江苏省南京高一下学期期中考试数学试题
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高一下期中考试
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数z的模等于（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2
．已知向量
，满足，则向量的夹角的大
小为（ ）．
A． B． C． D． 303060120
3．已知复数z
1＝（
cos+i
sin），z
2＝（
cos+i
sin），则z
1z
2的代数形式是
（ ）
A．（
cos+i
sin） B．（
cos+i
sin）
C．﹣i D．+i
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△
ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．若4sinα﹣3cosα＝0，则sin2α+2cos2α＝（ ）
A
． B
． C
． D
．
6．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则
（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
7
．化简﹣2cos20°所得的结果是（ ）
A
． B
． C
． D．2
8．已知△ABC中，B＝C
﹣，sinA
＝，BC＝，则△ABC的面积为（ ） A
． B． C． D
．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A
．若复数（i为虚数单位），则z＝i
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z＝a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a＝0
D．若复数z满足|z|＝1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
10
．设
，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若
|
+|＝
||﹣
||
，则
，的方向相同
B
．若
⊥，则
|
+|＝
|
﹣|
C．若
|
+|＝
|
|+||
，则
在
方向上的投影向量为
D．若存在实数λ
使得＝
λ，则
|
+|＝
||﹣
||
11．已知△ABC，a∈R，若tanA，tanB是关于x的方程x2﹣ax+a+3＝0的两个根（含重
根），则△ABC可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
，且满足，
则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角 B．a2+2b2﹣c2＝0
C．sinB+2sinAcosC＝0 D．3tanA+tanC＝0
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13
．已知平面向量＝（2，﹣1）
，＝（m，2）
，且
⊥，则
|
+|＝ ．
14
．已知
，且，则α+β＝ ．
15．为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北
偏西15°、北偏东45°方向．再往正东方向行驶16海里至C处，观测B在C处的正
北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为 海里．
16．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，
DF∥AB且交AC于点F，则
|2
+|的值为 ；
（
+）
•的最小值
为 ．
四．解答题（共6小题）
17．（10分）已知复数z
1＝a+3i，z
2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）． （1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z
1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
18．（12分）已知角A是△ABC
的内角，若＝（sinA，cosA）
，＝（1，﹣1）．
（1
）若，求角A的值；
（2）设f（x
）＝，当f（x
）取最大值时，求
在上的投影向量（用坐标表示）．
19．（12分）在①A
＝，a＝，b＝；②a＝1，b＝，A
＝；③a＝，b
＝，B
＝这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，
并加以解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ____，解三角形．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝（2c﹣b）
cosA．
（1）求角A；
（2
）若向量＝（cosB，2cosA）
，＝（0，sin
2），求
|﹣
2|的取值范围．
21．（12分）如图在四边形ABCD中，∠ABC
＝，AB⊥AD，AB＝．
（1）若AC＝，求△ABC的面积；
（2）若∠ADC
＝，CD＝4，求AD的长．
22．（12分）已知 f（x）的最小正周期是π． 21
()sin3sincos(0)
2fxxxx
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α
）＝
（≤a
≤π），求sin2α值；
（Ⅲ）当时，讨论方程的根的个数。 0,
2x
()
6fxk
2022-2023学年南京航空航天大学附属高级中学高一下期中考试
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数z的模等于（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【解答】解：由（1﹣i）z＝3﹣i得z
＝
＝
＝＝2+i，
则|z|
＝＝，
故选：C．
2
．已知向量
，满足，则向量的夹角的大
小为（ ）．
A． B． C． D． 304560120
【解答】
解：向量
，满足，
可得
﹣＝1，可得，可得cos
＝
， 则向量的夹角的大小为：30°．
故答案为：B．
3．已知复数z
1＝（
cos+i
sin），z
2＝（
cos+i
sin），则z
1z
2的代数形式是
（ ）
A．（
cos+i
sin） B．（
cos+i
sin）
C．﹣i D．+i
【解答】解：由已知可得z
1z
2＝（
cos）（
cos） ＝[（
cos）+（
cos
+sin）i] ＝（
cos+i
sin
）＝ ＝，
故选：D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，
利用正弦定理得：
sinA﹣sinB＝sinCcosB﹣sinCcosA，
整理得：sin（B+C）﹣sinB＝sinCcosB﹣sinCcosA，
化简得：sinBcosC﹣sinB＝﹣sinCcosA，
则：（sinB﹣sinA）cosC＝0，
则：sinB＝sinA或cosC＝0，
利用正弦定理整理得：b＝c．
由于cosC＝0，
所以C
＝．
故选：D．
5．若4sinα﹣3cosα＝0，则sin2α+2cos2α＝（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：由4sinα﹣3cosα＝0
，求得，
而，
所以．
故选：B．
6．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则
（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
【解答】
解：由题意可设， ∴
＝．①
又因为在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，
∴
，，代入①式化简得：
9x+（1﹣x）×9+1＝10．
故选：A．
7
．化简﹣2cos20°所得的结果是（ ）
A
． B
． C
． D．2
【解答】
解：﹣2cos20°
＝﹣2cos20°
＝﹣2cos20
°
＝
＝＝
＝＝
＝．
故选：B．
8．已知△ABC中，B＝C
﹣，sinA
＝，BC＝，则△ABC的面积为（ ）
A
． B． C． D
．
【解答】解：由B＝C
﹣，得C﹣B
＝，可得B为锐角，
