高等数学第七章测试题答案第版

习题7-1

1. 下列向量的终点各构成什么图形？

（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；

（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；

（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；

（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。

2． 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量,,,,,,,,OAOBOCODOEOFABBC,,,CDDEEFFA中，哪些向量是相等的？

答：,OAEF,OBFA,OCAB,ODBC,OECD.OFDE

3.平面四边形,ABCD点,,,KLMN分别是,,,ABBCCDDA的中点，证明：.KLNM当四边形ABCD是空间四边形时，上等式是否仍然成立？

证明：连结AC, 则在BAC中，KL21AC. KL与AC方向相同；在DAC中，NM21AC.

NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.当四边形ABCD是空间四边形时，上等式仍然成立。

4． 解下列各题：

（1）化简2332;xyxyabab

（2）已知12312323,322,aeeebeee求,,32ababab.

解：（1）2332xyxyabab

23322332xyxyxyxyab

55xyxy=ab;

（2）123123123233225;abeeeeeeeee

12312312323322;abeeeeeee+ee

123123123123323232322693644abeeeeeeeeeeee235.ee

5．四边形ABCD中，2,568ABCDacabc,对角线,ACBD的中点分别是,,EF求.EF

第七章测试题答案

一、填空（20分）

1、5322xyxyxyx是3阶微分方程；

2、与积分方程xxdxyxfy0),(等价的微分方程初值问题是0),(0xxyyxfy；

3、已知微分方程02yyy，则函数xexy2不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；

4、设1y和2y是二阶齐次线性方程0)()(yxqyxpy的两个特解，21,CC为任意常数，则2211yCyCy一定是该方程的

解（填“通解”或“解”）；

5、已知1y、xy、2xy是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221xCxCy；

6、方程054yyy的通解为)sincos(212xCxCeyx.

7、微分方程xyycos4的特解可设为xBxAysincos*；

8、以221xx为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：

044yyy；

9、微分方程1xeyy的特解*y形式为：baxeyx；

10、微分方程044yyyy的通解：xCxCCx2sin2cose221。

二、（10分）求xxyy的通解.

解：由一阶线性微分方程的求解公式

)(11Cxdxeeyxdxx，

三、（10分）求解初值问题2)0(,0yxyy.

解：0xyy 分离变量xxyydd1，

两边同时积分Cxyln2ln2，22exCy，

又由2)0(y，得2C，故222xey

四、（15分）曲线的方程为)(xfy，已知在曲线上任意点),(yx处满足xy6，且在曲线上的)2,0(点处的曲线的切线方程为632yx，求此曲线方程。

解：xy6得123Cxy，213CxCxy，

又由32)0(,2)0(yy知，2,3221CC，

高等数学测试（第七章）

一. 选择题（每小题3分，共30分）：

1.下列结论正确的是（ ）

A.若||||ab，则有ab B.若非零向量{,,}axyz与xOy面垂直，则0z

C.若abac，0a，则bc D.对于两个向量总有abba

2.设{1,1,1},{1,1,1}ab，则有（ ） A.//ab B.ab C.π(,)3ab D. 2π(,)3ab

3.平面21xy的位置是（ ） A..与x轴平行 B.与z轴垂直 C.与xOy面垂直 D. 与xOy面平行

4.直线2121xyyz与直线11101xyz的位置关系（ ）A.平行B.重合C.垂直D.既不平行也不垂直

5.直线32112xyz与平面10xyz的位置关系式（ ）

A.垂直 B.相交但不垂直 C.直线在平面内 D.平行

6. 柱面20xz的母线平行于（ ） A.y轴 B.x轴 C.z轴 D.zOx面

7．曲面2224zxy称为（ ）A.椭球面 B.圆锥面

C.旋转抛物面 D.椭圆抛物面

8.在空间直角坐标系下，方程222199164xyzz表示的是（ ）A.一条直线 B.一个点 C. 椭圆 D.两个圆

9.旋转曲面122222zyx是( )

A.xOy面上的双曲线绕x轴旋转所得 B.xOz面上的双曲线绕z轴旋转所得

C.xOy面上的椭圆绕x轴旋转所得

D.xOz面上的椭圆绕x轴旋转所得

10.双曲线014322yzx绕z轴旋转所成的曲面方程为( )

A. 143222zyx B. 143222zyx C. 14322zyx D. 14322zyx

习题7-1

1.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.

（1）(,)0,0xyxy；

（2）22(,)14xyxy；

（3）2(,)xyyx；

（4）2222(,)(1)1(2)4xyxyxy且.

解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0xyx或0}y.

（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为

2222{(,)1}{(,)4}xyxyxyxy.

（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}xyyx.

（4）集合是闭集，有界集；边界为

2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}xyxyxyxy

2.已知函数(,)vfuvu，试求(,)fxyxy.

解 ()(,)xyfxyxyxy.

3.设44(,)2fxyxyxy，证明：

2(,)(,)ftxtytfxy.

解4422442244(,)222ftxtytxtytxytxytxytxyxy

2(,)tfxy.

4.设22xyyfxx (0)x，求()fx.

解 由于222211yxyxyfxx，则21fxx.

5.求下列各函数的定义域：

（1）2222xyzxy； （2）ln()arcsinyzyxx； （3）ln()zxy； （4）22221xyzab；

（5）zxy； （6）22arccoszuxy.

解 （1）定义域为(,)xyyx；

（2）定义域为(,)xyxyx；

（3）定义域为(,)0xyxy，即第一、三象限（不含坐标轴）；