第九讲立体几何- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -首先，我们来学习一下长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．练一练．1．一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长_______厘米的正方形，它的表面积是_______平方厘米，体积是_______立方厘米．2．一个长方体的长是5分米，宽是45厘米，高是24厘米，它的表面积是_______平方厘米，体积是_______立方厘米．3．做一个长8分米，宽4分米，高6分米的长方体玻璃鱼缸，至少需要_______平方分米的玻璃．4．有一块棱长是10厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是_______厘米．如果要求这个长方体每条棱的长度都是整数厘米，它的表面积最小是_______平方厘米．相信同学们对于这些公式都很熟悉，但是对于较复杂的立体图形，往往我们并不能直接应用公式进行计算，这个时候又该怎么办呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．有30个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面积等于多少平方米？分析：所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了．练习1．用14个棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．例题2．一个正方体被切成24个大小形状相同的小长方体（见下图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？分析：我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的表面积是如何变化的．同学们请看下图：一刀下去，正方体被一分为二．表面积和原来比，正好多出了A，B两个面．不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积．按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积．同学们可以计算一下，按如图的方式切了6刀后，表面积究竟增加了多少？练习2．一个正方体被切成36个大小形状相同的小长方体（见下图），这些小长方体的表面积之和为500平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？例题3．如图，有一个边长为30厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为5496平方厘米，那么挖掉的小正方体的棱长是多少厘米？分析：挖去小正方体后，表面积会发生变化．如果挖的位置，最终结果会有区别吗？练习3．一个正方体棱长10厘米，在它的表面上挖去一个棱长3厘米的小正方体．请求出剩下立体图形表面积的所有可能．除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见．如图，圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高． 圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点；顶点到底面的距离叫做高，顶点到底面圆周上任意一点的连线叫做母线．关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计算它的体积即可．大家可以把圆柱想象成一个底面是圆形的柱子，那其他柱体也就是底面是其他图形的柱子．如图，所有“上下一般粗”的图形都称为柱体，图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱，它们的体积计算公式都是：底面底面求所形成的立体图形的体积．分析：圆柱体的底面半径和高与长方形的长和高有什么关系？圆锥体呢？练习4．有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径如图所示．圆柱体积及表面积分别是多少？圆锥的体积是多少？（π取3.14）6例题5．下图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少平方厘米？分析：打穿以后，表面积的计算有点复杂．想想都有哪些面是露在外面的？例题6．如图，一个底面长20分米，宽8分米，高15分米的长方形水池，存有三分之二池水．将一个高50分米，体积400立方分米的长方体竖直放入池中，那么长方体被水浸湿的部分有几分米高？分析：很明显长方体没有被水浸没，还有一部分在外面．水的体积没有变化过，但是形状发生了变化．原来是一个长方体，后来是什么样的形状？-正多面体正多面体，指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体．一共有五种正多面体，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．这些正多面体的作法都收录在了《几何原本》的第13卷中．柏拉图认为世界万物都是由火、气、水、土四元素构成的，其形状如正多面体中的四个．➢火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体．➢空气是用正八面体制的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑．➢当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体．➢土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如立方体．剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写道：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座．”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太，并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系起来．约翰内斯·开普勒依随文艺复兴建立数学对应的传统，将五个正多面体对应五个行星——水星、金星、火星、木星和土星，同时它们本身亦对应了五个古典元素．在立体图形中，正多面体非常对称．除了正多面体之外，还有很多图形也具有非常漂亮的对称性．下面就是一些例子，不过要注意，它们可不是正多面体哦．作业1.如图所示，一个正方体被切成16个大小形状相同的小长方体，这些小长方体的表面积之和为256平方厘米，那么原正方体的体积是多少？作业2.一个正方体棱长8厘米，在它的表面上挖去一个棱长为2厘米的小正方体．则剩下的立体图形表面积可能是多少？作业3.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小正方体的边长是多少？作业4.图中的立体图形中，每个小正方形的边长都是1．那么这个立体图形的表面积和体积分别是多少？作业5.正方形的边长为4，按照图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的体积和表面积分别是多少？（π取3）第九讲 立体几何例题1. 答案：72详解：用三视图法．从上往下看，面积为16平方米；从左往右看，面积为10平方米；从前往后看，面积也是10平方米．所以这个立体图形的表面积是()161010272++⨯=平方米．例题2. 答案：27详解：一共切了6刀，会增加12个大正方形的面积．加上原来的6个大正方形，一共有18个大正方形．162189÷=，每个大正方形的面积是9平方厘米，边长就应该是3厘米．正方体的体积是33327⨯⨯=立方厘米．例题3. 答案：4详解：在角上挖一个正方体，表面积不会增加．在棱上挖一个正方体，会增加2个小正方形的面积．在面上挖一个正方体，会增加4个小正方形的面积．一共增加了6个小正方形的面积．说明一个小正方形的面积是()25496630616-⨯÷=平方厘米，边长是4厘米．即小正方体的棱长是4厘米．例题4. 答案：（1）401.92，301.44；（2）37.68详解：（1）得到的旋转体为圆柱体，圆柱体的底面半径为4，高为8，则体积为2π48128π=401.92⨯⨯=，表面积为222π2π2π482π496π301.44r h r ⨯+=⨯⨯⨯+⨯⨯==．（2）以边长为4的直角边为轴旋转一周，所得立体图形为底面半径为3，高为4的圆锥体，体积为21π3412π37.683⨯⨯⨯==．例题5. 答案：120，126详解：从一个面中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，比原来增加4个面，增加了4平方厘米．共挖去6个正方体，增加24个面，增加了24平方厘米．加上原来的面积96平方厘米，共120平方厘米．如果把这些洞打穿，每个洞的表面积为31412⨯⨯=平方厘米，3个洞的表面积为36平方厘米．总的表面积变为96366126+-=平方厘米．例题6. 答案：101019详解：首先可算出这个长方体的底面积是8平方分米．将这个长方体竖直放入水中，该长方体一定不会被浸没．水池中水的体积为22081516003⨯⨯⨯=立方分米．放入长方体后水面的高度为()2001016002088101919÷⨯-==分米．长方体被水浸湿部分的高度也就是101019分米． 练习1.答案：46简答：()977246++⨯=．练习2. 答案：125简答：切了7刀，会增加14个大正方形，加上原来的6个一共20个．由此可知每个大正方形的面积是5002025÷=平方厘米，边长是5厘米．原正方体的体积是125立方厘米． 练习3.答案：600平方厘米，618平方厘米，636平方厘米简答：如果从角上挖，表面积不变，仍为600平方厘米；如果从棱上挖，表面积增加2个小正方体的面，表面积变为60092618+⨯=平方厘米；如果从面上挖，表面积增加4个小正方体的面，表面积变为60094636+⨯=平方厘米． 练习4.答案：696，768简答：如果只挖6个小正方体，表面积会增加24个小正方形，变成22610242696⨯+⨯=平方厘米．如果打穿，表面积为22610622424768⨯-⨯+⨯⨯=平方厘米．作业1. 答案：300简答：切了3刀，增加了6个面．切开后，立体图形的表面积为5512300⨯⨯=．作业2. 答案：384、392或400平方厘米简答：有挖角上、棱上与面上三种可能．作业3. 答案：3简答：各挖掉一个小正方体后，表面积会增加6个小正方形的面积．那么一个正方形的面积是()2454240069-÷=平方厘米，小正方体的棱长为3厘米．作业4. 答案：46，14简答：从上面可以看到9个正方形；从左边可以看到7个正方形，还有一个看不到的，一共8个；从前面可以看到6个正方形．所以表面积为()986246++⨯=．体积为14．作业5. 答案：48，72简答：旋转得到的圆柱底面半径为2，高为4．441648V ππ=⨯==，42442472S πππ=⨯+⨯==．。
第一讲圆与扇形初步- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -圆是宇宙中最简单的图形：天上的太阳、月亮、行星和恒星，它们在太空中呈现圆和球形；地上的滚滚车轮，家里的盘子、碗、钟表也都是圆的．在自然界中，没有像圆那样美的图形了．圆匀称、饱满、光滑、对称，常用来象征吉祥如意，表达人们的良好愿望：圆满、圆梦、团圆……古希腊毕达哥拉斯学派认为：“一切立体图形中最美的是球体，一切平面图形中最美的是圆形”．他们认为，圆是神创造出来的最完美的东西．在纸上画一点O ，并在纸上找到所有与O 距离为1的点，如A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ……等．这些点合到一起，就构成一个圆．．点O 就称为该圆的圆心．．；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA 、OB 、OC 、OD 等）叫半径．．；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直．径．．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率．．．，用希腊字母π表示．很早的时候，人们就利用滚圆法知道了π大约是3．随着科学的进步，现在我们已经知道圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值3.14．直径长度通常用字母d 来表示，半径长度通常用r 来表示，圆周长通常用C 来表示．于是有圆周长公式：习惯上，圆面积用字母S 来表示．它的计算公式为：这一计算公式可以通过圆的周长公式推导出来．大家仔细观察下图，想想看应该如何推导？练一练下面的题目中，π都取为3.14．1.已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的周长为_______厘米；2.已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为_______厘米；3.已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的面积为_______平方厘米；4.已知一个圆的面积为78.5平方厘米，那么这个圆的半径为_______厘米．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．需要注意的是，扇形的弧长不是它的周长．．．．．．．．．．．，扇形的周长还必须加上两条半径！练一练5. 已知一个扇形的半径是2厘米，圆心角是45°，那么这个扇形所在圆的面积是_______平方厘米；扇形的圆心角占圆周角的____分之____，它的面积占圆面积的____分之____，这个扇形的面积是______．6. 已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为________厘米，周长是_______厘米；面积为_______平方厘米．7. 已知一个扇形的半径为4厘米，面积为12.56平方厘米，它的弧长等于_______厘米，周长等于______厘米．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（π取3.14） 分析：小圆的直径是多少？练习1．半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π取3.14）例题2．如图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（π取3.14） 分析：大圆的半径是多少？小圆的半径又是多少？练习2．如图，在一块面积为12.56平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -一个规则的圆或扇形直接利用公式就可以求解，但一个不规则图形就没那么容易．在求解之前，先得当一回“裁缝”，将图形拆分、重组，然后再利用规则图形的相加或相减来进行求解．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：经过适当的分割和移动，图中不规则的阴影部分可以拼成规则的几何图形．练习3．图中的4个圆的圆心恰好是正方形的4个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）444例题4．如图是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）分析：图（2）中整个图形的面积是多少，空白部分的面积又是多少？先列出算式，看看有没有可以抵消的部分．练习4．下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让A 点不动，把整个半圆顺时针转30°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？小知识圆有很多有意思的性质：➢ 圆心到圆上的每个点的距离都相等，这是圆的定义．➢ 每条经过圆心的直线都把圆平分为两半，都是圆的对称轴，因而圆有无数条对称轴． ➢ 圆绕着圆心任意旋转，所得的图形与原来的圆重合．➢ 所有的圆之间都可以通过缩放相互转换，因而圆只有唯一一种形状，任意两个圆都是相似的．➢ 所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．因而圆也被称为平面上最完美的图形．A BB （1）（1） A A B B （2）例题5．图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？分析：图中的阴影部分虽然很对称，但并不规则，无法用公式直接计算．那能不能通过恰当的割补将其变为一个规则图形进行求解呢？同学们不妨动手试一试．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例6． 右图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）分析：阴影部分的两个小弓形可以拼到哪里？圆的历史圆形，是一个看来简单，实际上十分奇妙的图形．古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆．到了陶器时代，许多陶器都是圆的．圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤．古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲．后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多．约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘．大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子．会作圆，但不一定就懂得圆的性质．古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468~前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330~前275年）给圆下定义要早100年．任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示．它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr．《周髀算经》上说“周三径一”，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值．美索不达米亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3．魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值．他创立了割圆术，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长．他算到圆内接正3072边形的圆周率，π=3927/1250．刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就．祖冲之（公元429~500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率．在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值．现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后12400亿位了．作业1. 面积为78.5平方厘米的圆，周长是多少厘米？（π取3.14）作业2. 一个半径为3分米的扇形，面积为6.28平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π取3.14） 作业3. 如图，三角形ABC 为等边三角形，边长为2，D 为BC 边中点．分别以B 、C 为圆心、1为半径作两个扇形（即图中阴影部分）．那么阴影部分的面积是多少？（π取近似值3.14，结果保留2位小数） 作业4. 如图，ABCD 是正方形，且F A =AD =DE =1，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，π取3.14）第4题图第3题图第一讲 圆与扇形初步例题1.答案：62.8米详解：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是2π5262.8⨯⨯=米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆． 例题2.答案：6.28平方厘米详解：228.26 3.143÷=，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为228.2671 3.14 6.28-⨯⨯=平方厘米．例题3.答案：4；4.56；8详解：（1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半．即44224⨯÷÷=．（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一个完整弓形，面积为1144 3.1444 4.5642⨯⨯⨯-⨯⨯=． （3）割补法．正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积，即4428⨯÷=．例题4.答案：4.71详解：图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为60°的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为60°的扇形面积，即21π3 4.716⨯⨯=．例题5.答案：8平方厘米详解：如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径的两倍，等于4厘米，所以面积为平方厘米．例题6.答案：4.56详解：如图，把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，可以看出阴影部分的面积之和等于大扇形的面积减去圆中正方形的面积．21π4442 4.564⨯⨯-⨯÷=．4428⨯÷= 444练习1. 答案：62.8简答：()1234 3.14262.8+++⨯⨯=．练习2. 答案：6.28简答：大圆的面积是12.56，可求出大圆的半径是2，那么小圆的半径是1，面积是3.14．阴影部分的面积是12.56 3.14 3.14 6.28--=．练习3. 答案：10.28简答：图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为2的正方形和两个半径为1的圆，22 3.1411210.28⨯+⨯⨯⨯=．练习4. 答案：9.42简答：类似例题4的分析，可知阴影部分的面积与30°的扇形面积是相同的，都是21π69.4212⨯⨯=．作业1.答案：31.4 简答：278.5 3.1425r =÷=，5r =．2 3.14531.4C =⨯⨯=厘米． 作业2. 答案：80简答：扇形所在大圆的面积是23.14328.26⨯=，圆心角是6.283608028.26⨯=度． 作业3. 答案：1.05简答：阴影部分是两个60°的扇形，面积是213.1412 1.056⨯⨯⨯≈． 作业4. 答案：0.6075简答：连接BD ，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形BDEC 的面积减去扇形的面积．24511 3.141=0.6075360S =⨯-⨯⨯n 影． 作业5. 答案：12平方厘米 简答：阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形，面积是344412⨯⨯÷=平方厘米；。
