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复变函数第3章

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第三章 复变函数的积分

1.复积分的定义：

01()dlim(),nkkkCfzzfz

2.复变函数积分的性质

性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则

()d()fzzfzz (3.1)

性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则

(()())d()d()d,CCCfzgzzfzzgzz (3.2)

其中为任意常数.

性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段12,,,nCCC,依次首尾相接而成，则

12()d()d()d()d.nCCCCfzzfzzfzzfzz (3.3)

性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对zC,满足()fzM, 曲线C的长度为L,则

()d()d,CCfzzfzsML

3.复变函数积分的基本计算方法

定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且

()Cfzzuxvyivxvy (3.5)

计算公式：设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为

()()()(),zztxtiytatb

则： ()d(())()d.baCfzzfztztt

4. 柯西－古萨定理

定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即

()d0.Cfzz 5. 复合闭路定理：

定理3.5 若f(z)在复闭路012nCCCCC及其所围成的多连通区域内解析，则

012()d()d()d()dnCCCCfzzfzzfzzfzz, (3.10)

也就是

()d0Cfzz.

6. 原函数与不定积分

（1）上限函数：固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数

0()()d.zzFzf (3.8)

并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函数.

（2）定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F'(z)=f(z).

（3）原函数：定义3.2 若在区域D内，()z的导数等于f(z)，则称()z为f(z)在D内的原函数.

（4）不定积分：全体原函数可以表示为()()zFzC,其中C为任意常数.称为f(z)的不定积分

（5）定理3.4 若函数f(z)在单连通域D内处处解析，()z为f(z)的一个原函数， 则

110010()d()()()zzzzfzzzzz, (3.9)

其中z0、z1为D内的点.

7.柯西积分公式

定理3.6 若f(z)是区域D内的解析函数，C为D内的简单闭曲线，C所围内部全含于D内，z为C内部任一点，则

1()()d2πCffziz, (3.11)

其中积分沿曲线C的正向.

8.高阶导数公式

定理3.7 定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有

()1!()()d(1,2,),2π()nnCnffzniz (3.13)

其中C为区域D内围绕z的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向.

9.调和函数

（1）定义3.3 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程 22220xy

的二元实函数(,)xy称为在D内的调和函数.

调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.

（2）定理3.10 任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数.

（3）使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数.

解析函数f(z)=u+iv的虚部v为实部u的共轭调和函数，u与v的关系不能颠倒，任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.已知单连通域D内的解析函数f(z)的实部或虚部求f(z)的方法书上已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述

求积分2ed1zCzz，其中C为： |z|=2.

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复变函数 1-3 章测试题

复变函数 1-3 章测试题

复变函数1－3章测试题

一、 单项选择题

2. 设2

,0

0,0z

z

fz

z

z



，则

fz的连续点集合为（ ）.

（A）单连通区域 （B）多连通区域

（C）开集非区域 （D）闭集非闭区域

4.设()(,)(,)fzuxyivxy，那么(,)uxy与(,)vxy在点

00,xy可微是



fz在点

000zxiy可微的（ ）.



AB

CD充分但非必要条件必要但非充分条件

充分必要条件既非充分也非必要条件

6. 



22)1(cos

zdz

zz

（ ）

(A) －isin1 (B) isin1 (C)－2isin1 (D) 2isin1

9. 设c是

1zit，t从1到2的线段，则argd

czz（ ）.



11

444ABiCiDi



10. 下列命题不正确的是（ ）. (A)

1212zzzz;

(B) 如果f(z)在

0z可导，那么f(z)在

0z连续;

(C) 11

cos

zdz

z

0；

(D) 如果

0()fz存在，那么f(z)在

0z解析.

二、填空题

1、

Ln1i的主值为 .

2、函数

ReImfzzzz()=+仅在点z= 处可导.

3、函数3wz把z平面上的区域0arg

3z

映成w平面上的区域 .

4、计算._________Re_______,________,)33(1

51









zieii

5、________,1

0



Cdz

zz其中C是简单闭曲线.

三、求

cdziyx)(2，其中C 是沿曲线2xy由点0z到点 iz1.

四、

||2d

(1)(3)zz

zzz.(积分曲线指正向)

五、

复变函数习题答案第3章习题详解

复变函数习题答案第3章习题详解

1 第三章习题详解

1． 沿下列路线计算积分idzz302。

1) 自原点至i3的直线段；

解：连接自原点至i3的直线段的参数方程为：tiz3 10t dtidz3

1031033233023313313itidttidzzi

2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i3；

解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：tz 10t dtdz

330330230233131tdttdzz

连接自3铅直向上至i3的参数方程为：itz3 10t idtdz

331031023323313313313iitidtitdzzi

33331023023023313313313313iiidtitdttdzzi

3) 自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至i3。

解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：itz 10t idtdz

3103102023131iitidtitdzzi

连接自i沿水平方向向右至i3的参数方程为：itz 10t dtdz

33103102323113131iiitdtitdzzii

333332023021313113131iiiidzzdzzdzziiii

2． 分别沿xy与2xy算出积分idziyx102的值。

解：xy ixxiyx22 dxidz1

iixixidxixxidziyxi213112131111023102102

高数A第5章课件：第五章习题课3复变函数的导数与解析函数

高数A第5章课件：第五章习题课3复变函数的导数与解析函数

习 题 课 （复变函数的导数与解析函数）

1.

(1)11

(2)2

(3)22

(4)Im()4 z

zz

zi

ziz

iz−=+

+=

−=+

+=求下列各题中点的集合，并作图：

2

53

12.

13 (2)

1

(3) (4)(3)

2i

ie

i

Lnπ−

+−

−

−计算函数值及主值：

（）（）

（）

23.

1-4iz-(4-9i)0

(2)130zz

ei=

−−=解方程：

（）

33

22

24.

(1)(1)

z0

1() ,z

z0

0

(2),0xiyi

fzxy

f(z)zz⎧+−−

≠⎪

==+⎨

=

⎪

⎩

==讨论下列函数的可导性与解析性：

（）0

33

2222(3)33

(4)()f(z)xyi

xy

fzi

xyxy=+

=−

++

32325.(),,mynxyixlxylmn+++设为解析函数，试求。

6.(cossin),()

(0)0.xuexyyyfzuiv

f=−=+

=已知求解析函数，

并满足

()2z

.

7. 证明函数fze=

()2

2zfzze′=在全平面（复平面）上是解析的，

并证明。

8.如果f(z)=u+iv是z的解析函数,证明

()()()22

2

.fzfzfz

xy⎛⎞∂∂⎛⎞

′+=

⎜⎟⎜⎟

∂∂⎝⎠⎝⎠

9.

由下列各个条件求出解析函数()()()

f,zux,,yivxy=+

(要求用复变量z表示）

(1) ()22(,),1.uxyxxyyfii=+−=−+

(2) 3322(,)(,)3322.uxyvxyxyxyxyxy+=−+−−−

第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分

3.1 单项选择题

3---1设C是z=ei,从-至的一周，则，Cdzz)Re(=( )

(a) -(B) (C)- i (D) i

3---2设C同3-1题，Cdzz)Im(=( )

(A)-  (B)  (C)- i (D) i

3---3积分曲线C同上题，则Cdzz=( )

(A) 0 (B)2 (C)2i (D)-2i

3---4设C为z=ei,从-2至2的一段，则dzzC=（）

(A) i (B)2i (c)-2i (D)-i

3---5设C是z=iy,-1y1沿虚轴自上而下的线段，则dzzC=（）

（A）i (B)-i (C)2i (D)-2i

3---6设C是从z=0到z=1+i的直线段，则dzzC=()

(A)1+i (B)21i (C)ei4 (D)ei4

3---7设C是从z=0到z=1再到z=1+i的折线段，则dzzC=( )

(A)21+i(22+iln(1+2)) (B) 21+2i(2+ln(1+2))

(C) 21-2i(2+ln(1+2)) (D) 21+2i(2-ln(1+2))

3---8设C是从z=0到z=2+i的线段, 则Cdzz)Re(=( )

(A) 2+i (B)2-i (C)1+i/2 (D)1-i/2

3---9设C是从z=0到z=1再到z=1+i的折线, 则Cdzz)Re(=( )

(A)2 (B)2i (C)2+2i (D)2-2i

3---10设C是z=(1+i)t,t是从1到2的线段，则Czdzarg=（）

(A)4 (B) 4i (C) 4(1+i) (D)1+i

3---11设C是z=ei,从-至的一段，则Czdzarg=（ ）