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全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题汇总及答案

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全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题汇总及答案

一、二次函数

1．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．

【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解；

（2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；

（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获得最大利润．

【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：2001530010kbkb，

解得：20500kb，

即：函数的表达式为：y＝﹣20x+500，（x≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大，

则：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），

∵﹣20＜0，故w有最大值，

当x＝﹣2ba＝312＝15.5时，w的最大值为1805元；

（3）当x＝15.5时，y＝190， 50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w，

由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，

w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），

当x＝13时，w＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

2．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0 为该函数的“不变值”.

（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；

（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.

【答案】（1）－1，3；（2）0

【解析】

【分析】

（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据xo是函数y的一个不动点的定义，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，然后解此一元二次方程即可；

（2）根据xo是函数y的一个不动点的定义得到axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，整理得ax02+bxo+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.

（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

【详解】

解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，解得xo=-1或xo=3，所以函数y的不动点为-1和3；

（2）因为y=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，即ax02+bxo+（b-1）=0，

因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0

（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2ba A，B的中点的坐标为（1212,22xxxx ），即M（,22bbaa ）

A、B两点关于直线y=kx-2a+3对称，

又∵A，B在直线y=x上，

∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx-2a+3上.

∴ba=ba -2a+3 得：b=2a2-3a

所以当且仅当a=34

时，b有最小值－98

【点睛】

本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.

3．如图，在平面直角坐标系中，直线483yx与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物线24yaxaxc经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为228833yxx；

（2）t的值为3011或5013；

（3）t的值为103或6017或258；

（4）符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知36240{8aacc，解得2{38ac，

∴228833yxx.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①当△ADE∽△AOB时，ADAEAOAB，∴102610tt，∴3011t；

②当△AED∽△AOB时，AEADAOAB，∴102610tt，∴5013t；

综上所述，t的值为3011或5013.

(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴103t；

②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=31025t，∴61025tt，∴6017t；

③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=35t，∴61025tt，∴258t；

综上所述，t的值为103或6017或258.

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴8FByy，求得x=4，∴F（4，8）；

②当AD为对角线时，则8FByy，∴2288833xx，解得227x，∵x﹥0，∴227x，∴227,8.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

4．如图1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90°，EF＝3，PF＝6，△PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上．现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）如图1，连接PD，填空：PE＝

，∠PFD＝ 度，四边形PEAD的面积是 ；

（2）如图2，当PF经过点D时，求△PEF运动时间t的值；

（3）在运动的过程中，设△PEF与△ABD重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．

【答案】（1）300，9+932；（2）3；（3）见解析.

【解析】

分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE的长，再根据梯形的面积公式求解.

（2）当PF经过点D时，PE∥DA，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得AF=t=3；

（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t＜3时，②3≤t＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S与t的函数关系式即可.

详解：（1）∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6

∴sin∠P=1=2EFPF

∴∠P=30°

∵PE∥AD

∴∠PAD=300，

根据勾股定理可得PE=33，

所以S四边形PEAD=12×（33+3）×3=9932；

（2）当PF经过点D时，PE∥DA，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，

在Rt△ADF中，由AD=3，得AF=3，所以t=3 ；

（3）分三种情况讨论：

①当0≤t＜3时， PF交AD于Q，∵AF=t，AQ=3t，∴S=12×t×3t=32t；

②当3≤t＜3时，PF交BD于K，作KH⊥AB于H，∵AF=t，∴BF=33-t，S△ABD=932，

∵∠FBK=∠FKB，∴FB=FK=33-t，KH=KF×sin600=9-32t,∴S=S△ABD﹣S△FBK

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备战中考数学二次函数-经典压轴题含详细答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，过A1,0、B3,0作x轴的垂线，分别交直线y4x于C、D两点.抛物线2yaxbxc经过O、C、D三点．

1求抛物线的表达式；

2点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

3若AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

【答案】（1）2413yxx33；（2）32或3322或3322；（3）13．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|43x2﹣4x|；解方程|43x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S16（t﹣1）213；当t=1时，s有最大值为13．

【详解】

（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，∴3931abab，解得43133ab，∴抛物线的表达式为：y43x2133x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k13，∴直线OD解析式为y13x．

设点M的横坐标为x，则M（x，13x），N（x，43x2133x），∴MN=|yM﹣yN|=|13x﹣（43x2133x）|=|43x2﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3，∴|43x2﹣4x|=3．

中考数学二次函数专题复习超强整理

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初三——二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三

2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图 C

P x O A B y

变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数系数问题(解析版)

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专题03 二次函数系数问题

【知识点梳理】

1、二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号 图象的特征

a a>0 开口向上

a<0 开口向下

b b=0 对称轴为y轴

ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧

ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧

c c=0 经过原点

c>0 与y轴正半轴相交

c<0 与y轴负半轴相交

b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）

b2–4ac>0 与x轴有两个交点

b2–4ac<0 与x轴没有交点

2、常用公式及方法：

（1）二次函数三种表达式：

表达式 顶点坐标 对称轴

一般式 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (−𝑏2𝑎,4𝑎𝑐−𝑏24𝑎) 𝑥=−𝑏2𝑎

顶点式 𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘 (ℎ,𝑘) 𝑥=ℎ

交点式 𝑦=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) (𝑥1+𝑥22,−𝑎(𝑥1−𝑥2)24) 𝑥=𝑥1+𝑥22

（2）韦达定理：若二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象与x轴有两个交点且交点坐标为（𝑥1，0）和（𝑥2，0），则𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑐𝑎。

（3）赋值法：在二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，令𝑥=1，则𝑦=𝑎+𝑏+𝑐；令𝑥=−1，则𝑦=𝑎−𝑏+𝑐；令𝑥=2，则𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐；令𝑥=−2，则𝑦=4𝑎−2𝑏+𝑐；利用图象上对应点的位置来判断含有𝑎、𝑏、𝑐的关系式的正确性。

【典例分析】 【例1】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a-b=0；⑥b2-4ac＞0．下列结论一定成立的是

【答案】①②③⑥

【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，

备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；

（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．

【解析】

试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010bcbc，解得43bc，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．