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巧添辅助线解决二倍角问题
作者：周义展
来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第04期
平面几何中常出现“三角形的一个内角为另一个内角的二倍”即“二倍角”条件的问题,学生遇到这样的问题,感觉难度很大,无从下手.其实,这类问题添加辅助线是有一定技巧和规律的,可归
纳总结为以下四种方法:
1.做大角的平分线;
2.以小角的顶点、小角的一边为一边,在小角的外部做一个与小角相等的角;
3.反向延长三角形大角的一个边,与另外一边相等,做一个等腰三角形;
4.以三角形第三内角上的高为对称轴,将图形对折,作一全等三角形.
下面举例加以说明.。
几何中的证明技巧：中考数学辅助线的添加与应用在几何学中，证明技巧是学习数学的重要组成部分之一。
在中考数学中，辅助线的添加与应用是解决几何问题的关键之一。
本文将探讨几何中的证明技巧，重点介绍中考数学中辅助线的添加与应用。
一、辅助线的作用辅助线在几何证明中起着辅助作用，能够帮助我们更容易地理解和证明一些几何性质。
通过添加适当的辅助线，我们可以将原来复杂的几何图形转化为更简单、更易于处理的形式，从而更好地解决问题。
二、辅助线的添加技巧1. **平行线与角平分线**当我们需要证明一些角相等或线段平行的性质时，可以通过添加平行线或角平分线来辅助证明。
例如，证明两条线段平行时，可以添加一条平行于这两条线段的辅助线，从而构造出一组对应角相等的情况，进而得到结论。
2. **垂线与垂足**在证明垂直关系或直角三角形性质时，可以通过添加垂线和垂足来辅助证明。
例如，证明两条线段垂直时，可以通过在它们的交点处添加垂线，并证明所得的相邻角为直角，从而得到结论。
3. **三角形中的辅助线**在证明三角形性质时，常常需要添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明三角形的内心、外心、重心等特殊点时，可以通过添加角平分线、中线、高线等辅助线来辅助证明。
三、辅助线的应用案例1. **证明三角形相似**当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加一些辅助线来简化证明过程。
例如，证明两个三角形的三个对应角相等时，可以添加一条平行于其中一条边的辅助线，从而构造出一组对应角相等的情况。
2. **证明三角形的重心性质**当我们需要证明三角形的重心性质时，可以通过添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明三角形的重心到各顶点的距离相等时，可以添加中线并利用三角形的性质来证明。
3. **证明四边形的性质**在证明四边形的性质时，常常需要添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明一个四边形是平行四边形时，可以添加一条对角线，并利用平行线性质来证明。
四、结语几何中的证明技巧是中考数学中的重要内容之一。
初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支，通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。
在解决平面几何问题中，添加辅助线是一种常见且有效的方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法：1.使用垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线，可以用来分割和构造几何图形。
比如，在矩形中，可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线，从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。
2.使用平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线，可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。
例如，在平行四边形中，可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线，从而证明平行四边形的对边相等。
3.使用角平分线：角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。
在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时，添加角平分线是非常有用的方法。
例如，在等腰三角形中，可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线，从而证明等腰三角形的顶角相等。
4.使用中线：中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。
在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时，添加中线是一种常见的方法。
例如，在四边形中，可以通过连接相对边的中点来构造中线，从而证明中线互相平分。
5.使用高线：高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。
在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时，添加高线是非常有用的方法。
例如，在三角形中，可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线，从而证明高线汇聚于三角形的垂心。
6.使用辅助图形：有时，我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。
例如，在求解平行四边形的面积时，可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形，从而方便计算面积。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。
添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题，还可以提高解题效率和准确性。
初中数学几何做辅助线技巧辅助线一直都是解决几何问题中不可或缺的，通过辅助线的有效添加，不仅可以使得相应问题得到更好、更便捷的解答，也能够给学生留下更深刻的印象。
下面是小编为大家整理的关于初中数学几何做辅助线技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1初中数学几何做辅助线技巧辅助线在三角形中的科学运用对于三角形中辅助线的添加来讲，主要是结合问题特点与需求来进行辅助线的科学运用。
例如，在无法利用现有条件将三角形三边关系直接证明出来时，可以将其中一边延长，也可以通过将其两点连接来构成三角形，以此来得出其线段在一个或是多个三角形中的结论，然后再利用三角形三边的不等关系来进行证明;又如：在无法利用现有条件将三角形外角大于任何不与其相邻的内角这一定义直接证明出来时，就可以引导学生将某一边延长，或者是通过连接其中两点构成三角形，以此来让其小角位于其图形的内角，之后再证明出其大角处于其三角形的外角位置，在此基础上再运用相应外角定理来最终解答。
此外，若题目中给出了平分线时，通常都是在其角的两边取相同的线段来构成全等三角形等。
上述只是总结了三角形辅助线比较常见的添加方式，但是对于数学辅助线的应用来讲，通常都是法无定法的，因此，要想将辅助线的积极作用充分发挥出来，并在解题中实现科学灵活运用，往往还是需要在实践解题练习中不断归纳与总结，不仅可以单独添加，也可以结合实际情况，进行恰当的组合运用，也只有这样在解答相应题目过程中才能够真正做到有的放矢，才能够引导学生真正掌握其运用规律与技巧，因此，出了总结、归纳外，其数学教师还应结合学生实际认知需求，积极为学生设计针对性较强的练习活动。
辅助线在平行四边形中的恰当运用平行四边形主要包括正方形、菱形，以及矩形，这些图形的两组对边、对角等具有的性质都有一定的相似之处，所以，辅助线在这些图形中的添加方法一般都具有较大的相似性，往往都是为了实现线段的垂直与平行，在此基础上构成相应的全等、相似三角形。
平面几何辅助线添加技法总结与例题详解一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
2014年中考数学：如何巧妙的添加辅助线辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。
当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
所以我们要学会巧妙的添加辅助线。
一、添辅助线有二种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法一、 过分点添平行线相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。
这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下：在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A 字型与X 型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。
而且找分点还是有规律可循。
通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。
那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。
以下举一道例题加以说明：例：点D 是三角形ABC 边AC 上的中点，过D 的直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：。
BFCF EB AE = 分析：条件中出现已知中点的线段是AC 、结论中有关的线段落在AB 和BF 上，所以本题中的热线为AC 、AB 和BF ，这三条线段的交点分别为A 点、B 点和C 点，此三点即为三个热点。
所以本题的证明方法主要有三种。
解法一：过热点A 作热线BF 的平行线，交FE 的延长线于点G ，那么就有。
BFAG EB AE = 只要证得AG=CF 即可。
证明：过点A 作BF 的平行线，交FE 的延长线于点G 。
∵AG ∥BF ∴BF AG EB AE = DCAD CF AG = 又 ∵D 为AC 的中点，∴AD=DC∴AG=CF ∴BFCF EB AE = 解法二：过热点B 作热线AC 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BH AD EB AE =及BHDC BF CF =,只要证得AD=CD ，本题即可得证。
解法三：过热点作C 热线AB 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BFCF EB CH =,只要证得CH=AE ，本题即可得证。
初中数学巧添辅助线解证几何题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-巧添辅助线 解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。
倍角问题分两种情形：1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=12∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。
倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）[例题解析]例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD⊥AC 于D。
求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C，可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC 和∠C 的关系。
证法一：∵在△ABC 中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。
∵BD⊥AC 于D ∴∠BDC=90°CAB D ECABD21β α 图一αβ图二∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC即∠DBC= 12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。
图（1）FE DD′CAB巧添辅助线解初中平面几何问题摘 要：在解几何问题时中，有时不能直接找到已知条件与未知之间的关系，因此需要添加辅助线使隐蔽的重要条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系．全等变换就是一种重要的作辅助线的方法，它可以用运动的观点，使图形通过对折、平移、旋转、位似得到与原图全等的图形，或根据需要构造必要的图形，而新的图形可以使题目的已知和未知联系起来，化难为易，从而找到添加辅助线的方法，达到解题的目的．关键词：辅助线；对折；平移；旋转；位似；构造；变换在解几何问题时，有时找不到已知条件与未知之间的关系，常常会感到无从入手，没有头绪，令人“百思不得其解”．如何把看起来十分复杂的几何问题通过简洁明了的解题方法加以解决？是几何问题面临的一个重要问题，而适当添加辅助线就是解决这个问题的一个好方法．添加辅助线的目的在于使隐蔽的条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系，完善欠缺图形，将复杂的问题化简为推证创造条件，促成问题的最终解决．提高学生作辅助线的水平，不仅可以提高他们解答几何问题的能力,而且可以提高他们的空间想象能力,逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力，从而提高他们的综合素质．然而作辅助线是有难度的，没有一成不变的方法，有时是几种方法联合并用，但一个最根本的方法是从分析问题入手，紧紧联系已学过的有关几何知识，比如定义、定理、推论、公式等．试添辅助线以后，能不能再进一步得出一些过渡性的结论，而从这些过渡性结论出发，能不能再进一步推导出下一个过渡性结论．如果添加辅助线后，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得对，成功的把握性就大，如果添辅助线后，思路反而更塞了，那一定是错了．用运动的观点来观察图形，在许多场合下是添加辅助线的一种行之有效的方法，它是设想把某一有关部分的图形进行对折，旋转，平移或缩放（位似），从而巧妙地添加辅助线，有效地解决问题．下面就我个人的一些经验，谈一下常用辅助线的做法．一 对折法“对折法”就是“轴对称变换法”．这是利用成轴对称的两个图形是全等形这一原理，把图中一部分或整个图形，以某一直线为折痕（即对称轴）翻折过来，就得到它的全等形．通过这种变换把较分散的线段、角集中起来，或者使原有的已知扩大，或者使各个几何量之间的关系明显化，所以这是一个常用的好方法．许多已知的图形都有对称轴，有的较明显，如圆的直径，等边三角形的高，等腰三角形底边上的中线，图形中某角的角平分线或某边的垂直平分线，等腰梯形，矩形的平行对边的中垂线，菱形，正方形的对角线等．如果没有现成的对称轴，也可以设想以某直线或线段作为对称轴，向它的另一边翻折180°（即对称轴的另一边），想象一下翻折过去以后，各个对称点，对称线段或对称的角或其他有关的点、线的分布情况如何？想妥当了，再试添辅助线．而后考虑要证的几何元素与题设的元素之间的几何关系．这样，就会较合理地作出所需要的辅助线来帮助我们进行论证．例1 如图（1），在△ABC 中，AB=2，BC=3，在三角形内有一点D ，使CD=2，∠ADC+∠B=180°，求∠B 为何值时，△ABC 与△ADC 面积之差有最大值，其最大值是多少？分析：将△ADC 沿AC 翻折到△AD′C 的位置，此时△ADC ≌△AD C '，∠AD C ' +∠B=∠ADC+∠B=180°，故四边形ABCD '内接于圆，因AB=CD=C D′=2，故知四边形ABCD '为等腰梯形，AD′∥BC ． 作AE 、D′F ⊥BC 于E 、F ，则AD′=EF ，BE=CF ，于是S =S △ABC -S △ADC =S △ABC-S △AD′C=)(212121//AD BC AE AD AE BC AE -=⋅-⋅图（2）PNMCBA=BE AE FC BE AE ⋅=+)(21=2cosB2sinB=2sin2B ≤2．故当4B π=时，S 有最大值2．例2 如图（2），在等腰直角△ABC 的斜边AB 上，取两点M 、N 使∠MCN=45°，记AM=m ，MN= x ，BN=n,则以x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状是（ ）（A ） 锐角三角形；（B ） 直角三角形； （C ） 钝角三角形；（D ） 随x 、 m 、 n 变化而变化．分析：（1）要判断以x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到同一个三角形中．（2）如何利用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°．（3）为将长为x 、 m 、 n 的三条线段集中，可考虑将△ACM 沿CM 对折（如图）这样可将m 、x 两条线段集中，再连接PN ，若能证明PN=BN ，则长为x 、 m 、 n 的三条线段就集中到了△PMN 中．由∠ACM+∠BCN=45°， ∠PCM+∠PCN=45°， ∴∠BCN = ∠PCN可证△BCN ≌△PCN ，PN=BN=n ． ∴∠MPC=∠A=45° ∠NPC=∠B=45°∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°．∴以x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状是直角三角形．提示 ：当要证的结论需要集中某些线段，且图形中出现了等角或角的平分线等条件时，可考虑对折构造．二 平移法“平移法”即平移变换法．顾名思义，其具体做法就是过某点作某线段或某直线的平行线，利用平行线性质——同位角相等、内错角相等，或利用平行四边形诸性质，把有关元素集中起来．例3 如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与 BD 垂直相交于O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，∠DBC=30°．求证：AC=MN ．分析：由已知条件知：MN=12（AD+BC ），要证AC=MN ，只需证AC=12（AD+BC ）.因此，可将上底AD 移至下底所在的直线上，与BC 相加，即过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则可得∠BDE=∠BOC=90°，这样就可以将问题转化为解一锐角是30°的直角三角形的问题．例4 如图（4），已知三角形ABC 的两边AB 、AC 上的中线分别为BD 、CE ，若BD=CE ．求证：AB=AC ．_ 图 （ 5 ）分析：已知的两条相等的中线在图中交叉摆着，我们试把它安排在一个三角形中就比较好考虑，于是设想把其中的一条中位线CE 平行移动到DF 位置，这样就成了一个等腰三角形DBF ，立即得到∠1=∠F=∠2，从而得到GB=GC ，GD=GE ．要证BE=CD 就简单了．三 旋转法“在欧氏平面上把一点P 绕一定点旋转一定角变到另一点P′，如此产生的变换叫做旋转变换，简称旋转．此定点叫做旋转中心，定角叫做旋转角．”旋转后的图形与原来的图形全等．用这种想象来启示我们去作辅助线．这种方法能够集中条件，扩大已知，图形之间易于联络，呼应，达到较顺利论证的目的．旋转要利用角或边的相等，因此在正三角形、正方形、正多边形应用较常见．例5 如图（5）,在正方形ABCD 中,∠EBF=45°,E 、F 分别在AD 和DC 上．求证：EF=AE+FC ． 分析：因为要证明EF=AE+FC ，可设想将AE 、FC 放在同一直线上，再与EF 比较．而已知条件给了正方形，即各边相等，四个角是直角，于是，可尝试把Rt △BCF （或Rt △BAE ）以B 为中心逆时针（或顺时针）旋转90°．可得：Rt △ABF′≌Rt△CBF ，则BF′=BF ，AF′=CF ，∠1=∠2．则：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠EBF=45° △BEF′≌△BEF ，则所以∠EBF′=∠EBF ，而BE 是公共边，故EF=EF′=AE+AF′=AE+FC ，即可得证．例6 如图（6），在等边△ABC 外取一点P ，如果PA=PB+PC ，那么P 、A 、B 、C 四点共圆．分析：在四点共圆的判断中，其中有一条是”对角互补的四边形内接于圆” ．因此，可尝试∠BPC+∠BAC 是否等于180°．而题目中给了条件△ABC 是等边三角形，即三边相等，三个角都是60°，可设想把△BPC 以点C 为中心按顺时针旋转60°，可得△AP′C ≌△BPC ，则PB=P′A ，PC=P′C ，∠A P′C=∠BPC ，而∠PCP′=60°，故△PCP′是等边三角形，则∠1=60°， PP′=PC ，∵PA= PB+PC∴PA= P′A+ PP′ ∵A 、P′、P 三点共线 ∴∠A P′C+∠1=180° 又∵∠BAC=60°=∠1∴∠BPC+∠BAC=180°故P 、A 、B 、C 四点共圆． 图（6）四 位似法（放缩法）如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形就叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比．位似变换的设想，是把其中的一个图形（它经常是某一线段）看成是由另一个图形按位似比放大或缩小而得的．把欲证的线段变为易证的线段，或者通过扩大或缩小，让有关线段组成一个新的图形．比较多的是遇到“中点”、“三等分点”、“内、外分线段成某比”等题设时，用位似扩大或缩小法集中条件，而后加以论证．例7 如图（7），ABCD 为任意四边形，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，M 、N 分别为对角线BD 、AC 的中点．图（9-2）GF EDCBA求证：EG 、HF 同过MN 的中点．分析：欲证的三条线段在图中的关系不甚 “密切”，我们试图把它们安排得较易联系一些，由于题中很多中点，随便选择一个顶点比如A 作位似中心，按位似比K=AE AB =12把边BC 缩小，自然就要连EN ，得到EN //12BC ，用相同的办法就组成了一个易于思考的平行四边形了．例8 三个等圆O 1、O 2、O 3相交于点S ，位于已知三角形ABC 内，每个圆与△ABC 两边相切．证明：△ABC 的内心I 、外心O 与点S 共线．分析：这个问题直接论证是比较困难的，因为不容易一下子抓住O 、S 、I 之间的联系，但从图形的直观上看△123O O O 有可能与△ABC 位似．事实上，易知，12O O ∥AB ，23O O ∥BC ，31O O ∥CA ， 所以1IO IA =2IO IB =3IO IC（I 为内心，即1O A 、2O B 、3O C 之交点）． 于是由123SO SO SO ==知S 为△123O O O 之外心，即S与O 为位似变换下的对应点，故I 、O 、S 共线．五 其他构造法当我们按照某种既定的思路解题时，有时必须用到某种图形，而这种图形并未在原图中出现，这时就要构造这种图形来使证题顺利进行．构造、补全基本图形也是作出辅助线的基本方法，它是出于对几何图形整体的把握作出辅助线的．许多常见的辅助线（如等边三角形、直角三角形、正方形，两圆相交时的公共弦、连心线、圆的切线问题中过切点的半径等）都体现了这种想法．例9 如图，点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，CE=CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD ． 分析一：如图（9-1），由题意知 CE=CA ，F 为AE 的中点重要条件，立即联想到三线合一的基本图形．于是连CF ，有CF ⊥AE ．这样，这了证明DF ⊥BF ，只要证明∠1=∠3． 另一方面，注意到Rt △ABE 中构成的”斜边上中线”的基本图形，立即有AF=BF ，∠4=∠5．因此，只要证明出△AFD ≌△BFC 就可推出了∠1=∠3了．（证明略）分析二：如图（9-2），注意到F 是AE 的中点的条件和要证的BF ⊥FD 的结论，还可以构造如下的三线合一的基本图形．延长BF 交DA 的延长线于G ，连BG ．容易看出△BFE ≌△GFA ，于是F 是BG 的中点．这样，要证明BF ⊥FD ，只要证明DB=DG 就可以了．∵ABCD 是矩形，∴BD=AC 又由已知：CE=CA ∴只需证出DG=CE而这是很容易证的（证明略）．∠ADC=60°，AD=CD ．求证：例10 如图（10），在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，222BD AB BC =+．分析：（1）所求证的关系为平方形式，联想到构造直三角形运用勾股定理求证即可，因为∠ABC=30°，以BC 为边向外作等边三角形△BCE ，则可以得到∠ABE=90°，BC=BE ，可将22AB BC +转化为Rt △ABE 中22AB BE +．这样只需证明AE=BD 即可．（2）由∠ADC=60°，AD=CD ，连AC ，则△ADC 为等边三角形，易证△DCB ≌△ACE ，于是AE=BD ．（证明略） 几何辅助线的用途很广，虽然几何题目千差万别，证明方法多种多样，辅助线也因题而异．但“一切客观事物本来是互相联系和具有内部规律的”.“运用之妙，存乎一心”，不管问题有多么复杂，只要我们多去总结和归纳，亦可水到渠成，迎刃而解． 参考文献：[1]刘善贵.怎样添置辅助线新编[M ].北京:冶金工业出版社,1999,8,1.[2]张乃达.初中几何解题新思路[M ].长春出版社,2001,6[3]欧阳维诚.初等数学解题方法研究[M ].湖南教育出版社,1998，11.。
