湖南师大附中高三数学(理)月考试卷

湖南师大附中2006—2007学年度上学期高三月考试卷（四）

数学（理）试题

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果,cottan),2(,且那么必有 （ ）

A． B．

C．23 D．223

2．若函数)98()22(,0)lg(0sin)2(ffxxxxxf则= （ ）

A．21 B．－21 C．－2 D．2

3．设x，y，z是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“x⊥z且y⊥zx//y”为

真命题的是 （ ）

①x，y，z均为直线； ②x，y是直线，z是平面

③z是直线，x，y是平面； ④x，y，z均为平面.

A．①，② B．①，③ C．③，④ D．②，③

4．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是 （ ）

A．338 B．334 C．538 D．554

5．为了解湖中养鱼的多少，某人在湖中打了一网鱼，共m条，做上记号后放入湖中，数日

后又打了一网鱼，共n条，其中k条鱼有记号，估计湖中有鱼 （ ）

A．kn条 B．kmn条 C．mnk D．无法估计

6．正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，

则动点P的轨迹是 （ ）

A．线段 B．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分

7．定义运算2)2(2)(,)(,222xxxfbabababa则函数 （ ）

A．奇函数 B．偶函数

C．既奇且偶函数 D．既非奇函数又非偶函数

8．椭圆13422yx上有n(n∈N*)个不同的点：P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，数列 {PnF}是公差不小于0.01的等差数列，则n的最大值是 （ ）

A．199 B．200 C．198 D．201

9．已知真命题：“a≥bc>d”和“a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件

10．已知向量a=(m,n)，b=（cosθ，sinθ），其中m，n，θ∈R，若|a|=4|b|，则当a·b

A．λ>2或λ<－2 B．λ>2或λ<－2

C．－22

二、填空题：本大题共52个小题，每小题4分，共20分.

11．某人在黑暗中用6把钥匙随机开门，其中只有一把钥匙能把门打开，则在他在三次内（含3次）把门打开的概率是 .

12．记Tn=a1·a2·…·an(n∈N*)表示n个数的积，其中ai为数列{an}中的第i项，若

an=2n－1,T4= .

13．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（－2，0）重合，且点（2005，2006）与点（m，n）重合，则n－m= .

14．函数)),0()(32sin(xxy的单调递增区间是 .

15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，

DE与AF相交于点H, 设AHbBCaAB则,,等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

设a=（3sinx，cosx），b=（cosx，cosx），若函数f(x)=a·b+m.（m∈R）

（Ⅰ）指出函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）当]3,6[x时，函数f(x)的最小值为2，求此函数f(x)的最大值，并求此时的x的值.

17．（本小题满分12分）

如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合，记A与B重合后的点为P，

（Ⅰ）求证：PE⊥面PCD；

（Ⅱ）求面PCD与面ECD所成的二面角的大小.

B

E C A D

H F

A

E D

B C 18．（本小题满分14分）

学校食堂定期向精英米业以每吨1500元的价格购买大米，每次购买大米需支付运输费用100元，已知食堂每天需食用大米1吨，储存大米的费用为每吨每天2元，假设食堂每次均在用完大米的当天购买.

（Ⅰ）问食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少；

（Ⅱ）若购买量大，精英米业推出价格优惠措施，一次购买量不少于20吨时可享受九五折优惠，问食堂能否接受此优惠措施？请说明理由.

19．（本小题满分14分）

已知二次函数f(x)(x∈R)的二次项系数为正实数且满足f′(1)=0，

（Ⅰ）试判断函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设向量a=(sinx，2)，b=(2sinx，21)，c=（cos2x，1），d=（1，2）.求解不等式f(a·b)>f(c·d).

20．（本小题满分14分）

如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线

C：2222byax =1上一点（a>0，b>0）

已知||2||,02121PFPFPFPF且，

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于P1，P2两点，或

02,4272121PPPPOPOP，求双曲线C的方程.

21．（本小题满分14分）

设xxfxaxxf)(,)2()(方程有唯一解，已知10041)(),()(1*1xfNnxxfnn且

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）若)(2,40134*1221Nnaaaabxxannnnnnnn且，求和Sn=b1+b2+…+bn；

（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对任意n∈N*，有2008)(mxfn成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由. P

P2 P1

F2 F1 O x y 参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案 C D D B B B A D A

B

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.

11．21 12.105 13.1

14.

)1211,125( 15.ba5452

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．解：（I）21)62sin()cos,(cos)cos,sin3()(mxmxxxxxf

f(x)的最小正周期是π，f(x)的单调递增区间是

)](6,3[Zkkk…………………………………………………………（6分）

（II）1)62sin(21,65626,36xxx从而

6,262,1)62sin(,25)62sin()(,2,22121,2)(,21)62sin(minxxxxxfmmxfx即当即时当

时f(x)取到最大值27.……………………………………………………（12分）

17．解：（I）如图所示

∵P是A与B重合的点，且EA⊥AD，

（∠EAD=90°）EB⊥BC，

∴EP⊥PD，EP⊥PC，又PD与PC相交于P.

∴EP⊥平面PDC，…………………………（6分）

（II）取DC的中点F，连接EF、PF.

∵DE=CE，PD=PC，F是CD的中点.

∴PF⊥DC，EF⊥DC，从而∠PFE是二面角P—DC—E的平面角.

由（I）知EP⊥PF，设正方形ABCD的边长为a，则EP=21，EF=a，

∴sin∠EFP=21EFEP,∴∠EFP=30°.

因此二面角P—CD—E为30°……………………………………………………（12分）

18．解：（I）设每隔t天购进大米一次，因为每天需林大米一吨，所以一次购大米t吨，那么库存费用为2[t+(t－1)+(t－2)+…+2+1]=t(t+1)，设每天所支出的总费用为v1，则

.15211501100215011001500]100)1([11ttttttty C E

D F P 当且仅当t=t100，即t=10时等号成立.

所以每隔10天购买大米一次使平均每天支付的费用最少.……………………（6分）

（II）若接受优惠条件，则至少每隔20天购买一次，设每隔n(n≥20)天购买一次，每天支付费用为y2，则y2=nnnnn10095.01500]100)1([1+1426

),20[100)(),,20[在而nnnfn上为增函数，

∴当n=20时，y2有最小值：.1521145114262010020

故食堂可接受

19．解：（I）设.0)1(,2)(),0()(2fbaxxfacbxaxxf又则

,0,12,02aabba又

∴f(x)得单调递减区间为]1,(，单调递半区间为),1[.………………（6分）

（II）依题意a·b=2sin2x+1≥1, c·d=cos2x+2=1+2cos2x≥1.

依题意f(a·b)>f(c·d)，

∴2sin2x+1>2cos2x+1sin2x>cos2xcos2x<0

Zkkxk,434…………………………………………（14分）

20．解：（I）由,,02121PFPFPFPF得即△F1PF2为直角三角形，

因此有aPFPFcPFPF2||||,4||||2122221

5,445,2||,4||5222222ecaaPFcPF求得于是有…（6分）

（II）),(),2,(),2,(,2,212221112yxPxxPxxPabeab可设

依题意49,427421212121xxxxxxOPOP ①

分即得由10;3)2(2,32)2(22)(2,022121121221xxyxxxyxyxxxxxPPPP

又因点在双曲线,19)2(49)2(,1222122212222bxxaxxbyax所以上

将b2=4a2代入上式整理22189axx ②