沪教版小学奥数系列6新版-7盈亏问题

6-1-7.盈亏问题（三）教学目标1.熟练掌握盈亏问题的本质.2.运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．知识精讲盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：+÷=(盈亏)两次分得之差人数或单位数(盈盈)两次分得之差人数或单位数-÷=(亏亏)两次分得之差人数或单位数-÷=物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换；2.关系互换.模块一、利用条件关系转换解盈亏问题——转化被分配物质【例 1】王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.苹果个数为13×7-5=86（个）.桔子数为 13×3+4=43（个）.答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.138643【答案】个小朋友，苹果个，桔子个【巩固】学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.18090【答案】羽毛球拍副，乒乓球拍副【例 2】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?【考点】盈亏问题【难度】4星【题型】解答【解析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为(个)梨，两次分配数之差为(个)梨.所以有苹415+=25/31/3-=果(个)，有梨(个).(41)(25/3)15+÷-=152426⨯-=【答案】苹果个，梨个1526【巩固】有若干梨和苹果，如果1个梨和3个苹果分成一堆，则多2个梨，如果2个梨和5个苹果分成一堆，则少2个苹果，则梨有 个，苹果有 个。

小学奥数盈亏问题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]小学奥数之盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。

例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友分多少粒糖分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。

比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。

相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。

每人相差1粒，多少人相差15粒呢由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。

解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。

答：有15个小朋友，分69粒糖。

例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友多少粒糖果分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。

例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。

仿照例1的解法即可。

解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。

答：有4个小朋友，14粒糖果。

由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。

解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。

需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。

奥数-盈亏问题（讲义）一、教学目标：1. 了解盈亏的概念，学会用盈亏法解决实际问题。

2. 能够运用盈亏法分析解决一些生活中的实际问题。

3. 培养学生的思维能力和解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣和学习积极性。

二、教学内容：小学数学，奥数-盈亏问题三、教学重难点：1. 盈亏的概念和运用。

2. 如何应用盈亏法解决实际问题。

3. 思维的启发和能力的培养。

四、教学方法：教师讲授，学生合作探究、合作讨论。

五、教学过程：1. 导入环节问：看看下面的物品，哪个物品是亏本，哪个是盈利？根据学生的回答，引导学生认识盈亏的概念。

2. 提高认识引导学生根据实际生活中的事例，深化对盈亏概念的理解，培养学生动手解决问题的能力。

例如：有个商贩每天卖馒头，每个馒头的成本是1元钱，他每个馒头卖1.2元钱，他每天卖200个馒头，问他一天能赚多少钱？（1）学生思考解决这个问题需要什么技能？（2）请学生分组合作讨论如何解决这个问题。

（3）引导学生讨论如何用盈亏法解决这个问题。

（4）请学生发言，分别给出自己的解答。

（5）引导学生比较各组发言的不同之处。

引导学生认识盈亏法，明确什么情况属于盈亏问题。

3. 实战演练为了加深学生对盈亏法的理解，让学生尝试自己解决盈亏问题。

例如：王老板开了一家餐馆，每天损失200元，他决定将客人数量提高20%以弥补损失，他现在每天的营业额是多少？请学生自己分组合作，（1）先思考一下解决问题需要什么技能？（2）练习用盈亏法解决问题。

让各组学生上来讲解自己的方法和答案，让其他学生去评价。

4. 归纳总结用盈亏法解决含有盈亏问题的实际问题具体步骤：先求盈亏，再加上原来的成本/价值。

五、教学反思：本节课通过让学生合作探究、小组讨论，培养了学生的思维和解决问题的能力，在玩之中学，学会实际运用盈亏法分析解决生活中实际问题，使学生获得了感受和思考的机会，不仅掌握了盈亏法，还提高了学生解决实际问题的能力和兴趣。

在学习盈亏法时，应该注重启发学生的思维和创新能力。

直线型植树问题的应用1.晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【分析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?36(31)18÷-=(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?18(61)90⨯-=(级)2.在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点，从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？【分析】法一：根据题意可知从右向左每隔5厘米点一个红点与从左向右每隔5厘米点一个红点点出来的红点的位置是一样的。

那么从左向右看，每隔6厘米点出来的红点比每隔5厘米点出来的红点间的距离从1厘米依次增加到5厘米，此时间隔为5厘米点出来的红点的第6个点与间隔为6厘米点出来的红点的第5个点重合，之后以间隔为5厘米点出来的红点为基础每6个点为一个周期重复上面的变化规律。

其中每一个周期中的间隔为5厘米点出来的红点的第3个点与间隔为6厘米点出来的红点的第2个点间距为4厘米，间隔为5厘米点出来的红点的第5个点与间隔为6厘米点出来的红点的第5个点间距为4厘米，1005632÷÷=（个），1006164÷=（厘米），由此可知两个红点间距为4厘米的有3217⨯+=（段）。

法二：由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点．而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍．最后10030310-⨯=（厘米）也可以得一个短木棍，故共有2317⨯+=（根）4厘米的短棍．6.有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？【解析】这个人前后一共看见了12辆电车，每两辆车的间隔是5分钟，开出12辆电车共有-=（个）间隔，这样可以计算出从第1辆电车开出到第12辆电车开出所用的时12111间，共经了51155⨯=（分钟），由于他出发的时候，第1辆电车巳到达乙站，所以这个人从乙站到甲站用了551540-=（分钟）．封闭型植树问题1.一个街心花园如右图所示．它由四个大小相等的等边三角形组成．已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花．问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？【分析】大三角形三条边上共栽花：（9×2－1－1）×3＝48（棵），中间画斜线小三角形三条边上栽花：（9－2）×3＝21（棵），整个花坛共栽花：48＋21＝69（棵）.2.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米.甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树），操场四周栽了多少棵树？【分析】因为甲的速度是乙的两倍，乙走了操场的一条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到第5棵树，实际走了4个间隔，那么甲应该走了8个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的第9棵树，所以这一边有9+4=13（棵）树.操场周围的树一共有（13-1）×4=48（棵）.3.20名运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长2米，前后两辆车需要30230325÷+÷=（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(305)2224-=（元）．现÷⨯⨯=（元），说明花球和白球各买30个能省下25241在共省了4元，说明花球和白球各有304120⨯=（个）．⨯=（个），共买了1202240【答案】240个4、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问第二组有多少人？【考点】盈亏问题【难度】5星【题型】解答【解析】如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．说明第一组人数少于48412÷=，即9人；如果把书全分给第二组，那么÷=（人），多于48593每人3本，有剩余；每人4本，书不够．说明第二组人数少于48316÷=（人），多于÷=（人）；因为已知第二组比第一组多5人，所以，第一组只能是10人，第二48412组15人．【答案】15人5、某学校组织师生去春游，准备租用如图1示的两种客车。

第六课盈亏问题例：鸡兔同笼，上有40个头，下有100只足。

鸡兔各有多少只？1、极端假设例1.老猴子给小猴子分梨。

每只小猴子分6个梨，就多出12个梨;每只小猴子分7个梨，就少11个梨。

有几只小猴子和多少个梨？梨和小猴子都是固定不变的梨-12=小猴子*6，减少12个梨可以每个猴子分6个梨+11=小猴子*7,增加11个梨可以每个猴子分7个盈亏每只猴子梨的数量多12 6少11 712+1仁23(盈+亏/盈-盈/亏-亏)7-6=1(乘数之差)(12+11) - (7 -6)=23 只猴子6X 23+12=150个梨或者7X 23-1仁150个梨例2.丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。

如果每人分3个，多16个;如果每人分5个，那么就差4个。

有多少小朋友？有多少个苹果？盈亏每人苹果数多163少45(16+4) - (5 -3)=10 个小朋友3X 10+16=46 个苹果例3.北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。

如果每车坐65人，则有15人不乘车。

如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。

一共有几辆汽车？有多少学生？盈亏每车人数多1565少65+5=7065+5=70(15+70) - (70-65)=17 车65X 17+15=1120例4.小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。

如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。

如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又盈亏每人梨数多2*2+4=82少12-(6-4)=104人的数量=(10+8) - (4 -2)=9梨的数量=4*2+2*(9-2)+4=8+14+4=26练习与思考1.若干个同学去划船。

他们租了一些船，如果每船坐4人，则多5人。

如果每船坐5人，则船上有4个空位。

有多少个同学？多少条船？盈亏每船人数多54少4 5(5+4) - (5-4)=9 条船4X 9+5=41 人2.把一袋糖分给小朋友们。

如果每人分10粒糖，粒糖，就有3个小朋友分不到糖。

小学奥数盈亏问题1.普通盈亏问题（★★★）（1）知识点速记：盈亏问题特征：把一定数量的物品平均分给一定数量的人或者事物，由于物品和人数都未定。

已知在两次分配中一次是盈（有余），一次是亏（不足）；或者两次都是有余或者不足，求总人数和物品数。

解题有以下公式：(盈+亏)÷每人两次所得差=人数；两盈相减÷每人两次所得差=人数；两亏相减÷每人两次所得差=人数；每人所得数×人数+盈=物数；每人所得数×人数－亏=物数。

（2）例一：一批苹果，如果15个装一筐，则多出20个，如果20个装一筐，则少15个，求一共有多少筐，一共有多少个苹果？（盈亏）例二：五年级出去旅游，如果50个人坐一车，则多出30人没有位置，如果55人坐一车，则多出10人没有位置。

求一共有多少辆车，一共有多少人？（3）课堂练习：①五一班发练习本，如果每人发8本，则多出15本，如果每人发9本，则少8本，求五一班一共有多少学生，练习本一共有多少本？②旅行团住宿，如果4个人住一个房间，则有8人没有床位，如果5人住一个房间，则有2人没有床位。

求有多少房间，多少人？③水果店进来一批水果，如果每箱放10千克，则缺少2千克装满，如果每箱放12千克，则缺少8千克装满。

求有几个箱子，多少千克水果？2.盈亏问题转化（★★★★）（1）知识点速记：盈亏问题应用题若有部分条件改变，没有出现标准的盈亏形式，此时可以将其转化成标准盈亏问题，然后再使用盈亏问题公式求解。

熟悉方程的同学也可以使用方程求解。

（2）例三：.学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？例四：国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？（3）课堂练习：①妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?②小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？③小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。

第七讲盈亏问题☆你知道吗？《九章算术》里有一道关于买狗的问题：今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。

问人数、犬数各几何？这道题的意思是：现在有几个人合买一条狗，每人出5文钱，还差90文；每人出50文钱，刚够好。

问：有多少人？狗的价钱是多少。

像这类问题在我们生活中经常遇到，如人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈与亏所编成的应用题叫做“盈亏问题”或“盈不足问题”。

☆☆数学思考，我来学【例1】小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友？分多少粒糖？〖思路导航〗：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。

比较两种分配方案：每人4粒，多9粒每人5粒，少6粒在这两种分配方案中，分得的糖果的总数一多一少相差9+6=15（粒）。

相差的原因在于两种分配的方案不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4=1（粒）。

每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1=15（人），糖果的粒数为4×15+9=69（粒）。

解：（9+6）÷（5－4）=15（人）。

4×15+9=69（粒）。

答：有15个小朋友，分69粒糖。

【例2】小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。

问：有多少粒糖？〖思路导航〗：先把题目的条件排列如下：每人10粒正好分完每人16粒3个小朋友分不到（也就是少16×3=48粒）第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3=48（粒），所以盈亏总额是0+48=48（粒），两次分配有小朋友（0+16×3）÷（16－10）=8（人），有糖10 ×8=80（粒）。

【例3】一个小学生从家去上学，起先用每分钟50米的速度步行，走了2分钟以后发现如果这样走下去，他上课就要迟到8分钟，因此随后他就改用每分钟60米的速度前进，结果比上课时间早5分钟到达学校。