解析几何中的双曲线与双曲函数
双曲线与双曲函数是解析几何中的重要概念，它们在数学和科学研究中有着广泛的应用。本文将对双曲线和双曲函数进行解析，包括定义、性质以及应用等方面的内容。
一、双曲线的定义与性质
双曲线是与椭圆和抛物线类似的一类曲线，其定义可以通过几何和代数两种方法解释。
从几何的角度来看，双曲线是一个平面上的曲线，其到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数。这两个定点通常被称为焦点，常数称为离心率。双曲线可以分为两支，具体形状取决于焦点和离心率的取值。
从代数的角度来看，双曲线的定义可以用方程来表示。一般而言，双曲线的方程形式可以写为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或者 (x^2/a^2) -
(y^2/b^2) = -1。其中，a和b分别代表两条双曲线的横轴和纵轴的长度。
双曲线具有以下几个性质：
1. 双曲线与其渐近线的交点：双曲线的两条渐近线是曲线无限延伸时的趋势线，与双曲线相交于无穷远处。这两条直线与双曲线的位置关系也可以反映双曲线的形状。 2. 双曲线的对称性：双曲线具有关于坐标轴的对称性，即关于横轴对称或者关于纵轴对称。这种对称性在进行双曲线的图形绘制和计算时十分有用。
3. 双曲线的渐近线方程：双曲线的渐近线方程可以通过求解双曲线的平行于渐近线的直线方程得到。渐近线方程的斜率与双曲线的参数有关，可以用来判断双曲线的形状。
二、双曲函数的定义与性质
双曲函数是指与双曲线相关的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数的定义可以通过双曲线上的点坐标来解释。具体而言，对于双曲线上的一点P(x, y)，可以定义双曲正弦函数sinh(x)为点P在双曲线的同一纵坐标处的点的横坐标值，双曲余弦函数cosh(x)为点P在双曲线的同一横坐标处的点的纵坐标值，双曲正切函数tanh(x)为点P的纵坐标值除以横坐标值。
双曲函数具有以下几个性质：
1. 双曲函数的定义域和值域：双曲函数的定义域为实数集R，值域为实数集R。
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[方法与技巧]
双曲线标准方程的求法：
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x2m－y2n＝1 (mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1 (AB<0)，这种形式在解题时更简便；
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值．
[失误与防范]
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
3．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±abx.
4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
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[忽视“判别式”致误]
典例 (14分)已知双曲线x2－y22＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．
规范解答
解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
1 专题09 解析几何
第二十三讲 双曲线答案部分
1.【解析】如图所示，不妨设F为双曲线22:145xyC的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，24a，25b，则223cab，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229xy．
联立22229145xyxy，解得53y．
则1553232OPFS△．故选B．
2.【解析】 因为双曲线2221(0)yxbb经过点(3,4)，
所以221631b，解得22b，即2b．
又1a，所以该双曲线的渐近线方程是2yx．
3.【解析】根据渐进线方程为0xy的双曲线，可得ab，所以2ca，则该双曲线的离心率为2cea，故选C．
4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50，
所以tan50ba，2222111tan50sec50cos50cbeaa. 故选D．
5.【解析】解法一：由题意，把2cx代入222xya，得2224cPQa，
2 再由PQOF，得2224cac，即222ac，
所以222ca，解得2cea.故选A．
解法二：如图所示，由PQOF可知PQ为以OF为直径圆的另一条直径，
所以,22ccP，代入222xya得222ac，
所以222ca，解得2cea.故选A．
解法三：由PQOF可知PQ为以OF为直径圆的另一条直径，则12222OPaOFc，2cea.故选A．
6.【解析】 由题意知，1b，215caeaa，解得12a.故选D.
7.【解析】因为抛物线24yx的焦点为F，准线为l，所以1,0F，准线l的方程为1x.
因为l与双曲线222210,0xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且4ABOF（O为原点），所以2bABa，1OF，所以24ba，即2ba，
双曲线的几何性质
（4）
教学目标：能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题的能力．
教学过程
例1 中心在原点，一个焦点为F（1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为 m，求双曲线标准方程．
例2 已知点A(3,2)，F(2,0)，在双曲线2213yx上求一点 P，使1||||2PAPF的值最小．
例3 已知双曲线2212yx，求过定点A（2，1）的弦的中点P的轨迹方程.
例4 在双曲线2211312xy的一支上有三个不同点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)与焦点F1(0,5)的距离成等差数列，求y1+y3的值．
例5已知梯形ABCD中，AB//CD,|AB|=2|CD|，点 E满足 ，双曲线过 C、 D、 E三点，且以 A、 B为焦点，当2334时，求双曲线离心率的取值范围．
课堂练习
1．设直线y=kx与双曲线4x2―y2=16相交，则实数k的取值范围是
（A）―2
2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
3．直线y=x―1被双曲线2x2―y2=3所截得的弦的中点坐标是
（A）(1, 2) （B）(―2, ―1) （C）(―1, ―2) （D）(2, 1)
4．等轴双曲线中心在原点，焦点在x轴上，与直线y=21x交于A, B两点，若|AB|=215，则其方程为
（A）x2―y2=6 （B）x2―y2=9 （C）x2―y2=16 （D）x2―y2=25
5．直线l过点(5, 0)，与双曲线2214yx只有一个公共点，则满足条件的l有
（A）1条 （B）2条 （C）4条 （D）无数条
作业 同步练习 08044
