双曲线的几何性质导学案

1 §2.2.2双曲线的简单几何性质 鹤壁高中 蔡凤敏 2011.10.20

一、复习回顾----椭圆的几何性质

二、探究互动-------双曲线的简单几何性质

1．范围、对称性

由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

①范围：由双曲线的标准方程得，222210yxba，进一步得： ．

这说明双曲线在不等式 所表示的区域；

②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心；

2．顶点：双曲线有 个顶点,是

特殊点：

实轴：21AA长为 , a叫做半实轴长

虚轴：21BB长为 ，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有 个顶点，这是两者的又一差异

3.渐近线：直线 叫做双曲线22221xyab的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e）．

4.等轴双曲线：

1）定义： 。 定义式：ab xyQB1B2A1A2NMO 2 2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为： ；②渐近线互相 ；两条渐近线的夹角是 ③e=

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx

当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是： 或写成

课题：双曲线的简单几何性质（1）

一．教学目标：

1.知识与能力

了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.

2.过程和方法

通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质.

3.情感态度与价值观

通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系．

二．教材分析：

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

三．学情分析：

学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。

四．重点难点： 重点：双曲线的简单几何性质

难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程

五．教学过程：

1.导入新课：

大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）

在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)xyabab的哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率等）

这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质

2.学案反馈：

通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。同时通过速记、提问方式加强记忆。

1

课题: 双曲线的简单几何性质第二课时导学案 班级:_ _________

主备人: ________审核人:________ 审批人：_________ 授课人:__________

备注

（教师复备栏及学生笔记）

学习目标

【三维目标】

知识与技能：1．熟练掌握双曲线的定义及几何性质，能根据定义推导双曲线的标准方程回用性质解题；

2．熟练掌握双曲线的两种标准方程，会求与双曲线有关的几何参数及利用这些参数求双曲线的标准方程，研究双曲线的相关性质；

3．掌握直线与双曲线的关系的处理办法

过程与方法： 在与椭圆类比中获得双曲线的相关解题思路，培养学生观察能力，想象力，数形结合能力。

情感、态度与价值观：培养学生对待知识的科学的态度和探索精神，而且能够运用联系的，变化的观点分析理解事物。

【学习重点 】

运用双曲线的标准方程解决有关问题

【 难 点】

直线与双曲线的相交的交点的求法

【课前预习，成竹在胸】

使用说明 学法指导：

1用20分钟左右的时间，阅读课本内容，熟记基础知识.自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。

2完成教材助读设置的问题，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题。

3将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处。

【自主学习】Ⅰ.课题导入

复习回顾（课前完成）

复习1说出双曲线的几何性质?

备注

（教师复备栏及学生笔记）

2

复习2：双曲线的方程为221914xy其顶点坐标是( )，( )；

渐近线方程 ．

【合作探究】双曲线方程与几何性质的应用

探究1：方程与几何性质

问题1 椭圆22464xy的焦点是？

问题2 双曲线的一条渐近线方程是30xy，则可设双曲线方程为？

问题3 若双曲线与22464xy有相同的焦点，它的一条渐近线方程是30xy，则双曲线的方程是？

2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

理解并掌握双曲线的几何性质．

【重点难点】 双曲线的几何性质．

双曲线的几何性质

【学习过程】

一、自主预习

（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：

①3,4ab，焦点在x轴上；

②焦点在y轴上，焦距为8，2a．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、合作探究 归纳展示

线22221xyab的几何问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲性质?

范围：x： y：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）．

实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

离心率：1cea．

渐近线：

双曲线22221xyab的渐近线方程为： 0xyab．

问题2：双曲线22221yxab的几何性质?

图形：

范围：x： y：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）

实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

离心率：1cea．

渐近线：双曲线22221yxab的渐近线方程为： ．

新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．

三、讨论交流 点拨提升

双曲线几何性质归纳

四、学能展示 课堂闯关

例1求双曲线2214925xy的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

变式：求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例2求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

⑵离心率2e，经过点(5,3)M；

⑶渐近线方程为23yx，经过点9(,1)2M．