湖南省长沙市长郡中学2016届高三数学理周考试卷5

2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数a﹣(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题,正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位;④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2,K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④3．在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10]B．（2，+∞) C．（2,4]D．（4，+∞)4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6,O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x)的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象,若对满足|f（x1）﹣g(x2)|=2的x1,x2,有｜x1﹣x2|min=,则φ=()A． B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8：00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为(）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x)=f(x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根,则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=,将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2｜,则双曲线的离心率为（)A． B．C． D．10．已知点A（1，﹣1）,B（4，0），C（2,2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P(x,y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（)A．B．2 C．4 D．8=n（﹣1），S n是其前n项和,若S2017=﹣1007﹣b，11．已知数列{a n｝满足a n+a n﹣1且a1b＞0,则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′(ξ)=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g(x)=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1)内的零点个数的说法中，正确的是（)A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点 D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B=｛x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n｝中，S n为数列{a n｝的前n项和，d为数列｛a n｝的公差，若对任意n ∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9,则d的取值范围为．15．设椭圆C： +=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围［﹣2,﹣1］，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如:C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=(n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nCn﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n(1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算:C n0×+C n1×（)2+C n2×（）3+…+Cnn×（）n+1=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．(Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知,a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1:空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km)的情况．表2:AQI指数900 700 300 100空气可见度(千米）0。

炎德 英才大联考长沙市长郡中学2016届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|12},{|20}P x x Q x x x =<≤=+-≤，那么P Q 等于（ ）A ．φB ．{}1C ．{|22}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2、设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、若函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，0x >时，()f x 单调递增()(),,P f Q f e π=-=R f =，则,,P Q R 的大小为（ ）A ．R Q P >>B ．Q R P >>C ．P R Q >>D ．P Q R >>4、在等腰ABC ∆中，90,2,2,33BAC AB AC BC BD AC A ∠=====，则AD BE ⋅ 的值为（ ）A ．43-B ．13-C ．13D ．435、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1100a =-，且755770S S -=，则101S 等于（ ）A ．100B ．50C ．0P R Q >>D ．-506、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A．6 B．3 C．2D7、执行如图所示的程序框图，如果输入30,18m n ==，则输出的m 的值为（ ）A ．0B ．6C ．12D ．188、,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A ．12或-1 B ．2或12C ．2或1D ．2或-1 9、在区间(1,1)-上随机取一个数x ，使sin 2x π的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．13π D ．16π 10、函数()sin()f x A wx ϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11、已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ）A2 B1 C1 D112、设集合33[1,),[,2]22A B ==，函数()1,22(2),x x A f x x x B ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈且01[(1)][0,)2f f x +∈，则0x 的取值范围是（ ） A ．5(1,]4 B ．53(,]42 C ．513(,)48 D ．53(,)42第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上）第二次月考数学试卷(文科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M=｛x|x2=x｝，N={x|lgx≤0}，则M∪N=()A．［0,1]B．（0,1]C．[0，1）D．（﹣∞,1］2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于（）A．B．C．﹣D．23．等差数列{a n}前n项和为S n,且﹣=3，则数列｛a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．35．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈(﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（) A．1 B．2 C．D．37．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．28．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(）A．若m⊥n，n∥α,则m⊥αB．若m∥β,β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α,则m⊥α9．数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（)A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0,+∞）C．(﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞)11．已知向量与的夹角为120°，且||=2,｜|=3，若=+，且⊥,则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊),分别编号为1,2，…,n，买家共有m名（m∈N*,m＜n），分别编号为1,2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．函数y=f(x）的图象在点M（1,f（1)）处的切线方程是y=3x﹣2,则f（1）+f′（1）=．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心,则三棱锥O﹣MNB的体积是．16．已知实数x,y满足x2+y2≤1,则｜2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边,c=asinC﹣ccosA．(1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为,求b，c．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f(x）的图象经过点(1,3），（1）求实数a，b的值；(2）求函数f（x）的值域．19．设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列{b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1)求数列{a n｝，｛b n}的通项公式（2)当d＞1时,记c n=，求数列{c n｝的前n项和T n．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E,F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．21．已知函数y=f(x)，若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0)=﹣f（x0)成立,则称x0为函数f（x)的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点,求实数b的取值范围；（3)若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x)=xlnx．（l）求f（x)的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M=｛x｜x2=x｝，N={x｜lgx≤0},则M∪N=(）A．[0，1］B．(0，1]C．［0，1） D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}=｛0，1｝,N=｛x｜lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0，1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法,是基础题．2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（) A．B．C．﹣D．2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi（a,b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C．【点评】本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．等差数列｛a n｝前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n｝的公差为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3,化简可得2d﹣d=3,解得d=2故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．函数f（x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2｜,y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数．【解答】解：由题意,函数f（x）的定义域为(0，+∞）;由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞)内的零点即是方程｜x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=｜x﹣2｜,y2=lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出函数零点的个数．5．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=(）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用两角和公式对等号左边进行化简进而根据φ的范围求得φ．【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣)=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈(﹣π，π）,∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，诱导公式的应用．对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用．6．已知向量，且,则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题．7．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（) A． B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】求出两个平行向量，利用共线向量的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，且向量k=(k﹣3,2k+2）与=（7，﹣2）平行可得：7(2k+2）=﹣2(k﹣3）．解得k=﹣．故选:A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．8．设m、n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α,则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α,则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β,n⊥α，则m⊥α,正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．9．数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n(n≥1)，则a6=()A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n,当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减,根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列，由a1=1,a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1(n≥2），两式相减得:a n+1﹣a n=3(S n﹣S n﹣1）=3a n,则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3，公比为4的等比数列,所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．不等式x2+2x＜对任意a，b∈(0,+∞）恒成立，则实数x的取值范围是()A．(﹣2，0) B．（﹣∞，﹣2)∪(0,+∞） C．（﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知,只需x2+2x小于的最小值即可,可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a,b∈（0，+∞),，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0,解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．11．已知向量与的夹角为120°,且||=2,|｜=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0,用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解:∵=+,且⊥，∴•=（+)•（）===0．∵向量与的夹角为120°,且｜|=2，｜|=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．12．某电商在“双十一"期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊）,分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…,m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．【解答】解:∵a ij=1≤i≤m,1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品,∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C【点评】本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）)处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1)+f′(1）=4．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点,该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1)=3,且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1)+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f(a)与f′（a)．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•(），再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0,故=（）•（）=（）•（)=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义,两个向量垂直的性质，属于中档题．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴,DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O﹣MNB的体积．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,则由题意得O(1,1,2）,M(1，0，0）,B（2，2,0）,N（0，2，1），=（0，1，2）,=(1,2，0）,=（﹣1，2，1)，｜|==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，∴S△MNB===,设平面MNB的法向量=(x，y，z）,则，取x=2，得=(2，﹣1，4）,∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y﹣4｜+｜6﹣x﹣3y|的最大值是15．【考点】简单线性规划．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值．【解答】解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0,6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为:15．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．(1)求角A；（2)若a=2，△ABC的面积为，求b,c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0,得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值,求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②,联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0,∴sinA﹣cosA=1，整理得:2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣)=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去）,则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=,△ABC的面积为,∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），(1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】奇函数；函数的值域．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）由函数是奇函数，和函数f（x）的图象经过点(1，3），建立方程求解．（2)由（1）知函数并转化为，再分两种情况，用基本不等式求解．【解答】解:（1）∵函数是奇函数,则f（﹣x）=﹣f(x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0又函数f（x）的图象经过点（1，3）,∴f(1)=3,∴，∵b=0，∴a=2(2）由(1)知当x＞0时，，当且仅当，即时取等号当x＜0时,，∴当且仅当，即时取等号综上可知函数f（x)的值域为【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列｛a n}，｛b n｝的通项公式（2）当d＞1时，记c n=,求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由(1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：(1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时,a n=2n﹣1，b n=2n﹣1;当时，a n=(2n+79），b n=9•；(2）当d＞1时，由（1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1，∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1)•，∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．(Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】(Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可,连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内,满足定理所需条件；（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．【解答】(Ⅰ）证明：如图,连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD．因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ)解:连接PE．因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD．因此BD⊥平面PAC．故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为EF∥PD，所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD．在Rt△PED中,sin∠EPD=,∠EPD=30°．所以EF与平面PAC所成角的大小是30°．【点评】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．21．已知函数y=f（x）,若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f(x）的局部对称点．（1)若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2)若函数f（x)=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点，求实数b的取值范围；(3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0,再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．(2)根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1,2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2(m2﹣3)=0…（*）在R上有解,再利用换元法,设t=2x+2﹣x,方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f(x）=ax2+x﹣a得f(﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x) 得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0),其中△=4a2,由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x)=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间［﹣1，2］内有局部对称点,∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间［﹣1，2］上有解,于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+,其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1(3)∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f(﹣x）=﹣f（x）,∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2（m2﹣3）=0…(＊)在R上有解,令t=2x+2﹣x（t≥2）,则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（＊）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解,需满足条件：即,化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想，转化思想，属于难题22．已知函数f（x)=xlnx．(l）求f（x）的单调区间和极值；（2)若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解答】解（1）∵f（x）=xlnx,∴f’（x)=lnx+1,∴f’（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增,f’(x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x)在处取得极小值,极小值为．（2)∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0,∴,令,令h’（x）=0,解得x=1或x=﹣3(舍）当x∈（0，1）时,h'（x）＜0,函数h(x）在(0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h’(x）＞0,函数h(x）在（1，+∞)上递增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4,即m的最大值为4．【点评】本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。

文科数学周末练习六第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1．已知i 为虚数单位，则 2(1)i -的值等于 ( C )A. 22i -B.22i +C.2i -D.2i 2．“s i n 1x =”是“cos 0x =”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设集合22{(,)1}164x y A x y =+=，{(,)3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是（ A ）A ．4B ．3C ．2D ．14．设10<<<a b ，则下列不等式成立的是（ C ） A ． 12<<b abB ．0log log 2121<<a bC ．222<<a bD ．12<<ab a5．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ A ）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()x f x x= D ．2()f x x =6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*∈N n m ,，都满足n m m n S S S +=+，且21=a ，则2014a 等于（ A ）.A 2 .B 2013 .C 2014 .D 40287．设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值为（ B ）A ．4B ．5C ．6D ．78．正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ B ）A. ]23,23[-B. ]21,23[-C.]23,21[-D. ]21,21[- 9．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于( Ｃ )A ．35B ．34C ．45D ．5610．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是( Ｂ )A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esin θ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . (1,2) 12．已知：2111236=⨯⨯⨯，221122356+=⨯⨯⨯，22211233476++=⨯⨯⨯，22221123+44596++=⨯⨯⨯，则22212n +++=___（其中n ∈*N ）．1(1)(21)6n n n ++ 13. 某次测量发现一组数据(,)i i x y 具有较强的相关性，并计算得1y x =+$，其中数据0(1,)y 因书写不清，只记得0y 是[]0,3任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值）2314．已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若△ABC 的面积222S b c a =+-，则tan A 的值是___．415．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ），使得对任意的x ∈R ，都有()()f x f x λλ+=，则称()y f x =为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）．①③①若函数()y f x =是倍增系数2λ=-的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点；②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数1λ=；③函数()xf x e -=是倍增函数，且倍增系数(0,1)λ∈.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2,则ω的虚部为（ )A ．32- B ．12- C ．12D ．32【答案】A考点：复数概念与运算2。

设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D 【解析】试题分析：因为13log 20a =<，2log31,b =>0.31()(0,1)2c =∈,所以b c a >>,选D 。

考点：比较大小3。

函数()2cos()(0)3f x x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin g x x ω=的图象,只需将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向右平移512π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】C【解析】试题分析：由题意得：2222T T Tπππω=⇒=⇒==,所以5()2cos(2)2sin(2)2sin(2)3326f x x x x ππππ=+=++=+因此向右平移556212ππ=个单位长度，选C 。

考点：三角函数图像变换，三角函数性质【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握。

无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin （ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y ＝Asin （ωx＋φ），x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋错误!(k∈Z)；函数y ＝Acos （ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋错误!（k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ），x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z）.4。

2016届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学（理）试题一、选择题1．设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为（ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．32【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()()()()()222221111()1211111124a i i a a i a i a a a i a i i i ω⎡⎤+-++-⎡⎤+⎡⎤====+++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦++-⎣⎦⎣⎦()2112a a i =+-，又ω的实部为2，所以2a =，所以ω的虚部为()213122a -=-． 【考点】复数的运算．2．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【解析】试题分析：因为0.3012311log 20()()1log 322a cb =<<=<=<=，所以b c a >>．【考点】指数幂、对数的大小比较．3．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．2581【答案】A【解析】试题分析：分两种情况311，，及221，，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是311，，时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是131342C C C，∴这种结果发生的概率是13134258813C C C =；同理求得第二种结果的概率是681，根据互斥事件的概率公式得到8614818181P =+=，故选A ． 【考点】1．互斥事件与对立事件；2．等可能事件的概率．【思路点睛】本题是一个等可能事件的概率问题，考查互斥事件的概率，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．恰好取5次球时停止取球，分两种情况311，，及221，，，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．4．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）AC．0 D．【答案】A【解析】试题分析：由程序框图可知，第一次循环：12 22a S i===；第二次循环：23a S i===；第三次循环：30,4a S i===……，第八次循环：89a S i===；由于98i=>停止循环，所以输出S=A．【考点】程序框图．5．某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．82π- B．8π- C．82π- D．84π-【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为221221284V p p骣琪=-创创=-琪桫．试卷第2页，总17页【考点】简单组合体的三视图及体积． 6．已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ） A．．【答案】B【解析】试题分析：13sin cos ,(0,),sin cos 0,(,)282παααπαααπ+=∈∴=-<∴∈()27sin cos 12sin cos sin cos 42αααααα∴-=-=∴-=1tan sin cos 211tan sin cos 2αααααα--=-=-=++Q B ．【考点】同角的基本关系．7．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ） A．1 CD ．2【答案】A【解析】试题分析：设,AF a BF b ==，由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab=+-=++=+-()222a b a b +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭()234a b =+，22324MN a b AF BF MN AB MN AB +=+=∴≥∴≥【考点】1．抛物线方程及性质；2．余弦定理．8．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．49【答案】A 【解析】试题分析：222240x y ax a +++-=，即试卷第4页，总17页()224x a y ++=,2224140x y by b +--+=，即()2221x y b +-=,依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和,则123=+=，即3249a b +=,所以22222221111552999a ba ab a b⎛⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当22224a b b a=即2a b =±时取等号，故选C ．【考点】1．圆与圆的位置关系；2．基本不等式．9．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或2 【答案】C【解析】试题分析：由于函数1()()g x f x x=+，可得0x ≠，因而()g x 的零点跟()xg x 的非零零点是完全一样的，故我们考虑()()1xg x xf x =+ 的零点．由于当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，① 当0x >时，''''()(())(())()()(())0f x xg x xf x xf x f x x f x x==+=+>，所以，在(0,)+∞上，函数()xg x 单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴在(0,)+∞上，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，因此，在(0,)+∞上，函数()()1xg x xf x =+ 没有零点．②当0x <时，由于'''(())(())()()xg x xf x xf x f x ==+'()(())0f x x f x x=+<，故函数()xg x 在(,0)-∞上是递减函数，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，故函数()xg x 在(,0)-∞上无零点．综上可得，函1()()g x f x x=+在R 上的零点个数为0，故选C ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．25 【答案】B【解析】试题分析：在1BB 上取点K ，使得11B K ＝，则HK ⊥面11BCC B ，连结PK ，则222216HP HK PK PK ＝＋＝＋．在平面11BCC B 上，以1CC 所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴，由题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为221x y -＝，K 点坐标为()04，，设()P x y ，，则221x y =-（其中1[22371],x y ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，，，()22222421816615PK x y y y y y y =+-=-+-+=-+当17,223y ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，2m i n 6|PK ＝，故2min |16622HP ＝＋＝． 【考点】正方体和抛物线的综合应用．【思路点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，建立空间直角坐标系，过点H 作HM BB ⊥'，垂足为M ，连接MP ，得出222HP HM MP =+；当MP 最小时，2HP 最小，利用空间直角坐标系求出2HP 的最小值即可．11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．11(2,2),44k k k Z -+∈ B ．15(2,2),22k k k Z ++∈C ．11(4,4),44k k k Z -+∈D ．19(4,4),22k k k Z ++∈【答案】C【解析】试题分析：由已知得：)()(x f x f -=-，且)1()1(-=--x f x f ，从而)1()1()1(x f x f x f -=--=+，所以)(x f 的图象关于直线1x =对称；且有试卷第6页，总17页)()1)1(()1)1(()2(x f x f x f x f -=-+-=++=+，进而有：)()2()4(x f x f x f =+-==+，所以函数)(x f 是以4为周期的周期函数；又因为当[01]x ∈，时,12()f x x =，所以当)0,1[-∈x 时，21)()(x x f --=；那么作出函数在R 上的图象如下：函数()()g x f x x b =--有三个零点，等价于方程：b x x f +=)(有三个实根，即函数)(x f 的图象与直线y x b =+有三个不同的交点；由41121)(2121=⇒=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='-x x x x f ，即当直线y x b =+与12()f x x =的图象相切时切点的坐标为)21,41(，此时41=b ；由图象及对称性不难知当)41,41(-∈b 时函数)(x f ))2,2[(-∈x 的图象与直线y x b =+有三个不同的交点；再由函数的周期性得：∈b 11(44)44k k -+，时函数)(x f 的图象与直线y x b =+有三个不同的交点；故选C ．【考点】1．函数的图象及性质；2．函数的零点．【思路点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，由题意，画出函数()f x 的图象，利用数形结合的方法找出()f x 与函数y x b =+有三个零点时b 的求值．二、填空题12．已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，则a b += ．【答案】-5【解析】试题分析：2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，由P Q R = ，(2,3]P Q = ，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得：1335a b a b -=-+=-∴+=-，． 【考点】1．交集及其运算；2．并集及其运算．13．若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】18【解析】试题分析：由题意得直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为2=，即2222|221)221)18.a b =⇒+=+-= 【考点】直线与圆位置关系14．数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】试题分析：当2n ≥时，由221nn n na a S S =-，得2112()n n n n n n n S S a S S S S ---=-=-，所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}nS 是以2为首项，1为公差的等差数列，21nn S =+，所以21n S n =+，所以2221n a n n =-⋅+，2(1)n a n n =-+，又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩． 【考点】1．等差数列的性质；2．数列递推式． 【思路点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的性质；由数列递推式得到1221n n S S --=（2n ≥），由此证得数列所以2{}nS 是以2为首项，1为公差的等差数列，由此可求其通项公式后可得n S ，再由()12n n n a S S n -=-≥求数列{}n a 的通项公式．15．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，试卷第8页，总17页113()(|tan ||tan |tan )222f x x x ααα=++++（α为常数，且22ππα-<<），若对实数x R ∈，都有(3)()f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】42ππα-≤<【解析】试题分析：令1tan 2t α=，则当0x >时，()()2312f x x t x t t =++++，若t ≥，则当x >时，()3f x x t =+，当x <时，()()()33f x f x x t x t =--=--+=-由()()3f x f x -≤恒成立，可得()y f x =的图象恒在()3y f x =-的图象上方，则1tan 02α≥；当0t <时，当0x ≥时，()232x x t f x t t x t x t x t -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，，，，由()32f x x t x t =+≥-，，得()f x t ≥；当2t x t-<<-时，()f x t =；由()0f x x x t=-≤≤-，，得()f x t ≥．∴当0x >时，()min f x t =．∵函数()f x 为奇函数，∴当0x <时，()m a x fx t =-．∵对x R ∈，都有()()3f x f x -≤，∴333t t --≤，解得102t -≤<，即有11tan 022α-≤<，综上可得t a n 1α≥-，解得42k k k Z πππαπ-+≤<+∈，．又22ππα-<<，所以42ππα-≤<．【考点】函数奇偶性的性质．【思路点睛】令1tan 2t α=，讨论t ，把0x ≥时的()f x 改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得0x <时的函数的最大值，由对x R ∈，都有()()3f x f x -≤，可得()243t t --≤，求解该不等式得答案．三、解答题16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a cb -=，sin B C =．（1）求cos A 的值； （2）求cos(2)6A π-的值．【答案】（1）4（2）8【解析】试题分析：（1）在三角形ABC 中，由正弦定理及sin sin B C =，可得b =，又ac -=，在根据余弦定理的推论即可求出cos A 的值；（2）在三角形ABC 中，由cos A =，可得sin A =即可求出结果．试题解析：（1）在三角形ABC 中，由sin sin b cB C=及sin B C =，可得b =，又6a c -=，有2a c =，所以222222cos 2b c a A bc +-===．（2）在三角形ABC 中，由cos A =，可得sin A =，于是21c o s 22c o s 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==，所以53c os 2)6668A AA πππ-=+=．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．同角的基本关系．17．为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：试卷第10页，总17页【答案】（1）52；（2）有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系． 【解析】试题分析：（1）由表中看出每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为505606P ==，随机变量X 服从二项分布，运用独立重复试验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布公式求X 的期望；（2）根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，得到假设不合理的程度约为99%．试题解析：（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56， 故X～5(3,)6B ，3315()()()66k k kPx k C -==，0,1,2,3k =，52EX np ==．（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系． 【考点】1．二项分布；2．独立性检验．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，090ACB ∠=，EF BC ∥，12EFBC =，2AC BC ==，AE EC =．（1）求证：AF CF =；（2）当二面角A EC D --时，求三棱锥A EFC -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】试题分析：（1）由90ACB ∠=︒，平面AEC ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得：BC ⊥平面AEC ，又//EF BC ，可得EF ⊥平面AEC ，又AE EC =，利用勾股定理可得AF CF =．（2）取AC的中点O ，可得EO AC EO ⊥⊥，平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设()00E m ，，，设平面ECD 的法向量为 1()1n x y =u r ，，，利用 110n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u rur uu u r ，可得()11n m m =u r ，，，同理可得平面AEC 的法向量为()2010n FE ==u u r uur，，，利用法向量的夹角公式可得m ，再利用三棱锥的体积计算公式即可得出．试题解析：（1）因为090ACB ∠=，平面AEC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEC ， 又//EF BC ，所以EF ⊥平面AEC ，所以,EF AE EF CE ⊥⊥，又AE EC =，所以CEF ∆∽AEF ∆，∴AF CF =． （2）取AC 的中点O ，因为AE EC =，所以EO AC ⊥，又平面AEC ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0)C AD --，设(0,0,)E m ，∴(1,0,)EC m =-， (1,2,)ED m =--，设平面ECD 的法向量为1(,,1)n x y =，则由1100n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩， 得,x m y m ==，∴1(,,1)n m m =．由（1）知EF ⊥平面AEC ，所以平面AEC 的法向量为2(0,1,0)n FE ==，∴121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===，∴1m =． 所以11111123323A EFC F AEC ACE V V EF S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=．【考点】1．棱柱、棱锥、棱台的体积；2．平面与平面垂直的性质．【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或ωθ=（图2）其中1212cos ||||n n n n ω⋅=⋅．试卷第12页，总17页19．已知椭圆22:14x C y +=的短轴的端点分别为,A B ，直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1(,)2M m 满足0m ≠，且m ≠（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）用m 表示点,E F 的坐标；（3）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值．【答案】（1）2e =；（2）222129(,)99m m F m m -++;（3）1m =± 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率计算公式ce a=；（2）利用点斜式分别写出直线AM BM 、的方程，与椭圆的方程联立即可得到点E F 、的坐标；（3）利用三角形的面积公式及其关系得到5MA MB MEMF=，再利用坐标表示出即可得到m 的值．试题解析：（1）依题意知：2,a c ==e = （2）∵1(0,1),(0,1),(,)2A B M m -，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m =， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m=-，由2214112x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得22(1)40m x mx +-=，∴240,1m x x m ==+，∴22241(,)11m m E m m -++， 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22(9)120m x mx +-=，∴2120,9m x x m ==+，∴222129(,)99m m F m m -++． （3）∵1||||s i n 2A M F S M A M F A M F ∆=∠，1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BME S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =，∴22541219m mm mm m m m=--++， ∵0m ≠，∴22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又∵m ≠230m -≠，∴21m =，∴1m =±为所求．【考点】1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的简单性质． 20．已知函数()2ln pf x px x x=--． （1）若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【答案】（1）220x y --=；（2）[1,)p ∈+∞;（3）24(,)1ep e ∈+∞- 【解析】试题分析：（1）求出函数在1x =处的值，求出导函数，求出导函数在1x =处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（2）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p 的范围．（3）通过()g x 的单调性，求出()g x 的最小值，通过对p 的讨论，求出()f x 的最大值，令最大值大于等于()g x 的最小值求出p 的范围．试卷第14页，总17页试题解析：已知函数()2ln pf x px x x=--． （1）2()22ln f x x x x=--，(1)0f =， '222()2f x x x=+-，'(1)2f =， 则切线为：2(1)y x =-，即220x y --=．（2）2'2222()p px x pf x p x x x -+=+-=，由()f x 在定义域(0,)+∞内为增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立， ∴220px x p -+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立， 设22()(0)1x h x x x =>+，222'222222422()(1)(1)x x x h x x x +--==++， 易知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1h x h ==， ∴(1)1p h ≥=，即[1,)p ∈+∞． （3）设函数2()()()2ln p ex f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>．2'22222(2)()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=，01当0p =时，'222()0x ex xϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；02当0p <时，12()()2ln ex p x x x xϕ=---，∵[1,]x e ∈，∴10x x -≥，20ex>，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍； 03当0p >时，2'2(1)2()()0p x e x x xϕ++-=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241ep e >-， 综上，24(,)1ep e ∈+∞-． 【考点】1．导数在最大值、最小值问题中的应用；2．函数的单调性与导数的关系；3．利用导数研究曲线上某点切线方程．【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 21．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E ．（1）求BD 长；（2）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =． 【答案】（1）9；（2）详见解析 【解析】试题分析：本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．（1）证明OBD AOC V V ∽，通过比例关系求出BD 即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可． 试题解析：（1）∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴OCA ODB ∠=∠． ∵BOD A ∠=∠，∴OBD ∆∽AOC ∆，∴BD ODOC AC=， ∵6,4OC OD AC ===，∴664BD =，∴9BD =． （2）∵,OC OE CE OD =⊥，∴COD BOD A ∠=∠=∠．∴00180180AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠．∴AD AO =．【考点】相似三角形的判定． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩．（θ为参数）（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点00(,)M x y 以及平行于直线1l 的直试卷第16页，总17页线参数方程，直线1l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB ⋅=，即可求点M 轨迹的直角坐标方程，通过两个交点推出轨迹方程的范围．试题解析：（1）直线:l y x =，曲线22:12x C y +=． （2）设点00(,)M x y 及过点M的直线为0102:x x tl y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）． 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=， 8||||3MA MB ⋅=2200228||332x y +-⇒=，即：220026x y +=，2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=， 由0∆≥得m ≤故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x = 【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．简单曲线的极坐标方程；3．参数方程化成普通方程．23．选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||4|f x x x =+--． （1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{|15}x x x ><-或；（2）(,9]-∞ 【解析】试题分析：（1）分类讨论，当4x ≥时，当142x -≤<时，当12x <-时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出()3|4|f x x +-的最小值为9，故9m <．试题解析：（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥成立； 当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->，得1x >，所以14x <<成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-成立． 综上，原不等式的解集为{|15}x x x ><-或．（2）令()()3|4||21|2|4||21(28)|9F x f x x x x x x =+-=++-≥+--=， 当142x -≤≤时等号成立． 即有()F x 的最小值为9， 所以9m ≤．即m 的取值范围为(,9]-∞．【考点】1．绝对值不等式的解法；2．函数最值的应用．。

湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}322≥-=x x x P ，{}42<<=x x Q ，那么=Q P （） A ．)4,3[ B ．]3,2( C ．)2,1(- D ．]3,1(-2.以下命题中，是真命题的是（）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．已知b a ,为实数，那么0=+b a 的充要条件是1-=ba D ．已知b a ,为实数，那么1,1>>b a 是1>ab 的充分条件3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判定模型的拟合成效，2R 越大，模拟的拟合成效越好；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为25，那么C 的渐近线方程为（） A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 5.已知⎰=211xdx S ，⎰=212dx e S x ，⎰=2123dx x S ，那么321,,S S S 的大小关系为（） A ．321S S S << B ．231S S S << C ．123S S S << D ．132S S S <<6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 若a AC =，b BD =，那么=AF （）A ．b a 2141+B ．b a 4121+C ．b a 3132+D ．b a 3221+7.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，取得函数x x f y cos )(⋅=的图象，那么)(x f 的表达式能够是（） A ．x x f sin 2)(-= B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += 8.某程序框图如下图，现将输出),(y x 值依次记为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅),,(,),,(),,(2211n n y x y x y x 假设程序运行中输出的一个数组是)10,(-x ，那么数组中的=x （）A ．32B ．24C ．18D ．169.在直角坐标系中，P 点的坐标为)54,53(，Q 是第三象限内一点，1=OQ 且43π=∠POQ ，那么Q 点的横坐标为（）A ．1027-B ．523-C ．1227-D ．1328- 10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为（）A ．6311B ．3C ．335D ．334 11.现概念θθθsin cos i ei +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，假设θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i +D ．θθ5cos 5sin i -12.已知函数x x x x f ln )(+=，假设Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，那么k 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13.假设抛物线)0(22>=p px y 的准线通过双曲线122=-y x 的一个核心，那么=p _____.14.已知实数x 、y 知足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤0220332y x y x y ，那么目标函数y x z +=3的最大值为______.15.假设函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是______.16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，那么平面四边形ABCD 面积的最大值为______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17.（本小题总分值12分）已知数列{}n a 与{}n b 知足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n .（1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.18.（本小题总分值12分）如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.（1）证明：CD PB ⊥；（2）求二面角B PD A --的余弦值.19.（本小题总分值12分）“依照《中华人民共和国道路交通平安法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，通过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名.以下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率散布直方图.（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率散布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，...,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度别离为x 、)100/(mL mg y ，那么事件10≤-y x 的概率是多少？20.（本小题总分值12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 别离是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右核心，B A ,别离是椭圆E 的左、右极点，)0,1(D 为线段2OF 的中点，且522=+BF AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并别离延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且别离为1k 、2k .试问是不是存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.21.（本小题总分值12分）已知函数e e bx ax x f x ()12()(2-++=为自然对数的底数).（1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ,两点，PD 切圆于G D ,为CE 上一点且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BD AC =，求证：ED AB =.23.（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为t t y t x (213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.24.（本小题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(.（1）假设不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，假设存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围.湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）参考答案一、选择题ADBCB CAAAB AB6.C 【解析】∵=，=，∴21212121+=+=+=，因为E 是OD 的中点，∴31=EB DE ，因此AB DF 31=， ∴b a BD AC AC BD OA OB AB DF 61616161))21(21(31)(3131-=-=---⨯=-==， b a b a b a DF AD AF 3132********+=-++=+=.应选C . 7.A 【解析】将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，取得函数x x x y 2sin )22cos()]4(2cos[-=+=+=ππ的图象，因为x x x cos sin 22sin -=-，因此x x f sin 2)(-=.8.A 【解析】运行第一次，输出)0,1(，3=n ，2=x ，2-=y ；运行第二次，输出)2,2(-，5=n ，4=x ，4-=y ；运行第三次，输出)4,4(-，7=n ，8=x ，6-=y ；运行第四次，输出)6,8(-，9=n ，16=x ，8-=y ；运行第五次，输出)8,16(-，11=n ，32=x ，10-=y ；运行第六次，输出)10,32(-，13=n ，64=x ，12-=y .因此选A .9.A 【解析】设α=∠xOP ，那么53cos =α，54sin =α，10272254)22(53)43cos(-=⋅--⋅=+=παQ x 10.B 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图，设E 为AD 的中点，那么AD BE ⊥.⊥PE 平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积33]2)21(21[31=⨯⨯+⨯⨯=V ，应选B.【解析】（θθθsin cos i e i +=其实为欧拉公式）)sin (sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos cos 55544532352325415505θθθθθθθθθθi C C i C C i C C bi a ++--+=+)sin ()sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos cos 555544453323522325415505θθθθθθθθθθi C i C i C i C i C C +++++=θθθθθθ5sin 5cos )()sin (cos 555i e e i i i +===+=⨯.【解析】先画x x x x f ln )(+=的简图，设)2(-=x k y 与x x x x f ln )(+=相切于)2))((,(>m m f m M 因此2)()(-='mm f m f ，即2ln ln 2-+=+m m m m m ，可化为0ln 24=--m m ， 设m m m g ln 24)(--=，因为08)(22<-=e e g ，010)(33>-=e e g ，因此32e m e <<，)5,4(ln 2)(∈+='m m f 又Z k ∈，因此4max =k ，选B.二、填空题13.22 【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程是2p x -=，双曲线122=-y x 的一个核心)0,2(1-F ，因为抛物线)0(22>=p px y 的准线通过双曲线122=-y x 的一个核心，因此22-=-p ，解得22=p ，因此答案应填：22.14.7 【解析】作出可行域如下图：作直线03:0=+y x l ，再作一组平行于0l 的直线z y x l =+3:，当直线l 通过点M 时，y x z +=3取得最大值，由⎩⎨⎧==--2033y y x 得：⎪⎩⎪⎨⎧==235y x ，因此点M 的坐标为)2,35(，因此72353max =+⨯=z . 15.]0,4[- 【解析】∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x a ax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a ，即实数a 的取值范围是]0,4[-.D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，又平面四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=， 即S D B 2sin 15sin 8=+②.①②平方相加得 2404)cos(240449)cos cos sin (sin 2402256422-=+-+=-++S D B S D B D B ，当π=+D B 时，S 取最大值302.16.【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，因此6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n ， .............4分因此{}n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n . ..........6分（2）因为n n b 2=，因此1112)22(2+++=-=-n n n n n a a ，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--+226222121+=++⋅⋅⋅++=+-n n n ， ...........8分当1=n 时，61=a ，符合上式，因此221+=+n n a ， ...........9分由λλ22++>n a n n 得1122122+++=+>n n n n n λ， .................10分 021221111≤-=-++++n n n n n n ， 因此当2,1=n 时，122++n n n 取最大值43， 故λ的取值范围为),43(+∞. ...............12分18.【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，那么ADEB 为正方形，过P 作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ，连接OD OE OB OA ,,,， ................................2分由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形可知PD PB PA ==，因此OD OB OA ==，即点O 为正方形ADEB 对角线的交点. .....................4分故BD OE ⊥，从而⊥OE 平面PBD ，因此PB OE ⊥，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，因此CD OE ∥，因此CD PB ⊥. ...................6分（2）由（1）可知，OP OB OE ,,两两垂直.以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，成立如下图的直角坐标系xyz O -， ....................7分 设2=AB ，那么)0,0,2(-A ，)0,2,0(-D ，)2,0,0(P ，)0,2,2(-=，)2,0,2(=， .......................8分设平面PAD 的法向量),,(z y x =，022=-=⋅y x ，022=+=⋅z x ，取1=x ，得1,1-==z y ，即)1,1,1(-=n ， ....................10分因为⊥OE 平面PBD ，设平面PBD 的法向量为，取)0,0,1(=m ，由图象可知二面角B PD A --的大小为锐角， ...................11分因此二面角B PD A --的余弦值为3331cos ===θ. .............12分 19.【解析】（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上者，共有36005.0=⨯人， .........................3分（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值)100/(4705.0851.0751.06515.0552.04515.03525.025mL mg =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ...7分（3）第五组和第七组的人别离有：61.060=⨯人，305.060=⨯人. ........9分10≤-y x 即选的两人只能在同一组中.2136315)10(292326=+=+=<-C C C y x P . .................12分20.【解析】（1）∵522=+BF AF ，∴F AF 225=.∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=，点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而5,3==b a ，左核心)0,2(1-F ，故椭圆E 的方程为15922=+y x . ............5分 （2）存在知足条件的常数λ，74-=λ， 设),,(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M那么直线MD 的方程为1111+-=y y x x ，代入椭圆方程1592=+x ，整理得， 0415112211=--+-y y x y y x . .............7分 ∵5)1(11131--=+x x y y y .∴54113-=x y y ， 从而595113--=x x x ，故点)54,595(1111---x y x x P ， ........8分 同理，点)54,595(2222---x y x x Q . ................9分∵三点N F M ,,1共线，∴222211+=+x y x y ， 从而)(2211221y y y x y x -=-. ...............10分 从而47)(4)(7)(4)(5595595545412121212112211211221143432k x x y y x x y y y x y x x x x x x y x y x x y y k =--=--+-=--------=--=. .....11分 故07421=-k k ，从而存在知足条件的常数λ，74-=λ. .............12分 21.【解析】（1）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2， .....1分 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f . ...........2分当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ； ......3分当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .因此，0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞；0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b . .....4分（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)1(=f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ， 则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，那么由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，那么)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点. ...........5分b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='. 当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......6分 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......7分 当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，因此)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h . ............8分若)(x h 有两个零点，那么有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h . ........9分)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--= 设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，那么x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，因此0))4(ln(<a h 恒成立. ..........10分由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，那么)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，因此0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，那么)(x g 在),(21x x 内有零点.综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . ........12分 22.证明：（1）∵PD PG =，∴PGD DG P ∠=∠，∵PD 为切线，∴DBA DA P ∠=∠. ....2苦恼 ∵GA E PGD ∠=∠，∴EGA DBA ∠=∠，∴BAD EGA BAD DBA ∠+∠=∠+∠，∴PFA BDA ∠=∠， .............4分∵EP AF ⊥，∴ 90=∠PFA ，∴ 90=∠BDA ，∴AB 为圆的直径. .......5分（2）连接DC BC ,，∵AB 为圆的直径，∴ 90=∠=∠ACB BDA ， ................6分在BDA RT ∆与ACB RT ∆中，BA AB =，BD AC =，∴ACB RT BDA RT ∆≅∆，∴CBA DAB ∠=∠， .................7分∵DAB DCB ∠=∠，∴CBA DCB ∠=∠， ..........8分∴AB DC ∥，∵EP AB ⊥，∴EP DC ⊥，∴DCE ∠为直角，∴ED 为圆的直径， .......9分∵AB 为圆的直径，∴ED AB =. ..........10分23.【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=，因此)cos 21sin 23(4)6sin(42θθρπθρρ-=-=， ...............2分 又222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， 因此x y y x 23222-=+，因此圆C 的一般方程为032222=-++y x y x . .................5分（2）解法1：设y x z +=3，故圆C 的方程4)3()1(03222222=-++⇒=-++y x y x y x ，因此圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2， 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231代入y x z +=3得t z -=， 又直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，因此22≤≤-t ，因此22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-. ...........10分 解法2：直线l 的参数方程化成一般方程为：23=+y x ， .......6分 由⎩⎨⎧=-++=+4)3()1(2322y x y x 解得)13,31(1+--P ，)13,31(2-+-P ， ..............8分 ∵),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，∴点P 在线段21P P 上，∴y x +3的最大值是2)13()31(3=-++-， 最小值是2)13()31(3-=++--， ∴y x +3的取值范围是]2,2[-. .........10分24.【解析】（1）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，∴a a x a -≤-≤-626， 即33≤≤-x a ，∴23-=-a ，∴1=a . ....................5分（2）由（1）知112)(+-=x x f ，令)()()(n f n f n -+=ϕ， 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤--≤-=+++-=21,422121,421,4221212)(n n n n n n n n ϕ， .................8分 ∴)(n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是),4[+∞. ..............10分。

长郡中学2016届高三月考卷（六）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为（ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．322.设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．25815.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A 3 B ．32C ．0D ．36.某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-7.已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ） A ．7 B ．7- C ．3 D ．3-8.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ） A 3．1 C 23 D ．29.两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．4910.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或211.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ． 2512.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．11(2,2),44k k k Z -+∈ B ．15(2,2),22k k k Z ++∈ C ．11(4,4),44k k k Z -+∈ D ．19(4,4),22k k k Z ++∈二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R =U ，(2,3]P Q =I ，则a b +=.14.若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +=.15.数列{}na中，11a=，nS为数列{}na的前n项和，且对2n∀≥，都有221nn n naa S S=-，则数列{}na的通项公式na= .16.已知函数()f x是R上的奇函数，当0x>时，113()(|tan||tan|tan)222f x x xααα=++++（α为常数，且22ππα-<<），若对实数x R∈，都有(3)()f x f x-≤恒成立，则实数a的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知66a c b-=，sin6sinB C=. （1）求cos A的值；（2）求cos(2)6Aπ-的值.18. （本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150．10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，090ACB ∠=，//EF BC ，12EF BC =，2AC BC ==，AE EC =. （1）求证：AF CF =；（2）当二面角A EC D --的平面角的余弦值为33时，求三棱锥A EFC -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=的短轴的端点分别为,A B ，直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1(,)2M m 满足0m ≠，且3m ≠±. （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）用m 表示点,E F 的坐标；（3）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值.21. （本小题满分12分） 已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E . （1）求BD 长；（2）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.（θ为参数）（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB •=，求点M 轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||4|f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.参考答案一、选择题 ADCAA BBAAC BC12.C【解析】由()f x 为奇函数，且(1)f x -为偶函数知(1)(1)f x f x --=-，令1x x =+，则()(2)(2)(4)f x f x f x f x =--=-+=+，所以()f x 是周期为4的周期函数，又[0,1]x ∈时，12()f x x =，画出()f x 的函数图象如图所示，由()()g x f x x b =--有三个零点，即()f x 的图象与y x b =+的图象有三个交点，由图易得当11(,)44b ∈-时，()f x 与y x b =+在[2,2]-内有三个交点，又()f x 是以4为周期的周期函数，故当11(4,4)44b k k ∈-+，k Z∈时，()()g x f x x b =--有三个零点，故选C .二、填空题 13. -5 14. 1815. 1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】当2n ≥时，由221n n n na a S S =-，得2112()n n n n nn n S S a S S S S ---=-=-， 所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}n S 是以2为首项，1 为公差的等差数列，21nn S =+，所以21n S n =+， 所以2221n a n n=-•+，2(1)n a n n =-+，又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)nnann n=⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩.16.42ππα-≤<【解析】当02πα≤<时，tan0α≥，所以当0x>时，3()tan2f x xα=+为增函数，三、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC中，由sin sinb cB C=及sin6sinB C=，可得6b c=，又66a c b-=，有2a c=，所以22222226cos2426b c aAbc c+-===.（2）在三角形ABC中，由6cos A=，可得10sin A=，于是21cos22cos14A A=-=-，15sin22sin cosA A A==，所以153cos(2)cos2cos sin2sin6668A A Aπππ--=+=.18.【解析】（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56，故X～5(3,)6B，3315()()()66k k kP x k C-==，0,1,2,3k=，52EX np ==. （2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.19.【解析】（1）因为090ACB ∠=，平面AEC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEC ， 又//EF BC ，所以EF ⊥平面AEC ，所以,EF AE EF CE ⊥⊥，又AE EC =，所以CEF ∆∽AEF ∆，∴AF CF =.（2）取AC 的中点O ，因为AE EC =，所以EO AC ⊥，又平面AEC ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD .如图，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0)C A D --，设(0,0,)E m ，∴(1,0,)EC m =-u u u r， (1,2,)ED m =--u u u r，设平面ECD 的法向量为1(,,1)n x y =u r，则由1100n EC n ED ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩， 得,x m y m ==，∴1(,,1)n m m =u r.由（1）知EF ⊥平面AEC ，所以平面AEC 的法向量为2(0,1,0)n FE ==u u r u u u r， ∴12122123cos ,||||21n n n n n n m •<>===+u r u u ru r u u r u r u u r ，∴1m =.所以11111123323A EFC F AEC ACE V V EF S --∆==•=⨯⨯⨯⨯=.20.【解析】（1）依题意知：2,3a c ==32e =， （2）∵1(0,1),(0,1),(,)2A B M m -，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m =， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m=-，由2214112x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得22(1)40m x mx +-=，∴240,1m x x m ==+，∴22241(,)11m m E m m -++， 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22(9)120m x mx +-=，∴2120,9m x x m ==+，∴222129(,)99m m F m m -++. （3）∵1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BME S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =，∴22541219m mm mm m m m=--++， ∵0m ≠，∴22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又∵m ≠230m -≠，∴21m =，∴1m =±为所求.21．【解析】已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）2()22ln f x x x x =--，(1)0f =， '222()2f x x x=+-，'(1)2f =，则切线为：2(1)y x =-，即220x y --=.（2）2'2222()p px x pf x p x x x -+=+-=，由()f x 在定义域(0,)+∞内为增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立， ∴220px x p -+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立，设22()(0)1x h x x x =>+，222'222222422()(1)(1)x x x h x x x +--==++， 易知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1h x h ==， ∴(1)1p h ≥=，即[1,)p ∈+∞.（3）设函数2()()()2ln p e x f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>.2'22222(2)()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=， 01当0p =时，'222()0x e x x ϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；02当0p <时，12()()2ln e x p x x x xϕ=---， ∵[1,]x e ∈，∴10x x -≥，20e x>，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍； 03当0p >时，2'2(1)2()()0p x e x x x ϕ++-=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241e p e >-， 综上，24(,)1e p e ∈+∞-. 22．【解析】（1）∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴OCA ODB ∠=∠. ∵BOD A ∠=∠，∴OBD ∆∽AOC ∆，∴BD OD OC AC =， ∵6,4OC OD AC ===，∴664BD =，∴9BD =. （2）∵,OC OE CE OD =⊥，∴COD BOD A ∠=∠=∠.∴00180180AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠. ∴AD AO =. 23．【解析】（1）直线:l y x =，曲线22:12x C y +=.（2）设点00(,)M x y 及过点M 的直线为01022:22x x t l y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. 由直线1l 与曲线C 相交可得：222000032222202t tx ty x y ++++-=， 8||||3MA MB •=2200228||332x y +-⇒=，即：220026x y +=， 2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=， 由0∆≥得33m -≤≤，故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线3y x =±之间的两段弧.24．【解析】（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥成立；当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->， 得1x >，所以14x <<成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-成立. 综上，原不等式的解集为{|15}x x x ><-或.（2）令()()3|4||21|2|4||21(28)|9F x f x x x x x x =+-=++-≥+--=， 当142x -≤≤时等号成立. 即有()F x 的最小值为9，所以9m ≤.即m 的取值范围为(,9]-∞.。

炎德 英才大联考长沙市长郡中学2016届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|12},{|20}P x x Q x x x =<≤=+-≤，那么P Q I 等于（ ）A ．φB ．{}1C ．{|22}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2、设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、若函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，0x >时，()f x 单调递增()(),,P f Q f e π=-=2)R f =，则,,P Q R 的大小为（ ）A ．R Q P >>B ．Q R P >>C ．P R Q >>D ．P Q R >>4、在等腰ABC ∆中，90,2,2,33BAC AB AC BC BD AC A ∠=====ou u u r u u u r u u u r u u r ，则AD BE ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．43-B ．13-C ．13D ．435、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1100a =-，且755770S S -=，则101S 等于（ ）A ．100B ．50C ．0P R Q >>D ．-506、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A．36B．33C．32D．37、执行如图所示的程序框图，如果输入30,18m n==，则输出的m的值为（）A．0 B．6 C．12 D．188、,x y满足约束条件20220220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．12或-1 B．2或12C．2或1 D．2或-19、在区间(1,1)-上随机取一个数x，使sin2xπ的值介于0到12之间的概率为（）A．13B．16C．13πD．16π10、函数()sin()f x A wxϕ=+（其中0,2Aπϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos2g x x=的图象，则只要将()f x的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11、已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ）A2 B1 C1 D112、设集合33[1,),[,2]22A B ==，函数()1,22(2),x x A f x x x B⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈且01[(1)][0,)2f f x +∈，则0x 的取值范围是（ ） A ．5(1,]4 B ．53(,]42 C ．513(,)48 D ．53(,)42第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。