4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
自由振动微分方程：
设它为：
可得如下主振型方程
（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得
可化为
）可化为
）就有着相同的形式。 柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有 或
两种系统矩阵之间有着互逆关系：
、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。
振型问题。鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。
征方程。对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程：
（4-20） 的特征根，亦称矩阵的特征值。特征值与系统固有频率之间有如下关系：
可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有
上述结论。
半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征矢量。这样，对于任何一个自由度系征矢量）。 统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。事实上，按逆阵的表示，有
中各列与充其量只相差一个常数乘子。 统中，有，。求系统的主振型。
（4-23）
中第三列正是取为基准的主振型：
第三章 两自由度系统振动
§3-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]
２００８年１０月 噪声与振动控制 第５期
文章编号：１００６—１３５５（２００８）０５—００２８—０５
两自由端多自由度振动系统计算程序设计
许振杰，黄嘉兴，梁 斌，李 广
（中国矿业大学机电工程学院，江苏徐州２２１００８）
摘要：对两自由端多自由度振动系统进行分析，阐述应用数值计算方法寻找系统主频率的方法。针对该种 方法，基于ＶＢ语言，编写系统主频率和主振型的计算程序。针对具体系统给出计算结果。总结该程序的特点和局 限性。 关键词：振动与波；多自由度；振动系统；Ｖｉｓｕａｌ Ｂａｓｉｃ；计算程序 中图分类号：ＴＰ３０１．６；ＴＨ１１３．１ 文献标识码：Ａ
Ｐｒｏｇｒａｍ Ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－Ｆｒｅｅｄｏｍ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ
Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｔｗｏ Ｆｒｅｅ Ｅｎｄｓ
ＸＵ Ｚｈｅｎ－ｊｉｅ，ＨＵＡＮＧ Ｊｉａ—ｘｉｎｇ，ＬＩＡＮＧ Ｂｉｎ，ＬＩ Ｇｕａｎｇ （Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｍｉｎｉｎｇ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ Ｊｉａｎｇｓｕ ２２１００８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｄｅｇｒｅｅ。ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｆｒｅｅ ｅｎｄｓ ｗａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｎ— ｐｕｔｅｒ ｐｒｏｇｒａｍ ｆｏｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ￣ｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｗａｓ ｗｒｉｔ— ｔｅｎ ｉｎ ＶＢ ｃｏｄｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｌｉｍｉｔａ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗａｖｅ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｄｅｇｒｅｅ—ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ；ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ；Ｖｉｓｕａｌ Ｂａｓｉｃ；ｃｏｍ— ｐｕｔｅｒ ｐｒｏｇｒａｍ
第２７卷第１期 振动与冲击 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ
关于线性和非线性系统内在的本质联系 ——多自由度非线性系统的定量和定性分析 郑兆昌 （清华大学航天航空学院工程动力学研究所，北京１０００８４） 摘 要：多自由度非线性振动问题是历史性国际难题，其求解方法有数值解和渐近解析解或两者结合。基于近代 有限元和子结构模态综合法的动力学建模方法，获得非线性系统动力学微分方程，其自由度几乎没有限制，对左端首次近 似齐次方程进行模态分析，选取对响应有贡献的部分本征对，同样对右端激励和非线性伪力作模态变换，得到减缩后非线 性系统耦合动力学微分方程。用数值方法求出系统非线性响应进行定量分析，也可获得在指定参数的变动中可能发生的 主谐、超谐、亚谐和组合共振，极限环和分岔、混沌等各种非线性振动现象，但其缺点是不能作一般性定性分析。渐近解析 解可进行分岔混沌现象的定性分析，但迄今只限于单、两自由度系统。若系统进入共振状态，系统响应相应急剧增加到大 振幅振动，振动从微幅线性振动过渡到大幅非线性振动，因之系统运动主要由所涉及的各阶单一主模态所控制。这可称 为“单模态共振理论”。当发生共振时，单模态理论可把多自由度系统变换为解耦的多个单自由度系统，因之可采用渐近 解析法逐个进行分岔混沌等定性分析，这就克服了高自由度非线性系统定性分析的困难。为了剖析线性和非线性系统内 在的本质联系，论证了首次近似表征线性系统特性的主模态是沟通线性振动和非线性振动之间的桥梁，揭示了高自由度 线性振动和非线性振动都是以线性主模态呈现其运动规律。 关键词：动力学建模方法；非线性振动响应数值解法；渐近奇异摄动法；主模态；ＳＹ岔 中图分类号：０３２２ 文献标识码：Ａ 多自由度非线性系统的求解之难题，长期以来受 到历史性挑战，从数学角度，即使是单、双自由度非线 性系统，但从工程实用要求，绝非单、双自由度能予描 述，随着计算机和计算技术的迅猛发展，为了更接近描 述真实系统，自由度更不断按量级增加，这种数学上的 追求和工程要求之间矛盾似乎日益增大。 以Ｎａｙｆｅｎ和Ｍｏｏｋ…为代表的各种非线性著作，迄 今为止得到的渐近解析解只限于两自由度非线性振 动。Ａｒｎｏｌｄ曾指出 Ｊ：在众多的非线性振动问题中，线 性化导致适宜的近似解。即否如此，研究线性问题经 常是第一步，接着才是研究非线性系统和线性模态之 间的运动关系。本文揭示了两种研究方法之间的内在 的本质联系，表明孤立地研究线性振动和非线性振动 方法，难以解决高于两自由度非线性振动分岔、混沌现 象的定性分析。 本文论证了表征线性系统特性的主模态是沟通线 性振动和非线性振动的桥梁。揭示了线性主模态在非 线性振动中虽不能解耦，但仍然以其耦合组合成高自 由度运动规律。在各种共振状态下呈现的大幅非线性 分岔现象，其运动将以更少的线性主模态，大都是以 单、双线性模态呈现出来。本文提出共振区大幅非线 性振动甚至可近似采用单模态理论，发现适用于高自 由度非线性系统在共振状态下运动规律仍由对应于各 收稿１３期：２００７—１０—０８修改稿收到日期：２００７—１２—２４ 第一作者郑兆昌男，博士生导师，教授，１９３３年生 阶主模态所控制，这一分析方法和非线性振动的渐近 解析解相融合，线性系统主模态犹如杠杆撬开了高自 由度非线性系统定性、定量分析的大门。隐藏在线性 振动背后的高自由度非线性振动的千变万化现象，也 将由少量主模态继续不断地被揭示出来，最低阶主模 态理论将对突发性严重毁灭性事件做出定性分析，从 而成为可以预测和防止的重要手段。 作者所在研究室在上世纪７０年代末开始，针对工 程实际中大型机械／结构建造中存在的大量工程动力 学问题的研究 ，就是利用不断迅速发展的数字计 算机，提出了弱耦合 、陀螺模态 、主副子结构 等 模态综合分析方法，应用于车辆、核工程 等，提出 了适用于非线性响应分析的方法 并应用于各类海 洋工程¨ “』，对直升机旋翼一机身耦合动力学的前飞 和悬停进行响应分析＿ｌ ，提出了用部件约束模态（梁、 壳）组合成自由一自由大型火箭动力特性的分析方 法¨ ，长期以动态子结方法建立了大型转子一基础一 地基系统动力模型ｕ ，计及阻尼和陀螺效应高速旋 转的航空发动机双转子一轴承一机匣获得系统动力特 性和线性动态响应 ’ ，工业透平成组叶片的动力特 性用于调频¨ 。最后实现了大型机组转子一基础一 地基系统油膜非线性的动态响应，并得到呈现半频油 膜振动的倍周期分岔现象 ，对液体火箭Ｐｏｇｏ振动的 非线性仿真表明，子结构方法也适用于时变非线性系 统Ｈｏｐｆ分岔研究 。而且这一结构一管路流体耦合
