立体几何复习试题
1.如图甲所示，BO 是梯形ABCD 的高，∠BAD=45°，
OB=BC=1，OD=3OA ，现将梯形ABCD 沿OB 折起如图乙所
示的四棱锥P ﹣OBCD ，使得PC=
，点E 是线段PB 上
一动点．
（1）证明：DE 和PC 不可能垂直；
（2）当PE=2BE 时，求PD 与平面CDE 所成角的正弦
值．
2.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥
底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，13,PC M =在PC 上，且PA 面MBD .
（1）求证:M 是PC 的中点；
（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？
若存在，求出AF
AP 的值；若不存在，说明理由.
3.如图，在四棱锥P -ABCD 中，BA ∥平面PCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，
△APD 为等腰直角三角形，
222PA PD CD ==
=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （2）若三棱锥B -PAD 的体积为1
3，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余
弦值. 4.如图，在圆柱OO 1中，矩形ABB 1A 1是过OO 1的截面CC 1是圆柱OO 1的母线，AB=2，AA 1=3，∠CAB=
．
（1）证明：AC 1∥平面COB 1；
（2）在圆O 所在的平面上，点C 关于直线AB 的对称点为D ，
求二面角D ﹣B 1C ﹣B 的余弦值． P
D C
A
B
立体几何复习试题试卷答案
1.【解答】（1）证明：如图甲所示，因为BO 是梯形ABCD 的高，∠BAD=45°，所以AO=OB…（1分） 因为BC=1，OD=3OA ，可得OD=3，OC=
…（2分） 如图乙所示，OP=OA=1，OC=，PC=，所以有OP 2+OC 2=PC 2，所以OP ⊥OC…（3分）
而OB ⊥OP ，OB ∩OC=O ，所以OP ⊥平面OPD…（4分）
又OB ⊥OD ，所以OB 、OD 、OP 两两垂直．故以O 为原点，建立空间直角坐标系（如图），则P （0，0，1），C （1，1，0），D （0，3，0）
设E （x ，0，1﹣x ），其中0≤x ≤1，所以
=（x ，﹣3，1﹣x ），=（1，1，﹣1）， 假设DE 和SC 垂直，则=0，有x ﹣3+（1﹣x ）（﹣1）=0，解得x=2，
这与0≤x ≤1矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直…（6分）
（2）解：因为PE=2BE ，所以E （，0，）…（7分）
设平面CDE 的一个法向量是=（x ，y ，z ）， 因为=（﹣1，2，0），=（，﹣3，），所以 取=（2，1，5）…（10分） 而=（0，3，﹣1），所以|cos ＜，＞=，
所以PD 与平面CDE 所成角的正弦值为．…（12分）
2.解答：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，
E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，
,PA ME M ∴∴是PC 的中点.
(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直.以O 为原点，
,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为
()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,222A B D C P M ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭.
设存在F 满足要求，且AF AP λ=，则由AF AP λ=得：()1,0,3F λλ-，面MBD 的一个法向量为231,,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，面FBD 的一个法向量为221,,33m λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由·0n m =，得421093λλ-++=，解得38λ=
，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =.
3.解：（1）依题：CD AD PAD ABCD ⊥⎧⎨⊥⎩面面CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，又AP PD ⊥，
AP ∴⊥平面PCD ，又AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD
（2）ABCD PCD CD BA PCD ⋂=⎧⎨⎩
平面平面∥平面BA CD ⇒∥，由（1）知AB ⊥面PAD 1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅113AB =⇒=，
取AD 中点O ，PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ，PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面PAD 的一法向量为
()1,0,0m =，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =.()1,1,1PB =-，()2,1,1PC =--.
00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x y z x y z +-=⎧⇒⎨--=⎩，取2x =，()2,1,3n =.
cos ,m n =14
7m n
m n ⋅=，故所求二面角的余弦值为14
7.
4.【解答】证明：（1）连结B 1C 1、BC 1，设BC 1∩B 1C=M ，
∵BB 1CC 1，∴四边形BB 1C 1C 为平行四边形，∴M 为BC 1的中点，
在△ABC 1中，O 为AB 的中点，∴MO ∥AC 1，又AC 1?平面B 1CD ，MO?平面B 1CD ，∴AC 1∥平面COB 1． 解：（2）如图，∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ，C 1C ⊥BC ， 又∠BAC=60°，AB=2，∴AC=1，BC=，AA 1=3，
以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，OC 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，，0），C 1（0，0，3），O （，0），B 1（0，），
