广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题(文科)Word版含解析

峨山一中2017—2018学年上学期期末考试高二年级文科数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求。

)1．设集合A={3，5，6，8},集合B={5，7，8},则A ∪B 等于( )A. {5,8}B. {5,7,8}C. {3,4,5，6,7，8}D. {3,5,6,7,8} 2．计算：=( )A. B. 12-C.D.123．如右图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( ) A.B.C.D.4．在平行四边形ABCD 中，AB AC CD ++uu u r uuu r uu u r等于( )A. AC uuu rB. BD uuu rC. DB uuu rD. AD uuu r5.下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为增函数的是（ ）A. xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B. 1y x = C. 3log y x = D. 3y x =6．运行如图所示程序，则输出结果是（ ）A. 7B. 9C. 11D. 137.函数()23xf x x =-的零点所在的区间是（ ）正视图侧视图俯视图A. (1，2)B. ()0,1C. (-2,-1)D. (-1,0)8.过点P （-1,3），且平行于直线24+10x y -=的直线方程为（ ） A. 2+-50x y = B. 2+10x y -=C. -2+70x y =D. -250x y -=9．已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，且11a =，59a =，则3a 等于（ ） A.-3 B. 2 C. 3 D. ±310.要得到函数3cos 2+4y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A. 向右平行移动4π个单位长度 B. 向左平行移动4π个单位长度 C. 向右平行移动8π个单位长度 D. 向左平行移动8π个单位长度 11．三个数231.0=a ，31.0log 2=b ，31.02=c 之间的大小关系为（ ）A ． a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ． b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 12．中角A,B,C 所对边分别为a,b,c ，若co s s i n ,2a b C c B b =+=，则面积的面积的最大值为（ ）A. 1B. 1C.1D.1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上。

广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合{0,2,5}M =，集合{}*N 05N x x =∈≤<∣，则M N = （）A ．{}0,2,5B ．{}0,2C ．{}2,5D ．{}22．复数z 满足1i 1zz =+-，则z =（）A ．1B ．2C D ．43．设,,x y z 的平均数为,M x 与y 的平均数为,N N 与z 的平均数为P .若x y z <<，则M 与P 的大小关系是（）A ．M P =B ．M P <C ．M P>D ．不能确定4，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒5．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．166．已知0a b >>，114a b a b+=-+，且54a b m -≥恒成立，则m 的取值范围为（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],4∞-7．如图，边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使1AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A ．3B C ．3D ．48．()f x 是定义在R 上的函数，若()01f =，且对任意x ∈R ，满足()()22f x f x +≤+，()()88f x f x +≥+，则()2024f =（）A ．2023B ．2024C ．2025D ．2026二、多选题9．已知向量()1,1,0a = ，()0,1,1b = ，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（）A ．向量a 与向量b 的夹角为π3B ．()c a b ⊥- C ．向量a 在向量b 上的投影向量为11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b共面10．把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω⎛⎫=+⋅+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2D ．若方程()1f x =在区间()π,m -上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,3⎛⎤ ⎥⎝⎦11．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A ．当P 在平面11BCCB 上运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面11B CD 时，PF 长D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒的点P的轨迹长度为π+三、填空题12．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多人13．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，在A 点测得：塔顶P 的仰角为45°，O 在A 的北偏东60°处，B 在A 的正东方向36米处，且在B 点测得O 与A 的张角为45°，则此塔的高度约为米（四舍五入，保留整数.1.414≈1.732≈）.14．已知函数()()2ln 1,1,21,1,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()()1f x m m =≠有4个解，分别为1x ，2x ，3x ，4x ，其中1234x x x x <<<，则3411x x +=，12341111x x x x +++的取值范围是．四、解答题15．已知空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ----，设,a AB b AC ==(1)已知()a kb b +⊥ ，求k 的值；(2)若6c = ，且c BC λ= ，求c 的坐标.16．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是sin sin ,,,sin a c A Ba b c a b C--=+.(1)求角B ；(2)若ABC V 外接圆的面积为12π，且ABC V 为锐角三角形，求ABC V 周长的取值范围.17．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：()40,50，()50,60，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.18．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC =，AB =12CC =，P 为棱AC 的中点，Q 为棱11A C 的中点．(1)证明：平面1//PBC 平面1AB Q ；(2)求二面角11Q AB A --的正切值；(3)求1CC 与平面1PBC 所成角的正弦值．19．已知()f x 是指数函数，且过点()()()1,23a f x g x f x b -⎛= +⎝是定义域为R 的奇函数(1)求,a b 的值；(2)若存在[]1,2c ∈-，使不等式()21206g c c m --+<成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()2412x x h x g g t +=++⨯恰有2个零点，求实数t 的取值范围．。

2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上B．点（3，﹣2）不在椭圆上C．点（﹣3，2）在椭圆上D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（）A．9 B．13 C．15 D．183．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知焦点在x轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）A．31 B．15 C．16 D．118．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣210．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．x2﹣y2=1 B．C．D．11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为．15．（5分）过抛物线y2=6x的焦点且与x轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4x﹣5的距离最短．21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆方程．（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为，求直线l的方程．2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上B．点（3，﹣2）不在椭圆上C．点（﹣3，2）在椭圆上D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上【解答】解：因为点（3，2）在椭圆+=1上，由椭圆的对称性可得点（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，﹣2）均在椭圆+=1上故选C2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（）A．9 B．13 C．15 D．18【解答】解：根据题意，椭圆，其中a==5，b==3，则c==4，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18；故选：D．3．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B4．（5分）已知焦点在x轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，即2a=6，则a=3，又由椭圆的离心率为，即e==，则c=1，则有b2=a2﹣c2=8，又由椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为：+=1，故选：B．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，则双曲线的焦点在x轴上，若其一条渐近线方程为，则有=，即b=a，又由双曲线的焦距为8，即2c=8，则有c2=a2+b2=4a2=16，解可得：a2=4，b2=12，则双曲线的标准方程为﹣=1；故选：C．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分【解答】解：根据已知条件：，在x=2t（﹣1≤t≤1）时，函数y=2．所以，该函数的图象是平行于x轴的一条线段．故选：C7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）A．31 B．15 C．16 D．11【解答】解：11111（2）=20+21+22+23+24=1+2+4+8+16=31．故选：A．8．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，∴e=．故选：B．9．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程是y=﹣1，故选A．10．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．x2﹣y2=1 B．C．D．【解答】解：根据题意，点是双曲线C的一个焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=，设其方程为﹣=1，则有a2+b2=2，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，点F到渐近线的距离为1，则有=1，解可得b=1；则a=1，则双曲线的方程为x2﹣y2=1；故选：A．11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1，其中a==3，b=，则c=，则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6﹣|PF1|=2，则cos∠F1PF2==﹣；故选：A．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．【解答】解：∵在极坐标系中，点P的坐标为，∴=1，y=2sin=，∴点P的直角坐标为（1，）．故答案为：（1，）．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为30．【解答】解：根据题意，椭圆中，a==5，b==3，如图椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则A（﹣5，0），B（0，﹣3），C（5，0），D（0，3），则|AO|=5，|DO|=3，四边形ABCD的面积S=4S=4××5×3=30；△AOD故答案为：30．15．（5分）过抛物线y2=6x的焦点且与x轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|= 6．【解答】解：根据题意，抛物线y2=6x的焦点为（，0）直线MN过抛物线y2=6x的焦点且与x轴垂直，设M的坐标（，b），则N的坐标为（，﹣b），M在抛物线上，则有b2=6×，解可得b=±3，|MN|=2|b|=6；故答案为：6．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||=≤，∴≤，化简可得3c2≤4a2，即c≤a，即有e≤．当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．故答案为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．【解答】解：曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得C1的普通方程是：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程是=1，即x2+y2=1．18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．【解答】解：根据题意，椭圆的焦距为2=2，要求椭圆的焦距也为2，即2c=2，则c=，又由要求椭圆的离心率e=，则a=5，则其中b==20，当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．即ρ2=2ρsinθ，化为：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．（Ⅱ）⊙C的圆心C（0，1），r=1．圆C与直线l相切，∴=1，解得a=﹣3或1．20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4x﹣5的距离最短．【解答】解法一：设与y=4x﹣5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切，则y=4x+b代入y=4x2，得4x2﹣4x﹣b=0．①△=16+16b=0时b=﹣1，代入①得x=，∴所求点为（，1）．解法二：设该点坐标为A（x0，y0），那么有y0=4x02．设点A到直线y=4x﹣5的距离为d，则d==|﹣4x02+4x0﹣5|=|4x02﹣4x0+5|=|4（x0﹣）2+1|．当且仅当x0=时，d有最小值，将x0=代入y=4x2解得y0=1．故P点坐标为（，1）．点P到直线y=4x﹣5的距离最短．21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2=4x．可得（1+t）2=4（1+t），整理得，∵t1•t2=﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==4．22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆方程．（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：a=，离心率e==，∴c=1，b2=a2﹣c2=1，所以椭圆C的方程为．…5分（Ⅱ）焦点F1（﹣1，0），因为直线l的斜率不为0，所以可设直线方程为x=ky ﹣1，将其代入x2+2y2﹣2=0，并化简得：k2y2﹣2ky+1+2y2=2，整理得：（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：，．∴|y1﹣y2|==，∵×|F1F2|•|y1﹣y2|=，代入解出k2=1．∴直线的方程为x﹣y+1=0或x+y+1=0．。

FY2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知为双曲线的一条渐近线，则()A. B.1 C. D.272.在等差数列中，若，则()A.4B.6C.8D.33.圆C：和圆D：的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.外离4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是()A. B.C.3D.5.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A. B. C. D.或6.如图1，抛物面天线是指由抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面反射器和位于焦点上的照射器馈源，通常采用喇叭天线组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则F到该抛物线顶点的距离为()A.2B.3C.4D.67.在三棱锥SABC中，，，且，若M满足，则M到AB的距离为()A. B. C. D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为过的直线交双曲线C右支于两点，且，则C的离心率为()A.2B.3C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列直线与直线平行，且与它的距离为的是()A. B. C. D.10.已知直线，双曲线，则()A.当时，l与C只有一个交点B.当时，l与C只有一个交点C.当时，l与C的左支有两个交点D.当时，l与C的左支有两个交点11.已知数列为等比数列，设的前n项和为，的前n项积为，若，则()A. B.为等比数列C. D.当时，取得最小值12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角其中M对应钟上数字对应钟上数字设MN的中点为，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字现在小王准备安装长度为3的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是()A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知点()3,1,4-A ，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,1,4--B ．()1,3,4-C ．()3,1,4---D ．()4,1,3-2．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a∥b ，则（）A ．1x y ==B ．11,22x y ==-C ．13,62x y ==-D ．12,63x y =-=3．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（）A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-4．直线:240l x y ++=被圆()()22:319C x y -++=截得的弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．5．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为（）AB CD ．6．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <-B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≥-7．人教A 版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）．A ．22144x y +=B ．()()2212144x y -+-=C ．()()2242169x y ++-=D ．()()2242169x y -++=8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是棱AB BC 、上的动点，且AE BF =，当1A 、1E F C 、、共面时，直线1C F 和平面1A DE 夹角的正弦值为（）A B C D 二、多选题9．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）A ．a，2b ，3cB ．a b +，b c +，c a+C ．2a b +，23b c + ，39a c- D ．a b c ++ ，b ，c10．已知圆()221:21C x y ++=，圆()2229:C x y a +-=，则下列结论正确的是（）A ．若1C 和2C 外离，则a >或a <-B ．若1C 和2C 外切，则a =±C ．当0a =时，有且仅有一条直线与1C 和2C 均相切D ．当2a =时，1C 和2C 内含11．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A ．(a ∃∈，使12MN CE =B ．线段MN 存在最小值，最小值为23C ．直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D ．(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面三、填空题12．点()3,1P 到直线30x y +-=的距离为.13．直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =.14．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值．四、解答题15．已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设,.a ABb AC ==(1)求a b ⋅ ；(2)若向量ka b +与2ka b - 互相垂直，求实数k 的值.16．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC ==，3BP =，13CF CP =，13DE DA =.(1)证明：//EF 平面ABP ；(2)求异面直线EF 与PD 所成角的余弦值.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC V 的三个顶点(,),(2,1),(2,3)A m n B C -.(1)求BC 边所在直线的方程;(2)若ABC V 的面积等于7，且点A 的坐标满足2360-+=m n ，求点A 的坐标.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．(1)求证：11D B A D ⊥；(2)当点E 为棱AB 的中点时，求点B 1到平面ECD 1的距离；(3)当AE 为何值时，平面D 1EC 与平面AECD 所成角为π419．已知圆C 过点()2,6A ，()1,3B -，且圆心在直线1y x =+上.(1)求圆C 的方程；(2)设点D 在圆上运动，点()3,2E ，记M 为过D ，E 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线DE 与直线:2l y x =-交于点N ，证明：EM EN 恒为定值.。

绝密★启用前浙江省金华市十校2017-2018学年高二上学期期末联考数学卷考试范围：常用逻辑用语、立体几何、解析几何.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的常用逻辑用语、立体几何、解析几何等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.第I 卷（选择题）评卷人 得分一、单选题1．已知平面α的法向量为()2,2,4n =-， ()1,1,2AB =--，则直线AB 与平面的位置关系为（ ） A. AB α⊥ B. AB α⊂C. AB 与α相交但不垂直D. //AB α2．已知命题：“若a b <，则22ac bc <”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 43．长方体1111ABCD A B C D -， 11,2,3AB AD AA ===，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A.1414 B. 19214 C. 1313D. 134．已知命题:p 直线l 过不同两点()()111222,,,P x y P x y ，命题:q 直线l 的方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 4-C. 6-D. 8-6．以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是（ ）A. 以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D. 两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台7．空间中， ,,αβγ是三个互不重合的平面， l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α， //l β，则//αβ B. 若αβ⊥， l β⊥，则//l α C. 若l α⊥， //l β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥， //l α，则l β⊥8．斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点()00,P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A. 0ky 为定值B. OA OB ⋅为定值C. 点P 的轨迹为圆的一部分D. 点Q 的轨迹是圆的一部分9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点M N 、分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）A. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分B. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分C. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分D. 若75θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分 10．定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数为()'f x ，若()'0f x >和()()'tan 0f x f x x +<都恒成立，对于02παβ<<<，下列结论中不一定成立的是（ ）A. ()()cos cos f f αββα>B. ()()cos cos f f ααββ<C. ()()sin sin ff αββα< D. ()()sin sin f f ααββ>第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题11．已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12//l l ，则a =__________；若12l l ⊥，则a =__________．12．已知抛物线2:4C x y =，则其焦点坐标为__________，直线:23l y x =+与抛物线C 交于,A B 两点，则AB = __________．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．14．已知函数()()3261f x x ax a x =++++，（1）若函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线斜率为6，则实数a =__________；（2）若函数在()1,3-内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__________．15．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点， P 是其渐近线在第一象限内的点，点Q 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅=， 24PF PQ =，则双曲线的离心率为__________． 16．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ， MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．17．已知12,F F 为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时， 12PF F ∆的内心I 的轨迹方程为__________．评卷人 得分三、解答题18．已知函数()2ln f x x ax x =+-.（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的最小值；（Ⅱ）若函数()y f x =在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形， 23AC =， 12A A BD ==, E 为1BD 中点.（Ⅰ）证明： 1//BB 面AEC ； （Ⅱ）求二面角E DC A --的余弦值.20．点P 是圆22:20C x y x +-=上一动点，点()3,0Q .（Ⅰ）若60PCQ ∠=︒，求直线PQ 的方程；（Ⅱ）过点Q 作直线CP 的垂线，垂足为M ，求MC MQ +的取值范围.21．如图，在三棱锥P ABC -中， AB BC =， AP PC =， 60ABC ∠=︒， AP PC ⊥，直线BP 与平面ABC成30︒角， D 为AC 的中点， PQ PC λ=， ()0,1λ∈.（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PB PC <，求直线BQ 与平面PAB 所成角的正弦值的取值范围.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，过点()0,2M b 的直线交椭圆于,A B 两点， P 为AB 中点，连接PO 并延长交椭圆于点Q ，记直线AB 和OP 的斜率为分别为1k 和2k ，且12410k k +=.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当QMP ∠为直角时，求PQM ∆的面积.1．A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.3．A 【解析】1111//,C D A B ∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠.在11Rt AC D ∆中，222221*********,2313,12314,114.1414C D AD AC C D cos AC D AC ==+==++=∴∠===本题选择A 选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4．C 【解析】当1212,y y x x ≠≠时，过不同两点()()111222,,,P x y P x y 的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，即()()211y y x x --= ()()211x x y y --，又当12y y =时，直线为1y y =，也满足上式， 当12x x =时，直线为1x x =，也满足上式，所以，过不同两点()()111222,,,P x y P x y 的直线方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --.反过来，直线l 的方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --，则当1x x =时， 1y y =，所以直线过点()111,,P x y 同理，当2x x =时， 2y y =，所以直线过点()222,,P x y 即直线l 过不同两点()()111222,,,P x y P x y .所以命题p 是命题q 的充要条件. 本题选择C 选项.6．D 【解析】以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A 错误.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B 错误. 有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C 错误. 根据棱台的定义，可得D 正确. 本题选择D 选项.7．C 【解析】若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l 平行)，故A 错误； 若αβ⊥， l β⊥，则l ∥α或l ⊂α，故B 错误；若αβ⊥， //l α，则l 与β可能平行也可能相交，故D 错误；若l ∥β，则存在直线m ⊂β，使得l ∥m ，又由l ⊥α可得m ⊥α，故α⊥β，故C 正确； 本题选择C 选项.8．C 【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得， ()()()1212122y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB 方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由2{ 22p y k x y px⎛⎫=- ⎪⎝⎭=得()222224420k x p k x p k -++=，则()221212222,,4p k p x x x xk ++==()2222121212122224p p p p y y k x x k x x x x p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-++=- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.由圆锥的特征结合平面11CBA D 与平面ABCD 所成角的平面角为45可知： 当45θ<时截面为双曲线的一部分； 当45θ=时截面为圆的一部分； 当45θ>时截面为椭圆的一部分. 本题选择A 选项.10．D 【解析】由题意可得： ()()'0,tan 0,0f x x f x >><，构造函数：()()1cos f x H x x=，则()()()()()'12'cos sin 'tan 0cos cos f x x f x xf x f x xH x xx++==<，则函数()1H x 单调递减，()()110,2H H παβαβ<<∴，即：()()()(),cos cos cos cos f f f f αβαββααβ>∴>，选项A 正确；()()2cos H x f x x =，则()()()()()'2'cos sin cos 'tan 0H x f x x f x x x f x f x x ⎡⎤=-=->⎣⎦，则函数()2H x 单调递增， ()()220,2H H παβαβ<<<∴<，即： ()()cos cos ff ααββ<，选项B 正确；点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

绝密★启用前广东省揭阳市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A 1 B ． 1 C ．D ．2＋2．在ABC ∆中，已知120A =o ，a =b =B 的度数是（ ）A.45或135B.135C.45D.753．等差数列{}n a 中，3581052a a a a +++=，则67a a +=（ ） A.13B.24C.26D.484．在等比数列{}n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）． A.2-B.1或2-C.1D.1或25．等差数列{}n a 的前m 项的和是40，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ ） A.130B.180C.210D.2606．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a c b a c +-=，则角B 的值为（ ） A.6πB.3π C.6π或56πD.3π或23πA.8B.7C.6D.58．在△ABC 中，已知cos A cos B ＞sin A sin B ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形9．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则{}n a 的前11项和11S =（ ） A.132B.66C.48D.2410．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172B ．192C ．10D ．1211．已知数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2011a 为（ ）A.17B.37C.57D.6712．设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=,若,,a b c 成等差数列且18CA CB ⋅=，则 c 边长为（ ） A.5 B.6C.7D ．8第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．在ABC ∆中，60ab =，ABC S ∆=ABC ∆c 的长为_____．14．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，BC =BA AC ⋅uu r uuu r的值为______． 15．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km 16．数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n a n n =+，则5S =_________.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =. （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值.18．设{}n a 为等差数列，n S 是等差数列的前n 项和，已知262a a +=，1575S =. （1）求数列的通项公式n a ；（2）n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T . 19．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．20．如图，某河段的两岸可视为平行线l ，m ．有一名学生为了测量该河段的宽度，他在河段的一岸边选取相距120米的A 、B 两点，并观察对岸的点C ，测得75CAB ∠=o ，45CBA ∠=o .（sin 75=o ）…………○………………○……（1）求线段BC 的长度； （2）求该河段的宽度．21．如果数列{}n a 的前n 项和为248n S n n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.22．已知数列{}n a 中，*1131,2(2,)5n n a a n n N a -==-≥∈，数列{}n b 满足 *1()1n n b n N a =∈-． （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 中的最大项和最小项，说明理由．参考答案1．C 【解析】 【分析】由A 与B 的度数求出sin A 与sin B 的值，再由a 的值，利用正弦定理即可求出b 的值． 【详解】 由正弦定理可知：a b sinA sinB=，b 42asinBsinA===，故选：C ． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式． 2．C 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可求sin B ，根据大边对大角可求A ＞B ，从而可求B 的值． 【详解】解：∵120A =o，a=b =∴由正弦定理得：sin sin b AB a===，a b >，可得A B >，45B︒∴=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】利用3105867==a a a a a a +++即可求出． 【详解】解：因为358103105867()()2=52a a a a a a a a a a +++=+++=+（）， 所以6726a a +=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，是基础题． 4．B 【解析】分析：根据等比数列的通项公式将3a ，4a 用2a 和q 表示，可得关于q 的一元二次方程，解方程可得.详解：∵等比数列{}n a 中，344a a +=，22a =，∴234224a a q q +=+=，∴220q q +-=，解得1q =或2q =-，故选B ．点睛：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题． 5．B 【解析】 【分析】设前3m 项和为 x ，则40,10040,100x --成等差数列，解出 x 的值，即为所求． 【详解】解：等差数列{}n a 的每m 项的和成等差数列，设前3m 项和为x ， 则40,10040,100x --成等差数列， 故2(10040)10040x -=-+，180x =． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和的性质，得到 40,10040,100x --成等差数列，是解题的关键． 6．B 【解析】 【分析】根据余弦定理结合题中等式，算出cos B ，结合三角形内角的范围，可得角B ． 【详解】解：∵222a c b ac +-=，∴由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，结合(0,)B π∈，可得3B π=．故选：B ． 【点睛】本题给出三角形三边的平方关系，求B 的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】充分运用等差数列前n 项和与某些特殊项之间的关系解题． 【详解】解：n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， 则1747427774222a a aS a +=⨯=⨯==，46a ∴=．故选：C ． 【点睛】灵活运用等差数列的性质及前n 项和公式，可巧妙处理有关等差数列的求和问题． 8．C 【解析】由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos A ·cos B －sin A sin B ＝cos (A ＋B )＞0，所以A ＋B ＜90°，所以C ＞90°，C 为钝角．故选C. 9．A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为912162a a =+，所以()11181162a d a d +=++，1512a d +=，612a =，()11111611111322a a S a +===，故选A.10．B 【解析】试题分析：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119,922a a a ==+=. 考点：等差数列. 11．D 【解析】 【分析】利用数列递推关系可得：3n n a a +=即可得出． 【详解】解：数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =21324652121,7733621,2,777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=L3n n a a +∴=．201167031167a a a ⨯+∴===． 故选：D ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．B 【解析】试题分析：∵sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=，∴sin()sin 2sin cos A B C C C +==，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴1cos 1832CA CB ba ab π⋅===，∴ab=36,又,,a b c 成等差数列，∴2b=a+c ，又，三式联立解得a=b=c=6,故选B考点：本题考查了正余弦定理的综合运用点评：熟练掌握正余弦定理及数量积的概念是解决此类问题的关键，属基础题 13．3 【解析】 【分析】由题意和三角形的面积公式可得sin C ，再由正弦定理可得c 值． 【详解】解：∵ABC ∆中，60ab =，面积ABC S ∆= ∴11sin 6022S ab C sinC ==⨯⨯=， 解得2sinC =， ∵ABC ∆∴由正弦定理可得2sin 32c R C ===．故答案为：3．【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．14．32- 【解析】【分析】首先根据余弦定理求出cos A ，然后根据向量数量积的量，求出3||||cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，进而求出BA AC ⋅uu r uuu r 即可． 【详解】 解：由余弦定理得222()()()94101cos 1242AB AC BC A AB AC+-+-===⋅， 13||||cos 3242AB AC AB AC A ∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 32BA AC AB AC ∴⋅=-⋅=-． 故答案为：32-． 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及余弦定理解三角形，属于基础题．15．【解析】【详解】依题意,作图如图，15460()AC km =⨯=,在ABC ∆中,45,30ABC BAC ︒︒∠=∠=，设()BC x km =,根据正弦定理得:sin sin ACBCABC BAC =∠∠, 即60sin 45sin 30x ︒︒=, 60sin 30sin 45x ︒︒∴==，答:这时船与灯塔的距离为,故答案为16．56. 【解析】试题分析：，所以．考点：数列求和．17．(1) 3B π= (2) a =c =.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将sin cos b A B =中的边全部变成角即可求出角B 的大小； （2）根据正弦定理，将sin 2sin C A =变成边的关系代入余弦定理，求出a 值，进而可求出c 的值.【详解】解：（1）∵sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，得tan B =又(0,B π∈） ∴3B π=.（2）∵sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得229422cos3a a a a π=+-⋅，解得a =∴2c a ==【点睛】本题考查利用正弦定理进行角化边，边化角，以及余弦定理，是基础题.18．（1）n-3（2）21944n n - 【解析】试题分析：⑴∵21+d a a =，61+5d a a =,∴26126d=2a a a +=+①,又1511510575S a d =+=②，解方程①②，得1=-2a ，d=1，∴数列的通项公式n a =n-3； ⑵∵21522n S n n =-，∴1522n S n n =-，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为-2公差是12等差数列，∴前n 项的和为2(1)11922244n n n T n n n -=-+⨯=- 考点：本题考查了等差数列的通项及前n 项和点评：等差数列及其前n 项和是常考考题之一，要求学生掌握等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式，并熟练运用19．（1）23A π=；（2【解析】【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积.【详解】(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－.又∵0<A <π，∴A ＝.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A .则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos .∴12＝16－2bc －2bc ·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·sin A ＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20．(1) 米 (2) 60+.【解析】【分析】（1）求出角ACB ∠，然后利用正弦定理，即可求出BC 的长度；（2）过点B 作对岸的垂线，垂线段的长度即为该河段的宽度，根据条件，解垂线形成的直角三角形即可。

广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2310x y ++=在y 轴上的截距为（）A ．12B ．12-C ．13D ．13-2．已知空间向量()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，则a b += （）AB ．19C ．17D 3．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，318S =，则6S =（）A ．54B ．71C ．81D ．804．若椭圆22:1(0)9+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（）A ．1B ．3C ．6D ．1或35．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（）A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=6．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC BD AD BC ++等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．不确定7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PAPO=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n N *∈时，n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，若2020n S =，且23a <，则n 的最大值为（）A ．63B ．64C ．65D ．66二、多选题9．已知数列{}n a 中，13a =，且111n n a a +=-+，则能使3n a =的n 可以是（）A ．4B ．14C ．21D ．2810．设椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法中正确的有（）A ．离心率2e =B ．过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为C ．若P 是椭圆C 上的一点，则12PF F △面积的最大值为1D ．若P 是椭圆C 上的一点，且1260F PF ∠=︒，则12PF F △11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒B ．1B D ⊥平面1ACDC ．点1B 到平面1ACD 的距离为2D ．直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为312．已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ，则下列结论正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．四边形MAPB 面积的最大值为8C ．当APB ∠最大时，PA =D ．当APB ∠最大时，直线AB 的方程为x y +=三、填空题13．直线:10l x y +-=被圆22:6430C x y x y ++--=截得的弦长为___________.14．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，其中()1,1,A t -，()3,1,4B ，则向量AB的坐标为______．15．将数列{n }按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________16．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点()1,2M ，点P 为抛物线上的任意一点，则PM PF +的最小值为_________.四、解答题17．已知直线()123:10,:20(0,0),:l a x y a l ax by a b l y x -+-=+-=>>=，直线1l 与3l 相交于点P ；(1)求点P 的坐标；(2)若2l 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数,a b 的值.18．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 离水面高4米，水面宽度10AB =米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．(1)问船只能否顺利通过该桥？(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4cm ；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4cm ．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2cm 间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.(1)求m 的值，使圆C 的周长最小；(2)过(1,2)P -作直线l ，使l 与满足（1）中条件的圆C 相切，求l 的方程，并求切线段的长.20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 满足AB AD ⊥，AB BC ⊥，SA ⊥底面ABCD ，且1SA AB BC ===，0.5=AD .(1)证明AD ∥平面SBC ；(2)求平面SBC 与平面SAD 的夹角.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n A .22．已知ABC的两个顶点坐标分别为(B C ，该三角形的内切圆与边,,AB BC CA 分别相切于P ，Q ，S三点，且||2=AS ABC 的顶点A 的轨迹为曲线E ．(1)求E 的方程；(2)直线11:2l y x =-交E 于R ，V 两点．在线段VR 上任取一点T ，过T 作直线2l 与E 交于M ，N 两点，并使得T 是线段MN 的中点，试比较||||TM TN ⋅与||||⋅TV TR 的大小并加以证明．参考答案：1．D【分析】将0x =代入直线方程求y 值即可.【详解】令0x =，则20310y ⨯++=，得13y =-.所以直线在y 轴上的截距为13-.故选：D 2．D【分析】先求出a b +的坐标，再求出其模【详解】因为()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，所以()1,0,4a b +=，故a b += 故选：D.3．C【分析】利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】∵{}n a 是等差数列，11a =，∴31333318S a d d =+=+=，得5d =，∴61656675812S a d ⨯=+=+=.故选：C.4．B【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B.5．C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可．【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上，因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b =，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =，所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．6．B【分析】令,,AB a AC b AD c ===，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC ++ ，()()()a cb b ac c b a =-+-+- ，0a c a b b a b c c b c a =-+-+-=.故选：B 7．A【分析】首先求得点P 的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.2=，化简为：()2214x y ++=，动点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆，圆22(2)2x y -+=是以()2,0为半径的圆，两圆圆心间的距离32d =<所以两圆相交.故选：A 8．A【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出62S 和64S ，进而得出结果.【详解】解：由n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，可得121++=+n n a a n ，n N *∈则123a a +=，347a a +=，5611a a +=，L可得数列{}n a 中，每隔两项求和是首项为3，公差为4的等差数列.则6231303314195320202S ⨯=⨯+⨯=<，6432313324208020202S ⨯=⨯+⨯=>，则n 的最大值可能为63.由121++=+n n a a n ，n N *∈，可得1223+++=+n n a a n .()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++ 159125a =++++ 113130315420152a a ⨯=+⨯+⨯=+因为123a a +=，123a a =-，23a <，即23a ->-，所以10a >，则63120152015S a =+>，当且仅当15a =时，632020S =，符合题意，故n 的最大值为63.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.9．AD【分析】由已知条件计算可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案【详解】因为13a =，且111n n a a +=-+，所以211114a a =-=-+，3211411314a a =-=-=-+-+，431134113a a =-=-=+-+，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，所以313,k a k N +=∈，所以n 可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……故选：AD 10．BCD【分析】根据给定条件结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答.【详解】由椭圆22:12x C y +=得：长半轴长a =1b =，半焦距1c =，对于A，椭圆的离心率e =A 错误；对于B ，因弦AB 过焦点F 1，则2ABF △的周长为1212||||||||44AF AF BF BF a +++==，B 正确；对于C ，令点P 的纵坐标为P y ，于是得△12PF F 面积1211||||2||122P P S F F y c y b =⋅=⋅⋅≤=，当且仅当点P 为短轴端点时取“=”，C 正确；对于D ，由余弦定理得：222212121212||||||2||||cos60(||||)F F PF PF PF PF PF PF =+-︒=+123||||PF PF -，即()()2212223c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =，因此，△12PF F面积为12114||||sin 2323S PF PF π==⨯D 正确.故选：BCD 11．BD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到11BC AD =，即可判断选项A ；利用向量法证明111,B D AD B D AC ⊥⊥，即可判断选项B ；利用向量法求出点1B 到平面1ACD 的距离即可判断选项C ；利用向量法求出直线B 1C 与平面1ACD 所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)A B C B C D .A ：11(1,0,1),(1,0,1)BC AD =-=-，因为11BC AD =，所以11//BC AD ，因此该选项不正确；B ：11(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)B D AD AC =---=-=-，因为111(1,1,1)(1,0,1)0,(1,1,1)(1,1,0)0B D AD B D AC ⋅=---⋅-=⋅=---⋅-=，所以111,B D AD B D AC ⊥⊥，而11,,AC AD A AC AD =⊂ 平面ACD 1，因此1B D ⊥平面ACD 1，所以该选项正确；C ：因为1BD ⊥平面ACD 1，所以1B D 是平面ACD 1的法向量，1(1,0,1)B C =--，所以点B 1到平面ACD 1的距离为1113B C B DB D⋅=，因此该选项不正确；D ：设直线B 1C 与平面1ACD 所成角为θ，则111111sin cos 3B C B D B C B D B C B Dθ⋅=⋅=⋅，所以直线B 1C 与平面1ACD因此该选项正确.故选：BD.12．AD【分析】分析可知当MP l ⊥时，四边形MAPB 面积最小，且APB∠最大，利用三角形的面积公式可判断A 、B 选项，分析出四边形MAPB 为正方形，利用正方形的几何性质可判断C 、D 选项.【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得MA PA ⊥，MB PB ⊥，圆()1,1M ，半径为2，对于A ，由切线长定理可得PA PB =，又因为MA MB =，MP MP =，所以，PAM PBM ≅ ，所以四边形MAPB 的面积22PAM S S PA AM PA ==⋅=△，因为PA ==MP l ⊥时，MP 取最小值，且min MP ==，所以，四边形MAPB 的面积的最小值为24S =，故A 正确；对于B ，因为MP 无最大值，即PA 无最大值，故四边形MAPB 面积无最大值，故B 错误；对于C ，因为APM ∠为锐角，2APB APM ∠=∠，且2sin AM APM MPMP∠==，故当MP 最小时，APM ∠最大，此时APB ∠最大，此时2PA =，故C 错误；对于D ，由上可知，当APB ∠最大时，2PA PB MA MB ====且90PAM ∠= ，故四边形MAPB 为正方形，且有MP l ⊥，直线:20l x y ++=，()1,1M ，则MP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩，可得11x y =-⎧⎨=-⎩，即点()1,1P --，由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点()0,0O ，此时直线AB 的方程为y x =-，故D 正确．故选：AD ．13．【分析】利用勾股定理求得弦长.【详解】因为圆C 的圆心为(3,2)-，半径r 4=，圆心到直线l 的距离d =故直线l 被圆C 截得的弦长为=.故答案为：14．()2,2,4【分析】根据向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，由0AB v ⋅=求解.【详解】因为()1,1,A t -，()3,1,4B ，所以()2,2,4AB t =- ，又因为向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，所以()1232240AB v t ⋅=⨯+⨯-⨯-= ，解得0=t ，所以()2,2,4AB = ，故答案为：()2,2,415．232【分析】由已知，第n 组中最后一个数即为前n 组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为21(121)1234521=2312⨯+++++++= ，所以第22组的第1个数为232.故答案为：23216．3【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过P 作抛物线准线1y =-的垂线，垂足为Q ，连接MQ ，则213PM PF PM PQ MQ +=+≥≥+=，当且仅当,,M P Q 共线时等号成立，故PM PF +的最小值为3，故答案为：3.17．(1)()1,1P (2)1a b ==【分析】（1）通过联立1l 和3l 的方程来求得P 点的坐标.（2）先求得直线2l 的横纵截距，利用2l 与两坐标轴围成的三角形的面积列方程来求得,a b .【详解】（1）依题意0,0a b >>，由()10a x y a y x⎧-+-=⎨=⎩解得1x y ==，所以()1,1P .（2）依题意0,0a b >>，由于2l 经过点P ，所以20,2a b a b +-=+=①，由20ax by +-=令0x =得2y b=，令0y =得2x a =，所以12222,12ab b a ab⨯⨯===②，由①②解得1a b ==.18．(1)货箱能顺利通过该桥；(2)增加26层.【分析】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．求出抛物线的方程为2254x y =-，可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，求出||CD 即得解；（2）求出货物超出高度即得解.【详解】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．设抛物线方程为2x my ＝，根据题意知点B 在抛物线上；∴25＝—4m ，∴254m =-，∴2254x y =-；可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，则02594y =-，∴03625y =-．∵3664(4) 1.52525CD =---=>．∴货箱能顺利通过该桥．（2）由题知，货物超出高度为64(1.5)100106()25cm -⨯=，因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm ，且货物与桥壁需留下2cm 间隙．所以需要增加层数为1062264-=层，因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．19．(1)3m =(2)直线方程为1x =或34110x y --=，切线段长度为4【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与x 轴不垂直时，设为(1)2y k x =--，2=，解得34k =，所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=.综上，直线方程为1x =或34110x y --=.圆心与点P 的距离d ==，4=.20．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得；（2）建立空间直角坐标系，由向量法可解.【详解】（1）∵AB AD ⊥，AB BC ⊥，∴AD BC ∥，又AD ⊂平面SBC ，BC ⊄平面SBC ，∴BC ∥平面SAD ；（2）∵SA ⊥平面ABCD 且AB 、ADC ⊂平面ABCD ，∴SA AB ⊥，SA AD ⊥，又∵AB AD ⊥，故分别以,,AD AB AS 所在直线为x 轴，y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示：由1SA AB BC ===，12AD =，可得：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(,0,0)2D ，(0,0,1)S ，由已知SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，SA AB ⊥，AB AD ⊥，SA AD A = ，SA ，AD ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，AB∴ 为平面SAD 的一个法向量，且(0,1,0)AB = ；设(,,)n x y z = 为平面SBC 的一个法向量，则n BC ⊥ ，n SB ⊥ ，n BC ∴⋅= ，0n SB ⋅= ，(1,0,0)BC = ，(0,1,1)SB =- ，00x y z =⎧∴⎨-=⎩，令1z =，则0x =，1y =，(0,1,1)n ∴= ，设平面SAD 与平面SBC 的夹角大小为θ，12cos |cos ,|212AB n θ∴=<>==⨯ ，由(0,]2πθ∈得：平面SCD 与平面SAB 的夹角大小为.4π21．（1）2n n a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n Tn n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解.【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2n n a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-；若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =，所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==，所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n n n T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯.两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-.【点睛】关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用；（2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算.22．(1)221(0)4x y y +=≠(2)大小关系不确定；证明见解析【分析】（1）由题可得||||4AB AC +=，可得轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，代入椭圆，相减可得斜率关系，利用弦长公式求出21||||||4TM TN MN ⋅=，再求出||||⋅TV TR 可比较.【详解】（1）由内切圆的性质得||||2||||4||+=+=>AB AC AS BC BC ，所以曲线E 是以B ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆，且A ，B ，C 不共线，则2,a c ==2221b a c =-=，故E 的方程为221(0)4x y y +=≠．（2）当T 不为坐标原点时，设()()1122,,,M x y N x y ，则221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()1212121214+-=-+-y y y y x x x x ，即1214=-l l k k ，所以212l k =，设21:2=+l y x m ，联立方程组221,2440,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩整理得222220x mx m ++-=，221212840,2,22∆=->+=-=-m x x m x x m ．因为T 是线段MN 的中点，所以()()222121211||||||44⎡⎤⋅==-+-⎣⎦TM TN MN x x y y ()()2212125542164⎡⎤=+-=-⎣⎦x x x x m ．联立方程组221,2440,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩解得,⎛ ⎭⎝⎭V R ．联立方程组1,21,2y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得,2⎛⎫- ⎪⎝⎭m T m ，所以()25||||))24⋅==-TV TR m m m ，故||||||||⋅=⋅TM TN TV TR ．当T 为坐标原点时，由对称性知，5||||[1,4),||||,||||2⋅∈⋅=⋅TM TN TV TR TM TN 与||||⋅TV TR 的大小关系不确定．。