高等数学第七章微分方程试题及答案

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第七章 常微分方程

一．变量可分离方程及其推广

1．变量可分离的方程

（1）方程形式：0yQyQxPdxdy 通解CdxxPyQdy

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

（2）方程形式：02211dyyNxMdxyNxM

通解CdyyNyNdxxMxM1221 0,012yNxM

2．变量可分离方程的推广形式

.

（1）齐次方程xyfdxdy

令uxy， 则ufdxduxudxdy cxcxdxuufdu||ln

二．一阶线性方程及其推广

1．一阶线性齐次方程

0yxPdxdy它也是变量可分离方程，通解dxxPCey，（c为任意常数）

2．一阶线性非齐次方程

xQyxPdxdy 用常数变易法可求出通解公式

令dxxPexCy 代入方程求出xC则得CdxexQeydxxPdxxP

【

3．伯努利方程

1,0yxQyxPdxdy

令1yz把原方程化为xQzxPdxdz11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：xyPyQdxdy1可化为yQxyPdydx 以y为自变量，x为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

三、可降阶的高阶微分方程

方程类型 ！

解法及解的表达式

xfyn 通解nnnnnnCxCxCxCdxxfy12211次

yxfy, 令py，则py，原方程

pxfp,——一阶方程，设其解为1,Cxgp，

即1,Cxgy，则原方程的通解为21,CdxCxgy。

yyfy, [

令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydydpdxdpy

把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1—一阶方程，

设其解为,,1Cygp即1,Cygdxdy，则原方程的通解为

21,CxCygdy。

四．线性微分方程解的性质与结构

我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

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二阶齐次线性方程 0yxqyxpy （1）

二阶非齐次线性方程 xfyxqyxpy （2）

1．若xy1，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合xyCxyC2211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（为常数），也即xy1与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy2211

2．若xy1，xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则xyxy21为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则xyxy为此二阶非齐次线性方程的一个特解。

4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xyCxyC2211为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设xy1与xy2分别是xfyxqyxpy1与 xfyxqyxpy2的特解，则xyxy21是

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xfxfyxqyxpy21的特解。

五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程

1．二阶常系数齐次线性方程

0qyypy 其中p，q为常数， 特征方程02qp

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（1）特征方程有两个不同的实根1，2则方程的通解为xxeCeCy2121

（2）特征方程有二重根21 则方程的通解为xexCCy121

（3）特征方程有共轭复根i， 则方程的通解为xCxCeyx sin cos21

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2．n阶常系数齐次线性方程

012211ypypypypynnnnn其中nipi,,2,1为常数。

相应的特征方程0 12211nnnnnpppp

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（1）若特征方程有n个不同的实根n,,, 21则方程通解

xnxxneCeCeCy2121

（2）若0为特征方程的k重实根nk则方程通解中含有

y=xkkexCxCC0121

（3）若i为特征方程的k重共轭复根nk2，则方程通解中含有 xxDxDDxxCxCCekkkkx sin cos121121

(

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

六、二阶常系数非齐次线性方程

方程：xfqyypy 其中qp,为常数

通解：xyCxyCyy2211

其中xyCxyC2211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求

1．xnexPxf其中xPn为n次多项式，为实常数，

（1）若不是特征根，则令xnexRy

—

（2）若是特征方程单根，则令xnexxRy

（3）若是特征方程的重根，则令xnexRxy2

2．xexPxfxn sin 或 xexPxfxn cos

其中xPn为n次多项式，,皆为实常数

（1）若i不是特征根，则令xxTxxReynnx sin cos

（2）若i是特征根，则令xxTxxRxeynnx sin cos 例题：

一、齐次方程

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1.求dxdyxydxdyxy22的通解

解：10)(22222xyxyxxyydxdydxdyxyxy

令1,2uudxduxuuxy则 0)1(duuxudx

11Cxdxduuu，1||lnCuxu，xyuuCceyceexu,1

2. 011dyyxedxeyxyx

解：yxyxeyxedydx11，令yuxuyx,.(将y看成自变量)

dyduyudydx, 所以 uueuedyduyu1)1(

uuuuueeuueeuedyduy11

$

ydydueueuu1, ydyeueuduu)(, yyceuu1lnlnln ceuyu1,

yxueyxceucy, cyexyx.

二、一阶线形微分方程

1..1)0(,0)(ydyxyydx

解：可得0)1(1xyxdydx. 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 )ln(ycyx.

0)1(x, 0c. 所以得解 yyxln.

2.求微分方程4yxydxdy的通解

解：变形得：341yxydydxyyxdydx即，是一阶线性方程3)(,1)(yyQyyP CyyCdyeyexdyydyy413131

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三、伯努力方程63'yxyxy

解：356'xyyxy， 256xxyydxdy，

令,5uy ''56uyy, 25xxuu，255'xuxu.

解得 )25(25xcxu， 于是 35525xcxy

四、可降阶的高价微分方程

1.求)1ln()1(xyyx的通解 解：令pypy则,,原方程化为)1ln()1(xppx

1)1ln(11xxpxp 属于一阶线性方程

￥

111111)1ln(Cdxexxepdxxdxx

11)1ln()1ln(1111xCxCdxxx

2111)1ln(CdxxCxy 212)1ln()(CxxCx

2.1)0(',2)0()'(''22yyyyy，

解：令dydppypy'''，则，得到 ypdydpp22

令up2, 得到yudydu为关于y的一阶线性方程.

1)]0('[)0(0|22ypxu，解得 yceyu1

所以 2)0(121)0(0|1ceceyxuy, 0c.

于是 1yu, 1yp

dxydy1, 112cxy, 2211cxy

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