第3章 剪切与圆轴扭转-new2

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一、变形几何关系
取微段(长为dx)； 在微段中取单元体abcd ； 截面nn相对截面mm的扭转角为 dϕ 半径线由Oa→ Oa' ； 单元体abcd的ab边相对于cd边产生了微小 的相对错动，引起了单元体abcd的剪切变 形；相对错动的长度为：
m
n
ϕ
m dx n m n
ρmax
aa ' = ρ max dϕ
ρτ ρ dA
M n = ∫ ρτ ρ dA
A
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M n = ∫ ρ ⋅ τ ρ dA = ∫ ρ ⋅ G ρ
A A
dϕ dϕ dA = G ρ 2dA dx dx ∫A
dϕ M n = dx GI ρ
ρ max
dρ
令 I ρ = ∫ ρ 2 dA
A
dϕ M n = GI ρ dx
ρ τρ
dϕ (当在某一给定截面积分时, dx 为常量)
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受力特点：在杆件两端作用两个大小相等、方向相反，且垂直于杆 件轴线的力偶；致使杆件的任意两个横截面产生绕杆件轴线的相对 转动。这种变形称扭转变形。 以扭转变形为主要变形的构件称为轴。 变形量用扭转角ϕ表示。
T
T
ϕ
A
B
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§3.2.2 扭矩和扭矩图 一、 外力偶矩(转矩)的计算
已知：传递功率 P (kW)、轴的转速n (r/min) 求：外力偶矩Me Me: N·m
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§3.1 剪切与挤压
§3.1.1 剪切与剪切强度的计算 一、剪切的概念
图3-1 螺栓受力情况
受力特点：构件受到大小相等、方向相反且作用线相距很近的一对力作用 变形特点：横截面发生相对错动，即剪切变形。 剪切面：发生相对错动的平面 剪力：剪切面上的内力Q 切应力：剪切面上剪力的分布集度，用τ表示。
Me
规定:用右手螺旋法则: 指出截面外: + 指向截面内: Me
A
T n n T n
Me
B
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[例1]一等圆截面传动轴如图所示，其转速n＝300 r/min，主动轮A的输入 功率PA＝221 kW，从动轮B、C的输出功率分别为PB =148kW、PC =73kW。试 求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。 解：(1) 计算外力偶矩
P = MeΒιβλιοθήκη ⋅ωPω: rad/s
P: W
M e = 1000 = 1000 P 1000 × 30 P P = ⋅ = 9550 ( N ⋅ m ) πn n n π 30 P = 9.55 × 106 × ( N ⋅ mm ) n
ω
Me转向：主动轮的P入产生的Me与轴的转向一致，从动轮P出所产 生的Me与轴的转向相反。
第3章 剪切与圆轴扭转
§3.1 剪切与挤压 §3.2 圆轴扭转 §3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 §3.4 圆轴扭转时的变形与刚度条件
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第3章 剪切与圆轴扭转
重点：
剪切与挤压强度的实用计算 外力偶和扭矩的计算及扭矩图的绘制 圆轴扭转时的应力、强度条件、刚度条件
难点：
扭矩图的绘制 强度条件和刚度条件的应用
T1 = M C = 2324 ( N ⋅ m) T2 = − M B = −4711 ( N ⋅ m)
MC
MB
MC T
T1
T2
MB
2324 N ⋅ m
+ o
－
(3) 画扭矩图
x
4711N ⋅ m
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§3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 §3.3.1 圆轴扭转时横截面上的应力
圆轴扭转的基本假设： 圆轴扭转前的横截面变形后仍保持为平面，形状和大小不变，且 相邻两截面间的距离不变，只是绕轴线相对转过了一个角度。 推论：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力，而没 有正应力。
不满足挤压强度 根据挤压强度重新确定键的长度
Fp σp = = ≤ ⎡σ p ⎤ Ap l h ⎣ ⎦ 2 2Fp 2 ×17.5 ×103 = = 54.7 (mm ) l≥ 8 × 80 h ⎡σ p ⎤ ⎣ ⎦
根据键长系列选 l=55mm
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Fp
§3.2 圆轴扭转
§3.2.1 扭转的概念 实例一 汽车方向盘的转向轴 实例二 汽车传动轴 实例三 丝锥
4
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
WT2 =
πD 3
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D2 = 53.1 mm
(3) 计算空心轴与实心轴重量之比
π
A1 = A2
(D 4
π
4
2 1
− d12 )
2 D2
902 − 852 = = 0.31 2 53.1
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§3.4 圆轴扭转时的变形与刚度条件 §3.4.1 圆轴的扭转变形
dϕ M n = dx GI p dϕ = Mn dx GI p
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二、扭矩和扭矩图 内力偶矩 T —— 扭矩
Me
T A n n T n T B
Me
x
∑M
x
= 0:
T = Me
规定:用右手螺旋法则: 指出截面外: + 指向截面内: -
Me
A T T
n n
T
Me
n
B
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二、扭矩和扭矩图 内力偶矩 T —— 扭矩
平面图表示方法
n
∑M
x
= 0:
T = Me
Me
A n n B
角度改变量，即剪应变γ
d
a γ c
O
a ' dϕ b b'
n
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γ = tan γ =
aa ' ρ max dϕ dϕ = = ρ max ad dx dx
m
一、变形几何关系
m
dϕ γ = ρ max dx
n
ρmax
ρ
距离圆心为ρ处的剪应变为: dϕ γρ = ρ
dx
ρ
d
c
a γ
O
a ' dϕ b b'
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α = d D (空心截面)
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四、圆轴扭转时的强度条件
τ max =
M n max WT ≤ [τ ]
[ 例 1] 汽 车 传 动 轴 由 45 号 钢 无 缝 钢 管 制 成 ， 外 径 D ＝ 90mm ， 壁 厚 t=2.5mm，[τ]=60MPa，其所承受的最大外力偶矩为1.5kN·m，试校核其 强度。若在τmax 不变的条件下改用实心轴，试确定圆轴的直径D，并计 算空心轴与实心轴的重量比。 解: (1) 校核空心轴的扭转强度
解: 1.分析受力情况 以轴(包括平键)为研究对象，受力如图所示， 根据平衡条件可得 d ∑ mO (F ) = 0 : T −F 2 = 0 2T 2 × 35 × 103 = = 17.5 × 103 ( N ) F= 40 d 2.校核键的剪切强度
Q = F = 17.5 × 103 ( N )
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二、剪切强度的计算
FQ
Fp
剪
力
FQ = Fp
剪切强度条件： τ =
FQ AQ
≤ [τ ]
切应力
τ=
FQ AQ
AQ：剪切面积；τ：切应力(MPa)； [τ]：材料的许用切应力(MPa)。
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§3.1.2 挤压与挤压强度的计算 一、挤压的概念
挤压：在外力作用下，连接件与被连接 件在其接触面上发生的相互压紧现象。 挤压力：挤压面上的压力，用Fp表示。 挤压应力：挤压面上挤压力的分布集 度，用σp表示。
所以轴的扭转强度足够。
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(2) 确定实心圆轴直径 根据实心轴与空心轴最大剪应力相等的条件
τ max
Mn Mn = = = 51.2( MPa ) 3 WT πD 16
因此，抗扭截面模量WT必须相等。
WT1 =
πD1 (1 − α 4 )
3
16
=
π × 903 ⎡
16
⎛ 90 − 2 × 2.5 ⎞ × ⎢1 − ⎜ ⎟ 90 ⎝ ⎠ ⎢ ⎣
MA
PA 221 = 9550 × = 7035( N ⋅ m) n 300 P 148 M B = 9550 B = 9550 × = 4711( N ⋅ m) n 300 P 73 M c = 9550 C = 9550 × = 2324( N ⋅ m) n 300 M A = 9550
(2) 计算扭矩
二、挤压强度的计算
挤压应力： σ p =
Fp Ap
Fp Ap
Fp
σp
挤压强度条件： σ = p
≤ ⎡σ p ⎤ ⎣ ⎦
Fp
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[例1] 铸铁带轮用平键与轴联接，如图所示。传递的力偶矩T=350Nm，轴的 直径d=40mm，平键尺寸b×h=12×8，初步确定键长l＝35mm，键的材料为 45号钢，许用剪切应力[τ]=60 MPa，许用挤压应力[σp]=100MPa，铸铁的 许用挤压应力[σp]=80MPa，试校核键联接的强度。
n
O
γρ
dϕ
m
结论：横截面上任意点的剪应变与该点到圆心距离成正比。
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二、应力应变关系
dϕ γρ = ρ dx
ρ max
dρ
τ = Gγ
τ ρ = Gγ ρ = G ρ
dϕ dx
ρ
τρ
横截面上任意点的剪应力与该 点到圆心距离成正比
三、最大剪应力的计算
环形微面积 微力偶矩 内力偶矩
dA = 2πρ ⋅ d ρ
WT =
τ max =
π D3
16
(1 − α ) =
4
π × 903 ⎡
16
4 ⎛ 90 − 2 × 2.5 ⎞ ⎤ 2.93×10-5 (m3) × ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥= 90 ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎣ ⎦