一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足()25i z -=,则z =（ ）A ．2i +B ． 2i -C ． 2i --D ．2i -+【答案】A【解析】试题分析：因为()25i z -=, 所以()()()()5252522225i i z i i i i ++====+--+，故选A. 考点：复数的基本运算.2.设集合(){}{}|30,|1A x x x B x x =-≥=<,则AB =（ ） A ．(][),03,-∞+∞ B ．()[),13,-∞+∞C ．(),1-∞D ．(],0-∞【答案】D考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.3.已知向量()(),3,3,3a x b ==-,若a b ⊥,则a =（ ）A ． 1B D ．2【答案】D 【解析】试题分析：因为()(),3,3,3a x b ==-,且a b ⊥，所以，330,1a b x x ⋅=-==，a =2=，故选D.考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.4.执行如图所示的程序框图,如果输入的1,1a b ==,那么输出的值等于（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89 【答案】C考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.已知函数()f x 是奇函数, 当0x >时,()()2log 1f x x =+, 则()3f -=（ ）A ． 2B ． 2-C ．1D ． 1-【答案】B【解析】试题分析：因为函数()f x 是奇函数且0x >时,()()2log 1f x x =+，所以()()()233log 312f f -=-=-+=-，故选B.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及对数的性质.6.如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为3π, 则该几何体的体积等于（ ）A ．8πB ．163π C ．4π D ．43π 【答案】A考点：1、几何体的三视图；2、球的体积公式.7.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则2z x y =+的最大值为（ ）A ． 3B ． 6C ．7D ．8【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线2x y z +=，直线经过点()1,3B 时，z 取得最大值1237+⨯=，故选C.考点：线性规划．8.为了得到函数sin cos y x x=+的图象, 可以将函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平行移动4π个单位 B ．向右平行移动4π个单位 C ．向左平行移动2π个单位 D ．向右平行移动2π个单位 【答案】C考点：1、两角差的正弦公式；2、诱导公式及三角函数图象的平移变换.9.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则b a=（ ）A ．13B ．12 CD ．2【答案】B【解析】试题分析：设小正方形的边长为x ，则大正方形边长为x 5，x a b +=，()222222555510b a x b a a b ab +==-=+-，化为()()2222522a b ab a b a b +-=--，因为a b >，所以2b a =，b a =12，故选B. 考点：1、正方形的面积及勾股定理；2、几何概型概率公式.10.点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为（ ）A ． 6B ．9C ．12D ．18【答案】B考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式.11. 如图, 在正方体1111ABCD A BC D -中,2AB =, 平面α经过11B D ，直线1AC α,则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A ．C ．D【答案】D【解析】试题分析：设1111B D AC F =，1AA 中点为E ，连接EF ，由中位线定理得1EF AC ， 因为 EF ⊂平面11EB D ，1AC ⊄平面11EB D ，所以1AC 平面11EB D，1112EB D S ∆=⨯=故选D.A 11考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、三角形面积公式及线面平行的判定定理.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、三角形面积公式及线面平行的判定定理.属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可根据几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题就是利用方法①先证明1AC 平面11EB D 而后求解的.12.若存在实数a ,当1x ≤时,12x ax b -≤+ 恒成立, 则实数b 的取值范围是（ ）A ． [)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．[)4,+∞【答案】A考点：1、分段函数的解析式及图象；2、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法.【 方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知数列{}n a 满足: )2111,1n a a +==,则5a = ． 【答案】25【解析】试题分析：因为)2111,1n a a +==，1=，1==为首项，以1()111n n =+-⨯=，225,525n a n a ===，故答案为25. 考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式.14.在ABC ∆中,60ABC ∠=, 且5,7AB AC ==,则BC = ．【答案】8考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式.15.已知1,1a b >>,且()22ab a b +=+,则ab 的最小值为 ．【答案】6+【解析】试题分析：因为()22ab a b +=+≥)222≥，因为1,1a b >>，所以26ab ≥+，即ab 的最小值为6+6+考点：1、基本不等式的应用；2、不等式的性质及最值的求法.【方法点睛】本题主要考查基本不等式的应用、不等式的性质及最值的求法，属于难题.求最值的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要应用方法③求ab 的最小值的.16.函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程()13f x mx =-恰有四个不等的实数根, 则实数m 的取值范围是 ． 【答案】13⎛ ⎝由BC 绕点C 转至切线BA 过程中，()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-有四个交点，所以m 的取值范围是13⎛ ⎝，故答案为13⎛ ⎝.考点：1、分段函数的解析式及图象；2、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度.本题通过()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-图象交点来解决方程根的个数问题正是体现了这种思想.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211n n S a n ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）()2413n n T =-.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式.18.（本小题满分12分））如图, 四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD , ,,1,4,3,AB CD AB BC CD BC AB PA PD E⊥=====为线段AB 上一点,1,2AE BE F = 为PD 的中点.（1）证明:PE 平面ACF ；（2）求三棱锥B PCF -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23.（2）连接BD ,取AD 的中点G ,连接PG ,由PA PD =得,PG AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面,,,ABCD AD PG AD PG =⊥∴⊥平面ABCD ,在Rt CBE∆中,CE ==在等腰PAD ∆中,2AD PG =∴===.11141423323P BCD BCD V S PG -∆∴==⨯⨯⨯⨯=,112323F BCD BCD V S PG -∆==,23B PCF P BCF P BCD F BCD V V V V ----∴==-=. 考点：1、线面平行的判定定理；2、“等积变换法”及“割补法”求几何体的体积. 19.（本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下:假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；（3）设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出8人, 再从这8人中抽出2人发放纪念品, 求抽出2人中恰有1人消费两次的概率. 【答案】（1）0.4P =；（2）45；（3）47.（2）该会员第1次消费时, 公司获得利润为20015050-=(元), 第2 次消费时, 公司获得利润为2000.9515040⨯-=(元), 所以, 公司这两次服务的平均利润为5040452+=(元). (3) 至少消费两次的会员中, 消费次数分别为1，2，3，4，5的比例为20:10:5:54:2:1:1=,所以抽出的8人中, 消费2次的有4人, 设为1234,,,A A A A ,消费3次的有2人, 设为12,B B ,消费4次和5次的各有1人, 分别设为,C D ,从中取2人, 取到1A 的有:121314111211,,,,,,A A A A A A A B A B AC A D 共7种;去掉1A 后, 取到2A 的有:2324212222,,,,,AA A A AB A B AC AD 共6种; 去掉123412,,,,,A A A A B B 后, 取到C 的有:CD 共1种, 总的取法有765432128n =++++++=种,其中恰有1人消费两次的取法共有：444416m =+++=种， 所以, 抽出2人中恰有1人费两次的概率为164287m P n ===. 考点：1、古典概型概率公式；2、分层抽样的应用及平均值的求法.20.（本小题满分12分）已知点F 是拋物线()2:20C y px p =>的焦点, 若点()0,1M x 在C上, 且054x MF =. （1）求p 的值；（2）若直线l 经过点()3,1Q -且与C 交于,A B (异于M )两点, 证明: 直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数. 【答案】（1）12p =；（2）证明见解析.试题解析：（1）由抛物线定义知02p MF x =+,则00524p x x +=,解得02x p =,又点()0,1M x 在C 上, 代入2:2C y px =,得021px =,解得011,2x p ==.（2）由（1）得()21,1,:M C y x =,当直线l 经过点()3,1Q -且垂直于x 轴时,此时((,3,A B ,则直线AM的斜率AM k =,直线BM的斜率BM k =所以12AM BM k k =-=-.当直线l 不垂直于x 轴时, 设()()1122,,,A x y B x y , 则直线AM 的斜率111211111111AM y y k x y y --===--+,同理直线BM 的斜率21212121111,1111BM AM BM k k k y y y y y y y =∴==++++++,设直线l 的斜率为()0k k ≠,且经过()3,1Q -,则 直线l 的方程为()13y k x +=-.联立方程()213y k x y x⎧+=-⎪⎨=⎪⎩,消x 得,2310ky y k ---=,所以12121311,3k y y y y k k k++==-=--,故1212111111231AM BM k k y y y y k k===-+++--++,综上, 直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-.考点：1、待定系数法求抛物线方程；2、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题. 【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.本题就是根据方法②求得直线AM 与直线BM 的斜率之积为定制12-的. 21.（本小题满分12分）已知函数()xf x e ax =+,曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（1）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）若()()0,1b f x b x c >≥-+,求2b c 的最大值.【答案】（1）1a =-，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞；（2）213e .试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞,因为()'xf x e a =+,由已知得()'00,1f a =∴=-,当0x >时, ()'10xf x e =->,当0x <时, ()'0f x <,所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞.（2）不等式()()1f x b x c ≥-+转化为xe bx c -≥,令()x g x e bx =-,()'xg x e b =-,由()'0g x >得,()ln ,'0x b g x ><得ln x b <,所以函数()g x 在(),ln b -∞上为减函数, 在()ln ,b +∞上为增函数, 所以()()min ln ln ,ln g x g b b b b c b b b ==-∴≤-,233ln b c b b b ∴≤-,令()33ln h b b b b =-,则()()2'23ln h b b b =-,由()'0h b >得()230,'0b e h b <<<得23b e >,所以函数()h b 在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函考点：1、导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 在ABC ∆中,90BAC ∠=, 以AB 为直径的O 交BC 于点,D E 是边AC 上一点,BE 与O交于点F ,连接DF .（1）证明:,,,C D F E 四点共圆； （2）若3,5EF AE ==,求BD BC 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4009. 【解析】试题分析：（1）由直角三角形相识C DAB ∠=∠，圆周角定理得DAB DFB ∠=∠，从而C DFB ∠=∠进而可证结论；（2）先根据射影定理求得253EB =，从而得16,3BF =进而利用相交弦定理可得BD BC 的值. 试题解析：（1）证明: 连接,AD AB 是O 的直径,90,90ADB DAB DBA ∴∠=∴∠+∠=,90,90,BAC C DBA C DAB ∠=∴∠+∠=∴∠=∠,,,180BD BD DAB DFB C DFB DFE DFB =∴∠=∠∴∠=∠∠+∠=, 180,,,,DFE C C D F E ∴∠+∠=∴四点共圆.考点：1、四点共圆的判定；2、圆周角定理及相交弦定理. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 经过点()3,3P ,倾斜角3πα=.（1）写出曲线C 直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点, 求AB 的值.【答案】（1）()()22319x y -++=，132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)；（2）226210x y x y +-++=,化为标准方程是()()22319x y -++=,直线l 的参数方程为3cos 33sin3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即 为参数). （2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得 ,整理得:270t ++=,(247200∆=-⨯=>,则12127t t t t +=-=,所以121248AB t t t =-==-=考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的几何意义的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x m x m=++-,其中0m >. （1）当1m =时, 解不等式()4f x ≤； （2）若a R ∈,且0a ≠,证明:()14f a f a ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭.【答案】（1）[]2,2-；（2）证明见解析.()1121411112a m m a a a f a f a a a m a m a ⎫-+++≥+≥⎪⎪⎛⎫⇒-+≥⎬ ⎪⎝⎭⎪--+-≥+≥⎪⎭. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值不等式的证明.。
