高中数学函数的奇偶性及周期性

判断函数奇偶性应注意的问题

代红芳

一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的偶函数，一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的奇函数。

为理解定义，在学习时应注意以下两点：

1. 定义中要求“对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf或xfxf”成立，可见xf必有意义，即x也必属于xf的定义域，于是奇偶函数的定义域应是一个在数轴上表示为关于原点对称的点集，也就是说，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数一定不是奇函数也不是偶函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要不充分条件。

2. 定义中的等式xfxf（或xfxf）是定义域上的恒等式，即对定义域内所有的x成立而不是仅对部分x成立。如函数,1|x|1x,1|x|1xf当1|x|时，都有xfxf，但它并不是偶函数，显然2x时，3xf，而当2x时，1xf，两者并不相等。

由上可知利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，关键看两点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）关系式xfxf，xfxf哪个成立。

判断函数奇偶性具体步骤如下：先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则有成为奇偶函数的可能，此时，若xfxf成立，则为偶函数；若xfxf成立，则为奇函数；若xfxf成立，则既是奇函数也是偶函数；若xfxf和xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。

下面就判断函数奇偶性应注意的问题，列举几个方面。

一、忽视定义域出错。

例1. 判断下列各函数是否具有奇偶性。

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

(一)复习指导

单调性：

设函数y＝f(x)定义域为A，区间MA，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当Δy=f(x2)－f(x1)＜0时，就称f(x)在区间M上是减函数．

如果y＝f(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间．

函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1＜x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小．

利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．

对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．

此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．

奇偶性：

(1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．

函数的奇偶性有如下重要性质：

f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．

f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．

此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．

周期性：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

第 1 页 函数奇偶性与周期性基础过关

奇偶性的概念：

1．几何图形的角度：

2．代数表达式：

判断奇偶性的方法：

1．求定义域，作图

2．“一看”，“二验”，“三判断”

奇偶函数的运算性质：

奇奇 偶偶 奇*奇 奇*偶 偶*偶

复合函数奇偶性：

内外函数均具有奇偶性时，有偶则偶，无偶则奇．

复合函数单调性的表达：

若函数axf为奇函数，则函数xf的图像关于点0,a中心对称，且axfaxf．

函数的奇偶性与单调性的关系：

如果函数存在奇偶性，则在定义域的对称位置奇函数的点调性相同，偶函数的单调性相反

对函数奇偶性的两点说明：

①函数xf为奇函数，并且定义域内有000f

定义域内有0且00fxf为奇函数

②已知函数奇偶性，代点求参数值必须检验．

函数奇偶性延伸的函数的一般的对称性质：

1．如果函数关于直线ax对称，则函数满足下列常见形式：

xafxaf，xafxf2„ 第 2 页 2．如果函数关于点0,a中心对称，则函数满足下列常见性质：

xafxaf，xafxf2

练习：

1．指出下列函数所满足的性质

（1）022xfxf（2）11xfxf（3）xfxf11

函数的周期性：

若函数满足下列性质，则函数为周期函数：

1．aTaxfxfRx,

2．aTaxfxfRx,

3．abTbxfaxfRx,

4．aTRCCaxfxfRx2,,

5．aTCCaxfxfRx20,,

6．aTxfaxfaxfRx62,

函数的对称性与周期性的关系：

高中数学公式大全函数的奇偶性与周期性的判定公式

高中数学公式大全：函数的奇偶性与周期性的判定公式

在高中数学中，函数的奇偶性和周期性是我们常常需要研究的性质之一。通过判定函数的奇偶性和周期性，我们可以更好地了解函数的特点，解决问题。本文将介绍函数的奇偶性和周期性的判定公式，帮助高中数学学习者更好地理解和应用这些概念。

一、函数的奇偶性判定公式

函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值是否具有对称性的特点。下面是函数奇偶性的判定公式：

1. 若对任意的 x，有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 为偶函数。

例如，f(x) = x^2 就是一个典型的偶函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2

= f(x)。

2. 若对任意的 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。

例如，f(x) = x^3 就是一个典型的奇函数，因为 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

通过奇偶性的判定公式，我们可以方便地判断一个函数是偶函数还是奇函数。这在解题过程中具有重要的作用。

二、函数的周期性判定公式 函数的周期性是指函数在某一区间内，其函数值具有重复的规律性。下面是函数周期性的判定公式：

1. 若存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。

例如，f(x) = sin(x) 是一个周期为 2π 的函数，因为 sin(x+2π) =

sin(x)。

2. 若函数 f(x) 的定义域为全体实数集合 R，且存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。

例如，f(x) = tan(x) 是一个周期为 π 的函数，因为 tan(x+π) = tan(x)。

通过周期性的判定公式，我们可以快速确定函数是否具有周期，并且求出函数的周期值。