数学_2014年陕西省西安市某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年陕西省西安市某校高考数学一模试卷（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (1+√3𝑖)3=( )

A −8 B 8 C −8𝑖 D 8𝑖

2. 若向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|=1，|𝑏→|=√2，且𝑎→⊥(𝑎→+𝑏→)，则𝑎→与𝑏→的夹角为（ ）

A 𝜋2 B 2𝜋3 C 3𝜋4 D 5𝜋6

3. 二项式(1√𝑥−2𝑥2)5展开式中的常数项是（ ）

A 5 B −5 C 10 D −10

4. 把函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向右平移一个单位，所得图象恰与函数𝑦=𝑒𝑥的反函数图象重合，则𝑓(𝑥)=( )

A ln𝑥−1 B ln𝑥+1 C ln(𝑥−1) D ln(𝑥+1)

5. 已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形．若𝑃为底面三角形𝐴1𝐵1𝐶1的中心，则𝑃𝐴与平面𝐴𝐵𝐶所成角的大小为(

)

A 5𝜋12 B 𝜋3 C 𝜋4 D 𝜋6

6. 已知抛物线𝑦2=8𝑥的焦点与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A 4√155 B 2√33 C √3 D 3

7. 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）

A 36个 B 24个 C 18个 D 6个

8. 已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆𝑛为其前𝑛项和，若𝑎1=−3，𝑆5=𝑆10，则当𝑆𝑛取到最小值时𝑛的值为（ ）

A 5 B 7 C 8 D 7或8

9. 定义运算𝑎⊗𝑏为执行如图所示的程序框图输出的𝑆值，则(2cos5𝜋3)⊗(2tan5𝜋4)的值为（ ）

A 4 B 3 C 2 D −1

10. 如图是1，2两组各7名同学体重（单位：𝑘𝑔）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为𝑥1¯和𝑥2¯，标准差依次为𝑠1和𝑠2，那么( )（注：标准差𝑠=√1𝑛[(𝑥1−𝑥¯)2+(𝑥2−𝑥¯)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥¯)2]，其中𝑥¯为𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛的平均数）

A 𝑥1¯>𝑥2¯，𝑠1>𝑠2 B 𝑥1¯>𝑥2¯，𝑠1<𝑠2 C 𝑥1¯<𝑥2¯，𝑠1<𝑠2 D 𝑥1¯<𝑥2¯，𝑠1>𝑠2

二．填空题：本大题共7小题，共25分．其中12、13、14、题为必做题，15、16、17题为选做题，请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）将答案填写在题中的横线上．

11. 若∫𝑥2𝑇0𝑑𝑥=9，则常数𝑇的值为________．

12. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第𝑛行(𝑛≥3)从左向右的第3个数为________．

13. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=√3，𝐴𝐶=√2，𝐴=𝜋3，则𝐵=________．

14. 若直线𝑦=𝑘𝑥+1被圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−3=0截得的弦最短，则实数𝑘的值是________．

15. （极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线𝜌=4sin𝜃表示圆，则点𝐴(4,𝜋6)到圆心的距离为________．

16. （不等式选讲选做题）若关于𝑥的不等式|𝑥+1|−|𝑥−2|>1𝑎存在实数解，则实数𝑎的取取值范围是________．

17. 已知𝑃𝐴是圆𝑂的切线，切点为𝐴，𝑃𝐴=2．𝐴𝐶是圆𝑂的直径，𝑃𝐶与圆𝑂交于点𝐵，𝑃𝐵=1，则圆𝑂的半径𝑅=________．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. 已知在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，且𝑎2是𝑎1和𝑎3−1的等差中项．

（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

（2）若数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=2𝑛−1+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，求{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛． 19. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶所对应的边分别为𝑎、𝑏、𝑐．

（1）叙述并证明正弦定理

（2）设𝑎+𝑐=2𝑏,𝐴−𝐶=𝜋3，求sin𝐵的值．

20. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；

(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用𝑋表示张同学答对题的个数，求𝑋的分布列和数学期望．

21. 如图，四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑆𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵 // 𝐷𝐶，𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐷𝐶=𝑆𝐷=2，𝐸为棱𝑆𝐵上任一点．

（1）求证：无论𝐸点取在何处恒有𝐵𝐶⊥𝐷𝐸；

（2）设𝑆𝐸→=𝜆𝐸𝐵→，当平面𝐸𝐷𝐶⊥平面𝑆𝐵𝐶时，求𝜆的值；

（3）在（2）的条件下求二面角𝐴−𝐷𝐸−𝐶的大小．

22. 已知椭圆𝐶的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线𝑦2=4√5𝑥的焦点重合．

（1）求椭圆𝐶的方程．

（2）已知经过定点𝑀(2, 0)且斜率不为0的直线𝑙交椭圆𝐶于𝐴、𝐵两点，试问在𝑥轴上是否另存在一个定点𝑃使得𝑃𝑀始终平分∠𝐴𝑃𝐵？若存在求出𝑃点坐标，若不存在请说明理由．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥，𝑔(𝑥)=12𝑎𝑥2+2𝑥

（1）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)在𝑥=1与𝑥=12处的切线相互平行，求𝑎的值及切线斜率．

（2）若函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)在区间(13, 1)上单调递减，求𝑎的取值范围．

（3）设函数𝑓(𝑥)的图象𝐶1与函数𝑔(𝑥)的图象𝐶2交与𝑃、𝑄两点，过线段𝑃𝑄的中点作𝑥轴的垂线分别交𝐶1、𝐶2于点𝑀、𝑁，证明：𝐶1在点𝑀处的切线与𝐶2在点𝑁处的切线不可能平行．

2014年陕西省西安市某校高考数学一模试卷（理科）答案

1. A 2. C

3. D

4. D

5. B

6. B

7. B

8. D

9. A

10. C

11. 3

12. 𝑛2−𝑛+62

13. 𝜋4

14. 1

15. 2√3

16. (−∞, 0)∪(13，+∞)

17. √3

18. 解：（1）设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，

∵ 𝑎2是𝑎1和𝑎3−1的等差中项，𝑎1=1，

∴ 2𝑎2=𝑎1+(𝑎3−1)=𝑎3，

∴ 𝑞=𝑎3𝑎2=2，

∴ 𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1=2𝑛−1，(𝑛∈𝑁∗)．

（2）∵ 𝑏𝑛=2𝑛−1+𝑎𝑛，

∴ 𝑆𝑛=(1+1)+(3+2)+(5+22)+⋯+(2𝑛−1+2𝑛−1)

=[1+3+5+...+(2𝑛−1)]+(1+2+22+...+2𝑛−1)

=𝑛[1+(2𝑛−1)]2+1×(1−2𝑛)1−2

=𝑛2+2𝑛−1．

19. 解：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶（2𝑅三角形外接圆的直径），

证明：在△𝐴𝐵𝐶中，设𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，𝐴𝐵=𝑐．作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵垂足为点𝐻，

可得：𝐶𝐻=𝑎⋅sin𝐵，𝐶𝐻=𝑏⋅sin𝐴，

∴ 𝑎⋅sin𝐵=𝑏⋅sin𝐴，

得到𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵

同理，在△𝐴𝐵𝐶中，𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶，

∵ 同弧所对的圆周角相等，∴ 𝑐sin𝐶=2𝑅，

则𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶（2𝑅三角形外接圆的直径）；

（2）在△𝐴𝐵𝐶中，

∵ 𝑎+𝑐=2𝑏，由正弦定理可得sin𝐴+sin𝐶=2sin𝐵，

∴ 2sin𝐴+𝐶2cos𝐴−𝐶2=4sin𝐵2cos𝐵2，

再由𝐴−𝐶=𝜋3，可得 sin𝜋−𝐵2cos𝜋6=2sin𝐵2cos𝐵2，

解得：sin𝐵2=√34，

∴ cos𝐵2=√134，

则sin𝐵=2sin𝐵2cos𝐵2=√398．

20.

(1)设事件𝐴=“张同学至少取到1道乙类题”，

则𝐴¯=张同学至少取到的全为甲类题，

∴ 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴¯)=1−𝐶63𝐶103=56.

(2)𝑋的所有可能取值为0，1，2，3，

𝑃 (𝑋=0)=𝐶20(35)0×(25)2×(15)=4125，

𝑃(𝑋=1)=𝐶21×35×25×15+𝐶20×(25)2×45=28125，

𝑃(𝑋=2)=𝐶22×15×(35)2+𝐶21×35×25×45=57125，

𝑃(𝑋=3)=𝐶22×(35)2×(45)=36125，

𝑋的分布列为

𝑋 0 1

2 3

𝑃 4125 28125 57125 36125

𝐸(𝑋)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.

21. （1）证明：∵ 𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐷𝐶=2，

∴ 𝐵𝐶⊥𝐵𝐷， ∵ 𝑆𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，

∴ 𝑆𝐷⊥𝐵𝐷，

∵ 𝐵𝐷∩𝑆𝐷=𝐷，

∴ 𝐵𝐶⊥平面𝑆𝐵𝐷，

∵ 𝐷𝐸⊂面𝑆𝐵𝐷，

∴ 无论𝐸点取在何处恒有𝐵𝐶⊥𝐷𝐸；

（2）解：建立如图所示的坐标系，设𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)，则

∵ 𝑆𝐸→=𝜆𝐸𝐵→，∴ (𝑥, 𝑦, 𝑧−2)=𝜆(1−𝑥, 1−𝑦, −𝑧)，

∴ 𝐸(𝜆1+𝜆, 𝜆1+𝜆, 21+𝜆)，

设平面𝑆𝐵𝐶的一个法向量为𝑛2→=(𝑎, 𝑏, 𝑐)，则

∵ 𝑆𝐶→=(0, 2, −2)，𝑆𝐵→=(1, 1, −2)，

∴ {2𝑏−2𝑐=0𝑎+𝑏−2𝑐=0，取平面𝑆𝐵𝐶的一个法向量𝑛2→=(1, 1, 1)，