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§8 量子力学的一般描述

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量子力学(第八章自旋)

量子力学(第八章自旋)

乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r

量子力学

量子力学

M (λ , T ) = M 0 (λ , T ) α (λ , T )
• 绝对黑体的热辐射规律
对于任意温度、或波长，绝对黑体的吸收比都恒为 1
黑体
用不透明材料制成一空心容器， 壁上开一小孔，可看成绝对黑体
绝对黑体的辐射出射度
M 0 (T ) = ∫ M 0 (λ , T ) dλ
0
∝
••维恩位移定律
(5) 2 / c 2 − (6) 2 ，并利用相对论中能量动量关系式：
Ee / c 2 − pe2 = m 2 c 2
可得
2
1 � � 2 2 2 2 2 ′ ( h ν + mc − h ν ') − ( p − p ) = m c 2 c
（7）
对于光子， p = h ν / c, p′ = hν '/ c 则
当 ν < ν 0 = A / h （临界频率）时，电子无法克服 金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。
§1.2 光的量子性
一、光的量子性 二、Plank-Einstein关系 三、Compton Scattering
一、光的量子性 干涉、衍射现象： 赫兹： 光是波 光是电磁波
黑体辐射、光电效应： 光的量子性: 电磁辐射的能量是被一份 一份地发射和吸收的。
M (T ) = ∫ M (λ , T )dλ
0
吸收比 反射比 对于非透明物体
吸收能量 α (λ , T ) = 入射总能量 反射能量 ρ (λ , T ) = 入射总能量
α (λ , T ) + ρ (λ , T ) = 1
基尔霍夫定律：
在热平衡下，任何物体的单色辐出度 与吸收比之比，是个普适函数。

量子力学

量子力学

一、量子力学的建立量子力学本身是在1923-1927年一段时间中建立起来的。

两个等价的理论---矩阵力学和波动力学几乎同时提出。

矩阵力学的提出与Bohr的早期量子论有很密切的关系。

Heisenberg一方面继承了早期量子论中合理的内核，如能量量子化、定态、跃迁等概念，同时又摒弃了一些没有实验根据的概念，如电子轨道的概念。

Heisenberg、Bohn和Jordan的矩阵力学，从物理上可观测量，赋予每一个物理量一个矩阵，它们的代数运算规则与经典物理量不同，遵守乘法不可易的代数。

波动力学来源于物质波的思想。

Schr dinger在物质波的启发下，找到一个量子体系物质波的运动方程-Schr dinger方程，它是波动力学的核心。

后来Schr dinger还证明，矩阵力学与波动力学完全等价，是同一种力学规律的两种不同形式的表述。

事实上，量子理论还可以更为普遍的表述出来，这是Dirac 和Jordan的工作。

量子物理学的建立是许多物理学家共同努力的结晶，它标志着物理学研究工作第一次集体的胜利。

二、量子力学产生发展量子力学是描述微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。

它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。

19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。

德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hV为最小单位，一份一份交换的。

这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。

当时只有少数科学家认真研究这个问题。

著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。

1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。

原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差AE=hV确定，即频率法则。

量子力学-简介

量子力学-简介

0
/ kT
即：
（ e 0 / kT 1)

n 0
e
n 0 / kT
1 1 x 1 x 1 e 0 / kT n 0
n

计算分子： n 0 e n 0 / kT ，令y 0 / kT
n 0 n 0 / kT ny n e ne 0 0 n 0 n 0
说明： Planck 成功的关键在于提出了能量子 0 h 的假设，辐 射能量是不连续改变的，从而导致了 E 不同于经典的能量均分 定理的连续分布。这里第一次出现了经典物理中没有的常数 h ， 这些都跳出了经典物理的框架， 成为量子物理的开端。 Planck 导 出公式后，曾努力把它纳入经典物理范畴，但未成功。
代入(7) 式得 Planck 公式
8h 3 1 d d 3 h / kT c e 1
(8)
(9)
这个公式与实验符合的很好。
实验结果：频率 d 间的辐射能量密度 d 只与频率
及黑体的绝对温度 T 有关,而与腔的形状及组成物质无关。
3. 讨论：
a. 当辐射频率高时，即当
基础知识
量子的世界、量子力学的诞生、 波函数和薛定谔方程
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
漫画：滑雪图
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
隧穿效应
量子力学与经典力学的本质差别及其起源
一、普适性的完结
在牛顿物理学中没有任何普适常数。这就是它 主张普适性的原因，就是它为什么能不管对象的尺 度如何而以同一方式被应用的原因：原子、行星和 恒星的运动都服从一个定律。 然而、普适常数的发现标志着一个根本的变化。 把光速用作比较的标准，物理学建立起了低速和接 近光速的高速之间的区别。 普适常数不但通过引入物理尺度（据此，各种 行为都成为性质上有区别的）破坏了宇宙的均匀性， 而且引出了一种客观性的新概念。任何观察者都不 能以高于真空中光速的速度来发射信号。

量子力学习题解答第八章

量子力学习题解答第八章

第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态（解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是：λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是：βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi ec 212=δ 是任意的相位因子。

当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi ec 212-=最后得x σˆ的本征函数：)(21βαδ+=i ex 对应本征值1)(22βαδ-=i ex 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。

可用矩阵表示算符和本征矢。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ 因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi ex ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn是),(ϕθ方向的单位矢。

量子力学各章重点内容

量子力学各章重点内容

第8章
固体的磁性
名词解释、基本概念、回答问题 1.比较jm与μm、J 与M的区别与联系。
2.何谓退磁场（Hd）？退磁因子N与哪些因素有关？
3.何谓磁化曲线和磁滞回线？ 4.何谓磁化率和磁导率？
5.内稟矫顽力和磁感矫顽力有什么区别和联系？
6.退磁场是怎样产生的？能克服吗？对于实测的材料磁化特性曲线如何 进行退磁校正？
7.物质的磁性可以分为哪几类？它们各有什么特点？
8.磁性材料可以分为几类？它们各有什么特点？
第8章
固体的磁性
名词解释、基本概念、回答问题 9.物质的磁性来源于什么？原子的磁矩来源于什么？
10.何谓自发磁化？磁畴？自发磁化强度？
11.铁磁性物质具有哪些基本特征？
第9章
超导电性
名词解释、基本概念、回答问题 1. 超导体的两个基本特征是什么？三个基本参数？
三维晶格点阵的简正模式数的计算；
什么是声子？声子与光子有什么相同之处和不同之处？ 固体热容的德拜模型与爱因斯坦模型的基本假设是什么？ 晶格比热理论中德拜（Debye）近似在低温下与实验符合很 好，物理原因是什么？ 能用简单的物理模型来解释或推导低温下点阵热容所遵循的 T3定律。
第5章 金属电子论
第7章
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
半导体电子论
名词解释、基本概念、回答问题 竖直跃迁 —— 直接带隙半导体 及其图示 非竖直跃迁 —— 间接带隙半导体及其图示 半导体带隙宽度和类别怎样确定？ 何谓本征半导体？杂质半导体？ 何谓施主或受主半导体？ 金属和半导体中电子的费密能级分别位于何处？ 对于本征激发，电子和空穴浓度满足怎样的表达式？利用此式通过 测量分析载流子随温度的变化，可以获得什么信息？ 8) 为什么半导体的霍耳效应比金属强得多？ 9) 为什么本征半导体的霍耳系数一般是负的？ 10) 能画出PN结的反向状态和正向状态电路及电流随电压变化特性。 11) 能简单解释PN结的正向注入 和PN结的反向抽取 。

量子力学课程概述


研 究 对
基本粒子 原子核 能源
象
天体物理 宇宙学
原子
分子
团簇 纳米体系 介观体系 材料科学 化学 生物学
主要内容
I. 绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的
困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论， 微观粒子的波粒二象性。 II. 波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，态迭加原理， 薛定谔方程，一维定态问题。 III. 量子力学中的力学量：表示力学量的算符，动量算符和角 动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关 系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测
氢分子。
教学目的
1. 深入理解微观粒子的运动特性。
2. 掌握描述微观粒子运动的方法，
3.
即量子力学的数学框架。
3. 初步掌握应用量子力学处理简单 体系的方法。
要
求 理解不同于经典物理理论的量子化概念 掌握量子力学的基本概念、基本原理 掌握求解微观粒子运动规律的基本方法
学习内容 以假设提出及验证、实验结果分析及理论 推导为主。
不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，
电子在库仑场中的的运动，氢原子。
IV. V.
态和力学量的表象：态的表象算符的矩阵表示，量子 微扰理论：定态微扰理论，变分法的基本原理及方法，
力学公式的矩阵表述，么正变换。
含时微扰理论（跃迁几率、光的发射和吸收、选择定则）。 VI. 散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩 近似，方形势阱与势垒所产生的散射。 VII.电子自旋与全同粒子：电子自旋，自旋算符和波函数， 角动量耦合，全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子 体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，

量子力学中的量子力学力学量的期望与方差

量子力学中的量子力学力学量的期望与方差量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，它具有独特的物理规律和奇特的现象。

在量子力学中，描述粒子性质的力学量扮演着重要的角色。

而了解力学量的期望与方差对于理解粒子的行为和量子系统的描述起着至关重要的作用。

一、量子力学的基本概念了解量子力学中力学量的期望与方差之前，我们首先需要了解量子力学的基本概念和表述。

量子力学描述的对象是微观粒子，而不同于经典力学中粒子位置和动量的确定，量子力学中的粒子状态由波函数表示。

波函数是一个复数函数，它包含了粒子的全部信息。

在量子力学中，力学量用算符来表示，而这些算符对应着可观测的物理量，比如位置、动量、能量等。

如何计算力学量的期望值和方差，则是我们接下来要讨论的内容。

二、力学量的期望与方差力学量的期望值可以理解为对于同一量子态的多次测量结果的平均值。

在量子力学中，期望值可以通过力学量的算符（对应于力学量的数学表达式）作用于波函数得到。

对于某一力学量A，其期望值的计算公式为：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩其中，|ψ⟩表示量子态的波函数。

利用算符作用于波函数后，可以得到一个新的波函数，然后再将其与原波函数进行内积，得到力学量的期望值。

方差则是表示每次测量结果与其期望值之间的偏离程度。

在量子力学中，对于某一力学量A，其方差的计算公式为：σ²(A) = ⟨(A - ⟨A⟩)²⟩其中，A - ⟨A⟩表示每次测量结果与期望值的差值，然后再对这些差值进行平方，再取平均值。

三、力学量的期望与方差的物理意义力学量的期望值和方差与量子系统的本征态（能量的本征态、动量的本征态等）以及不确定性原理密切相关。

首先，期望值作为力学量的平均值，反映了粒子在某一给定状态下的一般性质。

比如，在一个粒子处于能量本征态时，其能量的期望值就等于能级的本征值，这相当于经典力学中的能量。

其次，方差则表示了粒子在某一给定状态下对力学量测量结果的分散程度。

方差越小，说明测量结果越准确，即粒子对于该力学量的测量结果越稳定。

量子力学的基本概念与理论

量子力学的基本概念与理论量子力学是物理学中最具有突破性和革命性的发现之一，它在20世纪初被提出，并迅速成为现代物理学的基础之一。

它的诞生是对经典物理学中存在的一些理论矛盾的回应，如黑体辐射问题和光电效应。

量子力学重新定义了能量、动量、波长、振幅等物理量的概念，使我们对物质和能量的本质有了更深刻的认识。

本文将对量子力学的基本概念与理论做一个简要介绍。

量子力学的主要概念量子力学的基本概念可以从其名称中得到启示，“量子”指的是某种不可分割的微观物理现象单元，如电子、光子等。

因为在这个尺度下，粒子和波的概念都有不同的含义。

其主要概念如下：波粒二象性：物质在某些情况下会表现为波的特性，而在其他情况下则会表现为粒子的特性。

这种表现方式是由某种波形与其粒子的不同属性相互作用产生的。

例如，电子具有电荷，因此它们可以被一个电磁场加速，就像光子一样。

然而，电子也可以像波一样穿过细缝并产生干涉图案。

波函数：量子力学中，我们使用波函数来描述系统的状态。

波函数是关于位置和时间的复数函数，它可以用来计算独立粒子或集体的概率分布和性质。

因此，波函数展示了微观粒子和体系的量子行为。

量子态：量子态是一个量子系统可能处于的所有状态的集合。

波函数在测量前可以表示物理系统的所有可能状态。

测量：量子力学要求在对量子物理系统进行测量时，它的状态一定会在经典状态和量子状态之间“坍缩”。

因此，通过测量可以得到确定的结果，系统最终即可处于一个确定状态。

这些概念是量子力学中最重要的概念，从中我们可以看到量子力学相较于经典力学的突破。

接下来本文将进一步探讨量子力学中的核心理论。

量子力学的核心理论1.哈密顿算符在量子力学中，哈密顿算符表示了系统的总能量，它可以用来描述任何一个物理系统的动力学和动力学演化。

这个算符通常写成：H^ = - (h^2/2m) (∂^2/∂x^2) + U^其中，m是粒子的质量，U^ 是其势能函数；∂^2/∂x^2表示在位置x处的振动。

量子力学(全套) ppt课件


•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
10
（3）原子光谱，原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
PPT课件
3Байду номын сангаас
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。

1 n2

人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：


RH
C

1 22

1 n2

n 3,4,5,
其中RH 1.09677576 107 m 1是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：


RH
C
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称为 A 表象基矢集的“完全性条件”。令
Pi = ai ai
(8.1.14)
有
Pi α = ai ai α = ci ai
故 Pi 称为“投影算符”。
4．算符的矩阵表示
设任一力学量 Ｌ，有
β
) =Lα
(8.1.15)
在
A
表象中
ci = ai α
(8.1.11)
写成矩阵形式
c1 a1 α
c
2


a2
α

α ( A) = M = M
c
i


ai
α

M M
(8.1.12)
3
由(8.1.10)和(8.1.11)得
∑ ai ai = 1 i
（8.1.13）
) L
表为
)
L( A) ij
=
ai
L aj
(8.1.16)
在 A 表象中(8.1.15)式为
β (A) = L( A)α ( A)
(8.1.17)
∑ β (A) i
=
L α ( A) ( A) ij j
j
(8.1.18)
5. 本征值方程表示
) L
α
=λα
(8.1.19)
) J+
jm
= c+
j, m + 1 (8.2.18)
取模的平方得
c+ 2 =
))
jm
J
+ +
J
+
jm
=
)) jm J −J +
jm =
)) )
jm (J 2
−
J
2 z
− hJ z )
jm
= [ j ( j +1) − m2 − m]h2
若 c+ 的位相因子为零，则
) J + jm = ( j − m)( j + m + 1)h j, m +1
§8 量子力学的一般描述 为了研究和把握微观现象，首先需要对微观系统的状态及其随时
间的演化进行描述。但是由于波粒二象性，对微观系统的这种描述就 不同于经典情况。例如对于经典粒子，人们可以通过坐标和速度或动 量等“力学量”来描写它们的状态，因为对于确定的状态它们都具有 确定的值；当状态随时间演化时，这些量都按确定的方式随时间变化。 这些力学量在经典物理学中都是可以通过实验测量的量。在量子力学 中，由于概率性，微观粒子的坐标和动量等力学量一般并不具有确定 的值，这些力学量的值之间存在各种“不确定关系”；这些力学量之 间存在各种“不对易性关系”。于是人们不再能够用满足乘法交换律 的代数量来表示力学量，而需要用“算符”（矩阵或微分算符）来表示 它们，以便能够满足不对易性关系，反映微观粒子系统的概率性或波 粒二象性的实验事实。于是在量子力学中，这些力学量不再是直接可 测量的量，而是作用于“态矢量”或“波函数”的算符。只有通过态 矢量或波函数以及力学量两者的结合，人们才能借助于统计物理学方 法算出在某个状态中测量某个物理量时所得到的各种可能值，以及出 现某种可能值朗概率，并算出平均值。在量子力学中，这种可能值及 其出现的概率以及平均值，才是人们感兴趣的，因为这些量直接与实 验上的可测量相联系。例如原子或固体的能谱与能量的“本征值”有 关，而本征值是平均值的一种重要的特例。再如，实验中可以直接测 量的散射截面、谱线强度等都是与“跃迁概率”有关的，而跃迁概率 又涉及到在末态中测量某个或某几个力学量（如动量、角动量、能量
z
的共同本征矢为
λm
，并有
) J 2 λm = λh2 λm
(8.2.6) (8.2.7)
) Jz
λm
= mh λm
(8.2.8)
下面来确定 λ, m ：
由(8.2.6)可得
) J2
)
−
J
2 z
=
1) 2( J−
2
+
) J+
2
)
7
因而有
))
λm
(J
2
−
J
2 z
)
(8.2.19)
同理有
) J − jm = ( j + m)( j − m + 1)h j, m −1
(8.2.20)
用 j′m′ 左乘上两式得
) j′m′ J + jm = ( j − m)( j + m +1)hδ δj′j m′,m+1
(8.2.21)
) j′m′ J − jm = ( j + m)( j − m + 1)hδ δj′j m′,m−1
在 A 表象中表为
)
∑ ∑ ai L a j a j α = λ ai α = λ ai α δ ij
j
j
即
)
∑ ( ai L a j − λδij ) a j α = 0 j
(8.1.20)
4
有非零条件是
det( L( A) − λI) = 0
称为“久期方程”。
(8.1.21)
6．举例在坐标表象的表示
) J − λj′ = 0
(8.2.13)
用
) J−
,
) J+
分别左乘这两式得
λ = j ( j +1)
λ = j ′( j ′ − 1)
联立解得
j′ = − j
j′ = j +1（排除）
− j≤m≤ j
(8.2.14)
于是角动量本征值方程可写为
) J 2 jm = j( j +1)h2 jm
(8.2.15)
(8.2.1)
对易关系的算符称为角动量算符。
由
) J
2
,
) Jz
的共同本征矢所构造的表象称角动量表象或（
) J
2,) JFra bibliotekz）
表
象。
① 角动量上升、下降算符
) J+
,
) J−
) J±
=
) Jx
±
) iJ y
(8.2.2)
) J+
=
J)−+
,
) J−
=
J)++
并有对易关系
§8.2 本征值问题的矩阵力学方法 在量子力学波动力学描述中采用了坐标表象，以便通过联想使初
学者容易理解。但人们发现，随着研究的问题深入，对微观现象的描
述重要的不是坐标表象，而是能量表象、角动量表象，同位旋表象。
能量、角动量以及其他微观粒子的内禀物理量具有分立值才是微观现
象的重要特征。除了能量、角动量等几个力学量算符外，描写微观粒
))
)
[ J + , J − ] = 2hJ z
(8.2.3)
[
) Jz
,
) J±
]
=
) ±hJ ±
(8.2.4)
[
) J
2
,
) J±
]
=
0
(8.2.5)
一个常用关系
)) ) ) )
J±
Jm
=
J
2
−
J
2 z
±
hJ z
设
) J
2
,
) J
) H
n
= hω (n + 1) n
2
∧
a n = n n −1
∧
a+ n = n+1 n +1
n
=
1
∧
(a+)n 0
n!
∧
n′ a + n = n +1δ n′,n +1
1
∧
x
=

h 2µω
2
∧
(a+
∧
a+
)
∧
n′ a n = nδ n′,n−1
1
∧
p
=
−i
µh ω
2
∧
(a−

2

x
+
h µω
∂ ∂x

1
1
∧
a+
=

µω 2h

2

∧
x−
i µω
∧
p

=

µω 2h

2

x
−
h µω
∂ ∂x

∧
∧
[a, a+ ] = 1
5
于是
∧
H
=
) hω( N
+
1)
2
∧
∧∧
N = a+ a
∧
∧∧
∧
N n = a+ a n = n a+ n−1 = n n
∧
a+)
2
例子：设体系哈密顿算符
) H
=
p) 2
+ 1 µω 2x 2
+ λx4
2µ 2
λ << hω
试计算能量的一级微扰修正。
解：能量的一级微扰修正为
En
= n +
1 2
h ω
+
E (1) n
En(1) =
n λx 4 n
=
λ
h 2µω
2
n (a)+ + a)) 4 n
正交性：
β α =0
(8.1.3)
2. 力学量算符的表示
设有