振动力学-单自由度振动系统

4.2 多自由度系统的固有频率与主振型

自由振动微分方程：

设它为：

可得如下主振型方程

（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得

可化为

）可化为

）就有着相同的形式。 柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有 或

两种系统矩阵之间有着互逆关系：

、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。

振型问题。鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。

征方程。对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程：

（4-20） 的特征根，亦称矩阵的特征值。特征值与系统固有频率之间有如下关系：

可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有

上述结论。

半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征矢量。这样，对于任何一个自由度系征矢量）。 统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。事实上，按逆阵的表示，有

中各列与充其量只相差一个常数乘子。 统中，有，。求系统的主振型。

（4-23）

中第三列正是取为基准的主振型：

第三章 两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]

单自由度振动系统

m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力

单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或（角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。

根据牛顿定律：mx+cx+kx=F

1.单自由度系统无阻尼自由振动

mx+kx=0；x+kmx=0； 令wm2=k/m，求微分方程的解，得

x=c1eiwnt+c2e−iwnt= c1+c2 coswnt+i c1−c2 sinwnt=b1coswnt+b2sinwnt

将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0

x=Asin(wnt+φ); A= x2+x02wn2 ; φ=tg−1x0wnx0

1.1固有频率

系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。

wn= km；fn=12π km

1.2固有频率计算方法

1）公式法。根据公式wn= km计算

2）静变形法。根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。

3）能量法。根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。

4）瑞利法。考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为wn= km+ρl3 ，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据Ts=12msx2，计算即可。

1.3扭转振动

根据扭转运动的牛顿定律 M=Iθ，M为施加到转动物体上的力矩，I转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。

圆盘转动惯量为I，轴的转动刚度为k。系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与方向相反的弹性恢复力矩-K。

第2次作业

1．如图2-1所示，一小车（重P）自高h处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。

hkαP答案：gkPT2，2sin2kPhkPA

图2-1

2．确定图2-2所示系统的固有频率。圆盘质量为m。

kkarOx答案：2234mrarkn

图2-2

3．确定图2-3系统的固有频率。

mrR答案：rRgn32

图2-3

第三章 两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题

中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这