高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数与映射课件 新人教A版必修1

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1.分段函数定义域、值域的求法 1分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. 2分段函数的值域是各段函数值域的并集. 2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
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[变式训练 1] 已知函数 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，， 则函数的定义域为 R，值域为 [0,1] ．
A．－2
B．4
C．2
D．－4
解析：f(43)＝2×43＝83， f(－43)＝f(－43＋1)＝f(－13)＝f(－13＋ 1)＝f(23)＝23×2＝43，所以 f(43)＋f(－43)＝83＋43＝4.
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3．已知函数 f(x)＝3x2x＋＋a2x，，xx<≥1，1， 若 f(f(0))＝4a，则实数 a＝ 2 .
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学科素养培优精品微课堂 分段函数在实际中的应用 开讲啦 对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法， 一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量 x 和函数 y，然后利用题干条件用 x 表示 y，最后写出定义域．注 意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义 外，还要考虑使实际问题有意义．
第一章
集合与函数(hánshù)概念
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1．2 函数(hánshù)及其表示

5 3 A.2，2 3 1 C.－2，－2 3 1 B.－2，2 3 1 D.2，－2
)
(2)设集合A、B都是正整数集，映射f：
A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的 元素3n＋2n，则在映射f下，象89的原象是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] (1)D (2)C
设调整后上网x小时的费用为f(x)元． (1)当0＜x≤60时，f(x)＝0.16×20x＋4x＝7.2x； 当x＞60时，f(x)＝4×60＋0.16×20x＋(x－ 60)×8＝11.2x－240.
[解析]
(2)设调整前上网x小时的费用为g(x)元，则
g(x)＝0.12×20x＋0.12×60x＝9.6x. 原上网60小时预算费用为9.6×60＝ 576(元)，由576＝11.2x－240得x≈72.85(时)， 故该网民现在每月可上网72.85小时． 当0＜x≤60时，f(x)＜g(x)； 当x＞60时，由f(x)＝g(x)，可得x＝150. 所以，上网小于150小时时，f(x)＜g(x)； 上网大于150小时时，f(x)＞g(x)．
[例5]
上因特网的费用由两部分组成：电 话费和上网费．以前某“热线”上因特网 的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费0.12 元/分钟．根据信息产业部调整因特网资费 的要求，自1999年3月1日起，该地区上因 特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟， 上网费每月不超过60小时，以4元/时计算， 超过60小时部分，以8元/时计算．

总结评述：在一个给定的映射f：A→B中， A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应， 但B中元素在A中未必有元素对应，即A中元 素对应B中元素的集合实际上是集合B的一个 子集．在涉及元素的对应问题中，常常需要 建立方程组求解．

(3)对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关 系中，即可求出象．对于给出象求原象的问题，先假设原象， 代入对应关系中得到象，由它与已知的象是同一个元素，即 可求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象．
探究1 分段函数求值
例 1 (1)设 f(x)＝xf[＋fx3＋，5x>]，10x，≤10， 则 f(5)的值是
【跟踪训练 1】 (1)设函数 f(x)＝－2x，x≤0， x2，x＞0，
＝4，则实数 a＝( )
A．－12或－2 B．－12或 2
C．－2 或12
D．－2 或 2
x＋1，x>0，

(2)已知 f(x)＝π，x＝0， 0，x<0，
求 f{f[f(－3)]}．
答案 (2)见解析
若 f(a)
2．函数与映射的关系 映射 f：A→B，其中 A、B 是两个“非空集合”；而函 数 y＝f(x)，x∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集． 于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
3．象与原象的概念 对于映射 f：A→B，我们通常把集合 A 中的元素叫原象， 而把集合 B 中与 A 中元素相对应的元素叫象，集合 A 叫原 象集，象集为 C，则 C⊆B. 知识剖析 (1)象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和 象不可以互换． (2)给定映射 f：A→B，则集合 A 中的任何一个元素在集 合 B 中必有唯一的象，而集合 B 中的元素在集合 A 中不一 定都有原象，若有，也不一定只有一个．
解析 (1)若 a≤0，则 f(a)＝－2a＝4，所以 a＝－12；若 a>0，则 f(a)＝a2＝4，所以 a＝2.综上 a＝－12或 a＝2.
(2)∵－3<0，∴f(－3)＝0， ∴f[f(－3)]＝f(0)＝π. 又 π>0，∴f{f[f(－3)]}＝f(π)＝π＋1， 即 f{f[f(－3)]}＝π＋1.

函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
解 析 ： 由 图 可 知 ， 当 x∈[ － 2,4] 时 ， f(x)∈[ － 2,3] ； 当 x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]．故函数f(x)的值域为[－4,3]．
答案：[－4,3]
2．映射 设A，B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确定的对应关 系 f ， 使 对 于 集 合 A 中 的 __任__意__一__个__ 元 素 x ， 在 集 合 B 中 都 有 _唯__一__确__定___的元素y与之对应，那么就称对应__f：__A__→__B__为从 集合A到集合B的一个映射．
【互动探究】 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的 值．
解：当 x＋2＝－2 时，x＝－4，符合 x＜0.当 x2＝－2 时， 无解．当12x＝－2 时，x＝－4，不符合 x≥2.
综上，x 的值是－4.
1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
思路点拨：分段考虑求值即可． (1)先求 f－21，再求 ff－21，最后求 fff－12； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x.
解：(1)f－12＝－12＋2＝32， ∴ff－12＝f32＝322＝49. ∴fff－21＝f94＝21×49＝89. (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0, 不符合 x＜0. 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x＜2. 当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥2. 综上，x 的值是 2或 4.
设M＝{1,2,3}，N＝{e，g，h}，从M到N的四种对应方式 如图，其中是从M到N的映射的是( )

• 1．分段函数
• 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应 关系的函数．
• [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是 各段值域的并集．
• 2．映射 • (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定
的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 ___唯__一__确_定____的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合 ___A___到集合_B_____的一个映射． • [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： • (1)A，B为非空集合；
• (2)有对应法则f；
• (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应．
• (2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合 A，B均为___非__空_数__集____时，从A到B的映射就是函数，所以 函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推 广．
• [知识点拨] 函数新概念，记准三要素；定义域，值域， 关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解 析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何 集不限．
典例 3 已知函数f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域．
• [思路分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函 数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
[解析] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－2 x＝1； 当－2<x<0时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x. 所以f(x)＝11－0≤x－x≤2<2x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．

即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值 域是各段上“值域”的并集.( ) (2)从映射 f：A→B 的角度理解函数，A 就是函数的定义 域，函数的值域 C⊆B.( ) (3)函数 y＝x22x－＋11，，xx∈∈（（－0，2，2]0]，的值域是(－1，5).
每个男生对应自己的身高.
A.①②
B.③④ C.②④ D.①③
(2)设集合 A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，从 A 到 B 的映射 f：
(x，y)→(x＋2y，2x－y).在映射下，B 中的元素(1，1)对应 A
中的元素( )
A.(1，3)
B.(1，1) C.35，15 D.12，12
解析 (1)①中，当 x＝2 时，在 B 中没有元素与之对应，不是映射. ②中，f：x→y＝(x－1)2＋3 对 A 中任意元素，在 B 中有唯一元素与 之对应，这个对应是映射. ③中，平面内的圆的内接矩形不唯一，这个对应不是映射. ④中，A 中的每名男生，在 B 中有唯一的身高对应，是映射. (2)依据映射的定义，x2＋x－2yy＝ ＝11.，解之得 x＝35且 y＝15. ∴B 中的元素(1，1)对应 A 中的元素为35，15. 答案 (1)C (2)C
第2课时 分段函数及映射
目标定位 1.理解分段函数的本质，能用分段函数解 决一些简单的数学问题.2.了解映射概念，了解函数是 一种特殊的映射，并能根据映射的概念判别哪些对应 关系是映射.
自主预习
1.分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有 着不同的_对__应__关__系__，这样的函数通常叫做分段函数. 它的图象由几条曲线共同组成. 温馨提示：分段函数不是由几个不同的函数构成的.分 段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区 间上对应关系不同，所以分段函数是一个函数.

5．已知函数 f(x)＝x22x－，4x，＞02≤. x≤2， (1)求 f(2)，f[f(2)]的值； (2)若 f(x0)＝8，求 x0 的值．
解 (1)∵0≤x≤2 时，f(x)＝x2－4， ∴f(2)＝22－4＝0， f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4. (2)当 0≤x0≤2 时， 由 x02－4＝8， 得 x0＝±2 3(舍去)； 当 x0＞2 时，由 2x0＝8，得 x0＝4. ∴x0＝4.
课堂小结 1．对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集， 也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字 描述的方法来表达．
2．理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的 并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区 间的端点需不重不漏． (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段， 就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其 是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来， 从而得到整个函数的图象．
[正解] 当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当 x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2. [防范措施] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数，处 理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解 决分段函数问题的基本原则． (2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的 对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．不能准确 理解分段函数的概念是导致出错的主要原因．
________；
x＋1，x≥0，
(2)已知函数 f(x)＝|x1|，x＜0，
若 f(x)＝2，则 x＝________.

解答
(2)画出函数f(x)的图象. 解 f(x)的图象如下：
解答
命题角度2 给y求x 例 3 已知函数 f(x)＝2x2x＋，2x，≤x2>，2. (1)若f(x0)＝8，求x0的值； 解 当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意； 当 x0>2 时，由 x20＋2＝8，得 x0＝ 6或 x0＝－ 6(舍去)，故 x0＝ 6.
跟踪训练 3 已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出f(x)的图象； 解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
解答
(2)若 f(x)≥14，求 x 的取值范围； 解 由于 f(±12)＝14，结合此函数图象可知， 使 f(x)≥14的 x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).
解答
(3)求f(x)的值域. 解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].
解答
类型三 映射的概念
例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与
解答
(2)解不等式f(x)>8.
解 f(x)>8 等价于x2≤x>28，，
①
或xx>2＋2，2>8，
②
解①，x∈∅，解②得 x> 6，综合①②，f(x)>8 的解集为{x|x> 6}.
解答
反思与感悟
已知函数值求变量x取值的步骤： (1)先对x的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出x的解； (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内； (5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内 的符合要求的x的值并起来.

0, < 0,
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||

2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
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探究三
探究四
思想方法
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反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
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探究三
探究四
思想方法
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变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个

5t t 13,0 t 3,
故 s(t)= 150,3＜t 8, 60t 330,8＜t 10.5,
(2)在距离小刘家60 km处有一加油站,求这天小刘的车途经加油站的时间.
解:(2)当 0≤t≤3 时,令-5t(t-13)=60, 得 t2-13t+12=0,解得 t=1 或 t=12(舍去). 当 t=1 时,时间为 9 点. 当 8<t≤10.5 时,令 60t-330=240, 解得 t= 19 ,当 t=9.5 时,时间为 17 点 30 分.
【备用例2】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分 组成,求函数的解析式.
解:(1)当x≤1时,设f(x)=k1x+b1,
因为图象过点(0,2),(1,1),所以 所以f(x)=-x+2.
bk11
所2以,
b1
1,
(2)当1≤x≤3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a<0).
2
2
2
24
4
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1, 即2m-1>3m-5,解得m<4, 又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).