m2＋2－m22<故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板7 解析几何中的探索性问题典例7 (16分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k x ＋1→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为m ，0→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，第一步 先假定：假设结论成立．第二步 再推理：以假设结消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.2分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则错误!由线段AB 中点的横坐标是－12，得x1＋x22＝－3k23k2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①. 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.6分 (2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． (ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k23k2＋1，x 1x 2＝3k2－53k2＋1. ③所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.10分 将③代入，整理得MA →·MB →＝6m －1k2－53k2＋1＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －133k2＋1－2m －1433k2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k2＋1.13分注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.14分(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.16分评分细则 1.不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣2分； 2．不验证Δ>0，扣1分；3．直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； 4．没有假设存在点M 不扣分；5.MA →·MB →没有化简至最后结果扣3分，没有最后结论扣1分．跟踪演练7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x24＋y 2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0)．设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.的值；2k 1k 求(1) λ？若存在，求BC λk ＝PQ k ，使得λ，是否存在常数BC k ，PQ k 的斜率分别为BC ，PQ 记直线(2)值；若不存在，说明理由．，)0y ，－0x －(C ，则)0y ，0x (B 设 解(1) x204，1＝20y ＋ y0x0＋2·y0x0－2＝2k 1k 则 .14＝－1－14x20x20－4＝y20x20－4＝ ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k1x －2，x2＋y2＝4，联立 解(2) ，0＝1)－21k 4(＋x 21k 4－2x )21k ＋(1得 ，－4k11＋k21＝2)－P x (1k ＝P y ，2k21－11＋k21＝P x 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k1x －2，x24＋y2＝1，联立，0＝1)－21k 4(4＋x 21k 16－2x )21k 4＋(1得 ，－4k11＋4k21＝2)－B x (1k ＝B y ，24k21－11＋4k21＝B x 解得 ，－2k14k21－1＝yB xB ＝BC k 所以 ，－5k14k21－1＝－4k11＋k212k21－11＋k21＋65＝yP xP ＋65＝PQ k ，52＝λ，故存在常数BC k 52＝PQ k 所以 .BC k 52＝PQ k 使得模板8 函数的单调性、极值与最值问题典例8 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审题路线图求f′x――――→讨论f′x 的符号f x 单调性―→f x 最大值―→解f x max>2a －2.规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数． 第二步 定符号：通过讨论确定f ′(x )的符号．第三步 写区间：利用f ′(x )符号写出函数的单调区间． 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.10分 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0,1).14分评分细则 1.函数求导正确给1分； 2．分类讨论，每种情况给2分，结论1分； 3．求出最大值给4分；4．构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给2分； 5．通过分类讨论得出a 的范围，给2分．跟踪演练8 已知函数f (x )＝2ax －a2＋1x2＋1(x ∈R )．其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2x2＋1－2x·2x x2＋12＝2－2x2x2＋12，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.(2)f ′(x )＝2ax2＋1－2x 2ax －a2＋1x2＋12＝－2x －a ax ＋1x2＋12.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a ，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，－1a)－1a(－1a，a ) a (a ，＋∞)↘↗↘所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，a 内为增函数．函数f (x )在x 1＝－1a 处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )在区间(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，＋∞内为增函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－a 内为减函数． 函数f (x )在x 1＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. 函数f (x )在x 2＝－1a 处取得极小值f (－1a)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.综上，当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(－1a ，a )，单调递减区间为(－∞，－1a )，(a ，＋∞)，极大值为1，极小值为－a 2.当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(－1a ，＋∞)，单调递减区间为(a ，－1a )，极大值为1，极小值为－a 2.。