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1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ＋)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n＋3＝0(n ∈N ＋)． 2．复数的分类复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)3．共轭复数设复数z 的共轭复数为z ，则 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ；z 为纯虚数⇔z ＝－z . 4．复数相等的条件复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0(a ，b ∈R)．5．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．复数的概念[例1] 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？[解] (1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②由②得x ＝4，经验证满足①式． ∴当x ＝4时，z ∈R.(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎨⎧x >3＋212或x <3－212，x >3且x ≠4，即3＋212<x <4或x >4. ∴当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数．(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2－3x －3)＝0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1或x ＝4，x >3且x ≠4.无解．∴复数z 不可能是纯虚数．解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域．1．若复数z ＝a ＋2i1＋i＋(2－i)为纯虚数，求实数a .解：∵z ＝a ＋2i 1＋i ＋(2－i)＝(a ＋2i )(1－i )2＋(2－i)＝(a ＋2)＋(2－a )i2＋(2－i)＝a ＋62－a 2i 为纯虚数，∴a ＋62＝0，即a ＝－6. 2．已知z ＝x －i 1－i(x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i＝x ＋12＋x 2＋x 2i.根据题意x ＋12－x 2＋x 2＝－32，得x 2－1＝3.∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝⎛⎭⎫32＋3i ⎝⎛⎭⎫32－3i ＝454.复数的四则运算[例2] 计算： (1)(2＋2i )4(1－3i )5； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[解] (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.3．计算1－i (1＋i )2＋1＋i(1－i )2.解：1－i(1＋i )2＋1＋i(1－i )2＝1－i 2i－1＋i 2i ＝－2i2i ＝－1.4．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，求z ·z ＋z . 解：∵z ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i.∴z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋(1－2i)＝5＋1－2i ＝6－2i.复数问题实数化[例3] 设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)．试求a 的取值范围． [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＝x －y i. 由(1)，知x ＜0，y ＞0. 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)， 故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ， 即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2， ∵y ＞0，∴4(y －1)2≥0. ∴36－a 2≥0.∴－6≤a ≤6.又2x ＝a ，而x ＜0，∴a ＜0.∴－6≤a ＜0. ∴a 的取值范围为[－6,0)．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，依据是复数相等的充要条件．5．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1， ∴a ＝－3，b ＝4.复数的几何意义[例4] 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，15(2y ＋x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0.∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点P (a ，b )一一对应，和向量OP ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．6．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)， 故z ＝－5.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把复数z 的共轭复数记作z －，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z －＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3iD ．3解析：(1＋z )·z －＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 答案：A2．(全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.答案：C3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i. 在复平面内对应的点为(4，－2)，位于第四象限． 答案：D4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－iD ．－2i解析：设z ＝b i(b ≠0)，则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i＝(2＋b i )(1＋i )2＝(2－b )＋(2＋b )i2.∵z ＋21－i是实数，∴2＋b ＝0. ∴b ＝－2，∴z ＝－2i. 答案：D5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：D6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R)，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i 5为纯虚数，则a ＝1，则|z 1|＝5，故选D. 答案：D7．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R)互为共轭复数，则z 1对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由z 1，z 2互为共轭复数，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以z 1＝(2x －1)＋y i ＝－3－i.由复数的几何意义知z 1对应的点在第三象限． 答案：C8．(全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题． 答案：B9．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ， 所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 故z 2＋z －2的虚部为0. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i ＝3－i.答案：A11．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝ |z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．答案：A12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根， 则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ， 解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→，则a ＝________，b ＝________.解析：∵OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a ，－4＝6＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.答案：－3 －1014．若复数z 满足方程z i ＝i －1，则z ＝________. 解析：∵z i ＝i －1，∴z ＝i －1i ＝(i －1)(－i)＝1＋i.∴z ＝1－i. 答案：1－i15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1009＋i6＝i 4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.答案：－1＋i16．设z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1，则z 2的虚部是________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 1＝a －b i ，∴z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.由已知得a －b ＝1.∴z 2的虚部为－1.答案：－1三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)已知z 1＝(x ＋y )＋(x 2－xy －2y )i ，z 2＝(2x －y )－(y －xy )i ，问x ，y 取什么实数值时，(1)z 1，z 2都是实数；(2)z 1，z 2互为共轭复数．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－xy －2y ＝0，y －xy ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝13. 所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝13时，z 1，z 2都是实数． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ，x 2－xy －2y ＝y －xy ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝34，所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝34时，z 1，z 2互为共轭复数． 19．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i.(1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i. (2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝i(1－i)3.(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解：(1)z 1＝i(1－i)3＝i(1－i)2(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知 |z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.21．(本小题满分12分)设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z |＝2 3.(1)若z 为纯虚数，求z .(2)若z －z 2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＝－b i ，因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ， 因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 因为z －z 2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. z －z 2为实数， 所以b ＋2ab ＝0. 因为|b |＝3，所以a ＝－12， 所以|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(本小题满分12分)已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． 解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12， 即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数．。
5．3复数的四则运算[读教材·填要点]复数的四则运算一般地，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，有 (1)加法：z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝a －c ＋(b －d )i.(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．[小问题·大思维]1．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 提示：不能．如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小．2．复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？ 提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.[自主解答] z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i.又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i. z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．1．(1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 解：(1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ， 即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1， 所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)(5－295i)÷(7－35i)．[自主解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－295i 7－35i ＝(5－295i )(7＋35i )(7－35i )(7＋35i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i72＋(35)2＝470－1885i94＝5－25i.(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样．(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可．2．(1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部； (2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ， 则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i. 于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2. (2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0有实根，求纯虚数m 的值．[自主解答] 设m ＝b i(b ≠0)，x 0为一实根，代入原方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3b i －1)i ＝0. ∴(x 20＋x 0＋3b )＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3b ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，b ＝112.∴m ＝112i.若将“求纯虚数m ”改为“求实数m ”，如何求解？ 解：x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0， 即(x 2＋x )＋(2x －3m ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，2x －3m ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，m ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，m ＝－13. 即m ＝13或－13.复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决．3．已知关于x 的方程x 2＋kx －i ＝0有一根是i ，求k 的值． 解：因为i 为方程x 2＋kx －i ＝0的一个根， 所以代入原方程，得i 2＋k i －i ＝0. 所以k ＝1＋i i ＝(1＋i )ii2＝1－i.计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018.[解] 法一：∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0.∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＋i 2 018) ＝1＋i ＋i 2＝i.法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 018 ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 504×4＋31－i＝1－i 31－i ＝1＋i 1－i＝i.1．(6－2i)－(3i ＋1)等于( ) A ．3－3iB ．5－5iC ．7＋iD ．5＋5i解析：(6－2i)－(3i ＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i ＝5－5i. 答案：B2．(全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.答案：D3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i ＝2i ＝－2i.答案：B 4．若z ＝－1－i2时，求z 2 018＋z 102＝________. 解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 018＋z 102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008·(－i)＋(－i)48·(－i)3 ＝－i ＋i ＝0 答案：05．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.答案：36．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.1．设i 为虚数单位，则5－i 1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－6i2＝2－3i.答案：C2．(山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i. 答案：A3．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0. 答案：B4．已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝( )A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i(2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：D 二、填空题5．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________．解析：∵1－2＋i ＋11－2i ＝15(－2－i)＋15(1＋2i)＝－15＋15i ，∴虚部是15.答案：156．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝______. 解析：∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1＋i＝1＋i. 答案：1＋i7．(天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.答案：－28．若z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根，则实数a ，b 的值分别为________，________. 解析：把z ＝i －1代入方程z 2＋az ＋b ＝0，得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a －2＝0.解得a ＝2，b ＝2. 答案：2 2 三、解答题9．复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数， ∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0. ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x ，y 的值．解：∵x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i， ∴x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10. 即5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i. (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.。
5．4 复数的几何表示一、基础达标1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四 答案 D解析 由i 2＝－1，z ＝3－i ，对应点坐标为(3，－1)． 2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1)．由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限．故选D.3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 答案 C解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴答案 B解析 a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________． 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．答案 (2，6)∪(－6，－2) 解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎨⎧k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |. 解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数， ∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 二、能力提升8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.9．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ， sin A ＞cos B ．cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0， 所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B. 10．复数z ＝3＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第________象限．答案 三 解析 3<0，log 3 12<0，∴z ＝3＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第三象限．11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎨⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎨⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i. 三、探究与创新13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为 a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0 ⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝02ab ＝0， ⇒⎩⎨⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝±3，b ＝0 或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．。
5．4复数的几何表示[读教材·填要点]1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点P (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OP ―→＝(a ，b )． 3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OP ―→，则OP ―→的模叫作复数z 的模，记作|z |，且 |z |＝a 2＋b 2. 4．共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，将复数a －b i 称为原来的复数z 的共轭复数，记作：z . (2)性质：①z ＝z ；②复平面上两点P ，Q 关于x 轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭．5．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OP ―→，O Q ―→，四边形OPS Q 为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OS ―→ ，与z 1－z 2对应的向量是Q P ―→.[小问题·大思维]1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？ 提示：向量的起点在原点．2．若复数(a －1)＋a i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第二象限，则a 的取值范围是什么？提示：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，即0<a <1.所以a 的取值范围是(0,1)．3．若z 1与z 2互为共轭复数，那么|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 提示：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，故|z 1|＝|z 2|. 4．什么数的共轭复数是它本身？ 提示：实数的共扼复数是它本身．5．从复数减法的几何意义理解：|z 1－z 2|表示什么？提示：表示P 1与P 2两点间的距离．求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．[自主解答] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．1．在复平面内，O 是原点，若向量OA ―→对应的复数z 的实部为3，且|OA ―→|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB ―→对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i ，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA ―→＝(3，b )， 已知|OA ―→|＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量OB ―→对应的复数为z ′＝－3.(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝()A．1＋2i B．－1－2iC．±1±2i D．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)[自主解答](1)依题意可设复数z＝a＋2a i(a∈R)，由|z|＝5得a2＋4a2＝5，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案](1)D(2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|＜|z1|，求实数a的取值范围．解：由条件可知z1－z2＝(4－a)＋2i.又|z1－z2|＜|z1|，即(4－a)2＋4＜4＋9，解得1＜a＜7.所以实数a的取值范围是(1,7)．设z∈C，z为z的共轭复数，若z·z＋i z＝103＋i，求z.[自主解答]设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i(a，b∈R)．∵103＋i＝3－i，∴(a＋b i)(a－b i)＋i(a＋b i)＝3－i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴z ＝－1－i 或z ＝－1＋2i.保持例题条件不变，求z z 的值．解：当z ＝－1－i 时，z ＝－1＋i ，∴zz ＝－1＋i －1－i ＝(－1＋i )2(－1＋i )(－1－i )＝－2i 2＝－i ；当z ＝－1＋2i 时，z ＝－1－2i ， ∴z z ＝－1－2i －1＋2i ＝(－1－2i )2(－1＋2i )(－1－2i ) ＝－3＋4i 5＝－35＋45i. ∴zz ＝－i 或zz ＝－35＋45i.此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1.b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ，求点C ，D 对应的复数．[自主解答] ∵向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ， ∴向量AC ―→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC ―→＝OA ―→＋AC ―→，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD ―→＝BC ―→，∴向量AD ―→对应的复数为3－i ， 即AD ―→＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB ―→对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．4．已知平行四边形ABCD 中，AB ―→与AC ―→对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于O 点． (1)求AD ―→对应的复数； (2)求DB ―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形， 所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，于是AD ―→＝AC ―→－AB ―→， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ， 即AD ―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB ―→＝AB ―→－AD ―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 所以DB ―→对应的复数是5.已知z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z ＝(x ＋3)＋(y －2)i ，且|z 0|＝2，求复数z 对应的点的轨迹．[巧思] 设出复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，根据复数相等寻找出a ，b 与x ，y 之间的关系，然后利用|z 0|＝2这一条件求出a ，b 的等量关系．[妙解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x ＋3，b ＝y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －3，y ＝b ＋2.又∵z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)且|z 0|＝2，∴x 2＋y 2＝4. ∴(a －3)2＋(b ＋2)2＝4.∴复数z 对应的点的轨迹是以(3，－2) 为圆心，2为半径的圆．1．(北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.答案：B2．(山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 解析：法一：由题意可知z ＝a －3i ， ∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4， 故a ＝1或－1.法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 答案：A3．设z ∈C ，|z |≤2，则点z 表示的图形是( )A ．直线x ＝2的右半平面B ．半径为2的圆面C ．直线x ＝2的左半平面D ．半径为2的圆解析：由复数模的几何意义知：点z 到原点的距离小于或等于2，点z 的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面．答案：B4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)5．复数z ＝sin π3－icos π6，则|z |＝________.解析：∵z ＝32－32i ， ∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫－322＝62. 答案：626．在复平面上，复数i,1,4＋2i 的对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数． 解：法一：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎫2，32， 由平行四边形的性质知E 也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. 即D (3,3)，∴D 点对应的复数为3＋3i.法二：由已知：OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝(1,0)，OC ―→＝(4,2)． ∴BA ―→＝(－1,1)，BC ―→＝(3,2)． ∴BD ―→＝BA ―→＋BC ―→＝(2,3)． ∴OD ―→＝OB ―→＋BD ―→＝(3,3)． 即点D 对应的复数为3＋3i.一、选择题z1＋i的点是( ) 1.若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数A ．E B ．F C ．GD ．H解析：由题图可得z ＝3＋i ， 所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)． 答案：D2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2， ∴1＜a 2＋1＜5， ∴|z |∈(1，5)． 答案：B3．设复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i.∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i.法二：∵|z |∈R ，由复数相等的充要条件可知： 若等式z ＋|z |＝2＋i 成立，则必有虚部为1， 故可设z ＝x ＋i(x ∈R)，代入原等式有： x ＋x 2＋1＝2，解得x ＝34，所以z ＝34＋i.答案：D4．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限． 答案：A 二、填空题5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：96．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由题意可得OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)，OC ―→＝(3，－2)， ∴由OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得 (3，－2)＝(－x,2x )＋(y ，－y )＝(－x ＋y,2x －y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4. ∴x ＋y ＝5. 答案：5 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 解：(1)由m 2－2m －15＝0， 得m ＝5或m ＝－3.即当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数． (2)由m 2－2m －15≠0， 得m ≠5且m ≠－3，即当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2，即当m ＝－2时，z 为纯虚数． (4)由m 2－2m －15>0， 得m <－3或m >5.即当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方． (5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 得m ＝－3－414或m ＝－3＋414. 即当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．10．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，若1≤|z |≤ 2.试问复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．解：∵|z |＝x 2＋y 2且1≤|z |≤2， ∴1≤x 2＋y 2≤2.又|w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2x 2＋2y 2， ∴2≤|w |≤2.令w ＝m ＋n i(m ，n ∈R)，则2≤m2＋n2≤2，即2≤m2＋n2≤4.故w对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.。
