数学_2014年某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年某校高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知复数𝑧=1+2𝑖𝑖5，则它的共轭复数𝑧¯等于（ ）

A 2−𝑖 B 2+𝑖 C −2+𝑖 D −2−𝑖

2. 命题“∃𝑥∈[𝜋2, 𝜋]，sin𝑥−cos𝑥>2”的否定是（ ）

A ∀𝑥∈[𝜋2, 𝜋]，sin𝑥−cos𝑥<2 B ∃𝑥∈[𝜋2, 𝜋]，sin𝑥−cos𝑥≤2 C ∀𝑥∈[𝜋2, 𝜋]，sin𝑥−cos𝑥≤2 D ∃𝑥∈[𝜋2, 𝜋]，sin𝑥−cos𝑥<2

3. 已知𝛼，𝛽是两个不同的平面，下列四个条件中能推出𝛼 // 𝛽的是（ ）

①在一条直线𝑎，𝑎⊥𝛼，𝑎⊥𝛽，

③存在两条平行直线𝑎，𝑏，𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛽，𝑎 // 𝛽，𝑏 // 𝛼；

②存在一个平面𝛾，𝛾⊥𝛼，𝛾⊥𝛽；

④存在两条异面直线𝑎，𝑏，𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛽，𝑎 // 𝛽，𝑏 // 𝛼．

A ①③ B ②④ C ①④ D ②③

4. 已知平面向量𝑚→，𝑛→的夹角为𝜋6，且|𝑚→|=√3，|𝑛→|=2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵→=2𝑚→+2𝑛→，𝐴𝐶→=2𝑚→−6𝑛→，𝐷为𝐵𝐶中点，则|𝐴𝐷→|=( )

A 2 B 4 C 6 D 8

5. 已知sin𝛼+√2cos𝛼=√3，则tan𝛼＝（ ）

A √22 B √2 C −√22 D −√2

6. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则𝑃的取值范围是（ ）

A 78<𝑃≤1516 B 𝑃>1516 C 78≤𝑃<1516 D 34<𝑃≤78

7. 某几何体中的一条线段长为√7，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为√6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为𝑎和𝑏的线段，则𝑎+𝑏的最大值为（ ） A 2√2 B 2√3 C 4 D 2√5

8. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（ ）

A 18 B 15 C 12 D 9

9. 设双曲线𝐶的中心为点𝑂，若有且只有一对相交于点𝑂，所成的角为60∘的直线𝐴1𝐵1和𝐴2𝐵2，使|𝐴1𝐵1|＝|𝐴2𝐵2|，其中𝐴1、𝐵1和𝐴2、𝐵2分别是这对直线与双曲线𝐶的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A (2√33,2] B [2√33,2) C (2√33,+∞) D [2√33,+∞)

10. 已知实数𝑥，𝑦满足{2𝑥−𝑦+1≥0𝑥−2𝑦−1≤0𝑥+𝑦≤1，则|3𝑥+4𝑦−7|的最大值为（ ）

A 11 B 12 C 13 D 14

11. 已知函数𝑓(𝑥)={−13𝑥+16，𝑥∈[0,12]2𝑥3𝑥+1，𝑥∈(12,1]，函数𝑔(𝑥)=𝑎sin(𝜋6𝑥)−2𝑎+2(𝑎>0)，若存在𝑥1，𝑥2∈[0, 1]，使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)成立，则实数𝑎的取值范围是（ ）

A [−23, 1] B [12, 43] C [43, 32] D [13, 2]

12. 已知任何一个三次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑(𝑎≠0)都有对称中心𝑀（𝑥0, 𝑓(𝑥0)），记函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，𝑓′(𝑥)的导函数为𝑓″(𝑥)，则有𝑓″(𝑥)=0．若函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2，则𝑓(12014)+𝑓(22014)+𝑓(32014)+...+𝑓(40272014)=( )

A 4027 B −4027 C 8054 D −8054

二．填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）

13. 能够把圆𝑂:𝑥2+𝑦2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆𝑂的“和谐函数”，

①𝑓(𝑥)=4𝑥3+𝑥； ②𝑓(𝑥)=ln5−𝑥5+𝑥；

③𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥； ④𝑓(𝑥)=tan𝑥2．

上述函数不是圆𝑂的“和谐函数”的是________（将正确序号填写在横线上）

14. 已知球的直径𝑃𝑄=4，𝐴、𝐵、𝐶是该球球面上的三点，∠𝐴𝑃𝑄=∠𝐵𝑃𝑄=∠𝐶𝑃𝑄=30∘，△𝐴𝐵𝐶是正三角形，则棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的体积为________．

15. 已知向量序列：𝑎1，𝑎2，𝑎3，…，𝑎𝑛，…满足如下条件：|𝑎1|=4|𝑑|=2，2𝑎1⋅𝑑=−1且𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑑(𝑛=1, 2, 3, 4,…)．则|𝑎1|，|𝑎2|，|𝑎3|，…，|𝑎𝑛|，…中第________项最小．

16. 定义一个对应法则𝑓:𝑃(𝑚, 𝑛)→𝑃′(√𝑚, √𝑛)，(𝑚≥0, 𝑛≥0)．现有点𝐴(2, 6)与点𝐵(6, 2)，点𝑀是线段𝐴𝐵上一动点，按定义的对应法则𝑓:𝑀→𝑀′．当点𝑀在线段𝐴𝐵上从点𝐴开始运动到点𝐵结束时，点𝑀的对应点𝑀′所经过的路线长度为________．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17. 若𝑓(𝑥)=√3cos2𝑎𝑥−sin𝑎𝑥cos𝑎𝑥(𝑎>0)的图象与直线𝑦=𝑚(𝑚>0)相切，并且切点横坐标依次成公差为𝜋的等差数列．

（1）求𝑎和𝑚的值；

（2）△𝐴𝐵𝐶中𝑎、𝑏、𝑐分别是∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边．若(𝐴2, √32)是函数𝑓(𝑥)图象的一个对称中心，且𝑎=4，求△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围．

18. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．

(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工𝐴在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

(Ⅱ)为了解乙公司员工𝐵的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为𝑋（单位：元），求𝑋的分布列和数学期望；

(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．

19. 如图1，在平面四边形𝐴𝐶𝑃𝐸中，𝐷为𝐴𝐶中点，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝑃𝐷=2，𝐴𝐸=1，且𝐴𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐷⊥𝐴𝐶，现沿𝑃𝐷折起使∠𝐴𝐷𝐶=90∘，得到立体图形（如图2），又𝐵为平面𝐴𝐷𝐶内一点，并且𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，设𝐹，𝐺，𝐻分别为𝑃𝐵，𝐸𝐵，𝑃𝐶的中点．

（1）求三棱锥𝑃−𝐺𝐻𝐹的体积；

（2）在线段𝑃𝐶上是否存在一点𝑀，使直线𝐹𝑀与直线𝑃𝐴所成角为60∘？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

20. 已知抛物线𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)上的一点(𝑚, 1)到焦点的距离为54．点𝑃(𝑥0, 𝑦0)是抛物线上任意一点（除去顶点），过点𝑀1(0, −1)与𝑃的直线和抛物线交于点𝑃1，过点𝑀2(0, 1)与的𝑃直线和抛物线交于点𝑃2．分别以点𝑃1，𝑃2为切点的抛物线的切线交于点𝑃′．

（1）求抛物线的方程； （2）求证：点𝑃′在𝑦轴上．

21. 对于函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝐷)，若𝑥∈𝐷时，恒有𝑓′(𝑥)>𝑓(𝑥)成立，则称函数𝑓(𝑥)是𝐷上的𝐽函数．

(Ⅰ)当函数𝑓(𝑥)＝𝑚𝑒𝑥ln𝑥是定义域上的𝐽函数时，求𝑚的取值范围；

(Ⅱ)若函数𝑔(𝑥)为(0, +∞)上的𝐽函数，

①试比较𝑔(𝑎)与𝑒𝑎−1𝑔(1)的大小；

②求证：对于任意大于1的实数𝑥1，𝑥2，𝑥3，…，𝑥𝑛，均有𝑔（ln(𝑥1+𝑥2+...+𝑥𝑛)）>𝑔(ln𝑥1)+𝑔(ln𝑥2)+...+𝑔(ln𝑥𝑛)．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 如图，⊙𝑂1与⊙𝑂2相交于𝐴、𝐵两点，𝐴𝐵是⊙𝑂2的直径，过𝐴点作⊙𝑂1的切线交⊙𝑂2于点𝐸，并与𝐵𝑂1的延长线交于点𝑃，𝑃𝐵分别与⊙𝑂1、⊙𝑂2交于𝐶，𝐷两点．

求证：

（1）𝑃𝐴⋅𝑃𝐷＝𝑃𝐸⋅𝑃𝐶；

（2）𝐴𝐷＝𝐴𝐸．

选修4─4：坐标系与参数方程选讲．

23. 已知曲线𝐶的参数方程为{𝑥=3cos𝜃𝑦=2sin𝜃（𝜃为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线𝐶上的点按坐标变换{𝑥′=13𝑥𝑦′=12𝑦得到曲线𝐶′．

(1)求𝐶′的普通方程；

(2)若点𝐴在曲线𝐶′上，点𝐵(3, 0)，当点𝐴在曲线𝐶′上运动时，求𝐴𝐵中点𝑃的轨迹方程．

选修4─5：不等式证明选讲．

24. 已知函数𝑓(𝑥)=√𝑥2−6𝑥+9+√𝑥2+8𝑥+16．

(1)求𝑓(𝑥)≥𝑓(4)的解集；

(2)设函数𝑔(𝑥)=𝑘(𝑥−3)，𝑘∈R，若𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)对任意的𝑥∈R都成立，求𝑘的取值范围．

2014年某校高考数学一模试卷（理科）答案

1. B

2. C 3. C 4. A

5. A

6. D

7. C

8. D

9. A

10. D

11. B

12. D

13. ③

14. 9√34

15. 3

16. √2𝜋3

17. 解：（1）𝑓(𝑥)=√3cos2𝑎𝑥−sin𝑎𝑥cos𝑎𝑥=√32−sin(2𝑎𝑥−𝜋3)，