2021届四川省巴中市高三零诊考试 文科数学试题(含解析)

2021年四川省巴中市高考数学零诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，{|2}B x x =>，则(A B = )A ．∅B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(2,3)2．（5分）若复数z 满足(2)5i z -=，则||(z = )A B ．5 C D ．3．（5分）设曲线(1)y a x lnx =--在点(1,0)处的切线方程为33y x =-，则(a = ) A ．1B ．2C ．3D ．44．（5分）已知a ，b ，c 满足23a =，21bln =，32c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．（5分）在ABC ∆中，1cos 2A =，3BC =，2AC =，则cos (C = )A B C D 6．（5分）已知函数()sin 2cos21f x x x =++，若函数()f x 的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心为( )A ．(,0)8πB ．(,1)8πC ．(,0)4πD ．(,1)4π7．（5分）已知P 为圆22(1)1x y ++=上任一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||3AB =，则PAB ∆面积的最大值为( ) A ．9B ．92C ．3D ．328．（5分）在直角PAB ∆中，90P ∠=︒，4AB =，点Q 在平面PAB 内，且1PQ =，则QA QB ⋅的最小值为( ) A ．1- B ．2-C ．3-D ．4-9．（5分）已知1cos2sin 221cos2sin 2θθθθ-+=++，则tan (θ= )A ．1B ．2C ．3 D10．（5分）2013年华人数学家张益唐证明了李生素数猜想的一个弱化形式．李生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( ) A ．115B ．215 C ．15D ．41511．（5分）若函数3()3f x x x =-在区间(5,21)a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是()A ．(1-，4]B ．(1,4)-C ．1(1,]2-D ．1(1,)2-12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若||5||13AF BF =，则双曲线C 的离心率为( ) A ．1312BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）命题“0x ∀>，sin x x <”的否定是 ．14．（5分）若x ，y 满足约束条件1221y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩，则z x y =-的最大值 ．15．（5分）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=︒，BC =，4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ． 16．（5分）已知函数()x f x xe =，()xxg x e =，()h x xlnx =，现有以下四个命题： ①()()f x g x -是奇函数；②函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于原点中心对称； ③对任意x R ∈，恒有()()f x g x ； ④函数()f x 与函数()h x 的最小值相同 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

【市级联考】四川省巴中市2019届高三零诊考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合B={x|x 2≤4}，则集合∁R B=（ ） A ．()2,∞+B ．[)2,∞+C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．][(),22,∞∞--⋃+2．设i 是虚数单位，复数z=2i1i-，则|z|=（ ）A ．1B C D ．23．下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（ ） A ．y =2−xB ．y =tanxC ．y =x 3D ．y =log 3x4．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,3)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,7)，则BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．(−2,−4) B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(−6.−10)5．若cos （πθ4-）=12，则sin2θ=（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．26．记Sn 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．则{a n }的通项公式为（ ）A ．nn a (2)=-B ．nn a 2=-C ．nn a (3)=-D ．nn a 3=-7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．16π3C ．8πD ．16π8．将函数y=2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的一个对称中心为（ ）A ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭9．函数y=sin x 2的图象是A ．B ．C ．D ．10．若双曲线22x a -22y b =1（a ＞0，b ＞0，一个焦点到渐进线的距离为1，则双曲线的方程为（ ）A ．22x y 12-=B ．22x y 123-=C ．22x y 142-=D ．22x y 1-=11．已知三棱锥P-ABC 中，PA=4，，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π12．已知a 3ln2π=，b 2ln3π=，2c 3ln π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>二、填空题13．函数f （x ）=（x-2）2-lnx 的零点个数为______．14．设x ，y 满足约束条件x y 10x y 102x y 20+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=yx 1+的最大值是______．15．过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为45︒的弦AB ，则AB 的弦长为 .16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a c =cosA 2cosC-，则A 的取值范围为______三、解答题17．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2=4，S 5=30． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．2021年9月20日是第25个全国爱牙日．某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．附：()()()()22n(ad bc)k a b c d a c b d -=++++．19．如图，在多面体ABCED 中，BE ⊥CD ，平面ABED ⊥平面BCE ．在梯形ABED 中，AB ∥DE ，BE ⊥AB ．DE=BE=CE=2AB ，M 是BC 的中点，点N 在线段DE 上，且满足DN=14DE ．（1）求证：MN ∥平面ACD ；（2）若AB=2，求点N 到平面ABC的距离．20．已知动点E 到点A （2，0）与点B （-2，0）的直线斜率之积为-14，点E 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （l ，0）作直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⋅=-35．求直线l的方程．21．设函数，f （x ）=lnx+kx，k ∈R ． （1）若曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x-2=0垂直，求f （x ）的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意x 1＞x 2＞0，f （x 1）-f （x 2）＜x 1-x 2恒成立，求k 的取值范围． 22．已知直线1:(2x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线2:sin C ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求与直线l 平行，且被曲线C 1l 的方程． 23．已知函数f （x ）=|x-a|+|x|．（1）当a=2时，解不等式f （x ）≥3的解集；（2）若存在x ∈R ，使得f （x ）＜3成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】试题分析：根据集合的基本运算即可得到结论；2{|4}{|22}B x x x x =≤=≤≤﹣， {|2R B x x ∴=＞或2}x ＜﹣，故选C考点：补集及其运算 2．B 【解析】22(1)221,1(1)(1)2i i i iz i z i i i +-+====-+=--+故选B. 3．C 【解析】试题分析：A ，D 两个函数没有奇偶性，B ，C 两个函数都是奇函数，但B 中函数y =tanx 在(kπ−π2,kπ+π2)上是增函数，在整个定义域内不是增函数，只有C 中函数是定义域上的增函数，故选C.考点：函数的奇偶性与单调性. 4．B 【分析】利用向量的减法得到BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，然后根据向量减法的坐标运算，得到结果. 【详解】BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,4) ． 故选B ． 【点睛】本题考查向量的减法的坐标运算. 5．A 【分析】由三角函数的诱导公式，化简得2sin 2cos[2()]2cos ()144ππθθθ=-=--，即可求解.【详解】因为1cos()42πθ-=， 又由2211sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()12()124422πππθθθθ=-=-=--=⨯-=-，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】设出等比数列{}n a 的首项1a 和公比q ，把262,6S S ==-化成基本量，然后列出关于1a 和q 的方程组，解出1a 和q ，得到通项. 【详解】根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，又由22S =，36S =-，则有()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩ ，解可得12a =-，2q =-，则()2nn a =-； 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题. 7．B 【分析】根据三视图还原出原几何体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果. 【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积4S π=， 圆柱和圆锥的高2h =，故组合体的体积116133V Sh π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选B ．【点睛】本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题. 8．A 【解析】 【分析】根据平移规则，得到函数平移后的解析式，然后表示出对称中心的横坐标，根据选项找到相应的k 值，得到答案. 【详解】函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度后，得到：2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令：()2,6x k k Z ππ+=∈，解得：(),212k x k Z ππ=-∈， 当0k =时，12x π=-，故对称中心为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查正弦型函数的平移变换，求正弦型函数的对称中心，属于简单题. 9．D 【解析】试题分析：因为2sin y x =为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =1max y =，排除B 选项，故选D ．考点：三角函数图象． 10．A【分析】由双曲线到渐近线的距离为1，1=，又c a =，222c a b =+，解出,,a b c ，得到双曲线的标准方程. 【详解】双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>的一个焦点到渐进线的距离为1，1=，c a ∴=222c a b =+，∴解得1a b ==，∴双曲线方程为：22x y 12-=. 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，求双曲线的标准方程，属于简单题. 11．C 【分析】在底面ABC 中，利用余弦定理求出cos BAC ∠，得到sin BAC ∠，再由正弦定理得到ABC 的外接圆半径，利用勾股定理，得到三棱锥外接球的半径，得到其表面积.【详解】∵底面ABC 中，2AB AC ==，6BC =，∴1cos 2BAC ∠=-∴sin BAC ∠=，∴ABC的外接圆半径1 2r ==， PA ⊥面ABC∴三棱锥外接球的半径(222222162PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积2464S R ππ==． 故选C ． 【点睛】本题考查球的几何特性，正余弦定理解三角形和求外接圆半径，属于简单题. 12．D 【分析】由262a ln π=，363b ln π=，6c ln πππ=，则a ，b ，c 的大小比较可以转化为2323ln ln ln ππ，，的大小比较．设f （x ）lnx x =，则f ′（x ）21lnxx -=，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较． 【详解】262a ln π=，363b ln π=，6c ln πππ=， ∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为2323ln ln ln ππ，，的大小比较． 设f （x ）lnxx=， 则f ′（x ）21lnxx -=，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减， ∵e ＜3＜π＜4 ∴342342ln ln ln ln ππ=＞＞， ∴b ＞c ＞a ， 故选D ． 【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题． 13．2 【分析】令()0f x =，得到()22ln x x -=，将等号左右两边看成两个函数，在同一坐标系下画出图像，找到它们的交点个数，即得到()f x 的零点个数. 【详解】函数()()22ln f x x x =--的定义域为()0+∞，， 画出两个函数()22y x =-，ln y x =的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2． 故答案为2．【点睛】本题考查函数零点问题与交点问题的转化，数形结合的思想，属于简单题. 14．1 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，根据1yz x =+的几何意义，即可行域内的点(),x y 与点()1,0-之间的斜率，求出其最大值. 【详解】作出x y ，满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所对应的可行域（如图阴影部分），1yz x =+的几何意义是可行域内的点到定点()1,0-的斜率， 由图象知可知CA 的斜率最大，即z 的最大值为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查线性规划的相关内容，数形结合解决问题.属于中档题. 15．8 【解析】试题分析：这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是()1,0F ，所以直线方程是1y x =-，联立消y 得2610x x -+=，所以12628AB x x p =++=+=，故答案应填8.考点：1、抛物线；2、焦点弦.【思路点晴】本题是一类常见的问题，即求过抛物线的焦点的弦长问题，属于中档题.解决这类问题一般有两个基本方法：①是联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理，之后用弦长公式1x x -12,x x 是直线与抛物线的两交点的横坐标，k 是直线的斜率；②是利用焦点弦长公式：12x x p ++，本题就是采用第二种方法解决问题的. 16．（0，6π] 【分析】根据余弦定理，对所给的等式进行化简，将结果代入cos A 的表达式，利用基本不等式，得到cos A 的范围，从而得到A 的取值范围. 【详解】由cos 2cos a A c C=- 得222222222b c a a bc a b c c ab+-=+--，化简得2b a =，2222224322?2442b c a a c a a c bc ac c a +-+-==+≥=， 0A π<<，且余弦函数在[]0π，上是递减函数，06A π∴<≤，故答案为（0，6π]． 【点睛】本题考查利用余弦定理进行角化边，基本不等式，及余弦函数的相关性质，属于中档题. 17．（1）a n =2n ；（2）nn 1+ 【解析】 【分析】（1）设出等差数列{}n a 的基本量，首项1a 和公差d ，将条件用基本量表示出来，得到1a 和d ，写出{}n a 的通项公式.（2）根据（1）写出{}n a 的前n 项和n S ，然后得到 的通项，通过裂项求和法，得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 依题意可知21515445302a a d S a d ⨯=+==+=，， 解得122a d ==，，故()()()*112122n a a n d n n n =+-=+-⨯=∈N ，， （2）因为()()2212n n n S n n +==+，所以()n 1111S n n 1n n 1==-++， 所以1211111111111111n11S S S S 22334n n 1n 1n 1+++⋯+=-+-+-+⋯+-=-=+++． 【点睛】本题考查等差数列中，通过基本量的求数列通项和求和，裂项法求和，属于基础题. 18．(1)学生常吃零食与患龋齿有关系(2)13P =【解析】试题分析：本题考查生活中的实际问题、独立性检验问题以及随机事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查学生的分析能力和计算能力.第一问，通过分析题意，列出列联表，填出表中所有数据，利用公式计算出数值，k作比较，判断出概率值，从而确定学生常吃零食与患龋齿是否有关系；第二问，先列与出4个人收集数据与处理数据的所有情况，再从中挑出符合题意的情况，从而求出概率. 试题解析：（1）由题意可得列联表：因为．所以能在犯错率不超过0.001的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系.（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种， 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员乙分到负责处理数据的概率是.考点：1.独立性检验；2.列联表；3.随机事件的概率.19．（1）见解析；（2） 【分析】（1）证法一：设AC 的中点为P ，证明MP DN MP DN =，，从而MN DP ，通过线面平行证明MQ平面ACD .证法二：设AB 的中点为Q ，证明MQ 平面ACD ，NQ 平面ACD ，通过面面平行，证明MQ平面ACD .（2）通过DE AB ∥得到DE 平面ABC ，从而N 到平面ABC 的距离，转化为E 到平面ABC 的距离，再证明EM ⊥平面ABC ，在BCE 中，求出CM 的长.【详解】（1）证法一：设AC 的中点为P ，连结PD MP ，，M 为BC 的中点，MP AB ∴，12MP AB =， 又AB DE ∥，N 在DE 上，14DN DE =，2DE AB =， MP DN ∴，111222MP AB DE DN ==⨯=， ∴四边形MNDP 为平行四边形，MN DP ∴，DP ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，MN ∴平面ACD ．证法二：设AB 的中点为Q ，连结MQ NQ ，，M 为BC 的中点，MQ AC ∴，AC ⊂平面ACD ，MQ ⊄平面ACD ，MQ ∴平面ACD ，AB DE ，AQ DN ∴，1112442DN DE AB AB AQ ==⋅==∴四边形ADNQ 是平行四边形，NQ AD ∴，NQ ∴平面ACD ，QN QM Q ⋂=，∴平面MNQ 平面ACD ，MN ∴⊂平面MNQ MN ∴平面ACD ．（2）连结EM ，BE CE =，M 为BC 的中点， EM BC ∴⊥，又AB BE ⊥，平面ABED ⊥平面BCE ，平面ABED ⋂平面BCE BE =，AB ∴⊥平面BCE ，EM ⊂平面BCE AB EM ∴⊥，AB BC B ⋂=，EM ∴⊥平面ABC ，EM ∴为E 到平面ABC 的距离，又DE AB ∥，AB平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，DE ∴平面ABC ，N ∴到平面ABC 的距离为EM ，又BE AB ⊥，BE DE ∴⊥，BE DC ⊥，DC DE D ⋂=，BE ∴⊥平面CDE ，BE CE ∴⊥，24CE BE AB ===，12EM BC ===N ∴到平面ABC 的距离为【点睛】本题考查线面平行的证明，通过线面平行转化点到面的距离，属于中档题.20．（1）2x 4+y 2=1（x ±2）；（2）x ±y-1=0【分析】（1）根据题意表示出E 点到,A B 两点的斜率，得到点E 的轨迹方程C .（2）当直线l 斜率不存在时，表示出OP OQ ⋅，说明其不成立；当直线l 斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，得到1212,x x x x +，再用12,x x 表示出OP OQ ⋅，得到关于斜率k 的方程，解出k ，得到直线l 的方程. 【详解】 （1）动点E 到点()20A ，与点()20B -，的直线斜率之积为14-， ()12224y y x x x ∴⋅=-≠±+-． 化为：()22124x y x +=≠±，即为点E 的轨迹曲线C 的方程．（2）当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，代入：2214x y +=，解得12P ⎛ ⎝⎭，，1Q ⎛- ⎝⎭，．3131445OP OQ ⋅=-=≠-．不符合题意，舍去． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为：()()10y k x k =-≠，代入：2214x y +=，化为：()22221484400kxk x k +-+-=∆，＞．设()()1122P x y Q x y ，，，．则：2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， ()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ∴⋅=+=+--()()22212121k x x k x x k =+-++2243145=k k -=-+，解得1k =±． ∴直线l 的方程10x y ±-=．【点睛】本题考查动点轨迹方程问题，直线与椭圆的位置关系，设而不求的方法，属于中档题. 21．（1）单调递减区间为()0,e ，极小值为2（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）因为切线的斜率为0，所以由导数几何意义得()0f e '=，求导列式210ke e -=，得k e =，从而导函数零点为x e =，列表分析区间符号得()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，再由极值定义知当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef x e e =+=．（2）分类变量得()()1122f x x f x x -<-，因此构造函数()()()ln 0kh x f x x x x x x=-=+->则()h x 在()0,+∞上单调递减，也即()2110kh x x x =-'-≤在()0,+∞上恒成立，再分类变量得()20k x x x ≥-+>得最大值，因此14k ≥试题解析：（1）由条件得()()210kf x x x x =->'， ∵曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，∴此切线的斜率为0，即()0f e '=，有210ke e-=，得k e =，∴()()2210e x ef x x x x x-=-=>'，由()0f x '<得0x e <<，由()0f x '>得x e >．∴()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef x e e=+=． 故()f x 的单调递减区间为()0,e ，极小值为2（2）条件等价于对任意()()1211220,x x f x x f x x >>-<-恒成立， 设()()()ln 0kh x f x x x x x x=-=+->． 则()h x 在()0,+∞上单调递减， 则()2110kh x x x =-'-≤在()0,+∞上恒成立， 得()2211024k x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立， ∴14k ≥（对()1,04k h x '==仅在12x =时成立）， 故k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭考点：导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.22．（1）C ：x 2+（y-1）2=1，:l x+y-3=0；（2）x y 102+--=或x y 102+-+= 【分析】（1）对直线l 的参数方程进行消参，得到普通方程；利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩把曲线C 的极坐标方程，转化为直角坐标方程.（2）根据圆的半径和弦长，求出弦心距，再由两平行线间的距离，得到直线l 的方程. 【详解】（1）直线:l 12x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为：30x y +-=．曲线2:sin C ρθ=．转换为直角坐标方程为：2220x y y +-=．转换为标准式为()2211x y +-=（2）曲线C 为圆，半径为1所以圆心到直线的距离12d == 设与直线l 平行的直线方程为：0x y b ++=则：圆心()01，到直线的距离12d ==，解得：12b =-±，直线的方程为：102x y +--=或102x y +-+=． 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程化直角坐标方程，利用圆的弦长公式求直线方程，属于简单题.23．（1）{x|x ≤-12或x ≥52}；（2）（-3，3） 【解析】 【分析】（1）对绝对值不等式进行分类讨论，分别求出每段x 的取值范围，然后取并集.（2）根据题意转化为()min 3f x <，按照0,0,0a a a >=<进行分类，分别得到()f x 的最小值，然后得出a 的范围，再求并集.【详解】（1）由()f x x a x =-+，2a =时，不等式()3f x ≥为23x x -+≥，等价于0223x x <⎧⎨-+≥⎩，解得12x ≤-；或0223x ≤≤⎧⎨≥⎩，解得x ∈∅；或2223x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得52x ≥；所以不等式()3f x ≥的解集是{12x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭.（2）若存在x ∈R ，使得()3f x <成立，则()min 3f x <，①当0a >时，()2,0,02,a x x f x a x a x a x a -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，()min f x a ∴=，即3a <，a ∴的取值范围是0<<3a ；②当0a =时，()2f x x =，()()min 003f x f ∴==<，0a ∴=符合题意；③当0a <时，()2,,02,0a x x a f x a a x x a x -<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，()min 3f x a ∴=-<，即3a >-a ∴的取值范围是33a -<<；综上，实数a 的取值范围是()3,3-． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，含参数绝对值函数的分类讨论，属于中档题.。

2023届四川省巴中市高三上学期零诊考试数学（文）试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,2U M =．则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】B【分析】由补集的概念得M 后对选项逐一判断 【详解】由题意得{3,4,5}M =，故B 正确 故选：B2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．－3【答案】D【分析】先化简复数为43i z =--，可求虚部. 【详解】因为i 34i z ⋅=-，所以()34ii 34i 43i iz -==--=--； 所以复数z 的虚部为3-. 故选：D.3．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：20x m y +=，则“1m =”是“12l l ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出12l l ∥时的m 的取值，然后利用条件的定义进行判定. 【详解】因为直线1l ：10x y +-=，2l ：20x m y +=， 若12l l ∥，则21m =，即1m =±；所以“1m =”是“12l l ∥”的充分不必要条件； 故选：A.4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（ ）A BC D 【答案】D【分析】利用焦点到渐近线的距离得出b ，再求得c 后可得离心率【详解】由双曲线2221(0)y x b b-=>可得1a =，一条渐近线l ：0bx ay -=，设双曲线的右焦点为(),0F c ，则点F 到直线l 的距离2bc d b c====，所以c =ce a=故选：D5．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m β∥，n αβ=，m n ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥【答案】C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，错误； 对于B ，若m β∥，n αβ=，还需要条件m α⊥而不是m n ⊥才能得到αβ⊥，错误；对于C ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，又因为n β⊥，则m n ⊥，正确； 对于D ，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，还需要条件m α⊂才能得到m β⊥，错误.故选：C.6．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b 且3cos 25θ=-，则OB =（ ）A ．B ．4C ．D 【答案】A【分析】由二倍角公式与三角函数的定义求解【详解】由题意得23cos 22cos 15θθ=-=-，得21cos 5θ=，而()2,B b 在终边上，故2cos ||OB θ=OB =故选：A 7．函数()()2sin e e x xx f x π-=+在区间[]22-,上的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，然后代入12x =计算，从而得正确答案. 【详解】()()()()2sin 2sin e e e e x xx xx x f x f x ππ----==-=-++，()f x ∴为奇函数，排除A ；又111122222sin12202e ee ef π--⎛⎫==> ⎪⎝⎭++，排除B ；211222411e 2e e e-⎛⎫⎪=< ⎪+++⎝⎭，即1()12f <，排除C ，故选：D8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若28176a a a ++=，则17S =（ ） A ．17 B ．34 C ．51 D ．102【答案】B【分析】根据等差数列通项求公差，进而根据求和公式即可求解. 【详解】设公差为d ，则由28176a a a ++=得()1386a d +=， 即1982a d a +==，故()()11717117178342a a S a d +==+=.故选：B9．已知点D 在直角ABC 的斜边BC 上，若2AB =，3AC =，则AD BC ⋅的取值范围为（ ） A ．[]2,3- B ．[]0,4C ．[]0,9D ．[]4,9-【答案】D【分析】设BD BC λ=，则可用λ表示AD BC ⋅，从而可求其范围. 【详解】设BD BC λ=，其中01λ≤≤，则()AD AB AC AB λ-=-，从而()1AD AC AB λλ=+-， 故()()1AD BC AC AB AC AB λλ⎡⎤⋅=+-⋅-⎣⎦()()22112AC AB AC AB λλλ=--+-⋅()[]9411344,9λλλ=--=-∈-，故选：D.10．设0>ω，若函数cos 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后与函数sin y xω=的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．112B ．72C ．52D ．32【答案】B【分析】先求出平移后函数的解析，再根据两个图象重合可求ω的解析式，从而可求其最值.【详解】函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后对应的解析式为：πππππcos ()sin 3332y x x ωωω+⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，但该函数图象与sin y x ω=的图象重合，故*πππ2π,32k k ω++=∈N ， 故*56,2k k ω=-∈N ，但0>ω，故min 72ω=，故选：B.11．已知函数()331f x x x =-+，则下列关于函数()f x 性质描述错误的是（ ）A ．函数()f x 有两个极值点B ．函数()f x 有三个零点C ．点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D ．直线0x y +=与曲线()y f x =的相切 【答案】D【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，作图，根据图象变换，结合奇偶性，利用导数的几何意义，求切点验证，可得答案.【详解】对于函数()331f x x x =-+，求导可得：()()()233311f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，解得1x =±，可得下表： x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '+-+()f x极大值极小值则()()13f x f =-=极大，()()11f x f ==-极小，即可作图如下：故A 、B 正确；由33y x x =-为奇函数，且()f x 是由33y x x =-向上平移1个单位得到的，故C 正确； 令()1f x '=-，解得6x =，则6976f -=⎝⎭6976f ⎛+ ⎝⎭， 69766976,⎛-+ ⎝⎭⎝⎭不在直线0x y +=上，故D 错误. 故选：D.12．已知26,312,420a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A【分析】根据指对互化，只需要比较234log 3,log 4,log 5的大小，根据3223<和2343<即可转化为对数式比较a b >，再由244log 3log 9log 5=>可排除BD ，即可求解. 【详解】由已知得：223344log 61log 3,log 121log 4,log 201log 5a b c ==+==+==+， 故,,a b c 的大小顺序与234log 3,log 4,log 5的大小一致. 由244log 3log 9log 5=>知a c >，排除B,D. 由3223<得23log 32>；由2343<得32log 43<，即33log 42<，所以a b >，排除C. 故选:A.二、填空题13．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.14．某智能机器人的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 2 3 5 6销售额y （万元） 28 31 41 48根据上表可得回归方程5y x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元． 【答案】58【分析】计算出样本中心后可求a ，从而可求广告费用为8万元时销售额. 【详解】235644x +++==，28314148374y +++==， 所以3754a =⨯+，17a =，所以广告费用为8万元时销售额581758⨯+=（万元） 故答案为：5815．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，22AB =25AC BC ==三棱锥A BCD -的外接球的体积为______． 【答案】86π【分析】由题意可推出AD,CD,BD 两两垂直，故以AD,CD,BD 为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，三棱锥A BCD -的外接球即该长方体的外接球，由此可求答案.【详解】因为BD ⊥平面ADC ，,AD CD ⊂平面ADC ， 故,BD AD BD CD ⊥⊥,又2BD =，22AB =，25AC BC ==，故22842AD AB BD =-=-= , 222044CD BC BD =-=-=, 所以222AC AD CD =+ ,即AD CD ⊥ ,故AD,CD,BD 两两垂直，故以AD,CD,BD 为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图：则三棱锥A BCD -的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为2222246r ++==，所以三棱锥A BCD -的外接球的体积为34π(6)86π3⨯= ， 故答案为：86π三、双空题16．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos c B b C a A +=，则A =___________，sin sinBC 的取值范围为___________. 【答案】3π 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角3A π=，则23C B π=-，所以2sin sin sin sin 3B C B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简整理后利用三角函数的性质可求出其范围.【详解】因为cos cos 2cos c B b C a A +=，所以由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A C B B C B C A =+=+=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =，因为02A π<<，所以3A π=.由3A π=得23B C π+=，故23C B π=-，且203B π<<. 2sin sin sin sin 3B C B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin sin 2B B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭11cos244B B =-+ 11sin 2264B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为72666B πππ-<-<，所以1sin 2126B π⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以1130sin 22644B π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，故3sin sin 0,4B C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：3π，30,4⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且122n n S S +-=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)2n n a =；(2)()1122n n T n +=-+.【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可将题设的递推关系转化为关于{}n a 的递推关系，从而可求其通项.（2）利用错位相减法可求n T .【详解】(1)因为122n n S S +-=，故122--=n n S S ，故()1202n n a a n +-=≥即()122n n a a n +=≥. 而2122S S -=，故12122a a a +-=，故24a =， 故()121n n a a n +=≥，且0n a ≠，故()121n na n a +=≥， 所以{}n a 为等比数列，且首项为2，公比为2，从而2n n a =.(2)2nn n b na n ==⨯,故1234122232422n n T n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯， 故234512122232422n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，所以()23411222222122n n n n T n n ++-=+++++-⨯=--，所以()1122n n T n +=-+.18．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的310，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的3．(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；(2)现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)完善表格见解析；有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；(2)分布列见解析，数学期望()54E X =. 【分析】（1）根据样本总数200，以及所给比例可完善表格，计算卡方，结合临界值进行判断；（2）先根据分层抽样明确各层人数，然后确定X 的所有取值，逐个求解概率，写出分布列，计算数学期望. （1）()222009030305025 2.70612080140607K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；(2)由题意知，从45岁及以下的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民5人，一周内健步走的步数少于5万步市民的3人； 从这8人随机抽取2人，则X 的所有取值为0,1,2.()025328C C 30C 28P X ===，()115328C C 151C 28P X ===，()205328C C 52C 14P X ===；所以分布列为数学期望()315550122828144E X =⨯+⨯+⨯=. 19．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB 平面DCF ，BE平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEFV V Sh --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】(1)证明： 方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD . 又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ，AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ， ∴平面ABE平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =， 又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥， ∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，(2)由体积的性质知：13F ACE A CEF CEFV V Sh --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ， AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =， 由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==，132CEFSCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEFV V Sh --∴==⨯=⨯⨯=20．已知函数()()21ln R 2f x x x ax a =-+∈，其导函数为()f x '.(1)若函数()f x 在2x =时取得极大值，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)证明：当0a ≥时，函数()()12g x f x =+有零点.【答案】(1)3210x y --= (2)证明见解析【分析】（1）结合导函数的意义即可求出结果；（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，从而求出最值，然后通过对最值进行讨论即可求出结果；方法二：利用导数判断函数的单调性，从而求出最值，将()g x 有零点等价于max ()0g x 即可得出结论；方法三：()g x 有零点等价于关于x 的方程11ln ,(0)2xa x x x x⎛⎫=--> ⎪⎝⎭有解，进而构造函数()11ln ,(0)2xx x x x xϕ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，从而利用导数判断函数()x ϕ的图像与性质即可得出结论；方法四：原题等价于当0a 时，直线y ax =与函数()211ln (0)22h x x x x =-->的图像有公共点，从而利用导数判断函数()h x 的图像与性质即可得出结论； 【详解】(1)()211,0x ax f x x a x x x-++=-'+=>. ()1f x x a x-'=+在()0,∞+是减函数 由在2x =时取得极大值得：()20f '=，即1202a -+=，解得：32a =()213ln 22f x x x x ∴=-+，故()()31,112f f '==∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()3112y x -=-，即3210x y --= (2)方法一：由题意得：()()21,0x ax g x f x x x-++'='=> 由()0g x '=得210x ax -++=，其判别式240=∆+>a由一元二次方程根与系数的关系知，关于x 的方程210x ax -++=有唯一正根 设210x ax -++=的唯一正根为m ，则有21am m =-当0x m <<时，()0g x '>，故()g x 单调递增；当x m >时，()0g x '<，故()g x 单调递减()22max 1111()ln ln 2222g x g m m m am m m ∴==-++=+-设()211ln ,022h x x x x =+->，则()10h x x x+'=> ()h x ∴在()0,∞+上是增函数且()10h =由21am m =-及21am m =-得：10a m m=-，解得1m ()()10h m h ∴=，故2max 11()ln 022g x m m =+-.又()232222211e 110222a a g x ax x a --⎛⎫=--+-=---< ⎪ ⎪⎝⎭且23220e 1a --<< ()g x ∴在(]0,m 内有零点，即()g x 有零点. 方法二：由题意得：()()21,0x ax g x f x x x-++'='=> 由()0g x '=得210x ax -++=，其判别式240a =+>由一元二次方程的根与系数的关系知，方程210x ax -++=有唯一正根 设210x ax -++=的正根为m ，则有21am m =-.当0x m <<时，()0g x '>，故()g x 单调递增；当x m >时，()0g x '<，故()g x 单调递减()22max 1111()ln ln 2222g x g m m m am m m ∴==-++=+-2322222111()10222a a g e x ax x a --⎛⎫=--+-=---< ⎪ ⎪⎝⎭且232201a e --<<()g x ∴有零点等价于max ()0g x ，即211ln 022m m +-由()211ln ,022h x x x x =+->在()0,∞+上是增函数且()10h =知：当且仅当1m 时，211ln 022m m +-由21am m =-及0a 得：10m m-，解得1m ()()10h m h ∴=，即当0a 时，max ()0g x 成立()g x ∴有零点 方法三：()g x 有零点等价于关于x 的方程211ln 022x x ax -++=有正根亦等价于关于x 的方程11ln ,(0)2xa x x x x⎛⎫=--> ⎪⎝⎭有解 设()11ln ,(0)2x x x x x x ϕ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()2222111ln 12ln 122x x xx x x x ϕ--+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭'记()212ln ,0H x x x x =-+>，则()220H x x x+'=>，故()H x 是增函数 又()10H =，故()0x ϕ'=有唯一零点1x =当01x <<时，()0H x <，故()()0,x x ϕϕ'<是单调递减； 当1x >时，()0H x >，故()()0,x x ϕϕ'>是单调递增()min 11ln1()110211x ϕϕ⎛⎫∴==--= ⎪⎝⎭，即()0x ϕ ∴当0a 时，函数()()12g x f x =+有零点方法四：要证：当0a 时，函数()()12g x f x =+有零点只需证：当0a 时，直线y ax =与函数()211ln (0)22h x x x x =-->的图像有公共点 由()211x h x x x x='-=-知：当01x <<时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，故()h x 单调递()2min 11()11ln1022h x h ∴==⨯--=.0y ∴=是曲线()y h x =在点()1,0处的切线即当0a =时，直线y ax =与函数()h x 的图像有唯一公共点当0a >时，直线y ax =与函数()h x 的图像在第一象限相交，有两个公共点. 综上，当0a 时，直线y ax =与函数()h x 的图像有公共点. ∴当0a 时，函数()()12g x f x =+有零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之积为14-．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆221x y +=的切线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，求PQ 的最大值及此时直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)max 2PQ =，此时直线l的斜率为k = 【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出a，再利用P ⎛ ⎝⎭算出,b 直接写出椭圆方程即可；（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ 为 y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.【详解】(1)由椭圆可得(,0),(,0)A a B a -，所以1114PA PBk k a a +⨯⎝⎭=-⎭⋅=-⎝，解得2a =，因为椭圆经过点P ⎛ ⎝⎭，故得到221314a b +=，解得1b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=(2)当切线l 垂直x 轴时，,P Q 的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设,P Q 的横坐标为1，代入椭圆得2114y +=解得y =PQ当切线l 不垂直x 轴时，设切线方程为y kx m =+即0kx y m -+=， 所以圆心到切线l1=，得221m k =+，把y kx m =+代入椭圆方程2214x y +=，整理得()222418440k x kmx m +++-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，PQ ==设241+=k n ，则1n >，则()()22222344141k k PQ k⨯⨯+=+223(1)(3)2331n n n n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭21213313n n ⎡⎤⎛⎫=--⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦211443334333n ⎡⎤⎛⎫=--+≤⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2PQ ≤，综上所述，max 2PQ =，此时3n =，因为241+=k n ，所以直线l的斜率为k = 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为1122(,),(,)A x y B x y ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x 或y 的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,0P ，倾斜角为6π．以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为π4⎛⎫=- ⎪⎝⎭ρθ．(1)求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【答案】(1)112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）；22220x y x y +--=【分析】（1）由直线l 经过点()1,0P ，倾斜角为6π，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得PA PB +的值.【详解】(1)因为直线l 经过点()1,0P ，倾斜角为6π，故直线l 的参数方程为π1cos 6πsin6x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（t 为参数），即112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）；由π4⎛⎫=- ⎪⎝⎭ρθ可得2cos 2sin =+，即22cos 2sin =+ρρθρθ，将cos ,sin x y ρθρθ==代入， 可得曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=；(2)设A,B 两点对应的参数为12,t t ，将直线l 的参数方程代入22220x y x y +--=， 即22(1)(1)2x y -+-=中，得：221)(1)22t +-=， 整理得210t t --=，此时21212(1)41(1)50,1,10t t t t ∆=--⨯⨯-=>+==-<，故1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-==23．已知函数()2323f x x x =-++． (1)解不等式()8f x ≤；(2)设函数()f x 的最小值为M ，若正数a ，b ，c 满足111236Ma b c ++=，证明：239a b c ++≥．【答案】(1){}22x x -≤≤； (2)证明见解析【分析】（1）分32x <-，3322-≤<x ，32x ≥三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；（2）先由绝对值三角不等式求出M ，再由()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭结合基本不等式求解即可.【详解】(1)当32x <-时，()32234f x x x x =---=-，由()8f x ≤可得2x ≥-，则322x -≤<-；当3322-≤<x 时，()32236f x x x =-++=，由()8f x ≤可得显然成立，则3322-≤<x ； 当32x ≥时，()23234f x x x x =-++=，由()8f x ≤可得2x ≤，则322x ≤≤； 综上：不等式()8f x ≤的解集为{}22x x -≤≤； (2)()()()232323236f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当()()23230x x -+≤即3322x -≤≤时取等，6M ∴=，则111123a b c ++=， 又a ，b ，c 均为正数，则()121123233323332232a a b a c b c b b c a b c a a b c a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭39+=≥，当且仅当22332332a bb a ac c ab c c b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即3321a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时等号成立，则239a b c ++≥.。

四川省巴中市普通高中2024届高三上学期“零诊”考试文科综合试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在经济学中，效用是指消费者在消费商品时所感受到的满足程度，分为总效用和边际效用。

生活中普遍存在着边际效用递减现象，即人们在消费第一单位商品时得到的满足最大，随着商品消费数量的增加，欲望也随之减少，满足程度递减，以致当欲望得到满足时还增加消费的话，反而会引起讨厌的感觉。

下图中Q表示某商品的消费量，U 表示消费该商品的总效用，正确反映上述现象的是()A．B．C．D．2．央企重组整合是新一轮国企改革的重头戏。

通过专业化重组的方式聚焦重点领域，加大国有资本投资布局调整，坚决退出非主业、非优势业务资产，深入开展企业间同一业务或同质业务的整合，打造现代化产业链。

此轮国企改革意在()①集中优势业务优质资源，提升央企核心竞争力②发挥市场调节的决定作用，实现央企估值重塑③推动国企治理体系改革，打造中国优势资产④促进国有经济结构优化，壮大战略新兴产业A．①④B．①③C．②④D．②③3．国家统计局数据显示，2023年一季度，最终消费对经济增长的贡献率达66.6%,比去年全年明显回升，是三大需求中拉动经济增长最主要因素。

今年以来，促消费政策接连出台，为消费稳步增长奠定了坚实基础。

要进一步扩大消费，下列举措推导正确的是()①下调存款准备金率→降低商品价格→提升消费能力②完善社会保障体系→筑牢民生底线→增强消费预期③创新消费业态和模式→提升消费体验→激发消费活力④促使人民币汇率持续降低→增加进口→满足消费需求A．①③B．②④C．①④D．②③4．作为四川省绿色建材下乡首批试点城市之一，达州市通过持续开展专家问诊活动，制定本地绿色建材企业培育清单和产品名录。

同时，引导市内绿色建材企业通过举办展销会、进卖场、电商直播等多种途径线上线下同步推广，助推绿色建材消费，鼓励引导群众优先使用绿色建材。