备战中考数学二次函数综合题汇编含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203aacc， 解得：13ac，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以点G的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，

过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴G′D=3B′D=3m，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），

将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

24043mkkm，

解得：1104mk（舍），2231mk，

∴k=1；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，

∴△AOQ≌△PQN，

如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ≌△PQN，

∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，

∴∠MOQ=∠HQN， ∴△OQM≌△QNH（AAS），

∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，

解得：x=1132（负值舍去），

当x=1132时，HN=QM=﹣x2+2x+2=1312，点M（1132，0），

∴点N坐标为（1132+1312，﹣1），即（13，﹣1）；

或（1132﹣1312，﹣1），即（1，﹣1）；

如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

综上点M1（1132，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.

2．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．

(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；

(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；

(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）假；（2）22；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．

【解析】

分析：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；

（2）根据“抛物线三角形”定义得到22yx，由此可得出结论；

（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，

由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122bb，解方程即可得到结论；

（4）分两种情况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．

详解：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；

（2）由题意得：22yx，令y=0，得：x=2，∴ S=12222=12xx；

（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．

∵y＝－x2＋2bx=22()xbb，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122bb，∴2bb，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，

∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．

（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．

∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），

则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即(2)2aaa．

∵a－2≠0，∴1a，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．

②当抛物线为y＝－x2－2x 时．

∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），

则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即(2)2aaa．

∵a+2≠0，∴1a，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．

综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）． 点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．

3．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

【答案】（1）y＝180(4060)3300(6090)xxxx；（2）W＝222105400(4060)33909000(6090)xxxxxx;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．

【解析】

【分析】

（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；

（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；

（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．

【详解】

解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，

将（40，140），（60，120）代入得4014060120kbkb，

解得：1180kb，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；

当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（90，30），（60，120）代入得903060120mnmn，

解得：3300mn，

∴y＝﹣3x+300；

综上所述，y＝180(4060)3300(6090)xxxx；

（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，

当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，

综上所述，W＝222105400(4060)33909000(6090)xxxxxx；

（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，

∵﹣1＜0，对称轴x＝2102＝105，

∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，

∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，

当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，

∵﹣3＜0，对称轴x＝3906＝65，

∵60＜x≤90，

∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，

∵3675＞3600，

∴当x＝65时，W最大＝3675，

答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．

【点睛】

本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；

（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．