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常微分方程初值问题的数值解法

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常微分方程初值问题数值解法

初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解

y′=f(x,y),x∈[x0,b]

y(x0)=y0.

首先，常微分方程得有解---有解条件----利普希茨条件---

定理1 （利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意 ，y1，y2 ，有

|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|

定理2 （解存在性） ①若函数 f 在方区域 x∈[a,b],y∈R 连续，②函数 f 关于y满足利普希茨条件，

则对任意 x∈[a,b] ，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.

由于原函数是无法精确求解出来的，我们只需要求解在某点的值就好

两类问题：

①单步法 ---计算下一个点的值 yn+1 只需要用到前面一个点的值 yn

②多步法---计算下一个点的值 yn+1 需要用到前面 l 个点的值 yl

1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值

①初值条件：给出因变量在某个点上的值

• 具体过程

第一步：将初值条件带入微分方程，得到在该点的导数值

第二步：在该点，用taylor进行展开，舍去二次项，将一次函数近似函数y

第三：计算第二个点在直线上的值，用这个值近似函数 y(x)

的在第二个点的值,依此类推，直到迭代完成

一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。

怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法

-----迭代---将微分方程在区间 [xn,xn+1] 进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。

• 局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为 O(hp+1)

• p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为 O(hp+1)

，则整体误差阶为 O(hp) 我们称公式精度为p。

• 显示欧拉法与隐式欧拉法

评价：

① 精度为1（整体）

②误差阶为2（局部）

• 梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.

• 改进的欧拉方法---

思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.

评价：

① 精度为2(整体) ②误差阶为3（局部）

2、龙格-库塔方法 思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。

注意：怎么计算任意斜率 Ki ？第 i 个点的斜率 Ki 有微分方程可以算出 f′=f(xn,yn)

所以要算的 f(xn,yn) 值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′

• 2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法

根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。

yn+1=yn+hK,K=c1K1+c2K2

其中， K1=f(xn,yn),K2=f(xn+0.5h,yn+0.5K1).

2阶龙格-库塔方法--局部误差为 O(h3) （误差阶为3）；整体误差 O(h2) （精度为2）

• 4阶-龙格-库塔方法

k1为区间左端点的斜率；

k2为区间中点的斜率，通过欧拉法，用斜率k1确定函数f在中点上的斜率k2

k3也是区间中点的斜率，通过欧拉法，用斜率k2确定函数f在中点上的斜率k3

k4是区间右端点的斜率，通过欧拉法，用斜率k3确定函数f在端点上的斜率k4

4阶-龙格-库塔方法----局部误差 O(h5) ; 整体误差为 O(h4)

2.1 单步法收敛性与稳定性

• 收敛性： 对任意固定的点，函数y在该点的真实值，随着迭代步数增加，所用公式的计算值都会趋于所产生的近似值都趋于真实值，称该方法收敛

公式收敛性判别：函数 f 对y满足利普希茨条件（充分条件），则数值微分求解公式是收敛的、

相容：欧拉法的增量函数与函数 f 相等，则称

欧拉法与初值问题是相容的

• 稳定性：微分方程数值法在某点的计算值发生细微的扰动 δ ，之后的计算值所产生的误差不超过 δ ,则称该方法稳定。

绝对稳定：在稳定的微分数值解法中，当某一步计算值有误差时，以后计算值的误差不会扩大，则称这种稳定是绝对稳定。

绝对稳定域：就是小区间的步长，使得微分数值公式是绝对稳定，而这些步长构成的区间称为绝对稳定域.

3、线性多步法 思想：下一次的计算值等于前 l 个的计算值的算法平均加上步长乘以多个斜率的算数平均

• 阿当姆斯外插法

思想：下一次的计算值等于前一次的计算值加上过前 l

个的计算值的插值函数在区间 [xn,xn+1] 上的积分

yn+1=yn+∫xnxn+1f(xn,yn)dx

• 阿当姆斯内插法

思想：下一次的计算值等于前一次的计算值加上过前 l 个的计算值的插值函数在区间上的积分

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常微分方程初值问题数值解法的比较

常微分方程初值问题数值解法的比较

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常微分方程初值问题数值解法的比较

数值计算实践—课程设计报告

课题名称 常微分方程初值问题数值解法的比较 完成时间 2013-1-17

姓名 班级 学号 成绩

一. 实验目的及内容

1实验目的：（1） 了解常微分方程初值问题的理论背景以及初值问题稳定性、收敛性的研究；

（2） 熟练掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及截断误差分析；

（3） 比较欧拉法、改进欧拉法及龙格-库塔法，能够选择合适的方法进行问题的研究计算；

2实验内容：求微分方程)10(1)0('xyyy（欧拉法求解）

求微分方程)10(1)0(2'xyyxyy（改进欧拉法求解）

求微分方程)10(1)0()1log(1'xyxy（龙格-库塔求解）

根据实验的结果进行分析，了解一般方法的的优缺点，稳定性，收敛性以及截断误差的分析，针对相应问题拿出有效方法得出最优的结果。

二．相关背景知识介绍以及初值问题稳定性的研究：

在科学与工程问题中，常微分方程表述物理量的变化规律，应用非常广泛，比如，天体运动的轨迹，机器人控制，化学反应过程的描述和控制以及电路瞬态过程分析等。这些问题中要求解随时间变化的物理量，即位置函数tty),(表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系。

考虑一阶常微分方程的初值问题 000')(],,[),,(yxybxxyxfy，如果存在实数,0L使

1 / 1 得,,|,|),(|),(|212121RyyyyLyxfyxf则称f关于y满足利普希茨条件，L称为利普希茨常数。

对于常微分方程初值问题000')(),,(ytyttytfy，考虑初值0y的扰动是问题的解)(ty发生偏差的情形。若t时)(ty的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的，否则该初值问题不稳定的。

常微分方程初值问题的基本数值解法分析

常微分方程初值问题的基本数值解法分析

第２５卷第２期　

２０１２年６月　海南师范大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｉｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．２　

Ｊｕｎ．２０１２　

常微分方程初值问题的基本数值解法分析　

林爽　，张杰　（１．大连工业大学信息科学与工程学院，辽宁大连１１６０３４；　２．辽宁师范大学数学学院，辽宁大连１１６０２９）　

摘要：微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛．文章分析了构造常　

微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，　推导出了Ｅｕｌｅｒ系列公式及三阶龙格一库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Ｅｕｌｅｒ　

公式的收敛性、稳定性进行了分析．　

关键词：常微分方程；数值解法；收敛性；稳定性　

中图分类号：Ｏ　２４１．８１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—４９４２（２０１２）０２—０１　１９—０３　

Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｂａｓｉｃ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｉｎｉｔｉａｌ　Ｖａｌｕｅ　

Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＬＩ　Ｎ　Ｓｈｕａｎｇ’。ＺＨＡＮＧ　Ｊｉｅ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ　１　１　６０３４，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈａｍａｔｉｃｓ，ＬｉａｏｎｉｎｇＮｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ　１１６０２９，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｓｃｉｅｎｃｅ，ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｐｒａｃｔｉｃｅｓ　

常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法

摘要:本文分别介绍了Euler法和常用的标准四阶龙格——库塔（Runge-Kutta）公式法来求常微分方程初值问题的数值解。通过两种不同方法求出解的结果，并将结果进行比较，分析两种方法的优劣。

关键字: Euler 四阶龙格-库塔 常微分方程初值问题 数值解

一、问题描述与分析

分别使用Euler法和四阶龙格-库塔公式法求解常微分方程初值问题的数值解。

例如：1)0()10(2222'ytttyy

1、微分方程的概念

未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为0)yy,yy,(t,(n)F。

如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为b(t)(t)yay(t)(t)yn1-1)-(n1(n)naay。若上式中n1,2,i(t)，ia,均与t无关，称之为常系数。

2、常微分方程的解析解

（1）微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1ydtdy，可以转化形式为dtydy1，两边同时积分可以得到通解1-tcey，其中c为任意常数。

(2)有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.

线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。

一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n阶方程)y,y,y(t,1)-(n(n)fy。设yy1，yy2，，1)-(nyyn，可将上式转化为以解方程组：)y,,y,y(t,n211-3221fyyyyyyynnn 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。

浅谈常微分方程初值问题数值解法

浅谈常微分方程初值问题数值解法

浅谈常微分方程初值问题数值解法

在自然科学、工程技术、甚至社会科学的一些领域中，常常会遇见一阶常微分方程的求解问题：

()

上述问题，寻求解的具体表达式十分困难，仅对一些特殊形式的才有可能找到解的解析表达式，在大多情况下，初值问题的解不能用初等函数表示出来即使可写出解的解析表达式，但因为这些表达式过于复杂，要计算它在某些点上的函数值也异常困难。在实际问题中，经常需要的恰是解在某些点上的函数值，因此研究初值问题的数值解法十分必要。

1 常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程的近似解法大体可分成三大类：一类是图解法和器械法；第二类是解的近似法；第三类是数值解法，即通过离散化的方法直接求出函数在某些点上的近似值，此数值解仅为精确解的近似解。其基本原理为：

一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数，因此求上述问题的数值解，就是在区间上的若干离散点上用离散化的方法将初值问题化成离散变量的相应问题，从而相应问题的解可作为初值问题理论解的近似值。由常微分方程的理论可知，只要在区域内连续，且关于满足林普希兹条件，则方程的解存在且唯一。

初值问题的数值解法通常采取“步进法”，而“步进法”又可分为“单步法”和“多步法”两类。

（1）单步法。所谓“单步法”是指在计算时，只用到前一步的有关信息。其一般形式为： ，主要包括下面三种方法：Euler方法，改进的Euler公式-梯形公式和Runge-Kutta法。

（2）线性多步法。单步法没有用到前几步计算得到的信息，因此为了提高精度，需重新计算多个点处的函数数值，如RK方法，故计算量较大。线性多步法的基本思想是充分利用前面的已知信息来构造精度高且计算量小的算法来计算。多步法常用方法是线性多步法，求解公式为：

构造的常用方法是Taylor展开和数值积分方法。常用的线性多步公式有： 四阶Adams显式公式：

四阶Adams隐式公式：

四阶Milne显式公式：

三阶Hamming公式： （隐式公式）