第二章第12讲分层演练直击高考

1．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x 的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A .因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x ，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A .由题意知f (x )＝log a x ，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1.所以a ＝2.所以f (x )＝log 2x . 3．(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A .3p ＋q 5B ．1＋3pq p ＋qC .3pq 1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C .因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq ，故选C .4．若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D .由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)． 由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C .5．(2018·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C .f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．(2018·江西名校第三次联考)设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( ) A ．(0，2] B ．⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选B .因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故选B .7．(2018·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k ，b ＝5k ，a ＋b ＝10k ，所以ab ＝10k ， 所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________． 解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0， 故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2018·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎫193，1111．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0成立的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0， 解得－1＜x ＜1.故所求函数f (x )的定义域为(－1，1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1，1)内是增函数， 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0，1)．12．(2018·浙江高考调研(一))已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0.因为x >0， 所以x 2－2x ＋a >0.当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立， 记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)， 则只需a >h (x )max . 而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D .设2x ＝3y ＝5z ＝k >1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0， 所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0， 所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D .2．(2018·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( ) A ．f 2(x )与f 4(x ) B ．f 1(x )与f 3(x ) C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x ) 解析：选A .f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A . 3．(2018·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________． 解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]． 答案：1 [－13，15]4．(2018·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎡⎦⎤13，35．(2018·金华十校联考)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解； (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1.解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，因为φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)·⎝⎛⎭⎫1－1b 1b 2<0，所以φ(b 1)<φ(b 2)，所以φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． 所以φ(b )>φ(1)＝2.所以a ＋b2>1.6．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0. 所以a <32.又a >0且a ≠1， 所以a ∈(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数． 因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.。

1．(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2，1)B ．[－2，1]C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1，故选C .2．(2018·宝鸡市质量检测(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0f （x －1）＋1，x >0，则f (43)的值等于( )A ．－1B ．1 C.32 D.52解析：选B.依题意得f (43)＝f (13)＋1＝f (－23)＋1＋1＝2cos(－2π3)＋2＝2×(－12)＋2＝1，选B.3．已知f (12x －1)＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.4．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为( ) A ．[－3，7] B ．[－1，4] C ．[－5，5]D. ⎣⎡⎦⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]，所以－1≤x ＋1≤4. 由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 5．定义a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，a b，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x ⊕x ，则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝( )A ．4ln 2B ．－4ln 2C ．2D ．0解析：选D.2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2. 因为12×ln 12<0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝ln1212＝－2ln 2. 则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0. 6．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 27.若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤28．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x2－1，x ≥0，1x，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝________.解析：若f (a )≥0，则f (a )＝1，此时只能是a >0，于是a ＝4；若f (a )<0，则f (a )＝－2，此时只能是a <0，于是a ＝－12(若a >0，由a2－1＝－2，解得a ＝－2不满足题意)．答案：4或－129．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），－2<x <0，2x ＋1，0≤x <2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值；(2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．解：(1)由题意f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12)＝f (12)＝2.(2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4.得a ＝32.当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4得a ＝5或－5(舍)．故a ＝32或 5.10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0； f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，1，x <0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数解析：选C .若a －b >0，即a >b ，则f (a －b )＝－1，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a＋b )－(a －b )]＝b (a >b )；若a －b <0，即a <b ，则f (a －b )＝1，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a <b )，综上，选C . 2．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，所以a ≥0，所以a ≥1，综上，a ≥23.答案：⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 4．已知函数f (x )＝x ＋a x ＋b对于定义域内的任何x 均有f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，则a 2 018＋b 2 018＝__________．解析：由题意得x ＋a x ＋b ＋1x ＋a1x ＋b ＝0，即(a ＋b )x 2＋2(ab ＋1)x ＋a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0ab ＋1＝0，则有a ＝1，b ＝－1或a ＝－1，b ＝1. 所以a 2 018＋b 2 018＝(－1)2 018＋12 018＝2. 答案：25．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：6．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨． (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4， 乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x >4，y ＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．。

第8讲分层演练直击高考1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是 ( )A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选C ．易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝32－log 24＝32－2＝－12<0，故f (x )的零点所在的区间是(3，4)． 2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．作出g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x与h (x )＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C ．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：37．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x－5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：59．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .因为g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－12＝－18，所以g (0)·g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上是连续曲线，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．(数形结合法)因为a >0，所以a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解析：选C．在同一坐标系中作出函数y＝x的图象(图略)，2x，y＝log12x0，由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜log12即f(x0)＜0.3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．a＞b＞c D．c＞a＞b解析：选B．f(x)＝2x＋x的零点a为函数y ＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y ＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B．4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 答案：11－2π5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值； (3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，54.。

[学生用书P335(单独成册)]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A.由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A.2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20 B.100，20C．200，10 D．100，10解析：选A.该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.3．(2018·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：分组成[10，20)，[20，30)，[30，40]时，所作的频率分布直方图是()解析：选B .由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C 和D ；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A ，故选B .4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：87 7 9 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为( )A .1169B.367 C ．36 D ．677解析：选B .根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， 所以x ＝4. 所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367. 5．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x －0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11. 答案：116．(2018·湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146. 答案：1467．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，且a 2＝2a 1，所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝15a 1＝1，所以a 1＝115， 所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a 1＝160.答案：1608．(2018·西安模拟)随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄约为多少岁？(2)若从年龄在[15，25)，[45，55)的被调查人员中各随机选取1人进行调查．请写出所有的基本事件，并求选取的2人中恰有1人持不赞成态度的概率．解：(1)被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示．被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄x －＝4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×604＋6＋8＋4＋9≈42.6(岁)．(2)设年龄在[15，25)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，持不赞成态度的1人为a ，设年龄在[45，55)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为B 1，B 2，B 3，B 4，持不赞成态度的1人为b .基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，b )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，b )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，b )，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，b )，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，B 3)，(a ，B 4)，(a ，b )，共有25个，其中恰有1人持不赞成态度的基本事件有8个，所以恰有1人持不赞成态度的概率为825. 9．(2018·惠州第一次调研)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数；(2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x －＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x <160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x <160时，由40x －1 600≥4 000，解得160>x ≥140.当160≤x ≤200时，y ＝4 800>4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.1．(2018·长春质量检测(二))如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D .由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．选D .2．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D .由图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10 ℃，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份不是5个，D 不正确．故选D .3．若正数2，3，4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( )A ．2 B.4105 C ．3 D ．215解析：选B .由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16. 其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325，所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105.故选B . 4．某电器公司对5 000名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0.4，0.7)内的购物者的人数为________．解析：在这些购物者中，消费金额在区间[0.4，0.7)内的频率为2.5×0.1＋3.0×0.1＋2.0×0.1＝0.75，所以消费金额在区间[0.4，0.7)内的购物者的人数为0.75×5 000＝3 750.答案：3 7505．(2018·长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．(2)抽取比为5100＝1 20，从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×120＝2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×120＝3人，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为310； 其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为610＝35； 两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为110. 因为110<310<35，所以公司收入2万元的可能性最大．。

1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选C ．因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. 2．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋ab ，若不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤4}，则a ＋2b 的值为( )A ．－2B ．3C ．－3D ．2解析：选A ．依题意，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)，－1×4＝ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1，所以a ＋2b 的值为－2，故选A ．3．已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ，若对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，则f (－2)，f (4)，f (5)的大小关系为( )A ．f (5)>f (－2)>f (4)B ．f (4)>f (5)>f (－2)C ．f (4)>f (－2)>f (5)D ．f (－2)>f (4)>f (5)解析：选B ．因为对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，所以函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称，所以f (－2)＝f (10)，又函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象开口向下，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f (4)>f (5)>f (10)，即f (4)>f (5)>f (－2)．4．(2018·南昌一模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1，3]上的值域为( )A ． [0，12]B ．⎣⎡⎦⎤－14，12 C ．⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．⎣⎡⎦⎤34，12解析：选B ．因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－12上为减函数，在⎝⎛⎦⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1，3]上的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12，故选B ． 5．(2018·衡阳模拟)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2，5)D ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)解析：选A ．令f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4, 则f (x )的最小值为4，若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意的实数x 恒成立，则a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A ．6．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x －12＝1x (x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)7．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)， 所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋38．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 答案：－1或39．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2，1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1， 所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －k －222＋1－(k －2)24.由g (x )的图象知，要满足题意， 则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0， 所以所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2，2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．f (x )的对称轴为x ＝－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在；(2)当－a2∈[－2，2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥0， 得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； (3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2.1．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0，4] B ．⎣⎡⎦⎤32，4 C ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞D ．⎣⎡⎦⎤32，3解析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.2．(2018·吉林模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在(－∞，1]上单调递减，当x ∈[a ＋1，1]时，f (x )的最大值与最小值之差为g (a )，则g (a )的最小值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B ．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴是x ＝－a ，因为函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以－a ≥1，即a ≤－1，且函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[a ＋1，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2a (a ＋1)＋3＝3a 2＋4a ＋4，f (x )min ＝f (1)＝2a ＋4，所以g (a )＝f (a ＋1)－f (1)＝3a 2＋2a ，a ∈(－∞，－1]，且函数g (a )的图象的对称轴为a ＝－13，所以g (a )在(－∞，－1]上单调递减，所以g (a )min ＝g (－1)＝1，故选B ．3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：根据函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ≥0，得到a 2－4b ＝0，又因为关于x 的不等式f (x )<c ，可化为：x 2＋ax ＋b －c <0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数g (x )＝x 2＋ax ＋b －c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，又因为x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，a 2－4(b －c )＝a 2－4b ＋4c ＝36，代入a 2－4b ＝0得到c ＝9.答案：94．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2. 因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]， 总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，所以f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围是[2，3]．6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。

第2讲 函数的定义域与值域1．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.[答案] {x |x ≥4，且x ≠5}2．若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． [解析] 因为x 有意义，所以x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，所以当x ＝0时，y min ＝－5. [答案] [－5，＋∞) 3．函数y ＝1x 2＋2的值域为________． [解析] 因为x 2＋2≥2，所以0<1x 2＋2≤12. 所以0<y ≤12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y ≤124．(2018·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 014]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．[解析] 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 014]可知，0≤t ≤2 014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 014，解得－1≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 013.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 013]． [答案] [－1，1)∪(1，2 013]6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． [解析] y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 即y max ＝14.[答案] 147．(2018·南昌模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]8．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为________．[解析] 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1，1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.[答案] 89．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．[解析] 由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.[答案] 1010．函数y ＝2x －1－13－4x 的值域为________． [解析] 法一：(换元法)设13－4x ＝t ， 则t ≥0，x ＝13－t24，于是y ＝g (t )＝2·13－t24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，11211. (1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1，1]，求f (x )的定义域．[解] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)因为f (2x)的定义域为[－1，1]， 即－1≤x ≤1，所以12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 12．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＝________，b ＝________．[解析] 因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12，所以其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.[答案] 3232．(2018·徐州质检)已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．[解析] 列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．[答案] 93．已知函数f (x )＝log 13(－|x |＋3)的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．[解析] 由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1，0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0，2]，因为定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，所以符合条件的(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5对．[答案] 54．(2018·常州调研)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是________．[解析] 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若函数f (x )＝ （a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解] 由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立． ①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意；②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9. 综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．[解] (1) f (x )＝－x 2＋2x .(2)由f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f (x )max ＝1，所以4n ≤1，即n ≤14＜1.故f (x )在[m ，n ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． [解] (1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3>0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。

1．函数f (x )＝x1－x在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C ．函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x －1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]解析：选C ．法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C ．法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A ．故选C ．4．(2019·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数，所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f (x )≤f (2)＝6， 所以f (x )max ＝f (2)＝6.5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ．因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2019·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝________.解析：易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.答案：837．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x ＜1， 作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0. 所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a <0时，f (x )＝2x ＋－a x ，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3(a －3)x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D.由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3(a －3)＋2≥－4a ，解得1≤a <3.故选D.2．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C ．在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值6.3．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D.因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．4．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x (2x －a )，x >a2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8. 答案：85．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a， 当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，所以g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，所以g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <11a ，a ≥1，所以g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a ＝1a＝1，所以当a ＝1时，g (a )取最大值1.6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎫x y ；(2)若f (4)＝－4，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －12≥－12.解：(1)证明：由条件f (x )＋f (y )＝f (xy ) 可得f ⎝⎛⎭⎫x y ＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎫x y ·y ＝f (x )，所以f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎫x y .(2)因为f (4)＝－4，所以f (4)＋f (4)＝f (16)＝－8，f (4)＋f (16)＝f (64)＝－12.由(1)可得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＝f (x (x －12))．又f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1x －12>0⇒x >12，由f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12≥－12，即f (x (x －12))≥f (64)，所以x 2－12x －64＝(x －16)(x ＋4)≤0， 得－4≤x ≤16，又x >12，所以x ∈(12，16]． 故原不等式的解集为{x |12<x ≤16}．。

1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2,＋∞) B ．(3,＋∞) C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C ． 2．已知函数f(x)＝x|x|,x ∈R,若f(x 0)＝4,则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x≥0时,f(x)＝x 2,f(x 0)＝4, 即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f(x)＝－x 2,f(x 0)＝4, 即－x 20＝4,无解． 所以x 0＝2,故选B ．3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f(f(3))＝( )A ．43 B ．23 C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f(3)＝1－log 23＝log 2 23＜0,所以f(f(3))＝f(log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43,故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x 2B ．f(x)＝－2x1＋x 2C ．f(x)＝2x 1＋x2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝(1＋t)2－(1－t)2(1＋t)2＋(1－t)2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C ．5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f(a)＝6,则a 等于( ) A ．－74B ．74 C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,所以f(t)＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f(a)＝4a －1＝6,即a ＝74.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f(a)＋f(1)＝0,则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f(1)＝2,所以f(a)＝－f(1)＝－2, 当a ＞0时,f(a)＝2a＝－2,无解； 当a≤0时,f(a)＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3. 综上,a ＝－3,选A ．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C ．8．若二次函数g(x)满足g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2xD ．g(x)＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法,设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),因为g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g(x)＝3x 2－2x.9．已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2,3],则y ＝f(2x －1)的定义域为( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3], 所以－1≤x＋1≤4.由－1≤2x－1≤4,得0≤x≤52,即y ＝f(2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52. 10．(2019·石家庄质量检测(一))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 11．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1,则f(f(x))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2,＋∞)B ．(－∞,1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B ．因为当x≥1时,f(x)＝x 3＋x≥2,当x ＜1时,f(x)＝2e x －1＜2,所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1,即2ex －1＜1,解得x ＜1－ln 2,所以f(f(x))＜2的解集为(－∞,1－ln 2),故选B ．12．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①,f(x)＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f(x),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f(x),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x),满足． 13．函数f(x),g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：215．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)16．已知函数f(x)满足对任意的x∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：∀x ∈R,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A ．对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x)，f(x)＞0，f 2(x)，f(x)≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A ．3．已知函数f(x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18,则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019的值为( )A ．0B ．504.5C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f(1－x)＝(1－x)3－32(1－x)2＋34(1－x)＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38,所以f(x)＋f(1－x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12,所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ．4．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x≤02|x －2|，0＜x≤4,对任意x∈D ,存在x 1,x 2∈D,使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2),则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D ,f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)知,f(x 1),f(x 2)分别为f(x)的最小值和最大值,由图可知|x 1－x 2|max ＝8,|x 1－x 2|min ＝1,所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0,f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。

（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第二章基本初等函数、导数的应用第6讲指数与指数函数分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第二章基本初等函数、导数的应用第6讲指数与指数函数分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第二章基本初等函数、导数的应用第6讲指数与指数函数分层演练直击高考文的全部内容。

第6讲指数与指数函数1．已知f（x）＝2x＋2－x,若f（a）＝3，则f（2a）＝________．解析:由f（a)＝3得2a＋2－a＝3,两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f（2a）＝7.答案：72．已知a＝20.2，b＝0。

40。

2，c＝0.40。

6，则a，b，c的大小关系为________．解析：由0。

2<0.6，0。

4〈1，并结合指数函数的图象可知0.40。

2>0.40。

6，即b>c；因为a ＝20.2〉1,b＝0.40.2〈1，所以a〉b。

综上,a〉b〉c。

答案：a〉b〉c3．若函数f(x）＝a x－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．解析：当a〉1时,f（x)＝a x－1在［0，2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±3，又因为a>1，所以a＝错误!.当0〈a〈1时，f（x）＝a x－1在［0,2]上为减函数，又因为f（0）＝0≠2，所以0<a〈1不成立．综上可知，a＝错误!.答案：错误!4。