正定二次型与正定矩阵共22页

(2) 二次型 XT AX 若正定，经过可逆线性变换 X CY ， 化为Y T (CT AC )Y ，其正定性保持不变。
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (CT AC )Y 正定，也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个dk 0 ，取 yk 1 ，其余 yj 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0,,1,,0) dk 0 ，
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
9
例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正

1 2
=
t + 2 2t + 2 2 3t + 2
= (3t 2 + 4t) > 0.
由 可得
，
2 t 2 > 0 (3t + 4)t < 0
4 <t <0 3
于是当 4 < t < 0 时， f (x1, x2 , x3 ) 为正定 3 二次型．
例5
为可逆矩阵, 设 U 为可逆矩阵 A = UTU, 证明 是正定二次型. f = X AX 是正定二次型
X 1T AX 1 > 0 ，而对另一 3）如果对某向量 X 1 ，有 ）
X 2 ，有 X 2T AX 2 > 0 ，则称该二次型为不定 向量
二次型。矩阵A称为不定矩阵。 二次型。矩阵 称为不定矩阵。 称为不定矩阵
例如
2 2 2 (1) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为正定二次型
( 1)
r
ar 1
> 0, arr
(r = 1,2, , n ).
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
2 5 1 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 2 4 2 它的顺序主子式 5 2 5 2 1 5 > 0, = 1 > 0, 2 2 1 4 2 故上述二次型是正定的. 故上述二次型是正定的
X ，都有 X T AX ≥ 0 2) 如果对于任意非零向量
成立，并且存在某向量X 使得 （或 ≤ 0 ）成立，并且存在某向量 0,使得

正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.

P2


5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,

P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0

4

t2

0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).

24
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
17
a11 As a s1
的行列式.
a1 s , a ss
a11 , An a n1
a1n A . ann
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.

1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn

xA j x j A x i i j，同理， ( xA (x 由于 x j x i 是数量， j x i) i x jx i ) xx j xA j，则 i i x 而A对称，故 xAx 0 ( xx i j) i j
由于 i j ，则 xix j 0
第四章
二次型和正定矩阵
• 在本章中，我们将介绍特征值和特征向量， 然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运 用这些知识来判断二次型的正定性，与此 同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、 迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断 二次型正定性的方法，作为特征值方法的 补充。
第一节 引言
• 二次型 完整形式：
• 定理 如果 A 为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。 例
2 A 2 2 1
2 2 2 A I ( 2 ) ( 1 ) 2 3 21
则 A I 0为二次方程
其两个特征值为 1 0 和 2 3
定理 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正 交。
• 证明 令 i 和 j 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 x i 和 x 。 j 那么有 Axj j xj Axi i xi 分别左乘 x j 和 x i ，有 j xA x x i x j xx i j jA i ix jx i
已知A的两特征值为 1 0 和 2 3
1 0
I)x0得到 Ax 0 由(A 1
即
2 2
2 x1 0 1 x2
由方程可得 x2 2x1，那么 作为特征向量我们取
1 2 2 2 x x 1 3 x 1 x 1 2 1 1 3

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第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次
型。
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例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的， 则C TAC是正定的。
有 f证x TA 因x 为 A0,为作 正x定，C所y,以则 对f任 意y T x(C T 0A , )y C , 由 x 0 及 C 可 ,得 y C 逆 1 x 0 , 从 f 而 x T A x y T ( C T A ) y 0 C ,
定理12 实二次型 f xTAx为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证 设可逆变换 xCy使
n
f(x)f(C)y kyi2. i1
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设 先k 证i 充0分(i性1,2,,n)任 . x 给 0 ,则 C1x 0 ,故
f(x )nkiyi20. i1
当 显 yC 再e 然 e s 时 证s ,必0 (.要这单性与位：假坐用设标反向f 证量正法定) 时。矛，假盾f设(，C 故 有e sk)ki s≤k 00s. , 则0 , 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
及
1z122z22rzr2, (i 0)
则k1,k2,,kr中正数的个 1,数 2,与 ,r中正数的
个数相. 正等数的个数称为正惯性指数，负数的个数

下面求 A 5E .
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,

所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5（矩阵正定的必要条件）
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵，
证明： 因为A正定，所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性：设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性： f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.
解
A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P

1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0

小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x＝Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定，所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面，由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x＝Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性，若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意：正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为：| A | 由|A|>0，所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA（k为正数），A*

北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1

【解析】要注意首先要说明 AT A 是实对称矩阵.
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定

证 设A为实对称阵,A必正交合同于对 角形矩阵
1
B
2
,
n
其中λi(i=1,2,…,n)是A的全部特征值.A正定 ， 的充要条件是B正定.B对应的二次型
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
， 显见它正定的充要条件是λi>0,(i=1,2,…,n). 由于B=QTAQ=Q-1AQ,故A与B还是相
事实上,设f(x1,…,xn)是正定的,则g(y1,…,yn) 也是正定的.任给y1,y2,…,yn一组不完全为 零的实数值
y1 c1, y2 c2 ,, yn cn
，
将它代入X = CY得到x1,x2,…,xn的一组对应 值 ，
x1 b1, x2 b2 , , xn bn
它们的关系为
对应的实对称矩阵A称为半正定矩阵; f(c1,c2,…,cn)＜0,称 f 为负定二次型,
对应的实对称矩阵A称为负定矩阵； f(c1,c2,…,cn)≤0,称 f 为半负定二次型,
对应的实对称矩阵A称为半负定矩阵. 若 f 非半正定,也非半负定,称 f 为不
定的二次型,相应的矩阵A称为不定矩阵.
易见半正定矩阵包括了正定矩阵在内,
f (x1,, xn ) x12 x22 xn2
是正定的.因为不论x1,x2,…,xn取什么实数, 只要它们不全为零,就一定大于零;反之亦
然.但如果二次型不是规范形,就不是很容 易观察出来了.此时我们可以用非退化线 性替换将其化为规范形.然而这样做的时 候,正定性是否保持不变?
由惯性定理可知,实二次型经过非退
x2 4
为正定二次型的λ的取值范围.
解 f 对应的实对称矩阵为