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管理运筹学
OPERATIONS RESEARCH FOR MANAGEMENT SCIENCE
2019/12/21
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第一章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming & Simplex Method)
§1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析(DEA) §7 应用举例
s.t.
a21x1 a22 x2
a2n xn （或 , ）b2
am1x1 am2 x2 amn xn （或 , ）bm
x1, x2 , , xn 0
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线性规划模型的简写形式(求和符号)
n
max (min) Z cj xj j 1
约束条件：关于X的线性等式或不等式 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为关于X 的线性函数，
求Z极大或极小
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LP问题一般可整理为：
决策变量及各类系数之间的对应关系
决策变量
资源
x1 x2
xn
1
活
a11
a12
2 a21 a22
a1n b1 a2n b2
动
m am1 am2 价值系数 c1 c2
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§1 一般线性规划问题的数学模型
1.1 引例
例1、生产计划问题 ⅠⅡ
设备A 2 2 设备B 4 0 设备C 0 5 利润（元） 2 3
设备能力（小时） 12 16 15
问：Ⅰ，Ⅱ两种产品各加工多少单位, 可获最大利润?
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解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 2x1 +3x2
300x3
500x4
800
x j 0 (j 1,..., 4)
max z 2x1 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
2x1 2x2 12
例2
s.
t
.
54xx12
16 15
x1, x2 0
线性规划模型的特点
决策变量：向量X=(x1… xn)T 决策人要考虑 和控制的因素，非负
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通 常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等 式或等式。
一般线性规划问题的数学模型：
目标函数：max（或 min）z c1x1 c2x2 cnxn
约束条件：
a11x1 a12 x2 a1n xn （或 , ）b1
解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐 问题的线性规划模型为：
min z 14x1 6x2 3x3 2x4
1000x1 800x2 900x3 200x4 3000
s.t.
50x1 60x2 20x3 10x4 55
400x1
200x2
各种食物的营养成分表
热 量 蛋 白 质 钙 价格
序号 食品名称 （千卡） （克） （毫克） (元/kg）
x1 1 猪肉 1000 50 400 14 x2 2 鸡蛋 800 60 200 6 x3 3 大米 900 20 300 3 x4 4 白菜 200 10 500 2
每天需要
3000
55
800
存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示;
都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数 (称为目标函数)来表示。按问题的要求不同，要求目标函数 实现最大化或最小化。
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1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。
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例2(教材第9页)生产计划问题
常山机器加工厂，利用A、B、C三种不同设备加 工生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。按工艺要求，每生产一 个单位的Ⅰ产品，需要占用三种设备2、4、0小 时；每生产一个单位的Ⅱ产品，需要占用三种设 备2、0、5小时。已知三种设备加工能力分别为 12、16、15小时。且每生产一个单位的Ⅰ产品 可获取2单位的利润；每生产一个单位的Ⅱ产品 可获取2单位的利润。问应当如何安排加工，可 使获取的总利润最大？
n
aij x j
( ) bi
j1
x
j
0
(i 1 2 m) (j 1 2 n)
一般线性规划(LP)问题模型向量形式
max (min) z CX
s.t.
p j x j ( ) b
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
X
xn
Pj
a1
j
amj
b1
b
bm
一般线性规划(LP)问题模型矩阵形式
max (min) Z CX
2x1+2x2 12
s.t.
4x1
16
5x2 15
x1，x2 0
注意模型特点
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附例 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得 3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的 钙。如果市场上只有四种食品可供选择， 它们每千克所含的热量和营养成分和市场 价格见下表。问如何选择才能在满足营养 的前提下使购买食品的费用最小？
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 目标函数 约束条件
Decision variables Objective function Constraints
amn bm cn
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上述模型的共同特征：
每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 ,x2 , xn
表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。一般 这些变量的取值是非负且连续的；
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值 的数据；
aij ; c j ;bi (i 1, m; j 1, n)
