考点26 圆的方程,直线和圆的位置关系学生版(2021年高考艺体生基础生考点培优讲义

考点26 圆的方程
[玩前必备]
1．圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程
(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22
＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22
＝D 2＋E 2
－4F 4
. (1) 当
D 2＋
E 2－4
F >0
时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2
为半径的圆；
(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 直线与圆的位置关系的判断方法
设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，圆为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
5. (1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法
设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2
2(r 2>0)．圆心距O 1O 2＝d ，则
6．(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l
2)2＝r 2－d 2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
[玩转典例]
题型一 求圆的方程
例1 （2020·河南濮阳.高三期末）若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 [玩转跟踪]
1． (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0
D ．x 2＋y 2－10x ＝0
(2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 题型二 判断直线与圆的位置关系
例2 （2020·福建高三期末）若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆2
2:4230C x
x y y ++-+=相切，则直线l
与圆2
2:(2)3D x y -+=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
[玩转跟踪]
1．（2020·包头市田家炳中学高三期中）直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
题型三 直线与圆相交弦长问题
例3 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． [玩转跟踪]
1．（2020·河南濮阳）斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2＝4x 截得的弦长为4，则l 的方程为（ ） A ．y ＝x ﹣3
B ．y ＝x +3
C ．y ＝x ﹣2
D ．y ＝x +2
题型四 直线与圆相切问题
例4 过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________； [玩转跟踪]
1.过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为______________． 题型五 圆与圆的位置关系问题
例5 （2020·湖南张家界.高三期末）已知圆22:(3)(4)4M x y -++=与圆22
:9N x y +=，则两圆的位
置关系为（ ） A ．内切 B ．外切
C ．相交
D ．外离
[玩转跟踪]
1.（2020·贵州省思南中学高一期末）圆x 2+y 2-2x -3=0与圆x 2+y 2-4x +2y +3=0的位置关系是（ ） A ．相离
B ．内含
C ．相切
D ．相交
2.过两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．5x ＋3y －2＝0 D ．不存在
[玩转练习]
1.（2019•全国）若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则(a = ) A ．13
B ．5
C ．5-
D ．13-
2.（2018•新课标Ⅲ）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则
ABP ∆面积的取值范围是( )
A ．[2，6]
B ．[4，8]
C
．
D
．
3．（2016•山东）已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=
所得线段的长度是M 与圆
22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
4．（2016•北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为( ) A ．1
B ．2
C
D
．5．（2016•新课标Ⅱ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = ) A ．43
-
B ．34
-
C
D ．2
6.（2019•浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m = ，r = ．
7.（2018•新课标Ⅰ）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ．
8.（2020•天津卷）
已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．
9．（2020·江苏建邺.高三期中）已知圆221216960x y x y +-++=圆心为C ，O 为坐标原点，则以OC 为
直径的圆的标准方程为_____.
10．（2020·景东彝族自治县第一中学高三月考）圆C 的圆心为点()8,3-，且经过点()5,1A ，则圆C 的方程为________.
11.（2020·开封市第二十五中学高三期末）若直线0x y +=与圆()()2
2
12x m y -+-=相切，则m =（ ） A ．1
B ．1-
C ．1-或3
D ．3-或1
12.（2020·江苏泰州.
高三期末）过点P 且与圆224x y +=相切的直线方程 ___．
13.（2020·勃利县高级中学高三期末）若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=
截得的弦长为则这个圆的方程是（ ） A ．()()2
2
212x y -++= B ．()()22
218x y -++= C ．()()2
2
214x y -++=
D ．()()2
2
2112x y -++=
14．（2020·黑龙江高三期末）圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（ ） A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
15．（2020·广东高三期末）已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（ ） A ．相交 B ．外切
C ．内切
D ．外离。