广东省广州市2019届高三综合测试(一)理科数学试题(解析版)
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广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)
密★启用前 试卷类型 :A
2021 年广州市普通高中毕业班综台测试〔一〕
理科数学
本试卷共 5 页， 23 小题，总分值 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用 2B
铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号， 并将试卷类型 〔 A 〕，填涂在答题相应置上。
2.作答选择题时， 选出每题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑； 如需改动， 用橡皮擦净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 集合 A x x2 2x 0 ， B x 2x ，那么
A. A B B. A B R C. B A D. A B
答案 ： D
考点 ：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。
解析 ： A x 0 x 2 ， B x x 0 ，所以， D 正确。
2. a 为实数，假设复数 a i 1 2i 为实数，那么 a=
A. 2 1 C.－ 1 D. 2 B.
2
2
答案 ： B
考点 ：复数的概念与运算。
解析 ： a i 1 2i ＝ a 2 (1 2a)i 为实数，所以， a 1
2
2
2 2
3. 双曲线 C : x2 y 1 的一条渐近线过圆 P : x C 的 2 y 41的圆心，那么
b2
离心率为
5 B. 3 C. 5 A.
2
2
答案 ： C
文科数学试题 A 第 1 页 (共 8 页 ) 广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)
考点 ：双曲线的性质。
解析 ：双曲线中， a＝ 1，的渐近线为： y bx 经过圆心为〔 2，－ 4〕，得： b＝2
所以， c＝ 5 ，离心率为 5
4. . 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的?九章算术注?中首创“割圆术〞，所谓“割
圆术〞，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法， 如下图，
圆内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中
有 b 粒豆子落在正十二边形内 ( a, b N , b a ) ，那么圆周率的近似值为
A. b a 3a 3b
a B. C. D.
b b a
答案 ： C
考点 ：几何概型。
解析 ：正十二边形的面积为： 12× 1 2 2 sin 30 12，
12 b 3a 2
4 ，
b ，选 C。
a
5.假设等边三角形 ABC 的边长为 1，点 M 满足 CM CB 2CA ，那么 MA MB
A. 3 C. 2 3
答案 ： D
考点 ：平面向量的三角形法那么。
解析 ： MA MB
( MD DA)DC ＝ (BC AC) 2
2AC ＝ 2AC BC 2AC
＝ 2 1 1 cos 60 2 ＝ 3
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6.设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，假设 m 为大于 1 的正整数，且 am 1 am2 am 1 1 ，
S2m 1 11，那么 m
答案 ： C
考点 ：等差数列的性质和前 n 项和公式。
解析 ：由 S2m 1 11 得： (2 m 1)(a1 a2m 1 )
11 ，即 (2 m 1)am 11 ，即 am 11
2 2m 1
由 am 1 am2 am 1 1 ，得 am d am2 am d 1，即 2am am2 1，
即 a2 2a 1 0 ，解得： am 1 ，所以， 1 11
m m 2m 1
，解得： m＝ 6
7.如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔翻开时，水从孔中匀速
流出，水流完所用时间为 T。假设鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，那么函数 h f t 的
图象大致是
答案 ： B
考点 ：变化率。
解析 ：水匀速流出，当水面在球心附过时，下降的高度比拟缓慢，快流完时，下降的速度最快，图象越陡，所以，选 B 。
8. 2 x3 5 32，那么该展开式中 x4 的系数是 x a 的展开式的各项系数和为
答案 ： A
考点 ：二项式定理。
解析 ：依题意，令 x＝ 1，得： (1 a)5 ＝ 32，所以， a 1 ，
展开式中 x4 的系数为： 2C51x4 x3C54 x ＝ 5
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9.函数 f x cos x 0,0 是奇函数，且在 , 上单调递减，
4 3
那么 的最大值是
1 2 3 D. 2 A. B. C.
2 3 2
答案 ： C
考点 ：函数的奇偶性，正弦函数的图象及其性质。
解析 ：依题意，知 f x sin x ，由 2 2k x 2 2k ，
即当 4k x 4k , 上单调递减
2 时，函数 f 〔x〕递减，又在
4 2 3
4k 2 8k
2 4 ，即： 学科网 ， k Z ；
所以， 3
6k
4k 2
2 3
〔 1〕当 k＝ 0 时， 3 ；
2
〔 2〕当 k＞ 0 时， 2 8k ，为负数；
〔 3〕当 k＜ 0 时， 3 6k ，也是负数，
2
所以， 的最大值是 3 。
2
10.一个几何体的三视图如下图， 其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形， 那么
该几何体的外表积为
13 B. 7 15 D. 8 A. C.
2 2
答案 ： B
考点 ：三视图，外表积的计算。
解析 ：由三视图可知，该几何体是一个圆柱 +四分之一球组成。
外表积为： 12 ＋ 2 1 12 ＋ 2 2 1＋ 1 4 12 ＝ 7
2 4
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11.以 F 为焦点的抛物线 C : y2 4x 上的两点 A， B，满足 AF FB 1 3 ，那么
3
弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是 8 10
B. C. 3 3 答案 ： B
考点 ：抛物线的定义与性质，平面向量的意义，函数导数及其应用。
解析 ：设 A 〔 x1， y1〕， B〔 x2 ，y2〕，依题，得 F〔1,0〕，准线 x＝－ 1，
AF ＝ x1＋ 1， BF＝ x2＋ 1，又 AF FB ，所以， x1 ＋1＝ 〔 x2＋ 1〕，
设直线 AB 斜率存在为 k，那么直线 AB 为： y＝ k〔 x－1〕，
y2 4x ，得： k 2 x 2 (2k 4) x k 2 0 ，所以， x1?x2＝ 1，即 x1 1
y
k(x ，
1) x2
所以， 1 ＋1＝ 〔 x2＋ 1〕，化简，得： x2 1 ，
x2
弦 AB 的中点到 C 的准线的距离为： 1 (| AF | | BF |) 1 ( | BF | | BF |) ＝ 1 ( 1) | BF |
2 2 2
＝ 1 ( 1)(x2 1) 1 ( 1)( 1 1)
2 2
＝ 1 ( 1 2) ，
1 2 1
令 f ( ) f '( ) 1 0
1
，那么 2
，
＝ ，得：
所以，当 在〔 1 ， 1〕时， f '( ) ＜ 0， f ( ) 递减，
3
当 在〔 1， 3〕时， f '( ) ＞ 0， f ( ) 递增，
f ( ) 的最大值为： f (3) f (1) ＝ 10 ，
3 3
弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是： 1 (10 2) 8 ，选 B 。
2 3 3
文科数学试题 A 第 5 页 (共 8 页 )
