河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学(文)试题含解析

河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试

数学（文科）试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合，则集合（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】,所以.故选.

2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）

A. -2 B. 4 C. D. -4

【答案】B

【解析】,虚部为,故选B.

3. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】,由于两个向量垂直,所以,解得,故选B.

4. 已知数列为等比数列，若，则（ ）

A. 有最小值12 B. 有最大值12 C. 有最小值4 D. 有最大值4

【答案】A

【解析】,所以,故选A.

5. 如图，中心均为原点的双曲线和椭圆有公共焦点，，是双曲线的两个顶点，若，，三点将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）

A. 3 B. 2 C. D.

【答案】B

【解析】是双曲线的两顶点，将椭圆长轴四等分

椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍

双曲线与椭圆有公共焦点，

的离心率的比值是

故答案选

6. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图是一枚8圆形金质纪念币，直径是22，面额为100元.为了测算图中军旗部分的面积，现将1粒芝麻向纪念币内投掷100次（假设每次都能落在纪念币内），其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

则圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π，

∴估计军旗的面积大约是.

故选：B. 7. 函数的部分图像大致为（ ）

A. B. C.

D.

【答案】D

【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.

8. 已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是（ ）

A. 把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

B. 把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

C. 把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D. 把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

【答案】B

【解析】对于,,所以先所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到,再向右平移个单位长度得到.故选B.

9. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（ ）

A. 68 B. 17 C. 34 D. 36

【答案】C

【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当 时，，此时，则；这时，，此时，，这时，输出，运算程序结束，应选答案C。

点睛：本题的求解要充分借助题设的算法流程图中提供的算法规则，按照程序中提供的算法步骤进行操作和运算，最终求出算法程序结束时输出的结论是。

10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，

，，，

∴，故选A．

11. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）

A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7

【答案】A

【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.故选A.

12. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.

【答案】D

【解析】当时,在定义域上没有零点,故排除两个选项.当时,,令,解得,故函数在上递减,在上递增,而,,所以在区间上至多有一个零点,不符合题意,排除选项.故选D.

【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点的问题.由于本题是选择题,故可以采用特殊值的解法来求解.首先观察题目所给的函数,这是一个由指数函数和对数函数组合而成的函数,关键点在于对数函数部分,再观察选项,发现可以利用这两个数进行排除,分别令,利用导数来验证函数在给定区间上是否有两个不同零点来排除选项.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知某校100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是__________．

【答案】30

【解析】试题分析：由直方图可知支出超过150元的频率为，所以人数为

考点：频率分布直方图

14. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则以两双曲线的四个焦点为顶点的四边形的面积为__________．

【答案】20

【解析】曲线的焦点为,渐近线为,即,解得,故曲线的焦点为,故四边形面积为. 15. 已知数列是递增数列，且 ，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由于数列为递增数列,所以,解得.

16. 如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】该几何体可以补形为正方体,正方体的外接球即该几何体的外接球,正方体的外接球直径为其体对角线,长度为,故外接球的表面积为.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 如图，在中，为边上一点，且，已知，.

（1）若是锐角三角形，，求角的大小；

（2）若的面积为，求的长.

【答案】（1）.（2）.

【解析】【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.

【试题解析】

（1）在中，，，，由正弦定理得，

解得，所以或.

因为是锐角三角形，所以.

又，所以.

（2）由题意可得，解得，

由余弦定理得 ，解得，

则.

所以的长为.

18. 国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（已知该校学生平均每天运动的时间范围是 ），如下表所示.

男生平均每天运动的时间分布情况：

女生平均每天运动的时间分布情况：

（1）假设同组中的每个数据均可用该组区间的中间值代替，请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）.

（2）若规定平均每天运动的时间不少于的学生为“运动达人”，低于的学生为“非运动达人”.

（ⅰ）根据样本估算该校“运动达人”的数量；

（ⅱ）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）.（2）（ⅰ）4000（人）.（ⅱ）见解析.

【解析】【试题分析】(1)根据分层抽样计算出男生抽取,女生抽取,由此计算出的值,并计算出男生平均运动时间.(2)(i)运动达人的比例为,故共有人是运动达人.(ii)根据数据列出联表后,计算,故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.

【试题解析】

（1）由题意得，抽取的男生人数为（人），抽取的女生人数为（人），故，.

则估算该校男生平均每天运动的时间为，

所以该校男生平均每天运动的时间为.

（2）（ⅰ）样本中“运动达人”所占的比例是，

故估算该校“运动达人”有（人）.

（ⅱ）由统计数据得：

根据上表，可得.

故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.

19. 如图，在三棱柱中，已知，，点在底面上的投影是线段的中点.

（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长.

（2）求三棱柱的侧面积.

【答案】（1）见解析.（2）.

【解析】试题分析：（1）证明：作于点，由 ，又平面 ，易得 平面 平面，由，

；（2）由已知可得的高，的高 ．

试题解析： （1）证明：连接，在中，作于点，因为，得，因为平面，所以，

因为，得，所以平面，所以，所以平面，

又，得．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由已知可得的高，的高

．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1、线面垂直；2、二面角的平面角.

【方法点晴】本题考查线面垂直、二面角的平面角，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 第一小题作于点，由 ，再证平面

平面，由， ．第二小题由已知可得的高，的高

.

20. 如图，已知直线关于直线的对称直线为，直线，与椭圆分别交于点，和，，记直线的斜率为.

（1）求的值.

（2）当变化时，试问直线是否恒过定点，若恒过定点，求出该定点的坐标；若不恒过