摆线针轮行星减速器最佳短幅系数的确定及优化
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摆线轮短幅系数计算公式
摆线轮短幅系数计算公式
摆线轮的短幅系数通常用来描述摆线轮的工作特性，它是摆线
轮齿廓的一个重要参数。
摆线轮的短幅系数可以通过以下公式来计算：
Short Addendum Coefficient = (Addendum Circle Radius Base Circle Radius) / Module.
其中，Addendum Circle Radius表示齿顶圆半径，Base
Circle Radius表示基圆半径，Module表示模数。
摆线轮的短幅系数反映了摆线轮齿廓的变化程度，短幅系数越大，齿廓的变化越剧烈，这会影响到摆线轮的传动性能和噪音特性。
因此，计算摆线轮的短幅系数对于设计和分析摆线轮传动系统具有
重要意义。
需要注意的是，摆线轮的短幅系数计算公式可能会因制造标准
或使用的具体参数而略有不同，因此在实际应用中，需要根据实际
情况进行调整和修正。
变幅外摆线的数学特性和摆线针轮行星传动可选择参数的优化(三)
将式( 38c) 中的 Fi 、式( 49) 中的 Rd 代入上式, 得
Rmax =
0. 836 az
EeT b
c
[
(
z
-
K1 l* R*
1)
E|
R
* j
|
(R*
+
E|
R
* j
|
)]
max
[ [ RH ]
( 52)
式( 52) 是接触强度校核的实用公式。从本式可以
得出最大接触应力与 az 成反比的初步结论。公式还
不同啮合位置的受力针 齿与摆线齿的 Fi / Rd 各 不相同( Fmax处不一定 Fi / Rd 也最大) , 取 Fi / Rd ( i = 1、2 , ,i , ,n) 中的最大值( Fi / Rd ) max 代入式( 51) 进 行接触强度验算
Rmax= 0. 418 ( Ee / b) ( Fi / Rd) max [ [ RH ] 式中 [ RH ] ) ) ) 许用接触应力, MPa
故 rrp = 0. 5| Rj | 是 Rdj 为极大值的充分条件
根据以上两方面的分析, 针径取值系数 E的合理
范围应该是 0. 5 [ E< 1。
4. 4. 3 当量曲率半径的实用公式 将式( 8) 除以 A 并将其结果称为曲率半径系数, 以代号 R* 表示, 则有
R*
=
( 1+ K 12- 2K 1cos <) 3/ 2
K 1( z +
1) cos<-
( 1+
K
2 1
z
)
( 43)
于是
R = R* A = R* az / K 1
Rmax =
0. 836 az
EeT b
c
[
(
z
-
K1 l* R*
1)
E|
R
* j
|
(R*
+
E|
R
* j
|
)]
max
[ [ RH ]
( 52)
式( 52) 是接触强度校核的实用公式。从本式可以
得出最大接触应力与 az 成反比的初步结论。公式还
不同啮合位置的受力针 齿与摆线齿的 Fi / Rd 各 不相同( Fmax处不一定 Fi / Rd 也最大) , 取 Fi / Rd ( i = 1、2 , ,i , ,n) 中的最大值( Fi / Rd ) max 代入式( 51) 进 行接触强度验算
Rmax= 0. 418 ( Ee / b) ( Fi / Rd) max [ [ RH ] 式中 [ RH ] ) ) ) 许用接触应力, MPa
故 rrp = 0. 5| Rj | 是 Rdj 为极大值的充分条件
根据以上两方面的分析, 针径取值系数 E的合理
范围应该是 0. 5 [ E< 1。
4. 4. 3 当量曲率半径的实用公式 将式( 8) 除以 A 并将其结果称为曲率半径系数, 以代号 R* 表示, 则有
R*
=
( 1+ K 12- 2K 1cos <) 3/ 2
K 1( z +
1) cos<-
( 1+
K
2 1
z
)
( 43)
于是
R = R* A = R* az / K 1
基于遗传算法的摆线针轮行星减速器优化设计
基于遗传算法的摆线针轮行星减速器优化设计张爱荣【摘要】In order to solve the problem of low transmission efficiency and less compact structure, the calculation formula of the meshing efficiency for cycloid speed reducer is deduced. Taking the maximization efficiency for cycloid speed reducer as a mathematical optimization problem, the design variables, objective functions, and constraints, including parameter ranges, strength, life span, etc. are defined. The mathematical model of optimization design for cycloid speed reducer based on the genetic algorithm is established. The optimization design for cycloid speed reducer is carried out by an example. The result shows that the efficiency is increased by 4.07%, and the volume is decreased by 8.04%. The research results can provide theoretical basis and technical support for optimization of cycloid speed reducers.%为了解决摆线针轮行星减速器的传动效率低、结构不紧凑的问题,建立了摆线针轮行星减速器传动效率的计算公式,以整机传动效率最高为优化设计目标,以影响效率的5个独立参数作为优化设计变量,分析了包含参数范围、强度约束及寿命限制的约束条件,构建了基于遗传算法的摆线针轮行星减速器优化设计的数学模型,并通过具体实例对摆线针轮行星减速器进行了优化,结果表明,优化后的摆线针轮减速器的传动效率提高了4.07%,体积减少了8.04%,优化效果明显,可为摆线针轮行星减速器的优化设计提供一定的理论依据和技术支持.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2017(000)008【总页数】3页(P206-208)【关键词】摆线针轮减速器;遗传算法;优化设计;传动效率【作者】张爱荣【作者单位】太原工业学院机械工程系,山西太原 030008【正文语种】中文【中图分类】TH16;TH132.4摆线针轮行星减速器是上世纪20年代由德国人所发明，由于其具有传动比大、传动平稳、传递效率高、承载能力大、回差小、工作可靠、寿命长等一系列优点，被广泛应用于矿山冶金、石油化工、国防工业、起重运输、医疗器械、机械制造等[1-2]。
新型减速器优化设计
图 １ 摆线 针轮 传 动
Ｆｉ １ Ｃｙｃｏｉ ａ ｅ ｎ— ｇ． ｌ ｄ ｌ ｎｔ ｒ
宽 度 ｂ 、摆 线 轮 之 间 间 隔 ．传 动 效 率 取 决 于 摆 线 轮 与 针 轮 的 啮 合 损 失
ｗｈ ｅ ｅ ｒｎ ｅ ｌ ａｉ ｇ ｇ
系数 、ｗ 机 构 的 损 失 系 数 和 轴 承 的损 失 系 数 ． 因 此 ，影 响 函数 的 独 立 参 数 Ｄ 、 、Ｂ 、 ｄ Ｄ１、ｋ １、Ｄ 、 。 ｄ 、Ｐ均 应 作 为设 计 变 量 ，而 ａ 、 、 ｄ
维普资讯
焦 作工学 院学 报 （ 然科 学 版 ） 第 ２ 自 ． １卷 ，第 ４期 ，２ ０ ０ ２年 ７月
Ｊｌｒ ａ ｆＪａ ｚ ｏＩ ｓｉｕ ｅｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａ ｕａ ｃｅ ｃ ） Ｖｏ ． ， Ｎｏ ４， Ｊ １２ ０ ／ ｎ ｌｏ ｉｏ ｕ ｎ ｔｔｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ（ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ， ｕ Ｓ １２１ ｕ．０ ２
１ ２ 约 束 条 件 ．
一
一 ）［ ／ １＋Ｚ（ ｂ ａ Ｈ ＋
＋ ） ］， ＝ ８ ｆ ／￣ Ａ ｗ （ Ｄ ）； 为轴
＝ ｋｆ／ ｂ 为机构 的损失 系数 ， ，ｚ ； ｚ
＝ ２．２ ・（ １Ｋ １＋ Ｄｏ ） ＡＺ ）． ／ （
（ ）齿 廓 不 根 切 条 件 ： １
动 中的 针 轮 齿 数 ｚ 与 摆 线 轮 齿 数 。 相差 为 １ ，故 摆 线 轮 齿 数 ｚ ＝１ｉ１， ｃ 针轮 齿数 ｚ Ｂ＝ ｚ ｃ＋ １，偏 心 距 ａ ＝ ｋ Ｒ ／ Ｂ（ｋ 为 短 幅 系数 ， 为 针 齿 １ ｚ １ Ｒ
中心 圆半 径 ） ．
减 速 器 的体 积 取 决 于 针 轮 分 布 圆 直 径 Ｄ 、针 齿 套 述 独 立 参数 的 非 独 立 变 量 ，即 又 ＝ ［ ， ２ ３ ４ ５ ６ １ ， ， ， ， ，
基于遗传算法的摆线钢球行星减速器优化设计
率越大 。Ｋ的取值范围为 ０４ ≤Ｋ ．５ 约束式为 ．５ ≤０７ ，
由杨 作梅 等 的研究 可 得下 式
≤ ㈩
Ｇ （ ）＝０４ ８Ｘ ．５一Ｋ
Ｇ（ 。 ）＝ Ｋ一０ ７ ．５
（３Ｌ １）
（ ４ １）
１３ ７ 输出机构 中环槽分布圆半径 约束条件 ．．
为 避免行 星 盘左 右端 面上 的环 形槽 和摆 线槽 出现 交叉 ， 应使 环形 槽分 布 圆直 径 与输 出机 构 中的 钢球 直
研究 成果 颇 多 。 燕 山大 学 的 安 子 军 教 授 对 钢 球 减 速
器做 了全 面 而深 入 的研 究 … ； 西北 农 林 科 技 大 学 的西
庆坤 等对 减 速器 的多 目标 优 化 ； 广 欣 进 行 了模 糊 王 可靠性 优 化 ； 作梅 等 ＿ 进 行 了摆 线 槽 根 切 条 件 研 杨 ４ 究 ； 建 军 和 陈 子 辰 进 行 了 关 于 疲 劳 强 度 的 研 究 周 等 。本文 先 归 一 化 权 重 系 数 ， 立 多 目标 函数 ， 建 再
Ｍａ ａ ｔ ｂ有 着 强大 的数 据 与 图 形 处 理 能 力 ， ｌ 以及 广
并计 算 得 出 体 积 和 效 率 分 别 为 １７ ５ ０ ｍ １ ｍ 和 １
９３ ２％ 。 ．
３ 结 论
在 本文 中 ， 幅 系 数 和 偏 心 距 共 同影 响着 摆 线 槽 短
泛 的模 块 集 合工 具 箱 。其 中 ， 传 算 法 工 具 箱 具 有 直 遗
分 布 圆半 径 为 ， 摆线 槽 啮 合 副槽形 半 角 为 。记 作
收 稿 日期 ：２ １ ０ ００— ６—１ ９
Ｍ ） ， ．× ＿ ｉ（ ＝一９ 二 ｎ 。 ８ ；
2K-V型摆线针轮减速机的优化设计
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍ ｉ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ２ Ｋ— Ｖ— ｔ ｙ ｐ ｅ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｒ ｗ ａ ｓ ｄ ｃ Ｅ 岱 ｓ ｅ ａ ｎｄ ｐ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｍ ｏ ｄ ｕ ｌ ｅ ｆ ｏ
Ｏｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ２ Ｋ－ Ｖ－ ｔ ｙ ｐ ｅ Ｃｙ ｃ ｌ ｏ ｉ ｄ Ｃａ ｍ Ｐｌ ａ ｎ ｅ ｔ ａ ｒ ｙ Ｓｐ ｅ ｅ ｄ Ｒｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｒ
Ｈ ＡＮ Ｌ ｉ ｎ — ｓ ｈ ａ ｎ ， Ｋ Ｅ Ｃ ｈ ａ ｏ ， Ｑ Ｉ Ｎ Ｇ Ｃ ａ ｉ － ｊ ｕ ａ ｎ ， Ｌ Ｉ Ｈａ ｏ
摘
要： 讨论 了 ２ Ｋ — Ｖ型摆 线针 轮 减 速机 的 结构 和 传 动 特 点 ， 以行 星 齿轮 模 数 ｍ、 行 星轮 齿 宽 度 ｂ 、 短 幅 系数 Ｋ１ 、 针 齿 分
布圆直径 Ｄ ｚ 、 摆 线轮 宽度 Ｂ和针齿 直径 ｄ ｚ为设计变量， 以２ Ｋ — Ｖ型摆 线针轮减速机传递单位功率下质量 最小为 目标函 数， 建立了 ６个设计变量、 一个 目标函数和 １ ２个约束条件的 ２ Ｋ － ｖ型摆线针轮减速机优化设计数学模型。然后运用复合 形法对 目标函数进行 了优化求解 ， 并对求解结果进行 了分析 ， 设计结果对 ２ Ｋ — Ｖ型摆 线针轮减速机 的设计制造具有一定
的 实 用价值 。
关键词 ： ２ Ｋ — Ｖ型减速机 ； 优化设计 ； 复合形法
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｈ１ ６ ； Ｔ Ｖ ３ ９ １ ． ７ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ — ３ ９ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ２ ２ ３ — ０ ３
摆线针轮行星减速器最佳短幅系数的确定及优化
│T│sinθ i . K1 Z α S2
不同啮合位置的受力针齿与摆线齿的 Y 值各不 相同， 当 K1 和 Z α 一定时， 存在一个 θ i 使 Y 达到最大 值 Y max ， 将其代入式（ 1 ） 进行强度校核， 可得 σ jmax = 1 . 672 此时， θ i = arcos
－1
槡
Ed Mα Y max ≤ ［ . σj ］ BR2 z
ρ dmax = －
R z S3 / 2 . 4T
（ 3）
值， 因 Y max 中含有变量所以有 η max = max（ C C ） = . min（ Y max ） Y max （ 9）
2 式中： T = K1 （ 1 + Z b ） cosθ i － （ 1 + Z b K1 ） 将式（ 2 ） 、
由受力分析可知第确定时若要接触应力尽量大由此可得当量曲率半径为不同啮合位置的受力针齿与摆线齿的y值各不相同当kmax将其代入式1进行强度校核可得arcos1ac2a摆线针轮行星传动在无间隙啮合状态下的阻力矩可代表其理论承载能力摆线针轮行星传动的有效体积针轮分布圆半径r是主要参数对减速器的外形尺寸承载能力有很大影响又由于针轮是传动装置最外围的工作部件并且传动工作部件的核心部分在针轮分布圆半径和摆线轮宽度所围成的体积内因此该体积的大小在某种程度上体现整个传动装置的大小可将其作为传动有效体积以效能体积比最大为目标的最佳短幅系数的确定将理论承载能力m义为效能体积比用这个比值来衡量摆线针轮行星减速器传动装置的性能在摆线针轮行星减速器的优化设计过程中可将以最小的体积得到最大的理论承载能力作为设计的目标根据上述定义可知也就是求得效能体积比的最大值
Optimal value and optimal design of short width coefficient of cycloid pin gear planetary reducer
摆线针轮减速器的设计计算
摆线针轮减速器的设计计算4.1摆线轮、针齿、柱销的计算
设计计算如下：
4.2 输出轴的计算结构图如图4-1，
图4-1 输出轴结构装配图设计计算如下：
由前面的轴的结构知， 1F 、211169881081698854F F F ì+=ïïíï? ïî受力中心距离为116mm ,2F 、3F 受力中心距离为50mm,因
1F ＝5600N ，故
2325600116166(5600)F F F ì+=ïïí
ï? ïî
得2F ＝8014N ， 3F ＝2414N 。
进行校核时，通常只校核轴上承受最大弯矩和扭矩的
4.3输入轴的计算
其结构装配图如图4-2
图4-2 输入轴结构装配图
由前面知， r F 作用点到1F 、2F 作用点的距离相等，都为54mm ，
211169881081698854
F F F ì+=ïïíï? ïî 得，1F ＝8494N ，2F ＝8494N 。
进行校核时，通常只校核轴上承受最大弯矩和扭
4.4 其它零件的设计
其它零件的设计见草图，在此不作说明。
4.5 润滑与密封
本减速机采用油浴润滑，润滑油选择中极齿轮油。
若在低温或高温环境以及在启动频烦的场合，须跟据情况重新选择适宜润滑油。
对于本减速器，在严重恶劣负荷条件中工作时，推荐采用双曲线齿轮油。
密封件选择J型无骨架油封。
针齿壳上开有沟槽，油浸深度为20～40mm。
变幅外摆线的数学特性和摆线针轮行星传动可选择参数的优化(二)
r 2= a / k1= A- r1
2. 2 短幅外摆线的基本方程 为了建立基本方程, 将式( 4) 和式( 5) 中的数学代
号用摆针传动的基本参数进行替换。这些将被替换的
代号有 A = az / K 1, K 1A = az 。 2. 2. 1 直角坐标基本方程 式( 4) 和式( 5) 用基本 参数替换后得
的极大值为
R0j= - ( z / K 1)
27( 1- K 12) ( z - 1) ( z + 1) 3
( 21)
K 1=
K
* 1
时,
以
j = 180 代入式( 18) 或以 A = az /
K 1 和 A / a = z / K 1 代入式( 13) 得边界处曲率半径极大
值为
R0j =
-
z
( 1+ K1) 2 ( K 12z + K 1)
摆针传动实际齿廓的工作曲线是短幅外摆线的内 等距曲线。内等距曲线要能成为齿廓工作曲线, 必须 避免它形成过程中发生齿形干涉, 图 3 表示出在什么 情况下发生干涉。
图3
图中 = 0~ g 范围内, R > 0, 令等距曲线至短幅 外摆线的距离以代号 rrp 表示, ( rrp 即针齿半径) , Rmin < rrp , 外等距曲线发生了干涉。 = g ~ 180 范围内, R < 0, | R | > rrp, 内等距曲线未发生干涉。
x 0= ( z 1/ K 1) sin[ / ( z - 1) ] - sin[ z / ( z - 1) ] ( 14)
y 0= ( z 1/ K 1) cos[ / ( z - 1) ] - cos[ z / ( z - 1) ] ( 15)
2. 2 短幅外摆线的基本方程 为了建立基本方程, 将式( 4) 和式( 5) 中的数学代
号用摆针传动的基本参数进行替换。这些将被替换的
代号有 A = az / K 1, K 1A = az 。 2. 2. 1 直角坐标基本方程 式( 4) 和式( 5) 用基本 参数替换后得
的极大值为
R0j= - ( z / K 1)
27( 1- K 12) ( z - 1) ( z + 1) 3
( 21)
K 1=
K
* 1
时,
以
j = 180 代入式( 18) 或以 A = az /
K 1 和 A / a = z / K 1 代入式( 13) 得边界处曲率半径极大
值为
R0j =
-
z
( 1+ K1) 2 ( K 12z + K 1)
摆针传动实际齿廓的工作曲线是短幅外摆线的内 等距曲线。内等距曲线要能成为齿廓工作曲线, 必须 避免它形成过程中发生齿形干涉, 图 3 表示出在什么 情况下发生干涉。
图3
图中 = 0~ g 范围内, R > 0, 令等距曲线至短幅 外摆线的距离以代号 rrp 表示, ( rrp 即针齿半径) , Rmin < rrp , 外等距曲线发生了干涉。 = g ~ 180 范围内, R < 0, | R | > rrp, 内等距曲线未发生干涉。
x 0= ( z 1/ K 1) sin[ / ( z - 1) ] - sin[ z / ( z - 1) ] ( 14)
y 0= ( z 1/ K 1) cos[ / ( z - 1) ] - cos[ z / ( z - 1) ] ( 15)
行星齿轮减速器介绍及其优化方法
第一部分：减速器历史发展介绍减速器技术的发展始于20世纪70年代，成熟于20世纪80年代。
在减速器发展初期，产品以高可靠性，高速化，低噪声和小型化为目标，开发出一系列技术：功率分支技术、硬齿面技术、模块化设计技术等等。
在80年代，各项技术在国外都逐渐成熟，硬齿面技术使得硬齿面齿轮的综合承载能力达到普通齿轮的3~5倍，精度不低于6级，且重量有所减轻，传动噪声低等目标也得到较好的实现。
功率分支技术主要应用于行星齿轮减速器中，该技术的核心是均载。
在通用的减速器中，普遍采用的技术主要是硬齿面技术和模块化技术。
模块化技术主要是针对规模效益而制定的，在保证高性能的前提下，减少零件的种类，从而达到批量生产的目的。
在基本规格的零件种类上可以进行变型设计，从通用的系列中派生出一些专用系列，扩大使用范围。
减速器发展的促进因素主要有：齿轮材料和热处理技术的水平提高、箱体的刚度和加工精度提高、结构设计合理、轴承的寿命和质量的提高、理论知识完善、润滑油的质量提高等等。
在国内，改革开放后，积极汲取国外的先进技术并引进加工设备，使得我国在齿轮加工方面有了大幅度的进步，得到了高精度，高速并可用于大功率装置的齿轮，这为我国的减速器的发展打下了坚实的基础。
自20世纪80年代末开始，我国在减速器方面大幅度发展，完成了许多减速器标准的制定，并同时自主研制了许多新型的减速器，直到20世纪90年代中后期，我国基本上实现了通用减速器的革新。
硬齿面技术也逐渐应用于部分减速器，使得减速器的体积和质量有明显的减小，在可靠性、使用寿命等各项性能方面都有了大幅度的提高，使得主机的水平也有所提高，对机械行业起了促进发展的作用。
在20世纪90年代中后期，国外在减速器方面有有所创新，在模块化的基础上，实现了在外观质量、承载能力、总体水平各方面的提高。
我国在应对技术差距时，采用了以下对策：1.国内的高新技术产业应向国际最先进的水平看齐，尽快研发适应21世纪的新时代产品，完成技术上的突破2.在新齿形和新结构的研发、推广上发力，争取研制出成本较低，承载能力又好的产品3.大力发展行星齿轮减速器技术4.控制好减速器的质量问题，在材料热处理，装配试验等各加工环节入手，提高现有产品质量5.在外观设计和涂漆水平上进行提高6.在配套装置的质量上进行加强第二部分：减速器现状介绍国外减速器发展现状：在新技术革命的促进下，国外的减速器技术在20世纪70-80年代的得到了大幅度的发展，目前主要丹麦、德国和日本的减速器处于领先，其减速器在制造工艺和材料方面有很大的优势。
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［ 1］
1
以最大效能体积比确定最佳短幅 系数的方法
1. 1
摆线针轮行星传动的理论承载能力 为防止摆线针轮与针齿啮合齿面发生疲劳点蚀
和胶合破坏， 需用接触强度计算， 其接触应力可根据 赫兹公式计算： σ j = 0 . 418
凭经验选取， 缺乏理论依据， 从而很难
使产品设计达到最优性能. 因此对短幅系数的最佳 取值进行理论分析， 并对摆线针轮行星减速器进行 优化设计具福伟 ， 何 1 1 1 蕾， 谭向全 ， 李永辉
（ 1. 哈尔滨工程大学 机电工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150001 ； 2. 哈尔滨东安汽车动力股份公司， 黑龙江 哈尔滨 150001 ） 要： 短幅系数是摆线针轮行星减速器的重要设计参数， 它直接决定着减速器的性能 . 针对目前设计中短幅
.
何约束条件及强度条件下的摆线针轮行星减速器的 体积最小为优化设计的目标， 以便使减速器结构紧 凑， 成本降低. 由于摆线轮的尺寸决定了减速器的尺 寸， 因此以摆线轮的近似体积作为目标函数 得简化的摆线轮体积为 V = DZ 1 （ DZ － dZ ） 2 － （ d′p + 2△2 + K1 ） 2 ZW － D2 . πB［ 1］ 4 Zb
系数往往由经验选取的问题， 提出了以单参数最大效能体积比来确定最佳短幅系数的方法 . 并基于遗传算法对 摆线针轮行星减速器进行了优化设计， 得到了良好的设计结果 . 通过实例说明研究结果具有一定的理论和应用 价值. 关键词： 短幅系数； 摆线针轮行星减速器； 遗传算法； 优化设计 中图分类号： TH122 文献标识码： A 文章编号： 1009 － 671X （ 2010 ） 05 － 0001 － 04
（ 2）
， 则有 （ 8）
式中 ： M α 为摆线轮上的阻力矩； Z α 为摆线轮齿数； θ i 为针轮相对于摆线轮的转角， S = 1 + K2 1 2 K 1 cos θ i . 当针齿直径按曲率半径系数 Y ρ 确定时， 若要接 触应力 σ j 减小， 应使 ρ d 尽量大， 由此可得当量曲率 半径为
（ 5）
b － 槡 b2 － 4 ac . 2a
2 b = K2 Z b （ K2 式中： a = 2 K1 （ Z b + K1 ） ， 1［ 1 + 3 ） + 3 ］+
1， c = K1 ［ K2 . 1 （ 3Zb － 1） － Zb + 3］ 摆线针轮行星传动在无间隙啮合状态下的阻力 矩可代表其理论承载能力 Mα ≤ 1. 2
（ 3 ） 的绝对值代入式（ 1 ） ， 得 σj = 1. 672 式中： Y =
槡
Ed Mα sinθi │T│ = 1. 672 2 K1 BR2 z Zα S
槡
Ed Mα Y. （ 4） BR2 z
由式（ 9 ） 可知， 已将求 η 的最大值问题转化为 Y max 是 K1 和 求 Y max 的最小值问题. 而由式（ 5 ） 可知， Z b （ Z α 或 i） 的函数， 且通常 Z b 为已知， 所以文中所 得的效能体积比是仅以 K1 为变量的单变量函数. 至 此得到了确定最佳短幅系数的函数表达式 . 通过给出不同的 Z b 值， 可求得 Y max 的最小值， 这个最小值所对应的 K1 值， 即为短幅系数的最佳 值. 利用 Matlab 编程计算可得到 Y max 和 K1 的函数关 系曲线如图 1 所示， 齿数 Z b 和相应的最佳短幅系数 K1 值列于表 1 中.
表2 参数名称 种群规模 P size 交叉概率 P C 变异概率 P M 最大进化代数 T 选择概率中的参数 e 变异操作中的参数 G 表3 遗传算法基本参数 数值 40 0. 25 0. 375 350 0. 05 10
［ 6］ ［ 5］
2. 1
优化模型的建立 文中采用在给定传动功率和传动比时， 满足几
形尺寸、 承载能力有很大影响， 又由于针轮是传动装 置最外围的工作部件， 并且传动工作部件的核心部 分在针轮分布圆半径和摆线轮宽度所围成的体积 内， 因此该体积的大小在某种程度上体现整个传动 装置的大小， 可将其作为传动有效体积 V = πBR . 1. 3 以效能体积比最大为目标的最佳短幅 系数的确定
Abstract ： The short width coefficient is an important design variable of Cycloid Pin Gear Planetary Reducer （ CPGPR） ，which directly determines the property of CPGPR. To the question that the determination of the short width coefficient has been done so far on the basis of experience，a method used to determine the optimum value of it by maximizing the efficiency and volume ratio with single parameter is presented here. And a good design result is obtained by optimal design of CPGPR based on Genetic Algorithm （ GA） . The research shows theoretical and practical value by example. Keywords： short width coefficient； cycloid pin gear planetary reducer； GA； optimal design
短幅系数 K1 是摆线针轮行星传动的重要参数 . 当针轮分布圆半径和针轮齿数一定时， 影响摆线齿 它是 廓曲线和承载能力的主要参数就是短幅系数 ， 在设计过程中可以选择， 以便取得最佳传动性能的 参数， 其取值是否得当也直接影响到其他设计参数 进而影响到减速器的性能. 但在摆线针轮行星减 值， 速器的设计过程中， 短幅系数的确定往往只能根据 参考书中所列出的不同的传动比值和短幅系数值的 大致范围
（ 1. College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001 ，China； 2. Harbin Dong An Auto Engine Co. ，Ltd. ，Harbin 150001 ，China）
槡
Pi Ed . Bρd
（ 1）
式中 ： Pi 为任一瞬间针齿与摆线轮接触点的法向压 力； Ed 为两接触体的当量弹性模量； B 为摆线轮的宽 度； ρd 为 针齿与摆线轮齿接触点的当量曲率半径.
1030. 收稿日期： 2009基金项目： 国家基础研究基金资助项目（ 401080703 ） . ）， Email： ski1224@ yahoo. com. cn. 作者简介： 杨 奇（ 1986女， 硕士研究生， 主要研究方向： 机械设计及理论、 现代设计理论与方法，
· 2·
应
用
科
技
第 37 卷
由受力分析可知， 第 i 个针齿作用在摆线轮上 的力为
［ 1］
将理论承载能力 M α 与传动有效体积 V 的比定 义为效能体积比 η ， 用这个比值来衡量摆线针轮行 星减速器传动装置的性能 η =
［ 2］
Pi =
4Mα sinθ i × 1 /2 . K1 Z α R z S
│T│sinθ i . K1 Z α S2
不同啮合位置的受力针齿与摆线齿的 Y 值各不 相同， 当 K1 和 Z α 一定时， 存在一个 θ i 使 Y 达到最大 值 Y max ， 将其代入式（ 1 ） 进行强度校核， 可得 σ jmax = 1 . 672 此时， θ i = arcos
－1
槡
Ed Mα Y max ≤ ［ . σj ］ BR2 z
［ 1］
2 0 . 113 9 ［ Mα σj ］ C = . ≤ V E d Y max Y max
2 0 . 113 9 ［ σj ］ . 式中： C = Ed
在摆线针轮行星减速器的优化设计过程中 ， 可 将以最小的体积得到最大的理论承载能力作为设计 的目标， 根据上述定义可知， 也就是求得效能体积比 的最大值. 由式 （ 8 ） 可知， 当等号成立时 η 有最大
2 z ［ 2］
表1 Zb 12 18 24 30 36 42
， 得 （ 7）
第5 期
杨
奇， 等： 摆线针轮行星减速器最佳短幅系数的确定及优化
· 3·
2
基于遗传算法摆线针轮行星减速器 的优化设计
摆线轮齿廓不根切条件、 针轮直径的限制条 条件、 件、 针径系数约束条件、 柱销孔最大直径的限制条 件、 摆线轮与针齿的强度条件、W 机构的强度条件 建立了 15 个约束条件方程 2. 2 遗传算法的程序实现 遗传算法是一种具有“生成 + 检测 ” 的迭代过 它以群体中的所有个体为对象， 程的随机搜索算法， 通过检测， 评估每个个体的适应度和遗传操作 ， 生成 新一代的群体， 并从中挑选出较优的个体. 这样经过 一代代的搜索， 最终求得满足要求的最优个体 程序流程如图 2 所示. 2. 3 实例计算与分析 1］ 取文献［ 中的实例： 试设计一摆线针轮行星 减 速 器，输 入 功 率 P H = 4 kW，主 动 轴 转 速 n H = 1 440 r / min， 传动比 i = 29 . 2. 3. 1 基本参数的选取 根据实例， 遗传算法具体参数的设定见表 2 ， 摆 线针轮行星减速器的设计常量如表 3 所示.
［ 3 － 4］
， 推
.
dZ 针 选择独立的设计变量： D Z 为针轮分布圆直径， B 为摆线轮宽度， D1 为转臂轴承外径， K1 齿套外径， d′p 为柱销直径 ， 为短幅系数， 其他参数均作为设计 常量.
1
以最大效能体积比确定最佳短幅 系数的方法
1. 1
摆线针轮行星传动的理论承载能力 为防止摆线针轮与针齿啮合齿面发生疲劳点蚀
和胶合破坏， 需用接触强度计算， 其接触应力可根据 赫兹公式计算： σ j = 0 . 418
凭经验选取， 缺乏理论依据， 从而很难
使产品设计达到最优性能. 因此对短幅系数的最佳 取值进行理论分析， 并对摆线针轮行星减速器进行 优化设计具福伟 ， 何 1 1 1 蕾， 谭向全 ， 李永辉
（ 1. 哈尔滨工程大学 机电工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150001 ； 2. 哈尔滨东安汽车动力股份公司， 黑龙江 哈尔滨 150001 ） 要： 短幅系数是摆线针轮行星减速器的重要设计参数， 它直接决定着减速器的性能 . 针对目前设计中短幅
.
何约束条件及强度条件下的摆线针轮行星减速器的 体积最小为优化设计的目标， 以便使减速器结构紧 凑， 成本降低. 由于摆线轮的尺寸决定了减速器的尺 寸， 因此以摆线轮的近似体积作为目标函数 得简化的摆线轮体积为 V = DZ 1 （ DZ － dZ ） 2 － （ d′p + 2△2 + K1 ） 2 ZW － D2 . πB［ 1］ 4 Zb
系数往往由经验选取的问题， 提出了以单参数最大效能体积比来确定最佳短幅系数的方法 . 并基于遗传算法对 摆线针轮行星减速器进行了优化设计， 得到了良好的设计结果 . 通过实例说明研究结果具有一定的理论和应用 价值. 关键词： 短幅系数； 摆线针轮行星减速器； 遗传算法； 优化设计 中图分类号： TH122 文献标识码： A 文章编号： 1009 － 671X （ 2010 ） 05 － 0001 － 04
（ 2）
， 则有 （ 8）
式中 ： M α 为摆线轮上的阻力矩； Z α 为摆线轮齿数； θ i 为针轮相对于摆线轮的转角， S = 1 + K2 1 2 K 1 cos θ i . 当针齿直径按曲率半径系数 Y ρ 确定时， 若要接 触应力 σ j 减小， 应使 ρ d 尽量大， 由此可得当量曲率 半径为
（ 5）
b － 槡 b2 － 4 ac . 2a
2 b = K2 Z b （ K2 式中： a = 2 K1 （ Z b + K1 ） ， 1［ 1 + 3 ） + 3 ］+
1， c = K1 ［ K2 . 1 （ 3Zb － 1） － Zb + 3］ 摆线针轮行星传动在无间隙啮合状态下的阻力 矩可代表其理论承载能力 Mα ≤ 1. 2
（ 3 ） 的绝对值代入式（ 1 ） ， 得 σj = 1. 672 式中： Y =
槡
Ed Mα sinθi │T│ = 1. 672 2 K1 BR2 z Zα S
槡
Ed Mα Y. （ 4） BR2 z
由式（ 9 ） 可知， 已将求 η 的最大值问题转化为 Y max 是 K1 和 求 Y max 的最小值问题. 而由式（ 5 ） 可知， Z b （ Z α 或 i） 的函数， 且通常 Z b 为已知， 所以文中所 得的效能体积比是仅以 K1 为变量的单变量函数. 至 此得到了确定最佳短幅系数的函数表达式 . 通过给出不同的 Z b 值， 可求得 Y max 的最小值， 这个最小值所对应的 K1 值， 即为短幅系数的最佳 值. 利用 Matlab 编程计算可得到 Y max 和 K1 的函数关 系曲线如图 1 所示， 齿数 Z b 和相应的最佳短幅系数 K1 值列于表 1 中.
表2 参数名称 种群规模 P size 交叉概率 P C 变异概率 P M 最大进化代数 T 选择概率中的参数 e 变异操作中的参数 G 表3 遗传算法基本参数 数值 40 0. 25 0. 375 350 0. 05 10
［ 6］ ［ 5］
2. 1
优化模型的建立 文中采用在给定传动功率和传动比时， 满足几
形尺寸、 承载能力有很大影响， 又由于针轮是传动装 置最外围的工作部件， 并且传动工作部件的核心部 分在针轮分布圆半径和摆线轮宽度所围成的体积 内， 因此该体积的大小在某种程度上体现整个传动 装置的大小， 可将其作为传动有效体积 V = πBR . 1. 3 以效能体积比最大为目标的最佳短幅 系数的确定
Abstract ： The short width coefficient is an important design variable of Cycloid Pin Gear Planetary Reducer （ CPGPR） ，which directly determines the property of CPGPR. To the question that the determination of the short width coefficient has been done so far on the basis of experience，a method used to determine the optimum value of it by maximizing the efficiency and volume ratio with single parameter is presented here. And a good design result is obtained by optimal design of CPGPR based on Genetic Algorithm （ GA） . The research shows theoretical and practical value by example. Keywords： short width coefficient； cycloid pin gear planetary reducer； GA； optimal design
短幅系数 K1 是摆线针轮行星传动的重要参数 . 当针轮分布圆半径和针轮齿数一定时， 影响摆线齿 它是 廓曲线和承载能力的主要参数就是短幅系数 ， 在设计过程中可以选择， 以便取得最佳传动性能的 参数， 其取值是否得当也直接影响到其他设计参数 进而影响到减速器的性能. 但在摆线针轮行星减 值， 速器的设计过程中， 短幅系数的确定往往只能根据 参考书中所列出的不同的传动比值和短幅系数值的 大致范围
（ 1. College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001 ，China； 2. Harbin Dong An Auto Engine Co. ，Ltd. ，Harbin 150001 ，China）
槡
Pi Ed . Bρd
（ 1）
式中 ： Pi 为任一瞬间针齿与摆线轮接触点的法向压 力； Ed 为两接触体的当量弹性模量； B 为摆线轮的宽 度； ρd 为 针齿与摆线轮齿接触点的当量曲率半径.
1030. 收稿日期： 2009基金项目： 国家基础研究基金资助项目（ 401080703 ） . ）， Email： ski1224@ yahoo. com. cn. 作者简介： 杨 奇（ 1986女， 硕士研究生， 主要研究方向： 机械设计及理论、 现代设计理论与方法，
· 2·
应
用
科
技
第 37 卷
由受力分析可知， 第 i 个针齿作用在摆线轮上 的力为
［ 1］
将理论承载能力 M α 与传动有效体积 V 的比定 义为效能体积比 η ， 用这个比值来衡量摆线针轮行 星减速器传动装置的性能 η =
［ 2］
Pi =
4Mα sinθ i × 1 /2 . K1 Z α R z S
│T│sinθ i . K1 Z α S2
不同啮合位置的受力针齿与摆线齿的 Y 值各不 相同， 当 K1 和 Z α 一定时， 存在一个 θ i 使 Y 达到最大 值 Y max ， 将其代入式（ 1 ） 进行强度校核， 可得 σ jmax = 1 . 672 此时， θ i = arcos
－1
槡
Ed Mα Y max ≤ ［ . σj ］ BR2 z
［ 1］
2 0 . 113 9 ［ Mα σj ］ C = . ≤ V E d Y max Y max
2 0 . 113 9 ［ σj ］ . 式中： C = Ed
在摆线针轮行星减速器的优化设计过程中 ， 可 将以最小的体积得到最大的理论承载能力作为设计 的目标， 根据上述定义可知， 也就是求得效能体积比 的最大值. 由式 （ 8 ） 可知， 当等号成立时 η 有最大
2 z ［ 2］
表1 Zb 12 18 24 30 36 42
， 得 （ 7）
第5 期
杨
奇， 等： 摆线针轮行星减速器最佳短幅系数的确定及优化
· 3·
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基于遗传算法摆线针轮行星减速器 的优化设计
摆线轮齿廓不根切条件、 针轮直径的限制条 条件、 件、 针径系数约束条件、 柱销孔最大直径的限制条 件、 摆线轮与针齿的强度条件、W 机构的强度条件 建立了 15 个约束条件方程 2. 2 遗传算法的程序实现 遗传算法是一种具有“生成 + 检测 ” 的迭代过 它以群体中的所有个体为对象， 程的随机搜索算法， 通过检测， 评估每个个体的适应度和遗传操作 ， 生成 新一代的群体， 并从中挑选出较优的个体. 这样经过 一代代的搜索， 最终求得满足要求的最优个体 程序流程如图 2 所示. 2. 3 实例计算与分析 1］ 取文献［ 中的实例： 试设计一摆线针轮行星 减 速 器，输 入 功 率 P H = 4 kW，主 动 轴 转 速 n H = 1 440 r / min， 传动比 i = 29 . 2. 3. 1 基本参数的选取 根据实例， 遗传算法具体参数的设定见表 2 ， 摆 线针轮行星减速器的设计常量如表 3 所示.
［ 3 － 4］
， 推
.
dZ 针 选择独立的设计变量： D Z 为针轮分布圆直径， B 为摆线轮宽度， D1 为转臂轴承外径， K1 齿套外径， d′p 为柱销直径 ， 为短幅系数， 其他参数均作为设计 常量.