章末复习(一)一元二次方程

一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

第一章 一元二次方程章末小结【知识点一】一元二次方程判定（选填）1、下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）（1）02=++c bx ax （2）0322=-+y x（3）0312=++x x（4）12=x （5）()01122=+++ax x a 【知识点二】从隐含条件对答案进行筛选1、若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是1.1、当m_____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.1.2若关于x 的一元二次方程2kx 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____1.3、若关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值等于2、已知方程()031222=+--m x m x 的两个根互为相反数，则m 的值是（ ） （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m3、的值，求等于的两个实数根的平方和的方程已知关于k k x k x 602)1(x 2=+++-3、【知识点三】判别式的四种常见题型1、不解方程判断一元二次方程的根的情况20152=+-x x2、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程b(x ２－1)－2ax ＋c(x ２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状2.1设c b a ,,是ABC ∆三边的长，且关于x 的方程()())0(0222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ∆是直角三角形。

3、求证：k 为何实数，方程()()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。

【知识点四】与几何的关系1、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）2、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是3、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为【知识点五】根据根的定义来求代数式的值1、若的根，是方程012=-+x x a 则2006222++a a 的值为 ．1.1、已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值1.2、已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b). 求a 2b ＋ab 2的值.2、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1），求此公共解；（2）求非 公共解之和。

【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

一元二次方程章末复习题一、单选题1．下列各式是一元二次方程一般形式的是（ ）． A ．2210x -= B ．22x x +=C ．2562x x =-D ．(2)0x x -=2．若方程()210m x x m -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．0m ≠B ．1m ≠C ．0m >D ．1m >3．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程213360x x -+=的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（ ） A ．13B ．18C ．22D ．264．方程2450x x -+=的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根 B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根5．用因式分解法解方程x 2+px ﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x +3，则p 的值是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．56．共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A 型号的单车，二期又投放了B 型号的单车．已知B 型号的单车的单价比A 型号的单价提高的百分率是B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．132x +=B ．(1)(12)2x x ++=C ．(1)(12)3x x ++=D ．(1)(1)22xx ++=7．我国古代数学著作《增减算法统宗〉记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”，其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积垥好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x 步，则列出的方程是（ ）A ．223722x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．223722x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．22(3)72x x π+-=D ．22(6)72x x π+-=8．已知两个关于x 的一元二次方程M ：20ax bx c ++=；N ：20cx bx a ++=，其中0ac a c ≠≠，，有下列三个结论：①若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根； ①若6是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根；①若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是 1.x =其中正确结论的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．设一元二次方程（1x +）（3x -）=m （m ＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ） A ．-1＜α＜β＜3 B ．α＜-1且β＞3C ．α＜-1＜β＜3D ．-1＜α＜3＜β10．若四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足()()20122012201220122012a ca d --=，()()20122012201220122012bc bd --=，则20122012()()ab cd -的值为（ ）A ．2012-B ．2011-C ．2012D ．2011二、填空题11．若x =1是关于x 的方程2230x ax +-=的一个根，则a = ；12．把一元二次方程（x ﹣2）2﹣x ＝7x +6化为一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 ．13．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣（2m +1）x +m +2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．14．已知关于x 的方程()()2385210mm m x m x m ---++-=是一元二次方程，则m = ．15．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润月增长的百分率相同，则这个百分率为 ．16．如图，在一幅长为60dm 宽为40dm 的庆祝中华人民共和国成立70周年的矩形宣传海报四周，镶上宽度相同的金色纸边，制成幅矩形挂图． 若要使整个挂图的面积为22709dm ，设纸边的宽为,xdm 则可列出方程为 ．17．已知正整数,x y 满足：2271,880xy x y x y xy ++=+=，则22x y +值为 ． 18．如图，将图1的正方形的纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图2无缝隙、不重叠的矩形，则ba＝ ．三、解答题 19．解方程： （1）22430y y --= （2）()()3260x x x +-+=．20．已知关于x 的一元二次方程()230x a x a ---=．（1）求证：无论a 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程两根的平方和为21，求a 的值．21．如果31m x =+，29m y =+，那么用x 的代数式表示y ，当228=0x x --时，求y 的值．22．提出问题：为解方程42340x x --=，我们可以令2x y =，于是原方程可转化为2340y y --=，解此方程，得124,1y y ==-（不符合要求，舍去）． 当14y =时，24,2x x ==±． ∴原方程的解为122,2x x ==-．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题：运用上述换元法解方程：()()2222132420x x ---+=．23．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品x．（粘贴连接处忽略不计）四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为cm(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积cm．（用含x．．为______2的代数式表示）(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为21100cm，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．24．如图，将边长为4 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A'B'C'．（1）当两个三角形重叠部分的面积为3 时，求移动的距离AA'；（2）当移动的距离AA'是何值时，重叠部分是菱形．。

《一元二次方程 》 复习课时间： 学生：一、【自主自查】1．关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程，则a =__________.2．方程20x x -=的解是______________；方程2(3)5(3)x x x -=-的解是______________。

3．如果1x =-是方程210x mx +-=的一个根，那么m 的值为______________。

4．填上适当的数，使等式成立：+-x x 52＝x (－ 2)． 5．当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ．6．若22340a ab b --=（0≠b ）,则ab=_________。

7．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。

8．解下列方程：（1）23(21)12x += （2）223(2)4x x -=-9．先用配方法说明：不论x 取何值，代数式257x x -+的值总大于0。

再求出当x 取何值时，代数式257x x -+的值最小？最小是多少？10．某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？二、【自主梳理】（知识、方法、易错）——思维导图三、【试题练析】（课堂完成）1．若t 是一元二次方程20(0)++=≠ax bx c a 的根，则判别式Δ24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的大小关系是 。

2．已知关于x 的一元二次方程210x kx +-=。

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值。

3．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

专题01 一元二次方程章末重难点题型【举一反三】 【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③13x x+=；④22(1)0a a x a ++-=； ⑤11x x +=-．一元二次方程的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【答案】解：①ax 2+x +2＝0，当a ＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x ﹣9）2﹣（x +1）2＝1、④（a 2+a +1）x 2﹣a ＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x +3＝属于分式方程，故错误；⑤＝x ﹣1属于无理方程，故错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，则( )A ．0a >B ．0a ≠C ．1a ≠D ．1a =【分析】根据“关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣3x +2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a ﹣1≠0，解之即可．【答案】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣3x +2＝0是一元二次方程，∴a ﹣1≠0，a ≠1，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程||(2)4310m m x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则()A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【答案】解：由题意得：|m |＝2且m +2≠0，由解得得m ＝±2且m ≠﹣2，∴m ＝2．故选：B ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于x 的方程21(1)230mm x x +++-=是一元二次方程，则m 的值为() A ．1 B ．1- C ．1± D ．不能确定【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】解：∵关于x 的方程（m +1）x+2x ﹣3＝0是一元二次方程，∴m +1≠0，m 2+1＝2，解得：m ＝1．故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，那么m 的值是( )A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-【分析】把x ＝0代入方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．【答案】解：把x ＝0代入方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0中，得m 2﹣9＝0，解得m ＝﹣3或3，当m ＝3时，原方程二次项系数m ﹣3＝0，舍去，故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242019m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2﹣2m ＝1，再把2m 2﹣4m +2019表示为2（m 2﹣2m ）+2019，然后利用总体代入的方法计算．【答案】解：∵m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，∴m 2﹣2m ﹣1＝0，∴m 2﹣2m ＝1，∴2m 2﹣4m +2019＝2（m 2﹣2m ）+2019＝2×1+2019＝2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了总体代入的计算方法．【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a ，b ，c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是( )A ．1，0B ．1-，0C ．1，1-D ．无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【答案】解：在这个式子中，如果把x ＝1代入方程，左边就变成a +b +c ，又由已知a +b +c ＝0可知：当x ＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C ．【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）m 是方程210x x +-=的根，则式子3222018m m ++的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【分析】由m 是方程的根，可得m 2+m ＝1，变形m 3+2m 2+2018为m 3+m 2+m 2+2018，然后整体代入得结果【答案】解：∵m 是方程x 2+x ﹣1＝0的根，∴m 2+m ＝1∵m 3+2m 2+2018＝m 3+m 2+m 2+2018＝m （m 2+m ）+m 2+2018＝m +m 2+2018＝1+2018＝2019．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m 的等式，变形m 3+2m 2+2018后整体代入．【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：（1）24(1)360x --=（直接开平方法）（2）22510x x -+= （配方法）（3）(1)(2)4x x +-=（公式法）（4）2(1)(1)0x x x +-+=（因式分解法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】解：（1）方程变形得：（x ﹣1）2＝9，开方得：x ﹣1＝3或x ﹣1＝﹣3，解得：x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）方程变形得：x 2﹣x ＝﹣，配方得：x 2﹣x +＝（x ﹣）2＝，开方得：x ﹣＝±， 则x 1＝，x 2＝； （3）方程整理得：x 2﹣x ﹣6＝0，这里a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x ＝，则x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）分解因式得：（x +1）（2﹣x ）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：（1）2670x x --=（配方法）（2）226(3)x x -=-（因式分解法）（3）23410x x -+=（公式法）（4）25(1)10x +=（直接开平方法）【分析】（1）利用配方法解出方程；（2）利用因式分解法解出方程；（3）利用公式法解出方程；（4）利用直接开平方法解出方程．【答案】解：（1）x 2﹣6x ﹣7＝0x 2﹣6x +9＝7+9（x ﹣3）2＝16x ﹣3＝±4x 1＝7，x 2＝﹣1；（2）2x ﹣6＝（x ﹣3）2（x ﹣3）（x ﹣3﹣2）＝0x 1＝3，x 2＝5；（3）3x 2﹣4x +1＝0x ＝x 1＝1，x 2＝；（4）5（x +1）2＝10x +1＝±x 1＝﹣1，x 2＝﹣﹣1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：（1）21(21)3202x --=（直接开平方法） （2）23410x x ++=（配方法）（3）270x x --=（公式法） （4）2133x x -=-（因式分解法）【分析】（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；（2）利用配方法解方程求得答案；（3）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；（4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【答案】解：（1））（2x ﹣1）2﹣32＝0整理，得（2x ﹣1）2＝64，2x ﹣1＝±8， 解得：x 1＝，x 2＝﹣；（2）3x 2+4x +1＝03x 2+4x ＝﹣1，x 2+x ＝﹣，x 2+x +＝﹣+，（x +）2＝x +＝±，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣1；（3）x 2﹣x ﹣7＝0b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，x ＝， 解得：x 1＝，x 2＝；（4）x 2﹣1＝3x ﹣3，x 2﹣1﹣3x +3＝0，（x +1）（x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）（x +1﹣3）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝2．【点睛】本题考查了利用解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．【变式3-3】（2019秋•泰州月考）按照指定方法解下列方程：（1）2(21)9x -= （用直接开平方法）（2）22980x x -+= （用配方法）（3）2230x x --= （用求根公式法）（4）7(52)6(52)x x x +=+（用因式分解法）【分析】（1）直接利用开平方法解方程；（2）先变形为x 2﹣x ＝﹣4，然后利用配方法解方程；（3）利用求根公式法解方程；（4）先移项得到7x （5x +2）﹣6（5x +2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【答案】解：（1）2x ﹣1＝±3，所以x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 2﹣x ＝﹣4，x 2﹣x +＝﹣4+， （x ﹣）2＝，x ﹣＝±，所以x 1＝+，x 2＝﹣；（3）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16，x ＝，所以x 1＝3，x 2＝﹣1；（4）7x （5x +2）﹣6（5x +2）＝0，（5x +2）（7x ﹣6）＝0，5x +2＝0或7x ﹣6＝0，所以x 1＝﹣，x 2＝．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程．【考点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【例4】（2019春•阜阳期中）已知关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10a x a x a ---++=有两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a 为最大的正整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a 的范围；（2）将a 的值代入得出方程，解之可得．【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a ﹣1）2﹣4（a ﹣2）（a +1）≥0，解得：a ≤3，∴a ≤3且a ≠2；（2）由题意知a ＝3，则方程为x 2﹣4x +4＝0，解得：x 1＝x 2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 的关系是解答此题的关键．【变式4-1】关于x 的一元二次方程为22(2)0x x m m --+=（1）求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正数．【分析】（1）先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m +1）2，然后证明△≥0即可；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，则m +2＞0且﹣m ＞0，解得﹣2＜m ＜0，然后找出此范围内的整数即可．【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m （m +2）]＝4m 2+8m +4＝4（m +1）2，∵4（m +1）2≥0，∴△≥0，∴无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）解：x ＝＝1±（m +1），所以x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，根据题意得m +2＞0且﹣m ＞0，所以﹣2＜m ＜0，所以整数m 为﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（2019春•西湖区校级期中）已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：方程222222()0a x a c b x c -+-+=没有实数根．【分析】求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．【答案】解：∵a ，b ，c 为△ABC 的三边长，∴a 2≠0．∴△＝（a 2+c 2﹣b 2）2﹣4a 2c 2＝（a 2+c 2﹣b 2+2ac ）（a 2+c 2﹣b 2﹣2ac ）＝[（a +c ）2﹣b 2][（a ﹣c ）2﹣b 2]，＝（a +b +c ）（a +c ﹣b ）（a ﹣c +b ）（a ﹣c ﹣b ），又∵三角形任意两边之和大于第三边，∴a +b +c ＞0，a +c ﹣b ＞0，a ﹣c +b ＞0，a ﹣c ﹣b ＜0．∴（a +b +c ）（a +c ﹣b ）（a ﹣c +b ）（a ﹣c ﹣b ）＜0．∴△＜0．∴原方程没有实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．【变式4-3】（2018秋•宜昌期末）已知228160(0)x x m m -+-=≠是关于x 的一元二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长6a =，另两边长b 、c 是该方程的两个实数根，求ABC ∆的面积．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m 2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，讨论：当b ＝a ＝6时，即4+m ＝6，解得m ＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC 的面积；当c ＝a 时，即4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，利用同样方法计算△ABC 的面积．【答案】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m 2）＝4m 2，∵m ≠0，∴m 2＞0，∴△＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，当b ＝a 时，4+m ＝6，解得m ＝2，即a ＝b ＝6，c ＝2，底边上的高为＝，所以△ABC 的面积＝×2×＝；当c ＝a 时，4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，底边上的高为＝，所以△ABC 的面积＝×2×＝，即△ABC 的面积为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学 知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【例5】（2018秋•江汉区月考）已知1x ，2x 是方程23350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）2212x x +（2）1211x x + 【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2．（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．【答案】解：∵x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣．（1）x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝12+2×＝．（2）＝＝＝﹣． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式5-1】（2018秋•北湖区校级月考）已知m ，n 是方程220140x x --=的两个实数根，求下列代数式的值．（1）22015m m -+；（2）22014()(1)m m m m--+； （3）222014m m n --+．【分析】根据根与系数的关系可得：m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014．（1）将m 2﹣m ＝2014代入m 2﹣m +2015中，即可求出结论；（2）将m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014代入（m 2﹣m ）（m ﹣+1）＝（m 2﹣m ）×（m +n +1）中，即可求出结论；（3）将m +n ＝1，m 2﹣m ＝2014代入m 2﹣2m ﹣n +2014＝（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014中，即可求出结论．【答案】解：∵m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2014＝0的两个实数根，∴m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014．（1）m 2﹣m +2015＝2014+2015＝4029；（2）（m 2﹣m ）（m ﹣+1）＝（m 2﹣m ）×（m +n +1）＝2014×2＝4028； （3）m 2﹣2m ﹣n +2014＝（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系找出m 2﹣m ＝2014；（2）将（m 2﹣m ）（m ﹣+1）变形为（m 2﹣m ）×（m +n +1）；（3）将m 2﹣2m﹣n +2014变形为（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014．【变式5-2】（2018秋•江都区校级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k +++=的两个实根，是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣1，x 1x 2＝，然后把x 1+x 2、x 1x 2代入（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣中，进而可求k 的值；【答案】解：不存在，理由：假设成立，∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2+4kx +k +1＝0的两个实根，∴△＝16k 2﹣4×4k （k +1）＝﹣16k ≥0，且k ≠0∴k ＜0， ∵x 1、x 2是一元二次方程4kx 2﹣4kx +k +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣1，x 1x 2＝， ∴（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2x 12﹣4x 1x 2﹣x 1x 2+2x 22＝2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝2×（﹣1）2﹣9×＝2﹣，∵（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣，∴2﹣＝﹣，∴k ＝，∵k ＜0， ∴不存在这样k 的值，使（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣成立【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系．【变式5-3】（2018秋•龙湖区校级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根，且1x ，2x 恰好是ABC ∆另外两边的边长，已知等腰ABC ∆的一边长为7，求这个三角形的周长．【分析】分类讨论：若x 1＝7时，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+5＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，由根与系数的关系得x 1+x 2＝2（m +1）＝22，解得x 2＝15，根据三角形三边的关系，m ＝10舍去；当m ＝4时，x 1+x 2＝2（m +1）＝10，解得x 2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x 1＝x 2，则m ＝2，方程化为x 2﹣6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝3，根据三角形三边的关系，m ＝2舍去．【答案】解：∵x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，而等腰△ABC 的一边长为7，∴x ＝7必是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+5＝0的一个解，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+5＝0，整理得m 2﹣14m +40＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，x 1+x 2＝2（m +1）＝22，解得x 2＝15，而7+7＜15，故舍去；当m ＝4时，x 1+x 2＝2（m +1）＝10，解得x 2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x 1＝x 2，则m ＝2，方程化为x 2﹣6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，难度适中．【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。

专题2.10 一元二次方程章末重难点突破【考点1 一元二次方程的概念】【例1】（2020秋•奈曼旗月考）关于x 的方程（m 2﹣16）x 2+（m +4）x +2m +3＝0，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程．【变式1-1】（2021秋•武邑县校级月考）已知关于x 的方程(m −3)x m2−2m−1−（m +1）8x +2＝0是一元二次方程，则m ＝ ．【变式1-2】关于x 的方程（k 2﹣6k +12）x 2＝3﹣（k 2﹣9）x 是一元二次方程的条件是k ．【变式1-3】（2021•广东）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0（b ，c 为常数）的两根x 1，x 2满足﹣3＜x 1＜﹣1，1＜x 2＜3，则符合条件的一个方程为 【考点2 一元二次方程的解】【例2】（2021•武汉模拟）已知a 是方程x 2+x ﹣2021＝0的一个根，则2a 2−1−1a 2−a的值为（ ）A ．2020B ．2021C ．12020D ．12021【变式2-1】（2021•三台县一模）设方程x 2+x ﹣1＝0的一个正实数根为a ，2a 3+a 2﹣3a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣3【变式2-2】（2021春•拱墅区校级月考）若a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根，则﹣a 3+2a +2020的值为 ． 【变式2-3】（2021春•海淀区校级期末）已知x 2﹣4x +1＝0，则x 22x 4−x 2+2的值为 ．【考点3 解一元二次方程】【例3】（2020秋•武侯区校级月考）解方程：（1）2（x +1）2−92=0； （2）（x +1）（x ﹣3）＝﹣2；（3）x （x +3）＝5（x +3）； （4）（2x +1）2﹣3（2x +1）﹣28＝0．【变式3-1】（2020秋•孟津县校级月考）解方程：（1）（x +1）（x ﹣1）=2√2x ； （2）（2x ﹣1）2+3（2x ﹣1）+2＝0；（3）14x 2+52x ﹣6＝0； （4）4（x ﹣2）2﹣（3x ﹣1）2＝0．【变式3-2】（2020春•莱芜区月考）解下列方程（1）x 2+12x +27＝0（配方法）； （2）x （5x +4）＝5x +4；（3）（3x +2）（x +3）＝x +14； （4）（x +1）2﹣3（x +1）+2＝0．【变式3-3】（2021秋•恩阳区 月考）解方程：①x 2+（√3+√2）x +√6=0（因式分解法） ②5x 2+2x ﹣1＝0（公式法）③y 2+6y +2＝0（配方法） ④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法） ⑤x+1x 2−2x 2x+1=1（换元法） ⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【考点4 根的判别式综合】【例4】（2021春•西湖区期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +14m ＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b ，令y ＝4b 2﹣4b ﹣3m +3，则（ ） A ．y ＞﹣1B ．y ≥﹣1C ．y ≤1D ．y ＜1【变式4-1】（2021春•滨江区期末）关于x 的一元二次方程ax 2+2ax +b +1＝0（a •b ≠0）有两个相等的实数根k （ ） A ．若﹣1＜a ＜1，则ka＞kbB ．若k a＞kb，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a＜kbD ．若k a＜kb，则0＜a ＜1【变式4-2】（2020秋•呼和浩特期末）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣4x ﹣5＝0． （1）求证：当m ＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；（2）已知x ＝n 是它的一个实数根，若mn 2﹣4n +m ＝3+m 2，求m 的值．【变式4-3】（2020秋•大余县期末）已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x ＝﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【考点5 根与系数的关系综合】【例5】（2020秋•武侯区校级月考）已知α、β为方程x 2+4x +2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝ ． 【变式5-1】（2021•常州模拟）若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则b−1a−1+a−1b−1的值为 ．【变式5-2】（2021春•叶集区期末）已知一元二次方程x 2−√5x +12=0两个根为a ，b ，求下列各式的值． （1）ab+ba ； （2）a 2+√5b +32．【变式5-3】（2020秋•乐清市月考）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2+1＝0． （1）若方程有两实数根，求m 的范围；（2）设方程两实根为x 1，x 2，且|x 1|+|x 2|＝x 1x 2，求m ．【考点6 一元二次方程中的新定义问题】【例6】（2020秋•句容市期中）定义：我们把关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0与cx 2+bx +a ＝0（ac ≠0，a ≠c ）称为一对“友好方程”．如2x 2﹣7x +3＝0的“友好方程”是3x 2﹣7x +2＝0． （1）写出一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的“友好方程” ．（2）已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1＝2，x 2＝﹣4，它的“友好方程”的两根x 3=12、x 4＝ ．根据以上结论，猜想ax 2+bx +c ＝0的两根x 1、x 2与其“友好方程”cx 2+bx +a ＝0的两根x3、x 4之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论．（3）已知关于x 的方程2020x 2+bx ﹣1＝0的两根是x 1＝﹣1，x 2=12020．请利用（2）中的结论，写出关于x 的方程（x ﹣1）2﹣bx +b ＝2020的两根为 ．【变式6-1】（2020秋•灌云县期中）定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2（x 1＜x 2），分别以x 1，x 2为横坐标和纵坐标得到点M （x 1，x 2），则称点M 为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x 2﹣2x ＝0．写出该方程的衍生点M 的坐标．（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m ﹣1）x +m 2﹣2m ＝0求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；（3）是否存在b 、c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的衍生点M 始终在直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）的图象上，若有，请求出b ，c 的值；若没有，说明理由．【变式6-2】若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根，则有：x 1+x 2=−ba，x 1•x 2=c a，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2﹣1＝0的两不相等的根分别为x 1，x 2，且满足：|x 1+x 2|＝x 1x 2，求k 的值；（2）若α，β是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根，记S 1＝α+β，S 2＝α2+β2，…，S n ＝αn +βn ， ①计算S 1，S 2；②当n 为不小于3的整数时，证明：S n ﹣2+S n ﹣1＝S n ； ③求（1+√52）7+（1−√52）7的值．【变式6-3】（2021•无棣县一模）（1）已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k +1）x +k 2+2＝0的两实根，且（x 1+1）•（x 2+1）＝8，求k 的值．（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个实数根，设s 1＝α+β，s 2=α2+β2，…，s n =αn +βn ．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s 2﹣s 1﹣2＝0．根据以上信息，解答下列问题：①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s 1，s 2的值． ②猜想：当n ≥3时，s n ，s n ﹣1，s n ﹣2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性． （注：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0若有两根x 1，x 2，则有x 1+x 2=−ba ；x 1⋅x 2=ca ）【考点7 一元二次方程的实际应用】【例7】（2021春•成都期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．【变式7-1】（2020秋•渝中区期末）2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的14，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？【变式7-2】（2020•夷陵区模拟）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．①分别求出他们三人号召的成功率；②求出n的值．【变式7-3】（2020秋•雁江区期末）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．【考点8 一元二次方程与几何综合】【例8】（2020秋•鼓楼区期中）如图，在一块矩形ABCD 的草坪上有两条部分重叠的平行四边形（▱AEFH 、▱BFHG ）小路，小路进出口的宽AE 、BG 、FH 均为2m ，小路的边EF 、GH 与AB 所成的夹角均为60°，小路的面积是整个矩形面积的38，设AB 长为xm ．（1）EF 与GH 的交点记为P ，△PHF 的面积为 m 2．（2）用含x 的代数式分别表示线段BE 、BC 的长（直接写出答案，不必说明理由）； （3）求x 的值．【变式8-1】（2021春•嘉兴期末）如图1，将一块形状为矩形的空地ABCD 修建成一个花圃，其中AB ＝12米，BC ＝20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH ）组成．（1）若环形小道面积是花圃面积的14，求小道的宽度．（2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I ，J ，K 分别在边EH ，EF ，FG 上，L 为花圃内一点，四边形HIJL 和四边形GLJK 均为平行四边形．已知KG 的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL 与四边形GLJK 的面积之和是花圃面积的27500，求小道的宽度．【变式8-2】（2021•宿迁三模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点B 出发沿线段BC 、CD 以2cm /s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD 、DA 以1cm /s 的速度向终点A 运动（P 、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【变式8-3】（2020秋•晋安区期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB ＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）写出数轴上点B表示的数为，P所表示的数为（用含t的代数式表示）；（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？（3）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF 如图2所示．求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半？请直接写出结论：t＝秒．。

章末复习一、不等式性质的应用1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例1 下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b 答案 D解析 选项A 中，当c ＝0时不符，所以A 项错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，符合a 2>b 2，不满足a >b ，B 项错； 选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 项错；选项D 中，因为0≤a <b ，由不等式的可乘方性，(a )2<(b )2，即a <b .故选D. 反思感悟 利用特殊值进行排除更直接，有利于提高解题速度． 跟踪训练1 设a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋1a ≥2B ．a 2＋b 2≥2abC ．a ＋b ＋1a ＋b ≥2D.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b答案 D解析 可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令a ＝b ＝1， 则1a ＋1b ＝2,2＋2a ＋b＝3，故D 不正确．二、解不等式1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}．反思感悟 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练2 若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， (1)求a 的值；(2)求不等式1－axx ＋1>a ＋5的解集．解 (1)依题意，可得ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧12×2＝－2a，12＋2＝－5a ，解得a ＝－2.(2)将a ＝－2代入不等式，得1＋2x x ＋1>3，即1＋2xx ＋1－3>0， 整理得－(x ＋2)x ＋1>0，即(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－2<x <－1，则不等式的解集为{x |－2<x <－1}．三、基本不等式的应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．3＋ 2答案 C解析 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋1b的最小值是3＋2 2. (2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 2答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc≥4＋22b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2b c＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc ，即a ＝c ＝1－22，b ＝2－12时，等号成立． 反思感悟 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．跟踪训练3 已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即yx＝ba时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 四、不等式在实际问题中的应用不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．例4 某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x 的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解 (1)根据题意， 有100⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1≥1 500， 即5x 2－14x －3≥0，得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u 元， 则u ＝24 000⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2，1≤x ≤10， 记y ＝－3x 2＋1x ＋5(1≤x ≤10)，则y ＝－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋112＋5(1≤x ≤10)， 当x ＝6时，y 取得最大值6112，此时u ＝24 000×6112＝122 000，故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元．反思感悟 认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．跟踪训练4 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，写出公园ABCD 所占面积S 与x 的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则长A 1B 1为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S ＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >－1}答案 B解析 方法一 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根．由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋bx ＋a <0的解集即为2x 2＋x －1<0的解集，是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 方法二 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根． 分别把x ＝－1,2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 2．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 B ．a 3＋b 3>2ab 2 C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b答案 B解析 当a ＝b 时，a 3＋b 3＝2ab 2， 故a 3＋b 3>2ab 2不恒成立，故选B.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3答案 B解析 ∵x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立， ∴ax ≥－x 2－1在0<x ≤2上恒成立．∴a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ，0<x ≤2， ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取“＝”， ∴a ≥－2，故选B.4．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 y ＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a (x >0，a >0)， 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y min ＝4a .又由已知x ＝3时，y min ＝4a .∴a2＝3，即a ＝36. 5．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是________． 答案433解析 由题意，可知x 1，x 2是方程x 2－4ax ＋3a 2＝0的两个根，则x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时，等号成立．。