全国备战中考数学二次函数的综合备战中考模拟和真题汇总含答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；

(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝12；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【解析】

【分析】

（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；

（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；

（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

【详解】

(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．

令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3或x＝l，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)．

(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．

∵M(m，0)，

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2， ∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．

(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

设直线AC的解析式y＝kx+b，

∴303kbb

解得k＝l，b＝3，

∴解析式y＝x+3，

令x＝﹣2，则y＝1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝12AM×EM＝12．

(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x＝﹣l，

∴N应与原点重合，Q点与C点重合，

∴DQ＝DC，

把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，

∴D(﹣1，4)，

∴DQ＝DC＝2．

∵FG＝22DQ，

∴FG＝4．

设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，

∵点G在点F的上方且FG＝4，

∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．

解得n＝﹣4或n＝1，

∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．

2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．

【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解；

（2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；

（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获得最大利润．

【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：2001530010kbkb，

解得：20500kb，

即：函数的表达式为：y＝﹣20x+500，（x≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大，

则：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），

∵﹣20＜0，故w有最大值，

当x＝﹣2ba＝312＝15.5时，w的最大值为1805元；

（3）当x＝15.5时，y＝190，

50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w，

由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，

w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），

当x＝13时，w＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

3．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标．

【答案】（1）y=-21x2+32x+2；（2）存在，Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点，A1的横坐标是1，12.

【解析】

【分析】

（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q点的坐标．

（3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；

当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；

【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴0abc016a4bc2c， ∴1a23b2，

∴y=-21x2+32x+2；

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，-2）．

设直线BD的解析式为y=kx-2．

∵将（4，0）代入得：4k-2=0，

∴k=12．

∴直线BD的解析式为y=12x-2．

当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；

当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，

则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，

∴-2x+8=-21x2+32x+2，可求x=3或x=4（舍）

∴x=3；

∴Q（3，2）或Q（-1，0）；

（3）两个和谐点；

AO=1，OC=2，

设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①当A1、C1在抛物线上时， ∴2213yxx22213y1(x2)x2222，

∴x1y3，

∴A1的横坐标是1；

当O1、C1在抛物线上时，

2213y1xx22213y1(x2)x2222，

∴1x221y8，

∴A1的横坐标是12；

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．

4．如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

【答案】(1)y=-224(2)4yxxx，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）

(2)m、n的值分别为 5，-5

【解析】

（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得：

4b+c-16=0，b+c-1="3" ，

解得：b="4" ， c=0．

所以抛物线的表达式为：24yxx．

y=-224(2)4yxxx，

所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．

（2） 由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）．

三角形POF的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

三角形AOP的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，

所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）

又n=-2m+4m，

所以2m-4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)

故所求m、n的值分别为 5，-5．

5．如图，抛物线2yaxbxc的图象过点(10)(30)(03)ABC﹣，、，、，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得PAMPACSS＝？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）223yxx-；（2）存在，点(12)P，，周长为：1032；（3）存在，点M坐标为(14)，

【解析】