道路减速带的设置

道路减速带的设置1.问题重述三峡大学校内大学路车流量比较大，在未设置减速带之前车速平均为V公里/小时，对学生、教工的安全造成了一定的威胁。

学校于前几年在该路段路面设置了减速带，达到了使来往车辆减速的目的，学校希望使来往车辆的速度减到v 公里/小时以内。

本题需要解决的问题：问题一：建立道路减速带减速的数学模型；问题二：利用所建的数学模型分析在等距连续设置三道减速带的减速效果；问题三：利用所建的数学模型给出减速效果最优的三道减速带的设置方案；问题四：给出三峡大学大学路减速带的设置方案。

2.模型的假设与符号说明2.1 模型的假设假设1：由于碰撞情况较复杂，为简化模型，忽略轮胎的弹性，将其视为刚体；假设2：由于车轮经过减速带的距离很短，认为汽车通过减速带时的速度不变；假设3：司机看到减速带后并没有马上减速，而是在距离减速带约30米时才开始减速，通过减速带后又开始加速；假设4：车辆到达减速带前和越过减速带后的速度变化忽略，即减速带本身对车速的影响忽略不计，把车辆在减速带的位置看作为一质点；假设5：不考虑车轮与减速带之间的摩擦3．问题分析此题研究的是研究道路减速带设置的数学建模问题。

减速带作为一种特殊的饿道路安全设施，对避免交通事故的发生起到了重要的作用。

减速带除了要强制减速外，还要使得通过减速后能够保证行驶的安全。

减速带控制车速的原理实际是通过影响驾驶人的心理来实现的，当车辆以较高车速通过道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经由车身及座椅传递给驾驶人,产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激）和心理刺激，而上述的生理和心理刺激能有降低驾驶员对该段公路的行车安全感觉，从而促使车辆驾驶员自觉、主动地降低车速，达到提高特殊路段行车安全的目的。

根据调查可知，目前三峡大学使用的道路减速带为驼峰式减速带，故我们将研究的重点放在驼峰式减速带上。

此外，由于路段形式的不同会使得减速带设置上的差异，为此，我们从平路和下坡两种情况分别进行研究，确定减速带减速的数学模型和减速效果。

针对问题一，根据日常观察可知，减速带的截面形状近似看成是圆弧形，为了简化碰撞的过程，我们忽略轮胎的弹性，将轮胎视为刚体，对车轮与减速带碰撞时进行几何分析，可以得到轮轴速度和加速度与时间的关系。

通过数据可知，驼峰式减速带对于车辆速度的影响大概在减速带前30米到通过后20米左右的范围，当司机行驶到距离减速带30米时，开始减速，将其近似为匀减速直线运动，到达减速带时看成匀速通过减速带。

速度过大时车辆通过振动过大易飞出去，影响了驾驶员和乘客的安全，所以我们要对减速带的临界速度进行讨论。

针对问题二，在问题一求出临界速度保证安全的基础上，还要考虑到司机的舒适程度和时间、经济效益等，对司机和乘客而言，通过减速带后的距离与通过减速带前的距离越接近越好，所以我们利用通过减速带前的路程与减速带后的路程的比值来确定减速的效果，该比值越大，则表明减速效果越好。

针对问题三，与问题二的不同在于没有限定是等距连续的三条减速带，而且题目中要求所求的是求最优减速效果的减速带的设置，所以我们通过最时间的刻画来确定减速效果，在安全已经保证了的情况下，对于驾驶员而言，通过减速带的时间越短越好，所以我们通过建立时间最短的目标函数，并通过相关约束条件的确定来进行求解，最后得到减速效果最优的三条减速带的设置。

针对问题四，4．问题一的解答4．1 问题一模型的建立针对问题一，我们考虑到两种路段：一个是平路，一个是下坡。

这两种路段ϕ=，而对于下坡，存在着一定的区别是倾斜角ϕ的不同，对于平路，倾斜角0=。

的倾斜度，所以倾斜角为ϕϕ当汽车通过减速带时，其两端类似于相切抛物线，中间是一段圆弧。

以圆弧减速带弦长的中点为坐标原点O，以地面水平线为x轴，过圆弧减速带圆心并垂直于地面为y轴，建立如下图所示的相切抛物线的模型：一：刻画出圆弧段和两端的抛物线的方程 （1） 中间的圆弧段减速带的纵截面是一段圆弧，其几何分析图如图2所示：由高h 和宽l ，可以根据平面几何知识求得圆弧半径为：2128h L r h=+设圆弧曲线方程为：()22211x y r h r ++-=⎡⎤⎣⎦过渡抛物线方程为：2()2x a py -=与圆弧相切于点00(,)x y ，则有如下方程组：图2 圆弧形减速带的几何分析图2222010()2()x a py x y b r x a x p ⎧⎪-=⎪⎪+-=⎨⎪--⎪=⎪⎩（在0x 处斜率相等）（2） 两端的抛物线设右边的抛物线轨迹方程为：()222()x a p y r -=-已知过点()11,x y ，且有：112112()cos ()sin x r r y r r θθ=+⎧⎨=+⎩ 代入上式得到212122[()cos ]2()sin r r a p r r r θθ+-=+-则右边抛物线方程为：21222122[()cos ]()()()sin r r a x a y r r r r θθ+--=-+-同理可得左边抛物线的方程为：21222122[()cos ]()()()sin r r a x a y r r r r θθ+-+=-+-二：讨论轮胎轮轴的运动情况由图1可知，当轮胎从圆弧部分滚过时，轮轴的运动轨迹为以圆弧圆心为圆心、以12r r +为半径的圆弧，轨迹方程为()()222112x y r h r r ++-=+⎡⎤⎣⎦因此可得汽车通过整个减速带时轮轴的运动轨迹方程为221211121202()(2)22x a vt a x v t y r t p v a x a x y r h t v v a x a vt a y r t p v v ==⎧⎪-⎪=+<<⎪⎪⎨-+=--≤≤⎪⎪+-⎪=+<<⎪⎩其中其中其中 将其对t 求导，得轮轴速度x v 和y v211110(2)2x y y y v va x v v t t p v a vt va x a x v t v va x v a vt av t p v v=-⎧⎪-⎪=<<⎪⎪--+⎨=≤≤⎪⎪⎪+-=-<<⎪⎩其中其中其中将上式再次对t 求导，可得对应上述三段时间的轮轴加速度a22212223/21220()[()()]x y y y a v a pv r r a r r a vt v a p=⎧⎪⎪=⎪⎪+⎨=-⎪+--⎪⎪=⎪⎩当车轮通过减速带圆弧部分时，车轮竖直方向加速度为y a ，对车轮进行受力分析，有cos N y G F ma ϕ-=，当0N F <时，汽车前轮离开地面会产生比较剧烈的震动，降低了车辆行驶的安全性和稳定性，所以为了避免这种情况的发生应该满足：2212223/212()cos [()()]y v r r a g r r a vt ϕ+=-≤+--。

通过化简得到12v r r ≤+，三：综合可得最终的临界速度为：1212e e v v r r ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪+⎩平路：下坡：4.2 问题一的求解在问题一中模型的计算中取轮胎外径D=640mm [2],则轮胎半径2320r mm =。

通过在各大减速带经销商处查询数据，可得目前普遍使用的驼峰式减速带的相关尺寸，如下表1所示:表1不同型号减速带的相应尺寸 减速带类型 高度h （mm ） 宽度L （mm ）半径1r （mm ）A 50 250 181.25B 70 300 195.7C 50 500 650D 70 250 146.6E 50 350 331.25F 50 380 386G 30 600 1515将上述表中的数据代入到模型一中的临界速度的公式中，然后利用matlab 软件进行求解（程序见附录），最终得到不同型号的减速带在平路和下坡路段上的临界速度，见下表2所示：表2：不同型号减速带在平路和下坡路段的临界速度 减速带类型 高度h （mm ） 宽度L （mm ） 半径1r （mm ） 平路的临界速度（m/s ） 下坡的临界速度（m/s ）A 50 250 181.25 2.05 2B 70 300 195.7 2.06 2.05C 50 500 650 2.843 2.8D 70 250 146.6 1.976 1.95E 50 350 331.25 2.16 2.13F 50 380 386 2.49 2.44G 30 600 1515 3.96 3.9 4.3 问题一的结果分析根据表2，我们可以得出，临界速度的大小与减速带的类型有着密切的关系，而且对于同一种类型的减速带，平路的临界速度大于下坡路段的临界速度。

5. 问题二的解答5.1 问题二模型的建立汽车连续等距的三条减速带的运动情况如下图4所示：图4连续等距三条减速带的减速作用动力学分析图如上图4所示我们有如下定义： 定义一：15~t t 之间所对应的~a e 的总距离即为三条减速带的作用区域。

定义二：51tt t =-为三条减速带的作用时间。

要判断设置三条等距连续的减速带的减速效果，我们在考虑到安全性的同时要兼顾驾驶员能够尽快的通过减速带的心态，同时也避免各种堵车情况的发生。

由问题一中我们已经得到了汽车通过减速带时的安全临界速度e v ，所以我们在问题一的基础上考虑驾驶员通过三条减速带时的总距离要尽可能接近不设置减速带时的总距离，这样才能达到最好的减速效果。

因此我们利用设置减速带前后的距离之差与设置减速带前的距离的比值L aeLS S S η-=来刻画连续设置三条等距离的减速带的减速效果，如果η越小，则表示减速效果越好。

5.1.1 没有设置减速带时的总距离如果没有设置减速带，则15~t t 这段时间内，汽车会以V 的速度匀速行驶，汽车在没有设置减速带的的总距离为：51()L S t t V =-⋅5.1.2 设置三条连续等距离得减速带后的总距离设置了三条等距连续的减速带后，汽车在~a e 的总距离为：ae ab bd de S S S S =++abcdets由题设所给的等距离这个条件我们可知12S S =，所以：12bd S S S =+设减速带之间的距离12i S S S ==为一变量，下面来计算ae S ：（1） ~a b 间的运动情况在~a b 间，汽车做匀减速运动，根据物理动力学知识，可知21222e d e ab d V v t t a V v S a -⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（2）~b d 间的运动情况~b d 分为相等的两端距离bc S 和cd S ，即1S 和2S ，是在三条减速带之间的运动，都是先做匀加速运动后做匀减速运动，根据物理运动学知识有：113243122221122e eu d e e bc cd u d v v v v t t t t a a v vv v v v S S a a ⎧---=-=+⎪⎪⎪≤⎨⎪--⎪==+⎪⎩（3） ~de 间的运动情况~d e 为离开减速带后的运动区域，是一个匀加速的过程，根据物理动力学知识有：54222e u e de u V v t t a V v S a -⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（4） 综合可得，设置三条等距连续的减速带后的运动距离和运动时间t 为：222222221111222222*()2222e e e e ae ab bc de d u d u e e e e d u d u v v v v V v V v S S S S a a a a V v v v v v V v t a a a a ⎧----=++=+++⎪⎪⎨----⎪=+++⎪⎩5.1.3 η的确定由上述分析可知L aeLS S S η-=将上面所求的表达式代入可得：22222222111122221(2*())*2222e e e e d u d ue e e e d u d uv v v v V v V v a a a a V v v v v v V v V a a a a η----+++=-----+++因为L ae S S >，所以由定义可知η为一个介于0与1之间的数。