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由课本问题到欧拉常数的推广

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常数 d = 1. 460354509…应是一个无理数, 可以 称为欧拉常数的姊妹数吧! 仿照欧拉常数同样可证 明有下列表达式:
1 + + …+ 2 3 + Υ n , 0< Υ n < 1, Υ n →0 ( n →+ ∞). 2
n = ( 1+ d = 1. 460354509…
又 n ≥2, ∴ a 2 ≤a n , 即
1
n
在 ( 2 ) 式中, 左边是数列求和, a n = 是2
1
x n , 若从函数角度考虑, 可看出 ( 2
, 右边 = x )′ 1
x
假设 n = m 时不等式成立, 则 n = m + 1 时
1+ 1
k
2
+
1
k
3 .
+ …+
1
k
+
1
k
m
m+ 1
<
, 由此想到欧拉常数中的关系 ( ( ln x ) ′ =
1
n bn+ 1 - bn n - ( 1+
的定义.
4 欧拉不等式的推广 1 ) 由不等式 ( 2) , ( 3) , ( 4) 自然想到可以继续分
1 2
+
1 3
+ …+
).
析2
n ,
n+ 1 +
n - 1与
4n + 2 -
2
的大小与空隙 ( 留给读者).
2 ) 不等式 ( 2) 的结构简单、 整齐, 与欧拉不等式 1
1
+
1
+ …+
1
n
) > 0.
∴ 2
4n + 2-
n+ 1 -
2 1
3 +
1 2
+ 1< Sn <
综上可知 ( 1) 式的极限存在. 由以上的证明过程可知, 对任意的 n ∈N , bn = 2
1 1 ) + + …+ 的结果是 2 3 n ( 0, 2) 内的一个常数 . 数列 { bn } 的极限存在, 这个极
)和
k k- 1
k
m k- 1 +
1
k
m+ 1
规律.
1 1 1 记 x n = 1+ + + …+ - ln n ( n = 1, 2, 3, 2 3 n … ) , 则 x n > 0 且{x n } 单调递减, 故其极限存在, 记为
c, 即为
以下只需证明
k k- 1
k
m k- 1 +
k
1
k
m+ 1
n - ( 1+
1
+ 1. 2 代入 n = 1999, 87. 6857…< S 1999 < 87. 9763…
10 +
故 S n 的整数部分为 87. 例 2 设 n 是不小于 2 的正整数, 则
+ 1 3 7 ≤112 1 2
限是多少呢? 利用计算机得以下结果:
n = 1, c1 = 1. n = 10, c10 = 11303557420… n = 100, c100 = 11410396162… n = 1000, c1000 = 11444544402…
1 2
+
1 3
+ …+
1
n
n
)
解 当 r 为自然数时, 显然有
r+
n + 1- 1) , n - ( 1+ n - 2( n + 1-
1 2
+
1 3
+ …+
1
n
)
1 + 2 2
r-
1 2
<
r )<
r <
r + 1+
r
2 1
r
, 1 2
n + 1- 1) n ) r-
∴ 2(
1 ). 2
r+ 1 -
< 2(
∞
由欧拉常数的表达式可想到以下问题:
1) Θ( 2 ) = li m [2
n →∞
1
k
k= 1
的前项和, ( 6) 式也 …+
n - ( 1+
1 2
+
1 3
+
1
n
1 1 1 ( 7) + + …+ = c+ ln n + Ε y n = 1+ n 2 3 n 其中 Ε n → 0 ( n →∞). 即调和级数的部分和与 ln n 同
) ]=
. 1
k
2) Θ(k ) = li m [ ( 1+
n →∞
阶.
1 1 1) 注意 ( 1+ + + …+ 为有理数, ln n 为无 2 3 n 理数, 从而 ( 6) 式是用无理数列逼近 Eu ler 常数给出
2 .
+
1
k
3
+ …+
1
k
)
n
-
k k- 1
k
n k-
1
]=
我 们先来证明 1 ) 的极限存在 ( 问题 2 ) 留给读 者). 证 令 bn = 2
1+ + …+ 1
n
∴ 我们得到新不等式
1+ 1 2 + 1 3 + …+ 1
n
> 2( 1
n
n + 1- 1) (n ∈N)
( 1) >
n
1 2
+
1 3 1
+ …+ =
n
1
n n.
>
1
n
+
1
n
2 ) 由 对 称 性, 我 们 有 2
n + 1+ n
=
2
n +
, 又可以想到: = 2
n + n
= n・
由裂项求和的思想可想到方法二:
n = n- 2) + (
1
n
<
2
n + n- 1
= 2(
n -
(
n -
n- 1 ) + n - 3 ) + …+ (
(
n- 1 -
n - 1 ) (n ∈N).
n - 2-
2 - 1) +
n- 2
∴ 又得到不等式
1+ 1 2 + 1 3 2
n + n
( 1- 0) = 1 2 + 1 +
x
k
= [2 1
n+ 1
n+ 1 -
(1 +
n -
1 2
+
1 3 1 2
+ …+ + 1 3
1
n
+
有共同特点 ( ( ln x ) ′ = 步有 (
k k- 1
k
, (2 1
x
= x )′
1
x
) , 进一
) ]- [2
(1+
+ …+
= x k- 1 ) ′
, 我们可将它进行推广
1
n
)]
n + 1n + 1n )+ ( n ) [ 2+
n
= 2( >
n+
∴ 1+
1 2 1 2
n-
1 ). 2 1 3 + …+ 1
n
+
<
4n + 2-
2
( 4)
收稿日期: 2003- 10- 09 作者简介: 罗碎海 ( 1961—) , 男, 陕西宝鸡人, 华南师大附中高级教师, 学士.
30
3 欧拉 ( Euler) 常数
数 学 通 讯 2004 年第 7 期 当 n = 1 时, 不等式显然成立.
……
n →∞
li m [2
n -
(1 +
1 2
+
1 3
+ …+
1
n
) ]= 11460354509…= d.
1 1 1 + …+ < ln2. 4 2n - 1 2n 1 1 1 1 1 证 设 a n = 1+ + …+ 2 3 4 2n - 1 2n 1 1 1 (n ≥2) , = + + …+ n+ 1 n+ 2 2n 1 1 1 1 ∵ a n+ 1 - a n = + = 2n + 1 2 (n + 1) n + 1 2n + 1 1 + > 0, 2n + 2 ∴ 数列{a n } 单调递增. 7 ≤a n 成立. 12 1 1 1 ) ∵ a n = ( 1+ + + …+ 2 3 2n 1 1 1 ) - ( 1+ + + …+ 2 3 n = (c+ ln2n + Ε 2n ) - ( c + ln n + Ε n)
可得以下结论: “已知 n 为自然数, k 为大于 1 的自然数, 试证

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欧拉公式是怎么发现的？

欧拉公式是怎么发现的？

欧拉公式是怎么发现的？e^iθ = cosθ + isinθ这个公式有个众所周知的特殊形式：e^iπ+1=0，把五个最常见的数学常数0,1,i,π,e组成了一个等式。

欧拉最初究竟是怎么想到这个公式的可能已很难确知，一般说法是在解一个特殊微分方程时发现了下列等式左右均为该方程的解：2cosθ = e^iθ + e^i-θ2sinθ = e^iθ - e^i-θ具体欧拉是如何敏锐的发现等式右边是解，就不得而知了。

需要指出，欧拉时代的数学界对复数已经有一定认知，但还没建立完整的理论，这要到半个世纪后的高斯时代才完善。

对于√-1，古代波斯数学家花剌子米在解一元二次方程时就有发现负数开根号的问题，人们长期以来对比极为费解，称其为“诡辩量”，但又离不开它，比如文艺复兴时期的意大利数学家卡丹（三次方程求根公式的第二发明人）就表示“既不能理解负数开平方根，又能心安理得的使用它”。

笛卡尔正式将负数开平方命名为：虚数（imaginay number），意思是“想象中的数”，欧拉用首字母i来表示虚数单位元√-1，在那个时代，使用虚数/复数进行简单运算已经很普遍，但运用在指数上则是欧拉的首创。

对于当时的人来说，虚数本身就够抽象的了，放在指数上更加难以理解，实际上你已根本不可能通过直观的方式去“理解”，唯有彻底和“直观”说byebye，纯粹的通过数学推理去掌握才是最简单的方式。

据说当时另一个大数学家好像是拉格朗日表示不能理解，欧拉回了一封信，拉格朗日看后立刻就恍然大悟。

欧拉给出了一个非常非常简明的证明，任何一个掌握微积分入门的极限知识的高三或大一学生能应该可以理解。

需要指出欧拉的证明确实是对的，但不够严谨，因为严谨的微积分语言要等到一百年后的柯西和魏尔斯特拉斯。

欧拉给出的证明如下：令α=θ/n，根据德莫夫定理，有：cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ令n趋于∞，则α趋于0，此时cosα趋于1，sinα趋于α，于是：cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ=（1+iα）ⁿ =（1+iθ/n）ⁿ令δ=1/n，由于δ趋于0，根据二项式定理知道（1+δ）^k 趋于1+kδ，令k=iθ，则有：cosθ+isinθ=（cosα+isinα）ⁿ=（1+iα）ⁿ=（1+iθ/n）ⁿ=（（1+δ）^iθ）ⁿ= （（1+1/n）ⁿ）^iθ= e^iθ证毕。

苏教版高中数学选修3-3-3.3.2 欧拉公式-课件(共20张PPT)

苏教版高中数学选修3-3-3.3.2 欧拉公式-课件(共20张PPT)

所以 V E F 2 ；
在中图中，顶点为A、B、C、D、E、F，顶点数V=6， 三角形的边为AB、AC、AD、AE，FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED，边 数E=12， 三角形为ABC、ABE、ACD、ADE，FBC、FBE、FCD、FDE，三角形个数F=8，
所以 V E F 2 ；
以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
数学人物传记——欧拉

数学人物传记——欧拉

数学人物传记—欧拉人物生平莱昂哈德·欧拉欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。

他生于牧师家庭。

15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。

1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。

1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。

他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。

1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。

在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。

欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。

1766年他又回到了圣彼得堡。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。

他又是一个多产作者。

他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。

除了教科书外，他的全集有74卷。

18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。

值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》。

欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。

复平面上的Gamma 函数[4]欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。

1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。

这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。

欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。

如他引入了Γ函数和B 函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。

数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。

他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。

在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

高二数学下册 9 多面体欧拉定理的发现教案人教版

高二数学下册 9 多面体欧拉定理的发现教案人教版

课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力教学重点：欧拉公式的发现过程教学难点：欧拉定义及其证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣教学过程：一、复习引入：1欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝〔详细资料附后〕2多面体的概念：由假设干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体那么不是凸多面体．4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等二、讲解新课：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续〔不破裂〕变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体⑹⑸2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数V 面数F 棱数E 正四面体4 4 6 正六面体8 6 12 正八面体6 8 12 正十二面体20 12 30 正二十面体 12 20 30发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系式：2V F E +-=．上述关系式对简单多面体都成立1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=22．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气那么⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。