定积分元素法的步骤

习题6-1定积分的元素法 习题6-2定积分在几何上的应用（一）

420424041sincos4(cossin)(sincos)(sincos)(cossin)222..xxxSxxdxxxdxxxxx解：当时，

22222222000222200222021(1cos)(1cos2cos)222cos21(12cos)(3cos24cos)22413(3sin24sin).422.aaSdddaaddaa解：极坐标的情形

2223(,0)(cos,sin),2cossin.1(2sin2)sin(sinsincos)2'(coscossin)[coscos(2)](2coscos1)1'0cos1.2cos0,.aatbtatbtSatabtabtttSabtttabttabttStt解：设等腰梯形与椭圆在第一象限的非的交点为则梯形的上底为，高为令，则或∵交点在第一象限max1cos.23,sin()03231333(1).224tttSSabab，

4、22sin566cos2或

根据对称性，所围成图形的面积为：

264106640664061122(2sin)(cos2)22(1cos2)cos211(sin2)sin22231364243162AAdddd 2224233332222403424332855(1)505(1)200(1)400200()2363(1)200()3(1)2003(1)4(1)200(3)'3(1)3(1)03qpypxqx.pxqxyxqpqpqqqqApxqxdxpppqqAfqqqqqqqqAqqqQ解：在第一象限相切，令时3max4,0,3,0,20032253.3432AqAqA时时，

高等数学教案 定积分的元素法

1 第六章 定积分的应用

第一节 定积分的元素法

如果某一实际问题中的所求量U满足:

(1)U是与x的变化区间],[ba有关的量;

(2)U关于],[ba具有可加性,即U=iiU;

(3)iiixfU)(.

则可用定积分表示该量U.

该方法(即定积分的元素法)的基本步骤是:

(1)选取一个变量如x为积分变量,并确定积分区间],[ba(即积分变量x的变化范围);

(2)在],[ba上任取一个小区间],[dxxx,求出所求量U在],[dxxx的元素dU的表达式(即为被积表达式)

dU=dxxf)(.

其中)(xf为],[ba上的连续函数,dxxfU)(是dxx的高阶无穷小.

(3)求定积分,即

babadxxfxdUU)()(.

注：在上章讨论的曲边梯形的面积问题中，求曲边梯形的面积就是采用元素法。其它许多实际问题都采用元素法。

周次 日期 课时安排 2

课题 §6.1定积分的儿素法

教材的重

点、难点

分析 重点：定积分的元素法。

难点：理解“以直代曲，以不变代替”变化的原则是等价无穷小的替换

教

学

目

标 1. 理解微元分割法（元素法）的原理

2. 掌握定积分元素法的思想

教学方法

和

教学手段

教

学

过

程 一、回顾曲边梯形面积计算

1. 分割：将区间分成n个小区间［七］,早于是 A 二 £

i=1

2. 近似代替：¥.牝 f（§）¥. ▼§.日七1，七］（i = 1,2， ，n）

3. 求和：A w£ f （& ）Ax

i i

i=1

4. 取极限：A = lim£f （& ）Ax = f f （x）dx

i =1 a

二、元素法

1. 能用定积分计算的量，应满足下列三个条件

(1) U与变量人的变化区间［a,b］有关；

(2) U对于区间［a,b］具有可加性；

(3) U部分量AU.可近似地表示成f (& i) •电i。

2. 写出计算U的定积分表达式步骤

(1) 根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间［a, b］；

(2) 设想将区间［a，b］分成若干小区间，取其中的任一小区间任，x + d］,

求出它所对应的部分量AU的近似值

AU机f (x)dx ( f (x)为［a,b］上一连续函数)

则称f (x')dx为量U的元素，且记作dU = f (x)dx。

(3) 以U的元素dU作被积表达式，以［a, b］为积分区间，得

U = f f (x)dx

a

这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素dU的微分表达式

dU = f (x)dx(a < x < b)

因此，也称此法为元素法。

课后

作业

教学

后记 教

学

过

程

周次 日期 课时安排 2

课题 §6.2定积分在几何上的应用

教材的重

点、难点

分析 重点：直角坐标系下元素法在几何上的应用

难点：极坐标系下元素法在几何上的应用

本科高等数学

第六章 定积分的应用

教学内容与基本要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形面积，平面曲线的弧长、体积、变力作功、引力、压力等）

第一节 定积分的元素法

㈠．本课的基本要求

掌握掌握定积分的元素法的思想

㈡．本课的重点、难点

元素法的思想为重点，其条件为难点

㈢．教学内容

1．定积分的定义（略）

注：1.所求量A与[a,b]有关且所求量对积分区间具有可加性，即积分区间分为若干个区间，总体量也分为若干部分且等于这若干部分之和

2.iiiAxf)(, iiixxf是)(的线性函数，且与iA之差是比ix还要高阶的无穷小──线性性

badxxfA)(

方法：1.取典型子区间：],[dxxx其对应的部分量为ΔA

2.dxxfA)(──A的微元（面积元素），iAAdxxfdA,)(

3.badxxfA)(

所求量总体I满足下列条件才能用定积分

1.I与某变量x所在的区间有关

2.I对于[a,b]具有可加性

3.部分量dxxfI)(（线性性）

可简化为两步：

1．分割区间[a,b]，取其中任上小区间],[dxxx，求出相应的部分量I的近似值dxxf)(，称它为所求量I的微元，记为I=dxxf)(，即不变代变求积分

2．对这些微分在[a,b]上无限求和，即在整个区间上求积分得所求量badxxfI)(，即微分累积成积分

上面这种“无限细分”及“无限求和”两步解决问题的方法称为微元法（或称元素法）

以下各节，我们就用微元法的思想来讨论定积分在几何、物理方面的一些应用。